?2015年陜西省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）
　
一、選擇題，共12小題，每小題5分，共60分
1．（5分）設(shè)集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，則M∪N=（　　）
A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1） D．（﹣∞，1]
2．（5分）某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為（　?。?br />
A．93 B．123 C．137 D．167
3．（5分）如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin（x+φ）+k．據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深（單位：m）的最大值為（　?。?br />
A．5 B．6 C．8 D．10
4．（5分）二項(xiàng)式（x+1）n（n∈N+）的展開式中x2的系數(shù)為15，則n=（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
5．（5分）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（　　）

A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4
6．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（　?。?br /> A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（5分）對(duì)任意向量、，下列關(guān)系式中不恒成立的是（　　）
A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||
C．（）2=||2 D．（）?（）=2﹣2
8．（5分）根據(jù)如圖框圖，當(dāng)輸入x為2006時(shí)，輸出的y=（　　）

A．2 B．4 C．10 D．28
9．（5分）設(shè)f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），則下列關(guān)系式中正確的是（　?。?br /> A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q
10．（5分）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A、B兩種原料．已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產(chǎn)一噸甲、乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤(rùn)為（　?。?br />
甲
乙
原料限額
A（噸）
3
2
12
B（噸）
1
2
8
A．12萬元 B．16萬元 C．17萬元 D．18萬元
11．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，則y≥x的概率為（　?。?br /> A．+ B．+ C．﹣ D．﹣
12．（5分）對(duì)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a為非零整數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的結(jié)論是（　　）
A．﹣1是f（x）的零點(diǎn) B．1是f（x）的極值點(diǎn)
C．3是f（x）的極值 D．點(diǎn)（2，8）在曲線y=f（x）上
　
二、填空題，共4小題，每小題5分，共20分
13．（5分）中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015，則該數(shù)列的首項(xiàng)為　 ?。?br /> 14．（5分）若拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2﹣y2=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=　 ?。?br /> 15．（5分）設(shè)曲線y=ex在點(diǎn)（0，1）處的切線與曲線y=（x＞0）上點(diǎn)P的切線垂直，則P的坐標(biāo)為　 　．
16．（5分）如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線所示），則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為　 ?。?br />
　
三、解答題，共5小題，共70分
17．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．向量=（a，b）與=（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面積．
18．（12分）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)，將ABE沿BE折起到A1BE的位置，如圖2．
（Ⅰ）證明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值．

19．（12分）設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時(shí)間為T，T只與道路暢通狀況有關(guān)，對(duì)其容量為200的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：
T（分鐘）
25
30
35
40
頻數(shù)（次）
40
60
80
20
（1）求T的分布列與數(shù)學(xué)期望ET；
（2）唐教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個(gè)50分鐘的講座，結(jié)束后立即返回老校區(qū)，求唐教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過120分鐘的概率．
20．（12分）已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的半焦距為c，原點(diǎn)O到經(jīng)過兩點(diǎn)（c，0），（0，b）的直線的距離為c．
（Ⅰ）求橢圓E的離心率；
（Ⅱ）如圖，AB是圓M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，求橢圓E的方程．

21．（12分）設(shè)fn（x）是等比數(shù)列1，x，x2，…，xn的各項(xiàng)和，其中x＞0，n∈N，n≥2．
（Ⅰ）證明：函數(shù)Fn（x）=fn（x）﹣2在（，1）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（記為xn），且xn=+x；
（Ⅱ）設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為gn（x），比較fn（x）和gn（x）的大小，并加以證明．
　
四、選修題，請(qǐng)?jiān)?2、23、24中任選一題作答，如果多做則按第一題計(jì)分．選修4-1：幾何證明選講
22．（10分）如圖，AB切⊙O于點(diǎn)B，直線AO交⊙O于D，E兩點(diǎn)，BC⊥DE，垂足為C．
（Ⅰ）證明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直徑．

　
五、選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
23．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，⊙C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ．
（Ⅰ）寫出⊙C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí)，求P的直角坐標(biāo)．
　
六、選修4-5：不等式選講
24．已知關(guān)于x的不等式|x+a|＜b的解集為{x|2＜x＜4}
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）求+的最大值．
　

2015年陜西省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）
參考答案與試題解析
　
一、選擇題，共12小題，每小題5分，共60分
1．（5分）設(shè)集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，則M∪N=（　?。?br /> A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1） D．（﹣∞，1]
【分析】求解一元二次方程化簡(jiǎn)M，求解對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn)N，然后利用并集運(yùn)算得答案．
【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，
N={x|lgx≤0}=（0，1]，
得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了并集及其運(yùn)算，考查了對(duì)數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題．
　
2．（5分）某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為（　?。?br />
A．93 B．123 C．137 D．167
【分析】利用百分比，可得該校女教師的人數(shù)．
【解答】解：初中部女教師的人數(shù)為110×70%=77；高中部女教師的人數(shù)為150×40%=60，
∴該校女教師的人數(shù)為77+60=137，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查該校女教師的人數(shù)，考查收集數(shù)據(jù)的方法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．
　
3．（5分）如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin（x+φ）+k．據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深（單位：m）的最大值為（　?。?br />
A．5 B．6 C．8 D．10
【分析】由題意和最小值易得k的值，進(jìn)而可得最大值．
【解答】解：由題意可得當(dāng)sin（x+φ）取最小值﹣1時(shí)，
函數(shù)取最小值ymin=﹣3+k=2，解得k=5，
∴y=3sin（x+φ）+5，
∴當(dāng)當(dāng)sin（x+φ）取最大值1時(shí)，
函數(shù)取最大值ymax=3+5=8，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的最值，屬基礎(chǔ)題．
　
4．（5分）二項(xiàng)式（x+1）n（n∈N+）的展開式中x2的系數(shù)為15，則n=（　?。?br /> A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】由題意可得==15，解關(guān)于n的方程可得．
【解答】解：∵二項(xiàng)式（x+1）n（n∈N+）的展開式中x2的系數(shù)為15，
∴=15，即=15，解得n=6，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理，屬基礎(chǔ)題．
　
5．（5分）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（　　）

A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4
【分析】由已知中的三視圖可得，該幾何體是以俯視圖為底面的半圓柱，底面半徑為1，高為2，代入柱體表面積公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三視圖可得，該幾何體是以俯視圖為底面的半圓柱，
底面半徑為1，高為2，
故該幾何體的表面積S=2×π+（2+π）×2=3π+4，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是柱體的體積和表面積，簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，難度中檔．
　
6．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判斷出．
【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，
∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要條件．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了倍角公式、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．
　
7．（5分）對(duì)任意向量、，下列關(guān)系式中不恒成立的是（　　）
A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||
C．（）2=||2 D．（）?（）=2﹣2
【分析】由向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證可得．
【解答】解：選項(xiàng)A恒成立，∵||=|||||cos＜，＞|，
又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；
選項(xiàng)B不恒成立，由三角形的三邊關(guān)系和向量的幾何意義可得||≥|||﹣|||；
選項(xiàng)C恒成立，由向量數(shù)量積的運(yùn)算可得（）2=||2；
選項(xiàng)D恒成立，由向量數(shù)量積的運(yùn)算可得（）?（）=2﹣2．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積，屬基礎(chǔ)題．
　
8．（5分）根據(jù)如圖框圖，當(dāng)輸入x為2006時(shí)，輸出的y=（　　）

A．2 B．4 C．10 D．28
【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的x的值，當(dāng)x=﹣2時(shí)不滿足條件x≥0，計(jì)算并輸出y的值為10．
【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得
x=2006，
x=2004
滿足條件x≥0，x=2002
滿足條件x≥0，x=2000
…
滿足條件x≥0，x=0
滿足條件x≥0，x=﹣2
不滿足條件x≥0，y=10
輸出y的值為10．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，屬于基礎(chǔ)題．
　
9．（5分）設(shè)f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），則下列關(guān)系式中正確的是（　?。?br /> A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q
【分析】由題意可得p=（lna+lnb），q=ln（）≥ln（）=p，r=（lna+lnb），可得大小關(guān)系．
【解答】解：由題意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），
q=f（）=ln（）≥ln（）=p，
r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），
∴p=r＜q，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式與不等關(guān)系，涉及基本不等式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．
　
10．（5分）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A、B兩種原料．已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產(chǎn)一噸甲、乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤(rùn)為（　　）

甲
乙
原料限額
A（噸）
3
2
12
B（噸）
1
2
8
A．12萬元 B．16萬元 C．17萬元 D．18萬元
【分析】設(shè)每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為x，y噸，利潤(rùn)為z元，然后根據(jù)題目條件建立約束條件，得到目標(biāo)函數(shù)，畫出約束條件所表示的區(qū)域，然后利用平移法求出z的最大值．
【解答】解：設(shè)每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為x，y噸，利潤(rùn)為z元，
則，
目標(biāo)函數(shù)為 z=3x+4y．
作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域（陰影部分）即可行域．
由z=3x+4y得y=﹣x+，
平移直線y=﹣x+由圖象可知當(dāng)直線y=﹣x+經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線y=﹣x+的截距最大，
此時(shí)z最大，
解方程組，解得，
即B的坐標(biāo)為x=2，y=3，
∴zmax=3x+4y=6+12=18．
即每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為2，3噸，能夠產(chǎn)生最大的利潤(rùn)，最大的利潤(rùn)是18萬元，
故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，建立約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．
　
11．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，則y≥x的概率為（　　）
A．+ B．+ C．﹣ D．﹣
【分析】由題意易得所求概率為弓形的面積與圓的面積之比，分別求面積可得．
【解答】解：∵復(fù)數(shù)z=（x﹣1）+yi（x，y∈R）且|z|≤1，
∴|z|=≤1，即（x﹣1）2+y2≤1，
∴點(diǎn)（x，y）在（1，0）為圓心1為半徑的圓及其內(nèi)部，
而y≥x表示直線y=x左上方的部分，（圖中陰影弓形）
∴所求概率為弓形的面積與圓的面積之比，
∴所求概率P==
故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概型，涉及復(fù)數(shù)以及圓的知識(shí)，屬基礎(chǔ)題．
　
12．（5分）對(duì)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a為非零整數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的結(jié)論是（　?。?br /> A．﹣1是f（x）的零點(diǎn) B．1是f（x）的極值點(diǎn)
C．3是f（x）的極值 D．點(diǎn)（2，8）在曲線y=f（x）上
【分析】可采取排除法．分別考慮A，B，C，D中有一個(gè)錯(cuò)誤，通過解方程求得a，判斷是否為非零整數(shù)，即可得到結(jié)論．
【解答】解：可采取排除法．
若A錯(cuò)，則B，C，D正確．即有f（x）=ax2+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2ax+b，
即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②，
又f（2）=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=﹣10，c=8．符合a為非零整數(shù)．
若B錯(cuò)，則A，C，D正確，則有a﹣b+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a∈?，不成立；
若C錯(cuò)，則A，B，D正確，則有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=﹣不為非零整數(shù)，不成立；
若D錯(cuò)，則A，B，C正確，則有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=﹣不為非零整數(shù)，不成立．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的極值、零點(diǎn)等概念，主要考查解方程的能力和判斷分析的能力，屬于中檔題．
　
二、填空題，共4小題，每小題5分，共20分
13．（5分）中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015，則該數(shù)列的首項(xiàng)為　5?。?br /> 【分析】由題意可得首項(xiàng)的方程，解方程可得．
【解答】解：設(shè)該等差數(shù)列的首項(xiàng)為a，
由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得2015+a=1010×2
解得a=5
故答案為：5
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)，涉及中位數(shù)，屬基礎(chǔ)題．
　
14．（5分）若拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2﹣y2=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=　2　．
【分析】先求出x2﹣y2=1的左焦點(diǎn)，得到拋物線y2=2px的準(zhǔn)線，依據(jù)p的意義求出它的值．
【解答】解：雙曲線x2﹣y2=1的左焦點(diǎn)為（﹣，0），故拋物線y2=2px的準(zhǔn)線為x=﹣，
∴=，∴p=2，
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線和雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，以及拋物線方程 y2=2px中p的意義．
　
15．（5分）設(shè)曲線y=ex在點(diǎn)（0，1）處的切線與曲線y=（x＞0）上點(diǎn)P的切線垂直，則P的坐標(biāo)為?。?，1）?。?br /> 【分析】利用y=ex在某點(diǎn)處的切線斜率與另一曲線的切線斜率垂直求得另一曲線的斜率，進(jìn)而求得切點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：∵f'（x）=ex，
∴f'（0）=e0=1．
∵y=ex在（0，1）處的切線與y=（x＞0）上點(diǎn)P的切線垂直
∴點(diǎn)P處的切線斜率為﹣1．
又y'=﹣，設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）
∴﹣=﹣1，
∴x0=±1，∵x＞0，∴x0=1
∴y0=1
∴點(diǎn)P（1，1）
故答案為：（1，1）
【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)在曲線切線中的應(yīng)用，在高考中屬基礎(chǔ)題型，常出現(xiàn)在選擇填空中．
　
16．（5分）如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線所示），則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為　1.2　．

【分析】建立直角坐標(biāo)系，求出拋物線方程，然后利用定積分求出泥沙沉積的橫截面面積，求出梯形面積，即可推出結(jié)果．
【解答】解：如圖：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為：y=ax2，因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過（5，2），可得a=，
所以拋物線方程：y=，
橫截面為等腰梯形的水渠，泥沙沉積的橫截面的面積為：
2×=2（）=，
等腰梯形的面積為：=16，當(dāng)前最大流量的橫截面的面積16﹣，
原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為：=1.2．
故答案為：1.2．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的求法，定積分的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，合理建系是解題的關(guān)鍵．
　
三、解答題，共5小題，共70分
17．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．向量=（a，b）與=（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面積．
【分析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通過正弦定理求解A；
（Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通過余弦定理求出c，然后求解△ABC的面積．
【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)橄蛄?（a，b）與=（cosA，sinB）平行，
所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因?yàn)閟inB≠0，
所以tanA=，可得A=；
（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，
△ABC的面積為：=．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理以及正弦定理的應(yīng)用，三角形的面積的求法，考查計(jì)算能力．
　
18．（12分）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)，將ABE沿BE折起到A1BE的位置，如圖2．
（Ⅰ）證明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值．

【分析】（Ⅰ）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，建立空間坐標(biāo)系，利用向量法即可求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值．
【解答】證明：（Ⅰ）在圖1中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中點(diǎn)，∠BAD=，
∴BE⊥AC，
即在圖2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，
則BE⊥平面A1OC；
∵CD∥BE，
∴CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，
由（Ⅰ）知BE⊥OA1，BE⊥OC，
∴∠A1OC為二面角A1﹣BE﹣C的平面角，
∴∠A1OC=，
如圖，建立空間坐標(biāo)系，
∵A1B=A1E=BC=ED=1．BC∥ED
∴B（，0，0），E（﹣，0，0），A1（0，0，），C（0，，0），
=（﹣，，0），=（0，，﹣），

設(shè)平面A1BC的法向量為=（x，y，z），平面A1CD的法向量為=（a，b，c），
則得，令x=1，則y=1，z=1，即=（1，1，1），
由得，
取=（0，1，1），
則cos＜＞===，
∴平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值為．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間直線和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐標(biāo)系利用向量法是解決空間角的常用方法．
　
19．（12分）設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時(shí)間為T，T只與道路暢通狀況有關(guān)，對(duì)其容量為200的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：
T（分鐘）
25
30
35
40
頻數(shù)（次）
40
60
80
20
（1）求T的分布列與數(shù)學(xué)期望ET；
（2）唐教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個(gè)50分鐘的講座，結(jié)束后立即返回老校區(qū)，求唐教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過120分鐘的概率．
【分析】（1）由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得T的頻率分布，以頻率估計(jì)概率得T的分布列，能求出T的分布列與數(shù)學(xué)期望ET．
（II）設(shè)T1，T2分別表示往、返所需時(shí)間，T1，T2的取值相互獨(dú)立，且與T的分布列相同．設(shè)事件A表示“唐教授共用時(shí)間不超過120分鐘”，由于講座時(shí)間為50分鐘，事件A對(duì)應(yīng)于“唐教授在途中的時(shí)間不超過70分鐘”．由此能求出唐教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過120分鐘的概率．
【解答】解：（1）由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得T的頻率分布為
T（分鐘）
25
30
35
40
頻率
0.2
0.3
0.4
0.1
以頻率估計(jì)概率得T的分布列為
T
25
30
35
40
P
0.2
0.3
0.4
0.1
從而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32．（分鐘）…（4分）
（II）設(shè)T1，T2分別表示往、返所需時(shí)間，T1，T2的取值相互獨(dú)立，且與T的分布列相同．
設(shè)事件A表示“唐教授共用時(shí)間不超過120分鐘”，由于講座時(shí)間為50分鐘，
所以事件A對(duì)應(yīng)于“唐教授在途中的時(shí)間不超過70分鐘”．
P（A）=P（T1+T2≤70）=P（T1=25，T2≤45）+P（T1=30，T2≤40）+P（T1=35，T2≤35）+P（T1=40，T2≤30）
=1×0.2+1×0.3+0.9×0.4+0.5×0.1=0.91．…（10分）
【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意互斥事件概率加法公式、相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．
　
20．（12分）已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的半焦距為c，原點(diǎn)O到經(jīng)過兩點(diǎn)（c，0），（0，b）的直線的距離為c．
（Ⅰ）求橢圓E的離心率；
（Ⅱ）如圖，AB是圓M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，求橢圓E的方程．

【分析】（Ⅰ）求出經(jīng)過點(diǎn)（0，b）和（c，0）的直線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合離心率公式計(jì)算即可得到所求值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，橢圓E的方程為x2+4y2=4b2，①設(shè)出直線AB的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，結(jié)合圓的直徑和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解方程可得b2=3，即可得到橢圓方程．
【解答】解：（Ⅰ）經(jīng)過點(diǎn)（0，b）和（c，0）的直線方程為bx+cy﹣bc=0，
則原點(diǎn)到直線的距離為d==c，即為a=2b，
e===；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，橢圓E的方程為x2+4y2=4b2，①
由題意可得圓心M（﹣2，1）是線段AB的中點(diǎn)，則|AB|=，
易知AB與x軸不垂直，記其方程為y=k（x+2）+1，代入①可得
（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=．x1x2=，
由M為AB的中點(diǎn)，可得x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，
從而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=?|x1﹣x2|=?
==，解得b2=3，
則有橢圓E的方程為+=1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率的求法和橢圓方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，同時(shí)考查直線和圓的位置關(guān)系，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式和點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．
　
21．（12分）設(shè)fn（x）是等比數(shù)列1，x，x2，…，xn的各項(xiàng)和，其中x＞0，n∈N，n≥2．
（Ⅰ）證明：函數(shù)Fn（x）=fn（x）﹣2在（，1）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（記為xn），且xn=+x；
（Ⅱ）設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為gn（x），比較fn（x）和gn（x）的大小，并加以證明．
【分析】（Ⅰ）由Fn（x）=fn（x）﹣2=1+x+x2+…++xn﹣2，求得Fn（1）＞0，F(xiàn)n（）＜0．再由導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)Fn（x）在（，1）內(nèi)單調(diào)遞增，得到Fn（x）在（，1）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)xn，由Fn（xn）=0，得到；
（Ⅱ）先求出，構(gòu)造函數(shù)h（x）=fn（x）﹣gn（x）=1+x+x2+…++xn﹣，當(dāng)x=1時(shí)，fn（x）=gn（x）．
當(dāng)x≠1時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得h（x）在（0，1）內(nèi)遞增，在（1，+∞）內(nèi)遞減，得到fn（x）＜gn（x）．
【解答】證明：（Ⅰ）由Fn（x）=fn（x）﹣2=1+x+x2+…+xn﹣2，
則Fn（1）=n﹣1＞0，
Fn（）=1+．
∴Fn（x）在（，1）內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，
又，∴Fn（x）在（，1）內(nèi)單調(diào)遞增，
∴Fn（x）在（，1）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)xn，
∵xn是Fn（x）的一個(gè)零點(diǎn)，∴Fn（xn）=0，
即，故；
（Ⅱ）由題設(shè)，，
設(shè)h（x）=fn（x）﹣gn（x）=1+x+x2+…+xn﹣，x＞0．
當(dāng)x=1時(shí)，fn（x）=gn（x）．
當(dāng)x≠1時(shí)，．
若0＜x＜1，h′（x）＞=．
若x＞1，h′（x）＜=．
∴h（x）在（0，1）內(nèi)遞增，在（1，+∞）內(nèi)遞減，
∴h（x）＜h（1）=0，即fn（x）＜gn（x）．
綜上，當(dāng)x=1時(shí)，fn（x）=gn（x）；
當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，fn（x）＜gn（x）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定方法，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，是中檔題．
　
四、選修題，請(qǐng)?jiān)?2、23、24中任選一題作答，如果多做則按第一題計(jì)分．選修4-1：幾何證明選講
22．（10分）如圖，AB切⊙O于點(diǎn)B，直線AO交⊙O于D，E兩點(diǎn)，BC⊥DE，垂足為C．
（Ⅰ）證明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直徑．

【分析】（Ⅰ）根據(jù)直徑的性質(zhì)即可證明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）結(jié)合割線定理進(jìn)行求解即可求⊙O的直徑．
【解答】證明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直徑，
則∠BED+∠EDB=90°，
∵BC⊥DE，
∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，
∵AB切⊙O于點(diǎn)B，
∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，
則=3，
∵BC=，
∴AB=3，AC=，
則AD=3，
由切割線定理得AB2=AD?AE，
即AE=，
故DE=AE﹣AD=3，
即可⊙O的直徑為3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用和證明，根據(jù)相應(yīng)的定理是解決本題的關(guān)鍵．
　
五、選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
23．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，⊙C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ．
（Ⅰ）寫出⊙C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí)，求P的直角坐標(biāo)．
【分析】（I）由⊙C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ．化為ρ2=2，把代入即可得出；．
（II）設(shè)P，又C．利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得|PC|=，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出．
【解答】解：（I）由⊙C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ．
∴ρ2=2，化為x2+y2=，
配方為=3．
（II）設(shè)P，又C．
∴|PC|==≥2，
因此當(dāng)t=0時(shí)，|PC|取得最小值2．此時(shí)P（3，0）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的應(yīng)用、兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
　
六、選修4-5：不等式選講
24．已知關(guān)于x的不等式|x+a|＜b的解集為{x|2＜x＜4}
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）求+的最大值．
【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程組，解方程組可得；
（Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值．
【解答】解：（Ⅰ）關(guān)于x的不等式|x+a|＜b可化為﹣b﹣a＜x＜b﹣a，
又∵原不等式的解集為{x|2＜x＜4}，
∴，解方程組可得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+
=+≤
=2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)=即t=1時(shí)取等號(hào)，
∴所求最大值為4
【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等關(guān)系與不等式，涉及柯西不等式求最值，屬基礎(chǔ)題．
　

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