[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]
選擇題(本題共8小題，每小題6分，共48分)
1．科學(xué)家們推測(cè)，太陽(yáng)系內(nèi)除八大行星之外還有另一顆行星就在地球的軌道上，從地球上看，它永遠(yuǎn)在太陽(yáng)的背面，人類一直未能發(fā)現(xiàn)它，可以說(shuō)是“隱居”著的地球的“孿生兄弟”．由以上信息可以確定( )
A．這顆行星的公轉(zhuǎn)周期與地球相等
B．這顆行星的半徑等于地球的半徑
C．這顆行星的密度等于地球的密度
D．這顆行星上同樣存在著生命
A [因只知道這顆行星的軌道半徑，所以只能判斷出其公轉(zhuǎn)周期與地球的公轉(zhuǎn)周期相等．
由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)可知，行星的質(zhì)量在方程兩邊可以消去，因此無(wú)法知道其密度．]
2．過(guò)去幾千年來(lái)，人類對(duì)行星的認(rèn)識(shí)與研究?jī)H限于太陽(yáng)系內(nèi)，行星“51 peg b”的發(fā)現(xiàn)拉開(kāi)了研究太陽(yáng)系外行星的序幕．“51 peg b”繞其中心恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)半徑的eq \f(1,20).該中心恒星與太陽(yáng)的質(zhì)量比約為( )
A.eq \f(1,10) B．1 C．5 D．10
B [行星繞中心恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，則eq \f(M1,M2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r1,r2)))3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T2,T1)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,20)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(365,4)))2≈1，選項(xiàng)B正確．]
3．近年來(lái)，人類發(fā)射的多枚火星探測(cè)器已經(jīng)相繼在火星上著陸，正在進(jìn)行著激動(dòng)人心的科學(xué)探究，為我們將來(lái)登上火星，開(kāi)發(fā)利用火星奠定了堅(jiān)定的基礎(chǔ)．如果火星探測(cè)器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并測(cè)得運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，則火星的平均密度的表達(dá)式為(K為常數(shù))( )
A．ρ＝KTB．ρ ＝K/T
C．ρ＝KT2D．ρ＝K/T2
D [火星探測(cè)器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，有eq \f(GMm,R2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2R及密度公式：ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)，得：ρ＝eq \f(3π,GT2)＝eq \f(K,T2)，故D正確．]
4．(多選)下列幾組數(shù)據(jù)中能算出地球質(zhì)量的是(引力常量G是已知的)( )
A．已知地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期T和地球中心離太陽(yáng)中心的距離r
B．已知月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期T和地球的半徑r
C．已知月球繞地球運(yùn)動(dòng)的角速度和月球中心離地球中心的距離r
D．已知月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑r
CD [已知地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期和地球的軌道半徑，只能求出太陽(yáng)的質(zhì)量，而不能求出地球的質(zhì)量，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤．已知月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期和地球的半徑，而不知道月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，不能求出地球的質(zhì)量，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．已知月球繞地球運(yùn)動(dòng)的角速度和軌道半徑，由Geq \f(Mm,r2)＝mrω2可以求出地球的質(zhì)量，選項(xiàng)C正確．由Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)可求得地球質(zhì)量為M＝eq \f(4π2r3,GT2)，所以選項(xiàng)D正確．]
5．“嫦娥一號(hào)”是我國(guó)首次發(fā)射的探月衛(wèi)星，它在距月球表面高度為200 km的圓形軌道上運(yùn)行，運(yùn)行周期為127分鐘．已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，月球半徑約為1.74×103 km.利用以上數(shù)據(jù)估算月球的質(zhì)量約為( )
A．8.1×1010 kgB．7.4×1013 kg
C．5.4×1019 kgD．7.4×1022 kg
D [天體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)都是萬(wàn)有引力提供向心力．“嫦娥一號(hào)”繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律知：eq \f(GMm,r2)＝eq \f(4π2mr,T2)，得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，其中r＝R＋h，代入數(shù)據(jù)解得M＝7.4×1022 kg，選項(xiàng)D正確．]
6．(多選)甲、乙兩恒星相距為L(zhǎng)，質(zhì)量之比eq \f(m甲,m乙)＝eq \f(2,3)，它們離其他天體都很遙遠(yuǎn)，我們觀察到它們的距離始終保持不變，由此可知( )
A．兩恒星一定繞它們連線的某一位置做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
B．甲、乙兩恒星的角速度之比為2∶3
C．甲、乙兩恒星的線速度之比為eq \r(3)∶eq \r(2)
D．甲、乙兩恒星的向心加速度之比為3∶2
AD [據(jù)題可知甲、乙兩恒星的距離始終保持不變，圍繞兩星連線上的一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，角速度一定相同，故A正確，B錯(cuò)誤；雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，則有：m甲r甲ω2＝m乙r乙ω2，得：eq \f(r甲,r乙)＝eq \f(m乙,m甲)＝eq \f(3,2)，根據(jù)v＝rω，知v甲∶v乙＝r甲∶r乙＝3∶2，故C錯(cuò)誤；根據(jù)a＝rω2知，向心加速度之比a甲∶a乙＝r甲∶r乙＝3∶2，故D正確．]
7．一衛(wèi)星繞某一行星表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其線速度大小為v.假設(shè)宇航員在該行星表面上用彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)量一質(zhì)量為m的物體重力，物體靜止時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為N.已知引力常量為G，則這顆行星的質(zhì)量為( )
A.eq \f(mv2,GN) B.eq \f(mv4,GN) C.eq \f(Nv2,Gm) D.eq \f(Nv4,Gm)
B [由物體靜止時(shí)的平衡條件N＝mg得g＝eq \f(N,m)，根據(jù)Geq \f(Mm,R2)＝mg和Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)得M＝eq \f(mv4,GN)，故選B.]
8．月球與地球質(zhì)量之比約為1∶80，有研究者認(rèn)為月球和地球可視為一個(gè)由兩質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的雙星系統(tǒng)，它們都圍繞地月連線上某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．據(jù)此觀點(diǎn)，可知月球與地球繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)線速度大小之比約為( )
A．1∶6 400B．1∶80
C．80∶1 D．6 400∶1
C [月球和地球繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬(wàn)有引力提供各自的向心力，則地球和月球的向心力相等．且月球和地球與O點(diǎn)始終共線，說(shuō)明月球和地球有相同的角速度和周期．因此有mω2r＝Mω2R，所以eq \f(v,v′)＝eq \f(r,R)＝eq \f(M,m)，線速度和質(zhì)量成反比，正確答案為C.]
[能力提升練]
一、選擇題(本題共4小題，每小題6分，共24分)
1．(多選)一行星繞恒星做圓周運(yùn)動(dòng)．由天文觀測(cè)可得，其運(yùn)行周期為T(mén)，速度為v，引力常量為G，則( )
A．恒星的質(zhì)量為eq \f(v3T,2πG)
B．行星的質(zhì)量為eq \f(4π2v3,GT2)
C．行星運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為eq \f(vT,2π)
D．行星運(yùn)動(dòng)的加速度為eq \f(2πv,T)
ACD [行星繞恒星轉(zhuǎn)動(dòng)一圈時(shí)，運(yùn)行的距離等于周長(zhǎng)即v·T＝2πr 得r＝eq \f(vT,2π)，C選項(xiàng)正確；由萬(wàn)有引力公式及牛頓第二定律知eq \f(GMm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)得M＝eq \f(4π2r3,GT2)＝eq \f(4π2,GT2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(vT,2π)))eq \s\up10(3)＝eq \f(v3T,2πG)，A選項(xiàng)正確；由a＝eq \f(v2,r)＝eq \f(2πv,T)，D選項(xiàng)正確．行星繞恒星的運(yùn)動(dòng)與其自身質(zhì)量無(wú)關(guān)，行星的質(zhì)量由已知條件無(wú)法求出，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤．]
2．據(jù)報(bào)道，最近在太陽(yáng)系外發(fā)現(xiàn)了首顆“宜居”行星，其質(zhì)量約為地球質(zhì)量的6.4倍，一個(gè)在地球表面重量為600 N的人在這個(gè)行星表面的重量將變?yōu)?60 N．由此可推知，該行星的半徑與地球半徑之比約為( )
A．0.5 B．2
C．3.2D．4
B [在忽略地球自轉(zhuǎn)的情況下，萬(wàn)有引力等于物體的重力．
即G地＝Geq \f(M地m,R\\al(2,地))
同樣在行星表面有G行＝Geq \f(M行m,R\\al(2,行))
以上二式相比可得
eq \f(G地,G行)＝eq \f(M地,R\\al(2,地))×eq \f(R\\al(2,行),M行)＝eq \f(1,6.4)×eq \f(R\\al(2,行),R\\al(2,地))
eq \f(R行,R地)＝eq \r(\f(6.4×600,1×960))＝2
故該行星的半徑與地球的半徑之比約為2
故選B.]
3．“探路者”號(hào)宇宙飛船在宇宙深處飛行的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)A、B兩顆均勻球形天體，兩天體各有一顆靠近其表面飛行的衛(wèi)星，測(cè)得兩顆衛(wèi)星的周期相等．以下判斷正確的是( )
A．兩顆衛(wèi)星的線速度一定相等
B．天體A、B的質(zhì)量一定不相等
C．天體A、B表面的重力加速度一定不相等
D．天體A、B的密度一定相等
D [根據(jù)題意，已知兩衛(wèi)星運(yùn)行周期相等，由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R和M＝ρV＝ρeq \f(4,3)πR3，即ρ＝eq \f(3π,GT2)，即兩天體的密度相等，選項(xiàng)D正確；衛(wèi)星環(huán)繞速度v＝eq \f(2πR,T)，由于兩天體半徑關(guān)系不知道，則線速度大小關(guān)系無(wú)法確定，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；天體質(zhì)量M＝eq \f(4π2R3,GT2)，可知兩天體質(zhì)量大小關(guān)系也無(wú)法確定，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由g＝eq \f(4π2,T2)R可知，兩天體表面重力加速度大小關(guān)系無(wú)法確定，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．]
4．在地球兩極和赤道的重力加速度大小分別為g1、g2，地球自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，萬(wàn)有引力常量為G，若把地球看成一個(gè)質(zhì)量均勻分布的圓球體，則地球的密度為( )
A.eq \f(3π?g1－g2?,GT2g1) B.eq \f(3πg(shù)1,GT2?g1－g2?) C.eq \f(3πg(shù)1,GT2g2) D.eq \f(3π,GT2)
B [地球兩極mg1＝Geq \f(Mm,R2)①，在地球赤道上Geq \f(Mm,R2)－mg2＝meq \f(4π2,T2)R②，聯(lián)立①②得R＝eq \f(?g1－g2?T2,4π2)，由①得M＝eq \f(g1R2,G)，地球密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3g1,4πRG)＝eq \f(3π,GT2)eq \f(g1,g1－g2)，B正確．]
二、非選擇題(本題共2小題，共28分)
5．(14分)已知太陽(yáng)光從太陽(yáng)射到地球需時(shí)間t，光速為c，地球公轉(zhuǎn)軌道可近似看成圓軌道，公轉(zhuǎn)周期為T(mén)，地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，試計(jì)算：
(1)太陽(yáng)的質(zhì)量；
(2)地球的質(zhì)量．
[解析] (1)設(shè)太陽(yáng)的質(zhì)量為M，地球的質(zhì)量為m，因?yàn)樘?yáng)對(duì)地球的萬(wàn)有引力提供地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，有
Geq \f(Mm,r2)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r
解得M＝eq \f(4π2r3,GT2)＝eq \f(4π2c3t3,GT2).
(2)地球半徑為R，則地面上質(zhì)量為m′的物體的重力近似等于物體與地球的萬(wàn)有引力，故有：F′引＝m′g，即：eq \f(Gmm′,R2)＝m′g，m＝eq \f(gR2,G).
[答案] (1)eq \f(4π2c3t3,GT2) (2)eq \f(gR2,G)
6．(14分)進(jìn)入21世紀(jì)，我國(guó)啟動(dòng)了探月計(jì)劃——“嫦娥工程”．同學(xué)們也對(duì)月球有了更多的關(guān)注．
(1)若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，月球繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試求出月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
(2)若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v0豎直向上拋出一個(gè)小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球落回拋出點(diǎn)．已知月球半徑為r，萬(wàn)有引力常量為G，試求出月球的質(zhì)量M月．
[解析] (1)根據(jù)萬(wàn)有引力定律和向心力公式
Geq \f(M月M地,R\\al(2,月))＝M月R月(eq \f(2π,T))2①
mg＝Geq \f(M地m,R2)②
聯(lián)立①②得
R月＝eq \r(3,\f(gR2T2,4π2)).
(2)設(shè)月球表面的重力加速度為g月，根據(jù)題意：
v0＝eq \f(g月t,2) ③
mg月＝Geq \f(M月m,r2)④
聯(lián)立③④得 M月＝eq \f(2v0r2,Gt).
[答案] (1)eq \r(3,\f(gR2T2,4π2)) (2)eq \f(2v0r2,Gt)

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