?2015年陜西省高考數(shù)學試卷（文科）
　
一.選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求（每小題5分，共60分）
1．（5分）設(shè)集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，則M∪N=（　　）
A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1） D．（﹣∞，1]
2．（5分）某中學初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為（　?。?br />
A．93 B．123 C．137 D．167
3．（5分）已知拋物線y2=2px（p＞0）的準線經(jīng)過點（﹣1，1），則該拋物線焦點坐標為（　?。?br /> A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）
4．（5分）設(shè)f（x）=，則f（f（﹣2））=（　?。?br /> A．﹣1 B． C． D．
5．（5分）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（　?。?br />
A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4
6．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（5分）根據(jù)如圖框圖，當輸入x為6時，輸出的y=（　?。?br />
A．1 B．2 C．5 D．10
8．（5分）對任意向量、，下列關(guān)系式中不恒成立的是（　　）
A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||
C．（）2=||2 D．（）?（）=2﹣2
9．（5分）設(shè)f（x）=x﹣sinx，則f（x）（　　）
A．既是奇函數(shù)又是減函數(shù) B．既是奇函數(shù)又是增函數(shù)
C．是有零點的減函數(shù) D．是沒有零點的奇函數(shù)
10．（5分）設(shè)f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），則下列關(guān)系式中正確的是（　?。?br /> A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q
11．（5分）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A、B兩種原料．已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產(chǎn)一噸甲、乙產(chǎn)品可獲得利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（　?。?br />
甲
乙
原料限額
A（噸）
3
2
12
B（噸）
1
2
8
A．12萬元 B．16萬元 C．17萬元 D．18萬元
12．（5分）設(shè)復數(shù)z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，則y≥x的概率為（　?。?br /> A．+ B．+ C．﹣ D．﹣
　
二.填空題：把答案填寫在答題的橫線上（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．（5分）中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為2015，則該數(shù)列的首項為　 　．
14．（5分）如圖，某港口一天6時到18時的水渠變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin（x+φ）+k．據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為　 ?。?br />
15．（5分）函數(shù)y=xex在其極值點處的切線方程為　 ?。?br /> 16．（5分）觀察下列等式：
1﹣=
1﹣+﹣=+
1﹣+﹣+﹣=++
…
據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為　 ?。?br /> 　
三.解答題：解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟（共5小題，共70分）
17．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．向量=（a，b）與=（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面積．
18．（12分）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中點，O是AC與BE的交點．將△ABE沿BE折起到如圖2中△A1BE的位置，得到四棱錐A1﹣BCDE．

（Ⅰ）證明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）當平面A1BE⊥平面BCDE時，四棱錐A1﹣BCDE的體積為36，求a的值．
19．（12分）隨機抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進行統(tǒng)計，結(jié)果如下：
（Ⅰ）在4月份任取一天，估計西安市在該天不下雨的概率；
（Ⅱ）西安市某學校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)2天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率．
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天氣
晴
雨
陰
陰
陰
雨
陰
晴
晴
晴
陰
晴
晴
晴
晴

日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
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28
29
30
天氣
晴
陰
雨
陰
陰
晴
陰
晴
晴
晴
陰
晴
晴
晴
雨
20．（12分）如圖，橢圓E：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（0，﹣1），且離心率為．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）經(jīng)過點（1，1），且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q（均異于點A），證明：直線AP與AQ斜率之和為2．

21．（12分）設(shè)fn（x）=x+x2+…+xn﹣1，x≥0，n∈N，n≥2．
（Ⅰ）求fn′（2）；
（Ⅱ）證明：fn（x）在（0，）內(nèi)有且僅有一個零點（記為an），且0＜an﹣＜（）n．
　
三.請在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分[選修4-1：幾何證明選講]
22．（10分）如圖，AB切⊙O于點B，直線AO交⊙O于D，E兩點，BC⊥DE，垂足為C．
（Ⅰ）證明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直徑．

　
[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]
23．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，⊙C的極坐標方程為ρ=2sinθ．
（Ⅰ）寫出⊙C的直角坐標方程；
（Ⅱ）P為直線l上一動點，當P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標．
　
[選修4-5：不等式選講]
24．已知關(guān)于x的不等式|x+a|＜b的解集為{x|2＜x＜4}
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）求+的最大值．
　

2015年陜西省高考數(shù)學試卷（文科）
參考答案與試題解析
　
一.選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求（每小題5分，共60分）
1．（5分）設(shè)集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，則M∪N=（　?。?br /> A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1） D．（﹣∞，1]
【分析】求解一元二次方程化簡M，求解對數(shù)不等式化簡N，然后利用并集運算得答案．
【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，
N={x|lgx≤0}=（0，1]，
得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．
故選：A．
【點評】本題考查了并集及其運算，考查了對數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題．
　
2．（5分）某中學初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為（　?。?br />
A．93 B．123 C．137 D．167
【分析】利用百分比，可得該校女教師的人數(shù)．
【解答】解：初中部女教師的人數(shù)為110×70%=77；高中部女教師的人數(shù)為150×40%=60，
∴該校女教師的人數(shù)為77+60=137，
故選：C．
【點評】本題考查該校女教師的人數(shù)，考查收集數(shù)據(jù)的方法，考查學生的計算能力，比較基礎(chǔ)．
　
3．（5分）已知拋物線y2=2px（p＞0）的準線經(jīng)過點（﹣1，1），則該拋物線焦點坐標為（　?。?br /> A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）
【分析】利用拋物線y2=2px（p＞0）的準線經(jīng)過點（﹣1，1），求得=1，即可求出拋物線焦點坐標．
【解答】解：∵拋物線y2=2px（p＞0）的準線經(jīng)過點（﹣1，1），
∴=1，
∴該拋物線焦點坐標為（1，0）．
故選：B．
【點評】本題考查拋物線焦點坐標，考查拋物線的性質(zhì)，比較基礎(chǔ)．
　
4．（5分）設(shè)f（x）=，則f（f（﹣2））=（　?。?br /> A．﹣1 B． C． D．
【分析】利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解．
【解答】解：∵，
∴f（﹣2）=2﹣2=，
f（f（﹣2））=f（）=1﹣=．
故選：C．
【點評】本題考查函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分段函數(shù)的性質(zhì)的合理運用．
　
5．（5分）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（　　）

A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4
【分析】由已知中的三視圖可得，該幾何體是以俯視圖為底面的半圓柱，底面半徑為1，高為2，代入柱體表面積公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三視圖可得，該幾何體是以俯視圖為底面的半圓柱，
底面半徑為1，高為2，
故該幾何體的表面積S=2×π+（2+π）×2=3π+4，
故選：D．
【點評】本題考查的知識點是柱體的體積和表面積，簡單幾何體的三視圖，難度中檔．
　
6．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（　?。?br /> A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判斷出．
【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，
∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要條件．
故選：A．
【點評】本題考查了倍角公式、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．
　
7．（5分）根據(jù)如圖框圖，當輸入x為6時，輸出的y=（　?。?br />
A．1 B．2 C．5 D．10
【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的x的值，當x=﹣3時不滿足條件x≥0，計算并輸出y的值為10．
【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得
x=6
x=3
滿足條件x≥0，x=0
滿足條件x≥0，x=﹣3
不滿足條件x≥0，y=10
輸出y的值為10．
故選：D．
【點評】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確寫出每次循環(huán)得到的x的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
　
8．（5分）對任意向量、，下列關(guān)系式中不恒成立的是（　?。?br /> A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||
C．（）2=||2 D．（）?（）=2﹣2
【分析】由向量數(shù)量積的運算和性質(zhì)逐個選項驗證可得．
【解答】解：選項A恒成立，∵||=|||||cos＜，＞|，
又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；
選項B不恒成立，由三角形的三邊關(guān)系和向量的幾何意義可得||≥|||﹣|||；
選項C恒成立，由向量數(shù)量積的運算可得（）2=||2；
選項D恒成立，由向量數(shù)量積的運算可得（）?（）=2﹣2．
故選：B．
【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積，屬基礎(chǔ)題．
　
9．（5分）設(shè)f（x）=x﹣sinx，則f（x）（　?。?br /> A．既是奇函數(shù)又是減函數(shù) B．既是奇函數(shù)又是增函數(shù)
C．是有零點的減函數(shù) D．是沒有零點的奇函數(shù)
【分析】利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷f（x）為奇函數(shù)，再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得出結(jié)論．
【解答】解：由于f（x）=x﹣sinx的定義域為R，且滿足f（﹣x）=﹣x+sinx=﹣f（x），
可得f（x）為奇函數(shù)．
再根據(jù)f′（x）=1﹣cosx≥0，可得f（x）為增函數(shù)，
故選：B．
【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．
　
10．（5分）設(shè)f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），則下列關(guān)系式中正確的是（　?。?br /> A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q
【分析】由題意可得p=（lna+lnb），q=ln（）≥ln（）=p，r=（lna+lnb），可得大小關(guān)系．
【解答】解：由題意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），
q=f（）=ln（）≥ln（）=p，
r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），
∴p=r＜q，
故選：B．
【點評】本題考查不等式與不等關(guān)系，涉及基本不等式和對數(shù)的運算，屬基礎(chǔ)題．
　
11．（5分）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A、B兩種原料．已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產(chǎn)一噸甲、乙產(chǎn)品可獲得利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（　?。?br />
甲
乙
原料限額
A（噸）
3
2
12
B（噸）
1
2
8
A．12萬元 B．16萬元 C．17萬元 D．18萬元
【分析】設(shè)每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為x，y噸，利潤為z元，然后根據(jù)題目條件建立約束條件，得到目標函數(shù)，畫出約束條件所表示的區(qū)域，然后利用平移法求出z的最大值．
【解答】解：設(shè)每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為x，y噸，利潤為z元，
則，
目標函數(shù)為 z=3x+4y．
作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域（陰影部分）即可行域．
由z=3x+4y得y=﹣x+，
平移直線y=﹣x+由圖象可知當直線y=﹣x+經(jīng)過點B時，直線y=﹣x+的截距最大，
此時z最大，
解方程組，解得，
即B的坐標為x=2，y=3，
∴zmax=3x+4y=6+12=18．
即每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為2，3噸，能夠產(chǎn)生最大的利潤，最大的利潤是18萬元，
故選：D．

【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，建立約束條件和目標函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．
　
12．（5分）設(shè)復數(shù)z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，則y≥x的概率為（　?。?br /> A．+ B．+ C．﹣ D．﹣
【分析】判斷復數(shù)對應(yīng)點圖形，利用幾何概型求解即可．
【解答】解：復數(shù)z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，它的幾何意義是以（1，0）為圓心，1為半徑的圓以及內(nèi)部部分．y≥x的圖形是圖形中陰影部分，如圖：

復數(shù)z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，則y≥x的概率：=．
故選：C．
【點評】本題考查復數(shù)的幾何意義，幾何概型的求法，考查計算能力以及數(shù)形結(jié)合的能力．
　
二.填空題：把答案填寫在答題的橫線上（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．（5分）中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為2015，則該數(shù)列的首項為　5?。?br /> 【分析】由題意可得首項的方程，解方程可得．
【解答】解：設(shè)該等差數(shù)列的首項為a，
由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得2015+a=1010×2
解得a=5
故答案為：5
【點評】本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)，涉及中位數(shù)，屬基礎(chǔ)題．
　
14．（5分）如圖，某港口一天6時到18時的水渠變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin（x+φ）+k．據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為　8?。?br />
【分析】由圖象觀察可得：ymin=﹣3+k=2，從而可求k的值，從而可求ymax=3+k=3+5=8．
【解答】解：∵由題意可得：ymin=﹣3+k=2，
∴可解得：k=5，
∴ymax=3+k=3+5=8，
故答案為：8．
【點評】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．
　
15．（5分）函數(shù)y=xex在其極值點處的切線方程為　y=﹣?。?br /> 【分析】求出極值點，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的方程．
【解答】解：依題解：依題意得y′=ex+xex，
令y′=0，可得x=﹣1，
∴y=﹣．
因此函數(shù)y=xex在其極值點處的切線方程為y=﹣．
故答案為：y=﹣．
【點評】本小題主要考查直線的斜率、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．
　
16．（5分）觀察下列等式：
1﹣=
1﹣+﹣=+
1﹣+﹣+﹣=++
…
據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為　+…+=+…+　．
【分析】由已知可得：第n個等式含有2n項，其中奇數(shù)項為，偶數(shù)項為﹣．其等式右邊為后n項的絕對值之和．即可得出．
【解答】解：由已知可得：第n個等式含有2n項，其中奇數(shù)項為，偶數(shù)項為﹣．其等式右邊為后n項的絕對值之和．
∴第n個等式為：+…+=+…+．
【點評】本題考查了觀察分析猜想歸納求數(shù)列的通項公式方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
　
三.解答題：解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟（共5小題，共70分）
17．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．向量=（a，b）與=（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面積．
【分析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通過正弦定理求解A；
（Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通過余弦定理求出c，然后求解△ABC的面積．
【解答】解：（Ⅰ）因為向量=（a，b）與=（cosA，sinB）平行，
所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因為sinB≠0，
所以tanA=，可得A=；
（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，
△ABC的面積為：=．
【點評】本題考查余弦定理以及正弦定理的應(yīng)用，三角形的面積的求法，考查計算能力．
　
18．（12分）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中點，O是AC與BE的交點．將△ABE沿BE折起到如圖2中△A1BE的位置，得到四棱錐A1﹣BCDE．

（Ⅰ）證明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）當平面A1BE⊥平面BCDE時，四棱錐A1﹣BCDE的體積為36，求a的值．
【分析】（I）運用E是AD的中點，判斷得出BE⊥AC，BE⊥面A1OC，考慮CD∥DE，即可判斷CD⊥面A1OC．
（II）運用好折疊之前，之后的圖形得出A1O是四棱錐A1﹣BCDE的高，平行四邊形BCDE的面積S=BC?AB=a2，運用體積公式求解即可得出a的值．
【解答】解：
（I）在圖1中，
因為AB=BC==a，E是AD的中點，
∠BAD=，
所以BE⊥AC，
即在圖2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，
從而BE⊥面A1OC，
由CD∥BE，
所以CD⊥面A1OC，
（II）即A1O是四棱錐A1﹣BCDE的高，
根據(jù)圖1得出A1O=AB=a，
∴平行四邊形BCDE的面積S=BC?AB=a2，
V==a=a3，
由a=a3=36，得出a=6．
【點評】本題考查了平面立體轉(zhuǎn)化的問題，運用好折疊之前，之后的圖形，對于空間直線平面的位置關(guān)系的定理要很熟練．
　
19．（12分）隨機抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進行統(tǒng)計，結(jié)果如下：
（Ⅰ）在4月份任取一天，估計西安市在該天不下雨的概率；
（Ⅱ）西安市某學校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)2天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率．
日期
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天氣
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陰
晴
晴
晴
陰
晴
晴
晴
晴

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天氣
晴
陰
雨
陰
陰
晴
陰
晴
晴
晴
陰
晴
晴
晴
雨
【分析】（Ⅰ）在4月份任取一天，不下雨的天數(shù)是26，即可估計西安市在該天不下雨的概率；
（Ⅱ）求得4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16個，其中后一天不下雨的有14個，可得晴天的次日不下雨的概率，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（Ⅰ）在4月份任取一天，不下雨的天數(shù)是26，以頻率估計概率，估計西安市在該天不下雨的概率為；
（Ⅱ）稱相鄰的兩個日期為“互鄰日期對”，由題意，4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16個，其中后一天不下雨的有14個，所以晴天的次日不下雨的概率為，
從而估計運動會期間不下雨的概率為．
【點評】本題考查概率的應(yīng)用，考查學生的計算能力，確定基本事件的個數(shù)是關(guān)鍵．
　
20．（12分）如圖，橢圓E：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（0，﹣1），且離心率為．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）經(jīng)過點（1，1），且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q（均異于點A），證明：直線AP與AQ斜率之和為2．

【分析】（Ⅰ）運用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）由題意設(shè)直線PQ的方程為y=k（x﹣1）+1（k≠0），代入橢圓方程+y2=1，運用韋達定理和直線的斜率公式，化簡計算即可得到結(jié)論．
【解答】解：（Ⅰ）由題設(shè)知，=，b=1，
結(jié)合a2=b2+c2，解得a=，
所以+y2=1；
（Ⅱ）證明：由題意設(shè)直線PQ的方程為y=k（x﹣1）+1（k≠0），
代入橢圓方程+y2=1，
可得（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0，
由已知得（1，1）在橢圓外，
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，
則x1+x2=，x1x2=，
且△=16k2（k﹣1）2﹣8k（k﹣2）（1+2k2）＞0，解得k＞0或k＜﹣2．
則有直線AP，AQ的斜率之和為kAP+kAQ=+
=+=2k+（2﹣k）（+）=2k+（2﹣k）?
=2k+（2﹣k）?=2k﹣2（k﹣1）=2．
即有直線AP與AQ斜率之和為2．
【點評】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運用，聯(lián)立直線方程，運用韋達定理，考查直線的斜率公式，屬于中檔題．
　
21．（12分）設(shè)fn（x）=x+x2+…+xn﹣1，x≥0，n∈N，n≥2．
（Ⅰ）求fn′（2）；
（Ⅱ）證明：fn（x）在（0，）內(nèi)有且僅有一個零點（記為an），且0＜an﹣＜（）n．
【分析】（Ⅰ）將已知函數(shù)求導，取x=2，得到fn′（2）；
（Ⅱ）只要證明fn（x）在（0，）內(nèi)有單調(diào)遞增，得到僅有一個零點，然后fn（an）變形得到所求．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，f′n（x）=1+2x+3x2+…+nxn﹣1，
所以，①
則2f′n（2）=2+2×22+3×23+…+n2n，②，
①﹣②得﹣f′n（2）=1+2+22+23+…+2n﹣1﹣n?2n==（1﹣n）2n﹣1，
所以．
（Ⅱ）因為f（0）=﹣1＜0，fn（）=﹣1=1﹣2×≥1﹣2×＞0，
所以fn（x）在（0，）內(nèi)至少存在一個零點，
又f′n（x）=1+2x+3x2+…+nxn﹣1＞0，所以fn（x）在（0，）內(nèi)單調(diào)遞增，
所以fn（x）在（0，）內(nèi)有且僅有一個零點an，由于fn（x）=，
所以0=fn（an）=，
所以，故，
所以0＜．
【點評】本題考查了函數(shù)求導、錯位相減法求數(shù)列的和、函數(shù)的零點判斷等知識，計算比較復雜，注意細心．
　
三.請在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分[選修4-1：幾何證明選講]
22．（10分）如圖，AB切⊙O于點B，直線AO交⊙O于D，E兩點，BC⊥DE，垂足為C．
（Ⅰ）證明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直徑．

【分析】（Ⅰ）根據(jù)直徑的性質(zhì)即可證明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）結(jié)合割線定理進行求解即可求⊙O的直徑．
【解答】證明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直徑，
則∠BED+∠EDB=90°，
∵BC⊥DE，
∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，
∵AB切⊙O于點B，
∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，
則=3，
∵BC=，
∴AB=3，AC=，
則AD=3，
由切割線定理得AB2=AD?AE，
即AE=，
故DE=AE﹣AD=3，
即可⊙O的直徑為3．
【點評】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用和證明，根據(jù)相應(yīng)的定理是解決本題的關(guān)鍵．
　
[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]
23．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，⊙C的極坐標方程為ρ=2sinθ．
（Ⅰ）寫出⊙C的直角坐標方程；
（Ⅱ）P為直線l上一動點，當P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標．
【分析】（I）由⊙C的極坐標方程為ρ=2sinθ．化為ρ2=2，把代入即可得出；．
（II）設(shè)P，又C．利用兩點之間的距離公式可得|PC|=，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出．
【解答】解：（I）由⊙C的極坐標方程為ρ=2sinθ．
∴ρ2=2，化為x2+y2=，
配方為=3．
（II）設(shè)P，又C．
∴|PC|==≥2，
因此當t=0時，|PC|取得最小值2．此時P（3，0）．
【點評】本題考查了極坐標化為直角坐標方程、參數(shù)方程的應(yīng)用、兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
　
[選修4-5：不等式選講]
24．已知關(guān)于x的不等式|x+a|＜b的解集為{x|2＜x＜4}
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）求+的最大值．
【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程組，解方程組可得；
（Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值．
【解答】解：（Ⅰ）關(guān)于x的不等式|x+a|＜b可化為﹣b﹣a＜x＜b﹣a，
又∵原不等式的解集為{x|2＜x＜4}，
∴，解方程組可得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+
=+≤
=2=4，
當且僅當=即t=1時取等號，
∴所求最大值為4
【點評】本題考查不等關(guān)系與不等式，涉及柯西不等式求最值，屬基礎(chǔ)題．
　

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