8.2.1 一元線性回歸模型
（1）結(jié)合具體實(shí)例，通過(guò)分析變量間的關(guān)系建立一元線性回歸模型；（2）能說(shuō)明模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，提高數(shù)據(jù)分析能力.
重點(diǎn)：一元線性回歸模型的概念，隨機(jī)誤差的概念、表示與假設(shè).難點(diǎn)：回歸模型與函數(shù)模型的區(qū)別，隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因與影響.
問(wèn)題1：生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，兒子的身高與父親的身高相關(guān).一般來(lái)說(shuō)，父親的身高較高時(shí)，兒子的身高通常也較高.為了進(jìn)一步研究?jī)烧咧g的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如表1所示.
可以發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兒子身高和父親身高線性相關(guān).利用統(tǒng)計(jì)軟件，求得樣本相關(guān)系數(shù)為r≈0.886，表明兒子身高和父親身高正線性相關(guān)，且相關(guān)程度較高。
問(wèn)題2：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，兒子身高和父親身高這兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型刻畫嗎？
列表法是函數(shù)的一種表示方法，但并不是所有列表表示的數(shù)據(jù)都是函數(shù)關(guān)系，要成為函數(shù)關(guān)系必須滿足函數(shù)的定義，即應(yīng)滿足“集合A中的任意一個(gè)數(shù)，在集合B中都存在唯一的數(shù)與它對(duì)應(yīng)”.
表中的數(shù)據(jù)，存在父親身高相同而兒子身高不同的情況.例如，第6個(gè)和第8個(gè)觀測(cè)父親的身高均為172cm，而對(duì)應(yīng)的兒子的身高為176cm和174cm；同樣在第3，4個(gè)觀測(cè)中，兒子的身高都是170cm，而父親的身高分別為173cm，169cm.可見(jiàn)兒子的身高不是父親身高的函數(shù)同樣父親的身高也不是兒子身高的函數(shù)，所以不能用函數(shù)模型來(lái)刻畫.
問(wèn)題3：從成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和樣本相關(guān)系數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)大致分布在一條直線附近表明兒子身高和父親身高有較強(qiáng)的線性關(guān)系.我們可以這樣理解，由于有其他因素的存在，使兒子身高和父親身高有關(guān)系但不是函數(shù)關(guān)系.那么影響兒子身高的其他因素是什么？
影響兒子身高的因素除父親的身外，還有母親的身高、生活的環(huán)境、飲食習(xí)慣、營(yíng)養(yǎng)水平、體育鍛煉等隨機(jī)的因素，兒子身高是父親身高的函數(shù)的原因是存在這些隨機(jī)的因素.
問(wèn)題4：由問(wèn)題3我們知道，正是因?yàn)榇嬖谶@些隨機(jī)的因素，使得兒子的身高呈現(xiàn)出隨機(jī)性各種隨機(jī)因素都是獨(dú)立的，有些因素又無(wú)法量化.你能否考慮到這些隨機(jī)因素的作用，用類似于函數(shù)的表達(dá)式，表示兒子身高與父親身高的關(guān)系嗎？
如果用x表示父親身高，Y表示兒子的身高，用e表示各種其他隨機(jī)因素影響之和，稱e為隨機(jī)誤差，由于兒子身高與父親身高線性相關(guān)，所以Y=bx+a.
追問(wèn)1：為什么要假設(shè)E(e）=0，而不假設(shè)其為某個(gè)不為0的常數(shù)？
因?yàn)檎`差是隨機(jī)的，即取各種正負(fù)誤差的可能性一樣，所以它們均值的理想狀態(tài)應(yīng)該為0.
我們稱①式為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型．其中， Y稱為因變量或響應(yīng)變量， x稱為自變量或解釋變量．a(chǎn)稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差．
問(wèn)題5：請(qǐng)根據(jù)以上的分析，你能建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型表示兒子身高與父親身高的關(guān)系嗎？
追問(wèn)1：你能結(jié)合父親與兒子身高的實(shí)例，說(shuō)明回歸模型①的意義？
問(wèn)題6：你能結(jié)合具體實(shí)例解釋產(chǎn)生模型①中隨機(jī)誤差項(xiàng)的原因嗎？
（1）除父親身高外，其他可能影響兒子身高的因素，比如母親身高、生活環(huán)境、飲食習(xí)慣和鍛煉時(shí)間等.
（2）在測(cè)量?jī)鹤由砀邥r(shí)，由于測(cè)量工具、測(cè)量精度所產(chǎn)生的測(cè)量誤差.
（3）實(shí)際問(wèn)題中，我們不知道兒子身高和父親身高的相關(guān)關(guān)系是什么，可以利用一元線性回歸模型來(lái)近似這種關(guān)系，這種近似關(guān)系也是產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因.
產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因有：

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8.2 一元線性回歸模型及其應(yīng)用

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