1.通過用數(shù)學方法刻畫散點與直線接近的程度，體會一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計原理，能推導參數(shù)估計公式，發(fā)展數(shù)學運算能力.2.通過對殘差和殘差圖的分析，能用殘差判斷一元線性回歸模型的有效性，發(fā)展數(shù)據(jù)分析能力.
重點：一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計.難點：參數(shù)估計值公式的推導，利用殘差分析回歸模型.
參數(shù)a和b刻畫了變量Y與變量x的線性關(guān)系，因此通過樣本數(shù)據(jù)估計這兩個參數(shù)，相當于尋找一條適當?shù)闹本€，使表示成對樣本數(shù)據(jù)的這些散點在整體上與這條直線最接近.
與函數(shù)模型不同，回歸模型的參數(shù)一般是無法精確求出的，只能通過成對樣本數(shù)據(jù)估計這兩個參數(shù)。
追問1：我們怎樣尋找一條“最好”的直線，使得表示成對樣本數(shù)據(jù)的這些散點在整體上與這條直線最“接近”？
目標：從成對樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，用數(shù)學的方法刻畫“從整體上看，各散點與直線最接近”
利用點到直線y=bx+a的“距離”來刻畫散點與該直線的接近程度，然后用所有“距離”之和刻畫所有樣本觀測數(shù)據(jù)與該直線的接近程度.
由yi=bxi+a+ei（i=1，2，…，n)，得|yi一(bxi+a)|=|ei|.顯然|ei|越小，表示點(xi，yi）與點（xi，bxi十a(chǎn)）的“距離”越小，即樣本數(shù)據(jù)點離直線y=bx+a的豎直距離越小。特別地，當ei=0時，表示點(xi，yi）在這條直線上.
我們設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個變量的n對樣本數(shù)據(jù)為(x1，y1)，(x2，y2），…，(xn，yn)
求a，b的值，使Q（a，b）最小
上式是關(guān)于b的二次函數(shù)，因此要使Q取得最小值，當且僅當b的取值為
我們將 稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線，這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫最小二乘法．
問題2：利用上節(jié)課的數(shù)據(jù)，依據(jù)用最小二乘估計一元線性回歸模型參數(shù)的公式，求出兒子身高Y關(guān)于父親身高x的經(jīng)驗回歸方程。
兒子的身高不一定會是177cm，這是因為還有其他影響兒子身高的因素，回歸模型中的隨機誤差清楚地表達了這種影響，父親的身高不能完全決定兒子的身高，不過，我們可以作出推測，當父親的身高為176cm時，兒子身高一般在177cm左右.
追問3：根據(jù)模型，父親身高為多少時，長大成人的兒子的平均身高與父親身高一樣？你怎么看這個判斷？
問題3：兒子身高與父親身高的關(guān)系，運用殘差分析所得的一元線性回歸模型的有效性嗎？
殘差圖：作圖時縱坐標 為殘差,橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．
從上面的殘差圖可以看出，殘差有正有負，殘差點比較均勻地分布在橫軸的兩邊，可以判斷樣本數(shù)據(jù)基本滿足一元線性回歸模型對于隨機誤差的假設(shè)。所以，通過觀察殘差圖可以直觀判斷樣本數(shù)據(jù)是否滿足一元線性回歸模的假設(shè)，從而判斷回歸模型擬合的有效性。
一般地，建立經(jīng)驗回歸方程后，通常需要對模型刻畫數(shù)據(jù)的效果進行分析.借助殘差分析還可以對模型進行改進，使我們能根據(jù)改進模型作出更符合實際的預測與決策.
追問1：觀察以下四幅殘差圖，你認為哪一個殘差滿足一元線性回歸模型中對隨機誤差的假定？
圖（1）顯示殘差與觀測時間有線性關(guān)系，應將時間變量納入模型；圖（2）顯示殘差與觀測時間有非線性關(guān)系，應在模型中加入時間的非線性函數(shù)部分；圖（3）說明殘差的方差不是一個常數(shù)，隨觀測時間變大而變大；圖（4）的殘差比較均勻地集中在以橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi).
所以，只有圖(4）滿足一元線性回歸模型對隨機誤差的假設(shè)。

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高中數(shù)學人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊電子課本

8.2 一元線性回歸模型及其應用

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第三冊

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