?2013年陜西省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）
　
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求（本大題共10小題，每小題5分，共50分）
1．（5分）設(shè)全集為R，函數(shù)的定義域為M，則?RM為（　?。?br /> A．[﹣1，1] B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
2．（5分）根據(jù)下列算法語句，當(dāng)輸入x為60時，輸出y的值為（　　）

A．25 B．30 C．31 D．61
3．（5分）設(shè)，為向量，則|?|=||||是“∥”的（　?。?br /> A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（5分）某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法，抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，…，840隨機編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間[481，720]的人數(shù)為（　?。?br /> A．11 B．12 C．13 D．14
5．（5分）如圖，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點處各有一個通信基站，假設(shè)其信號覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF（該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源，基站工作正常）．若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地選一地點，則該地點無信號的概率是（　?。?br />
A． B． C． D．
6．（5分）設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是（　?。?br /> A．若|z1﹣z2|=0，則= B．若z1=，則=z2
C．若|z1|=|z2|，則z1?=z2? D．若|z1|=|z2|，則z12=z22
7．（5分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，則△ABC的形狀為（　?。?br /> A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定
8．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=，則當(dāng)x＞0時，f[f（x）]表達式的展開式中常數(shù)項為（　?。?br /> A．﹣20 B．20 C．﹣15 D．15
9．（5分）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則其邊長x（單位m）的取值范圍是（　?。?br />
A．[15，20] B．[12，25] C．[10，30] D．[20，30]
10．（5分）設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則對任意實數(shù)x，y，有（　?。?br /> A．[﹣x]=﹣[x] B．[2x]=2[x] C．[x+y]≤[x]+[y] D．[x﹣y]≤[x]﹣[y]
　
二、填空題：把答案填寫在答題卡相應(yīng)題號后的橫線上（本大題共4小題，每小題5分，共25分）
11．（5分）雙曲線﹣=1的離心率為，則m等于　 ?。?br /> 12．（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為　 ?。?br />
13．（5分）若點（x，y）位于曲線y=|x﹣1|與y=2所圍成的封閉區(qū)域，則2x﹣y的最小值為　 　．
14．（5分）觀察下列等式：
12=1
12﹣22=﹣3
12﹣22+32=6
12﹣22+32﹣42=﹣10
…
照此規(guī)律，第n個等式可為　 　．
　
選做題：（考生請注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分）
15．（5分）（不等式選做題）
已知a，b，m，n均為正數(shù)，且a+b=1，mn=2，則（am+bn）（bm+an）的最小值為　 　．
16．（幾何證明選做題）
如圖，弦AB與CD相交于⊙O內(nèi)一點E，過E作BC的平行線與AD的延長線相交于點P．已知PD=2DA=2，則PE=　 ?。?br />
17．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）
如圖，以過原點的直線的傾斜角θ為參數(shù)，則圓x2+y2﹣x=0的參數(shù)方程為　 ?。?br />
　
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程及演算步驟（本大題共6小題，共75分）
18．（12分）已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=．
（Ⅰ） 求f（x）的最小正周期．
（Ⅱ） 求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．
19．（12分）設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列．
（Ⅰ）試推導(dǎo){an}的前n項和公式；
（Ⅱ） 設(shè)q≠1，證明數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列．
20．（12分）如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，．
（Ⅰ） 證明：A1C⊥平面BB1D1D；
（Ⅱ） 求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角θ的大?。?br />
21．（12分）在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手（1至5號）登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中隨機選3名歌手．
（Ⅰ） 求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；
（Ⅱ） X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
22．（13分）已知動圓過定點A（4，0），且在y軸上截得的弦MN的長為8．
（Ⅰ） 求動圓圓心的軌跡C的方程；
（Ⅱ） 已知點B（﹣1，0），設(shè)不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線過定點．
23．（14分）已知函數(shù)f（x）=ex，x∈R．
（Ⅰ） 若直線y=kx+1與f （x）的反函數(shù)g（x）=lnx的圖象相切，求實數(shù)k的值；
（Ⅱ） 設(shè)x＞0，討論曲線y=f （x） 與曲線y=mx2（m＞0）公共點的個數(shù)．
（Ⅲ） 設(shè)a＜b，比較與的大小，并說明理由．
　

2013年陜西省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）
參考答案與試題解析
　
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求（本大題共10小題，每小題5分，共50分）
1．（5分）設(shè)全集為R，函數(shù)的定義域為M，則?RM為（　?。?br /> A．[﹣1，1] B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
【分析】求出函數(shù)f（x）的定義域得到集合M，然后直接利用補集概念求解．
【解答】解：由1﹣x2≥0，得﹣1≤x≤1，即M=[﹣1，1]，又全集為R，
所以?RM=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
故選：C．
【點評】本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了補集及其運算，是基礎(chǔ)題．
　
2．（5分）根據(jù)下列算法語句，當(dāng)輸入x為60時，輸出y的值為（　　）

A．25 B．30 C．31 D．61
【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算并輸出分段函數(shù) y=的函數(shù)值．
【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用，
再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：
該程序的作用是計算并輸出分段函數(shù) y=的函數(shù)值．
當(dāng)x=60時，則y=25+0.6（60﹣50）=31，
故選：C．
【點評】算法是新課程中的新增加的內(nèi)容，也必然是新高考中的一個熱點，應(yīng)高度重視．程序填空也是重要的考試題型，這種題考試的重點有：①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出．其中前兩點考試的概率更大．此種題型的易忽略點是：不能準(zhǔn)確理解流程圖的含義而導(dǎo)致錯誤．
　
3．（5分）設(shè)，為向量，則|?|=||||是“∥”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【分析】利用向量的數(shù)量積公式得到 ?=，根據(jù)此公式再看與之間能否互相推出，利用充要條件的有關(guān)定義得到結(jié)論．
【解答】解：∵?=，
若a，b為零向量，顯然成立；
若?cosθ=±1則與的夾角為零角或平角，即，故充分性成立．
而，則與的夾角為為零角或平角，有 ．
因此是的充分必要條件．
故選：C．
【點評】本題考查平行向量與共線向量，以及充要條件，屬基礎(chǔ)題．
　
4．（5分）某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法，抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，…，840隨機編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間[481，720]的人數(shù)為（　?。?br /> A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣方法，從840人中抽取42人，那么從20人抽取1人．從而得出從編號481～720共240人中抽取的人數(shù)即可．
【解答】解：使用系統(tǒng)抽樣方法，從840人中抽取42人，即從20人抽取1人．
所以從編號1～480的人中，恰好抽取=24人，接著從編號481～720共240人中抽取=12人．
故選：B．
【點評】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法，屬于基礎(chǔ)題．
　
5．（5分）如圖，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點處各有一個通信基站，假設(shè)其信號覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF（該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源，基站工作正常）．若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地選一地點，則該地點無信號的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根據(jù)題意，算出扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF的面積之和為，結(jié)合矩形ABCD的面積為2，可得在矩形ABCD內(nèi)且沒有信號的區(qū)域面積為2﹣，再用幾何概型計算公式即可算出所求的概率．
【解答】解：∵扇形ADE的半徑為1，圓心角等于90°
∴扇形ADE的面積為S1=×π×12=
同理可得，扇形CBF的在，面積S2=
又∵長方形ABCD的面積S=2×1=2
∴在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地選一地點，則該地點無信號的概率是
P===1﹣
故選：A．
【點評】本題給出矩形ABCD內(nèi)的兩個扇形區(qū)域內(nèi)有無線信號，求在區(qū)域內(nèi)隨機找一點，在該點處沒有信號的概率，著重考查了幾何概型及其計算方法的知識，屬于基礎(chǔ)題．
　
6．（5分）設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是（　?。?br /> A．若|z1﹣z2|=0，則= B．若z1=，則=z2
C．若|z1|=|z2|，則z1?=z2? D．若|z1|=|z2|，則z12=z22
【分析】題目給出的是兩個復(fù)數(shù)及其模的關(guān)系，兩個復(fù)數(shù)與它們共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系，要判斷每一個命題的真假，只要依據(jù)課本基本概念逐一核對即可得到正確答案．
【解答】解：對（A），若|z1﹣z2|=0，則z1﹣z2=0，z1=z2，所以為真；
對（B）若，則z1和z2互為共軛復(fù)數(shù)，所以為真；
對（C）設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，若|z1|=|z2|，則，
，所以為真；
對（D）若z1=1，z2=i，則|z1|=|z2|為真，而，所以為假．
故選：D．
【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的模，考查了復(fù)數(shù)及其共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系，解答的關(guān)鍵是熟悉課本基本概念，是基本的概念題．
　
7．（5分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，則△ABC的形狀為（　　）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定
【分析】由條件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形狀．
【解答】解：△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，
∵bcosC+ccosB=asinA，則由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，
即 sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形為直角三角形，
故選：B．
【點評】本題主要考查正弦定理以及兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．
　
8．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=，則當(dāng)x＞0時，f[f（x）]表達式的展開式中常數(shù)項為（　?。?br /> A．﹣20 B．20 C．﹣15 D．15
【分析】依題意，可求得f[f（x）]=，利用二項展開式的通項公式即可求得f[f（x）]表達式的展開式中常數(shù)項．
【解答】解：當(dāng)x＞0時，f[f（x）]==的展開式中，常數(shù)項為：=﹣20．
故選：A．
【點評】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．
　
9．（5分）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則其邊長x（單位m）的取值范圍是（　?。?br />
A．[15，20] B．[12，25] C．[10，30] D．[20，30]
【分析】設(shè)矩形的高為y，由三角形相似可得，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300，再由，得y=40﹣x，代入xy≥300得到關(guān)于x的二次不等式，解此不等式即可得出答案．
【解答】解：設(shè)矩形的高為y，由三角形相似得：
，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300，
由，得y=40﹣x，
∴x（40﹣x）≥300，
解得10≤x≤30．
故選：C．
【點評】此題考查一元二次不等式及三角形相似等基本知識，屬于綜合類題目．
　
10．（5分）設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則對任意實數(shù)x，y，有（　　）
A．[﹣x]=﹣[x] B．[2x]=2[x] C．[x+y]≤[x]+[y] D．[x﹣y]≤[x]﹣[y]
【分析】本題考查的是取整函數(shù)問題．在解答時要先充分理解[x]的含義，從而可知針對于選項注意對新函數(shù)的加以分析即可，注意反例的應(yīng)用．
【解答】解：對A，設(shè)x=﹣1.8，則[﹣x]=1，﹣[x]=2，所以A選項為假．
對B，設(shè)x=﹣1.4，[2x]=[﹣2.8]=﹣3，2[x]=﹣4，所以B選項為假．
對C，設(shè)x=y=1.8，對A，[x+y]=[3.6]=3，[x]+[y]=2，所以C選項為假．
故D選項為真．
故選：D．
【點評】本題考查了取整函數(shù)的性質(zhì)，是一道競賽的題目，難度不大．
　
二、填空題：把答案填寫在答題卡相應(yīng)題號后的橫線上（本大題共4小題，每小題5分，共25分）
11．（5分）雙曲線﹣=1的離心率為，則m等于　9　．
【分析】利用雙曲線的離心率計算公式即可得出．
【解答】解：∵雙曲線可得a2=16，b2=m，
又離心率為，則，
解得m=9．
故答案為9．
【點評】熟練掌握雙曲線的離心率計算公式是解題的關(guān)鍵．
　
12．（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為　　．

【分析】利用三視圖判斷幾何體的形狀，然后通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積．
【解答】解：幾何體為圓錐被軸截面分割出的半個圓錐體，底面是半徑為1的半圓，高為2．
所以體積．
故答案為：．
【點評】本題考查幾何體與三視圖的對應(yīng)關(guān)系，幾何體體積的求法，考查空間想象能力與計算能力．
　
13．（5分）若點（x，y）位于曲線y=|x﹣1|與y=2所圍成的封閉區(qū)域，則2x﹣y的最小值為　﹣4　．
【分析】先根據(jù)曲線y=|x﹣1|與y=2所圍成的封閉區(qū)域畫出區(qū)域D，再利用線性規(guī)劃的方法求出目標(biāo)函數(shù)2x﹣y的最大值即可．
【解答】解：如圖，封閉區(qū)域為三角形．
令|x﹣1|=2，解得x1=﹣1，x2=3，
所以三角形三個頂點坐標(biāo)分別為（1，0，），（﹣1，2），（3，2），
把z=2x﹣y變形為y=2x﹣z，則直線經(jīng)過點（﹣1，2）時z取得最小值；
所以zmin=2×（﹣1）﹣2=﹣4，
故2x﹣y在點（﹣1，2）取最小值﹣4．
故答案為：﹣4．

【點評】本題考查簡單線性規(guī)劃以及利用線性規(guī)劃求函數(shù)的最值．屬于基礎(chǔ)題．
　
14．（5分）觀察下列等式：
12=1
12﹣22=﹣3
12﹣22+32=6
12﹣22+32﹣42=﹣10
…
照此規(guī)律，第n個等式可為　?。?br /> 【分析】等式的左邊是正整數(shù)的平方和或差，根據(jù)這一規(guī)律得第n個等式左邊為12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．再分n為奇數(shù)和偶數(shù)討論，結(jié)合分組求和法求和，最后利用字母表示即可．
【解答】解：觀察下列等式：
12=1
12﹣22=﹣3
12﹣22+32=6
12﹣22+32﹣42=﹣10
…
分n為奇數(shù)和偶數(shù)討論：
第n個等式左邊為12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．
當(dāng)n為偶數(shù)時，分組求和（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣1）2﹣n2]=﹣，
當(dāng)n為奇數(shù)時，第n個等式左邊=（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣2）2﹣（n﹣1）2]+n2=﹣+n2=．
綜上，第n個等式為．
故答案為：．
【點評】本題考查規(guī)律型中的數(shù)字變化問題，找等式的規(guī)律時，既要分別看左右兩邊的規(guī)律，還要注意看左右兩邊之間的聯(lián)系．
　
選做題：（考生請注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分）
15．（5分）（不等式選做題）
已知a，b，m，n均為正數(shù)，且a+b=1，mn=2，則（am+bn）（bm+an）的最小值為　2?。?br /> 【分析】利用二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a，b，c，d∈R 均為實數(shù)，則（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立，即可求出（am+bn）（bm+an）的最小值．
【解答】解：根據(jù)二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式：
（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2
可得（am+bn）（bm+an）≥（+）2
=mn（a+b）2
=2×1=2，當(dāng)且僅當(dāng)即m=n時，取得最小值2．
故答案為：2．
【點評】本小題主要考查二維形式的柯西不等式等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題．
　
16．（幾何證明選做題）
如圖，弦AB與CD相交于⊙O內(nèi)一點E，過E作BC的平行線與AD的延長線相交于點P．已知PD=2DA=2，則PE=　　．

【分析】利用已知條件判斷△EPD∽△APE，列出比例關(guān)系，即可求解PE的值．
【解答】解：因為BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，
且在圓中∠BCD=∠BAD?∠PED=∠BAD，
?△EPD∽△APE，∵PD=2DA=2
?
?PE2=PA?PD=3×2=6，
∴PE=．
故答案為：．
【點評】本題考查三角形相似的判斷與性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查計算能力．
　
17．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）
如圖，以過原點的直線的傾斜角θ為參數(shù)，則圓x2+y2﹣x=0的參數(shù)方程為　，θ∈R，且θ≠　．

【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心與半徑，利用三角函數(shù)定義表示出OP，進而表示出x與y，即為圓的參數(shù)方程．
【解答】解：將圓方程化為（x﹣）2+y2=，可得半徑r=，
∴OP=2r?cosθ=cosθ，
∴x=OP?cosθ=cos2θ，y=OP?sinθ=sinθcosθ，
則圓的參數(shù)方程為，θ∈R，且θ≠．
故答案為：，θ∈R，且θ≠
【點評】此題考查了圓的參數(shù)方程，涉及的知識有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，銳角三角函數(shù)定義，以及解直角三角形，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．
　
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程及演算步驟（本大題共6小題，共75分）
18．（12分）已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=．
（Ⅰ） 求f（x）的最小正周期．
（Ⅱ） 求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．
【分析】（Ⅰ）通過向量的數(shù)量積以及二倍角的正弦函數(shù)兩角和的正弦函數(shù)，化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過周期公式，求f （x）的最小正周期．
（Ⅱ） 通過x在[0，]，求出f（x）的相位的范圍，利用正弦函數(shù)的最值求解所求函數(shù)的最大值和最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）==（cosx，﹣）?（sinx，cos2x）
=sinxcosx
=sin（2x﹣）
最小正周期為：T==π．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，]時，2x﹣∈，
由正弦函數(shù)y=sinx在的性質(zhì)可知，sinx，
∴sin（2x﹣），
∴f（x）∈[﹣，1]，
所以函數(shù)f （x）在[0，]上的最大值和最小值分別為：1，﹣．
【點評】本題考查向量的數(shù)量積以及兩角和的三角函數(shù)，二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的值域的應(yīng)用，考查計算能力．
　
19．（12分）設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列．
（Ⅰ）試推導(dǎo){an}的前n項和公式；
（Ⅱ） 設(shè)q≠1，證明數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列．
【分析】（I）分q=1與q≠1兩種情況討論，當(dāng)q≠1，0時，利用錯位相減法即可得出；
（II）分①當(dāng)存在n∈N*，使得an+1=0成立時，顯然不成立；②當(dāng)?n∈N*（n≥2），使得an+1≠0成立時，使用反證法即可證明．
【解答】解：（I）當(dāng)q=1時，Sn=na1；
當(dāng)q≠0，1時，由Sn=a1+a2+…+an，
得qSn=a1q+a2q+…+an﹣1q+anq．
兩式錯位相減得（1﹣q）Sn=a1+（a2﹣a1q）+…+（an﹣an﹣1q）﹣anq，（*）
由等比數(shù)列的定義可得，
∴a2﹣a1q=a3﹣a2q=…=0．
∴（*）化為（1﹣q）Sn=a1﹣anq，
∴．
∴；
（Ⅱ）用反證法：設(shè){an}是公比為q≠1的等比數(shù)列，數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列．
①當(dāng)存在n∈N*，使得an+1=0成立時，數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列．
②當(dāng)?n∈N*（n≥2），使得an+1≠0成立時，則==，
化為（qn﹣1﹣1）（q﹣1）=0，
∵q≠1，∴q﹣1≠0，qn﹣1﹣1≠0，故矛盾．
綜上兩種情況：假設(shè)不成立，故原結(jié)論成立．
【點評】本題綜合考查了等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式、錯位相減法、反證法等基礎(chǔ)知識與基本方法，需要較強的推理能力和計算能力．
　
20．（12分）如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，．
（Ⅰ） 證明：A1C⊥平面BB1D1D；
（Ⅱ） 求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角θ的大?。?br />
【分析】（Ⅰ）要證明A1C⊥平面BB1D1D，只要證明A1C垂直于平面BB1D1D內(nèi)的兩條相交直線即可，由已知可證出A1C⊥BD，取B1D1的中點為E1，通過證明四邊形A1OCE1為正方形可證A1C⊥E1O．由線面垂直的判定定理問題得證．
（Ⅱ）以O(shè)為原點，分別以O(shè)B，OC，OA1所在直線為x，y，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出平面OCB1與平面BB1D1D的法向量，利用法向量所成的角求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角θ的大?。?br /> 【解答】（Ⅰ）證明：∵A1O⊥面ABCD，且BD?面ABCD，∴A1O⊥BD；
又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，A1O∩AC=O，
∴BD⊥面A1AC，且A1C?面A1AC，故A1C⊥BD．
在正方形ABCD中，∵，∴AO=1，
在Rt△A1OA中，∵，∴A1O=1．
設(shè)B1D1的中點為E1，則四邊形A1OCE1為正方形，∴A1C⊥E1O．
又BD?面BB1D1D，且E10?面BB1D1D，且BD∩E1O=O，
∴A1C⊥面BB1D1D；
（Ⅱ）解：以O(shè)為原點，分別以O(shè)B，OC，OA1所在直線為x，y，Z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，1，1），
．
由（Ⅰ）知，平面BB1D1D的一個法向量，
，．
設(shè)平面OCB1的法向量為，
由，得，取z=﹣1，得x=1．
∴．
則=．
所以，平面OCB1與平面BB1D1D的夾角θ為．

【點評】本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法考查了利用向量求二面角的平面角，解答的關(guān)鍵是建立正確的空間右手系，是中檔題．
　
21．（12分）在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手（1至5號）登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中隨機選3名歌手．
（Ⅰ） 求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；
（Ⅱ） X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【分析】（I）設(shè)事件A表示：“觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手”，觀眾甲選中3號歌手的概率為，觀眾乙未選中3號歌手的概率為1﹣=，利用互斥事件的概率公式，即可求得結(jié)論；
（II）由題意，X可取0，1，2，3，求出相應(yīng)的概率，即可得到X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)事件A表示：“觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手”，
觀眾甲選中3號歌手的概率為，觀眾乙未選中3號歌手的概率為1﹣=，
∴P（A）=，
∴觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率為；
（Ⅱ） X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，則X可取0，1，2，3．
觀眾甲選中3號歌手的概率為，觀眾乙選中3號歌手的概率為，
當(dāng)觀眾甲、乙、丙均未選中3號歌手時，這時X=0，P（X=0）=（1﹣）（1﹣）2=，
當(dāng)觀眾甲、乙、丙只有一人選中3號歌手時，這時X=1，
P（X=1）=（1﹣）2+（1﹣）（1﹣）+（1﹣）（1﹣）=，
當(dāng)觀眾甲、乙、丙只有二人選中3號歌手時，這時X=2，
P（X=2）=?（1﹣）+（1﹣）?+（1﹣）=，
當(dāng)觀眾甲、乙、丙都選中3號歌手時，這時X=3，
P（X=3）=?（）2=，
X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P




∴數(shù)學(xué)期望EX=0×+1×+2×+3×=．
【點評】本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與期望，解題的關(guān)鍵是確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率．
　
22．（13分）已知動圓過定點A（4，0），且在y軸上截得的弦MN的長為8．
（Ⅰ） 求動圓圓心的軌跡C的方程；
（Ⅱ） 已知點B（﹣1，0），設(shè)不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線過定點．
【分析】（Ⅰ）設(shè)圓心C（x，y），過點C作CE⊥y 軸，垂足為E，利用垂徑定理可得|ME|=|MN|，
又|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，利用兩點間的距離公式即可得出．
（Ⅱ）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），由題意可知y1+y2≠0，y1y2＜0.，．利用角平分線的性質(zhì)可得kPB=﹣kQB，可化為化為8+y1y2=0．又直線PQ的方程為，代入化簡整理為y（y1+y2）+8=8x，令y=0，則x=1即可得到定點．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)圓心C（x，y）（x≠0），過點C作CE⊥y 軸，垂足為E，則|ME|=|MN|，
∴|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，
∴（x﹣4）2+y2=42+x2，化為y2=8x．
當(dāng)x=0時，也滿足上式．
∴動圓圓心的軌跡C的方程為y2=8x．
（Ⅱ）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），
由題意可知y1+y2≠0，y1y2＜0.，．
∵x軸是∠PBQ的角平分線，∴kPB=﹣kQB，
∴，∴，化為8+y1y2=0．
直線PQ的方程為，
∴，化為，
化為，
y（y1+y2）+8=8x，令y=0，則x=1，
∴直線PQ過 定點（1，0）

【點評】本題綜合考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、垂徑定理、兩點間的距離公式、直線與拋物線相交問題、直線方程及過定點問題、斜率計算公式等基礎(chǔ)知識，考查了推理能力、數(shù)形結(jié)合的思想方法、計算能力、分析問題和解決問題的能力，屬于難題．
　
23．（14分）已知函數(shù)f（x）=ex，x∈R．
（Ⅰ） 若直線y=kx+1與f （x）的反函數(shù)g（x）=lnx的圖象相切，求實數(shù)k的值；
（Ⅱ） 設(shè)x＞0，討論曲線y=f （x） 與曲線y=mx2（m＞0）公共點的個數(shù)．
（Ⅲ） 設(shè)a＜b，比較與的大小，并說明理由．
【分析】（I）先求出其反函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出切線的斜率即可；
（II）由f（x）=mx2，令h（x）=，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性即可得出；
（III）利用作差法得 ===，令g（x）=x+2+（x﹣2）ex（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可證明．
【解答】解：（I）函數(shù)f（x）=ex的反函數(shù)為g（x）=lnx，∴．
設(shè)直線y=kx+1與g（x）的圖象相切于點P（x0，y0），則，解得，k=e﹣2，
∴k=e﹣2．
（II）當(dāng)x＞0，m＞0時，令f（x）=mx2，化為m=，
令h（x）=，則，
則x∈（0，2）時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；x∈（2，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=2時，h（x）取得極小值即最小值，．
∴當(dāng)時，曲線y=f （x） 與曲線y=mx2（m＞0）公共點的個數(shù)為0；
當(dāng)時，曲線y=f （x） 與曲線y=mx2（m＞0）公共點的個數(shù)為1；
當(dāng)時，曲線y=f （x） 與曲線y=mx2（m＞0）公共點個數(shù)為2．
（Ⅲ） =
=
=，
令g（x）=x+2+（x﹣2）ex（x＞0），則g′（x）=1+（x﹣1）ex．
g′′（x）=xex＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且g′（0）=0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，有g(shù)（x）＞g（0）=0．
∵當(dāng)x＞0時，g（x）=x+2+（x﹣2）?ex＞0，且a＜b，
∴，
即當(dāng)a＜b時，．
【點評】本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究切線、單調(diào)性、方程得根的個數(shù)、比較兩個實數(shù)的大小等基礎(chǔ)知識，考查了分類討論的思想方法、轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，考查了推理能力和計算能力．
　

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