?2020-2021學(xué)年吉林省白城市大安市八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
一.選擇題（每小題2分，共12分）
1．（2分）下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
2．（2分）小明有兩根3cm、7cm的木棒，他想以這兩根木棒為邊做一個三角形，還需再選用的木棒長為（　　）
A．3cm B．4cm C．9cm D．10cm
3．（2分）如圖，△ABC中，∠C＝80°，若沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2＝（　?。?br />
A．360° B．260° C．180° D．140°
4．（2分）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，則∠A+∠P＝（　?。?br />
A．70° B．80° C．90° D．100°
5．（2分）下列等式從左到右變形正確的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2分）某河兩地相距s千米，船在靜水中的速度為a千米/時，水流速度為b千米/時，船往返一次所用的時間為（　?。┬r
A． B． C．+ D．+
二、填空題（每小題3分，共24分）
7．（3分）如圖，李叔叔家的凳子壞了，于是他給凳子加了兩根木條，這樣凳子就比較牢固了，他所應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理是　 ?。?br />
8．（3分）一個氧原子的直徑為0.000000000148m，用科學(xué)記數(shù)法表示為　 　m．
9．（3分）多邊形每一個內(nèi)角都等于108°，多邊形一個頂點可引出的對角線的條數(shù)是　 　條．
10．（3分）若3x＝4，9y＝7，則3x﹣2y的值為　 ?。?br /> 11．（3分）如果25x2+mxy+9y2是一個完全平方式，則m的值為　 　．
12．（3分）如圖，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，若AD⊥BD于點D，則AD的長為　 ?。?br />
13．（3分）如圖，小明從A點出發(fā)，沿直線前進(jìn)12米后向左轉(zhuǎn)36°，再沿直線前進(jìn)12米，又向左轉(zhuǎn)36°…照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點時，一共走了　 　米．

14．（3分）一組按規(guī)律排列的式子：，，，，，其中第8個式子是　 　，第n個式子是　 ?。ㄓ煤膎式子表示，n為正整數(shù)）．
三.解答題（每小題5分，共20分）
15．（5分）如果一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍還多180°，那么這個多邊形的邊數(shù)是多少？
16．（5分）解方程：+＝3．
17．（5分）因式分解：a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
18．（5分）如圖，已知點D、E、F分別是△ABC的三邊上的點，CE＝BF，且△DCE的面積與△DBF的面積相等．求證：AD平分∠BAC．

四、解答題（每小題7分，共28分）
19．（7分）先化簡，再求值：，其中x的值從不等式組的整數(shù)解中選?。?br /> 20．（7分）如圖，已知△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A（﹣2，3）、B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）將△ABC向右平移5個單位，再向下平移4個單位得△A1B1C1，圖中畫出△A1B1C1，平移后點A的對應(yīng)點A1的坐標(biāo)是　 　．
（2）將△ABC沿x軸翻折△A2BC，圖中畫出△A2BC，翻折后點A對應(yīng)點A2坐標(biāo)是　 ?。?br /> （3）將△ABC向左平移2個單位，則△ABC掃過的面積為　 ?。?br />
21．（7分）如圖，邊長分別為a，b的兩個正方形并排放在一起，請計算圖中陰影部分面積，并求出當(dāng)a+b＝16，ab＝60時陰影部分的面積．

22．（7分）已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．
求證：AC﹣AB＝2BE．

五.解答題（每小題8分，共16分）
23．（8分）甲、乙兩同學(xué)的家與學(xué)校的距離均為3000米．甲同學(xué)先步行600米，然后乘公交車去學(xué)校、乙同學(xué)騎自行車去學(xué)校．已知甲步行速度是乙騎自行車速度的，公交車的速度是乙騎自行車速度的2倍．甲乙兩同學(xué)同時從家發(fā)去學(xué)校，結(jié)果甲同學(xué)比乙同學(xué)早到2分鐘．
（1）求乙騎自行車的速度；
（2）當(dāng)甲到達(dá)學(xué)校時，乙同學(xué)離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？
24．（8分）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE＝AD，請根據(jù)小明的方法思考：

（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是　 　
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范圍是　 　
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【方法感悟】
解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．
【問題解決】
（3）如圖2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C＝∠BAE．
六.解答題（每小題10分，共20分）
25．（10分）華昌中學(xué)開學(xué)初在金利源商場購進(jìn)A、B兩種品牌的足球，購買A品牌足球花費了2500元，購買B品牌足球花費了2000元，且購買A品牌足球數(shù)量是購買B品牌足球數(shù)量的2倍，已知購買一個B品牌足球比購買一個A品牌足球多花30元．
（1）求購買一個A品牌、一個B品牌的足球各需多少元？
（2）華昌中學(xué)響應(yīng)習(xí)總書記“足球進(jìn)校園”的號召，決定兩次購進(jìn)A、B兩種品牌足球共50個，恰逢金利源商場對兩種品牌足球的售價進(jìn)行調(diào)整，A品牌足球售價比第一次購買時提高了8%，B品牌足球按第一次購買時售價的9折出售，如果這所中學(xué)此次購買A、B兩種品牌足球的總費用不超過3260元，那么華昌中學(xué)此次最多可購買多少個B品牌足球？
26．（10分）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．
（Ⅰ）若設(shè)AP＝x，則PC＝　 　，QC＝　 ??；（用含x的代數(shù)式表示）
（Ⅱ）當(dāng)∠BQD＝30°時，求AP的長；
（Ⅲ）在運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由．


2020-2021學(xué)年吉林省白城市大安市八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一.選擇題（每小題2分，共12分）
1．（2分）下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義判斷即可．
【解答】解：A、是軸對稱圖形，不符合題意；
B、不是軸對稱圖形，符合題意；
C、是軸對稱圖形，不符合題意；
D、是軸對稱圖形，不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查軸對稱圖形、中心對稱圖形的定義，解題的關(guān)鍵是理解軸對稱圖形的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
2．（2分）小明有兩根3cm、7cm的木棒，他想以這兩根木棒為邊做一個三角形，還需再選用的木棒長為（　?。?br /> A．3cm B．4cm C．9cm D．10cm
【分析】易得第三邊的取值范圍，看選項中哪個在范圍內(nèi)即可．
【解答】解：7﹣3＝4，7+3＝10，因而4＜第三根木棒＜10，只有C中的7滿足．
故選：C．
【點評】考查了三角形的三邊關(guān)系，已知三角形的兩邊，則第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．
3．（2分）如圖，△ABC中，∠C＝80°，若沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2＝（　　）

A．360° B．260° C．180° D．140°
【分析】先利用三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，得出∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4），再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．
【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，
即∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4）＝80°+180°＝260°．
故選：B．

【點評】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．
4．（2分）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，則∠A+∠P＝（　　）

A．70° B．80° C．90° D．100°
【分析】根據(jù)角平分線的定義以及一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，可求出∠A的度數(shù)，根據(jù)補角的定義求出∠ACB的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出∠P的度數(shù)，即可求出結(jié)果．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，
∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
∴∠A+∠P＝90°，
故選：C．
【點評】本題考查了角平分線的定義，一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和以及補角的定義以及三角形的內(nèi)角和為180°，難度適中．
5．（2分）下列等式從左到右變形正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)分式的分子分母都乘或除以同一個不為零的整式，分式的值不變，可得答案．
【解答】解：A 分子分母加減，分式的值改變，故A錯誤；
B 當(dāng)a＝0時分式無意義，故B錯誤；
C 當(dāng)a＝0時分式無意義，故C錯誤；
D分式的分子分母都乘或除以同一個不為零的整式，分式的值不變，故D正確，
故選：D．
【點評】本題考查了分式的性質(zhì)，分式的分子分母都乘或除以同一個不為零的整式，分式的值不變．
6．（2分）某河兩地相距s千米，船在靜水中的速度為a千米/時，水流速度為b千米/時，船往返一次所用的時間為（　　）小時
A． B． C．+ D．+
【分析】先分別表示出船順流航行的速度和船逆流航行的速度，再根據(jù)時間＝列出式子，求出船順流航行的時間和船逆流航行的時間，即可得出答案．
【解答】解：∵船在靜水中的速度為a千米/時，水流速度為b千米/時，
∴船順流航行的速度是：（a+b）千米/時，船逆流航行的速度是：（a﹣b）千米/時，
∵兩地相距s千米，
∴船順流航行的時間是小時，船逆流航行的時間是小時，
∴船往返一次所用的時間為+小時；
故選：D．
【點評】此題考查了列代數(shù)式，關(guān)鍵是求出船順流航行的時間和船逆流航行的時間，掌握時間＝．
二、填空題（每小題3分，共24分）
7．（3分）如圖，李叔叔家的凳子壞了，于是他給凳子加了兩根木條，這樣凳子就比較牢固了，他所應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理是　三角形的穩(wěn)定性　．

【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進(jìn)行解答．
【解答】解：給凳子加了兩根木條之后形成了三角形，所以“這樣凳子就比較牢固了”的數(shù)學(xué)原理是：三角形的穩(wěn)定性，
故答案為：三角形的穩(wěn)定性．
【點評】此題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，是需要記憶的知識．
8．（3分）一個氧原子的直徑為0.000000000148m，用科學(xué)記數(shù)法表示為　1.48×10﹣10　m．
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值是易錯點，由于0.000000000148有10個0，所以可以確定n＝﹣10．
【解答】解：0.000 000 000 148＝1.48×10﹣10．
故答案為：1.48×10﹣10．
【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)的方法，準(zhǔn)確確定n值是關(guān)鍵．
9．（3分）多邊形每一個內(nèi)角都等于108°，多邊形一個頂點可引出的對角線的條數(shù)是　2　條．
【分析】先求出每一外角的度數(shù)是72°，然后根據(jù)多邊形的邊數(shù)＝360°÷72°求出邊數(shù)，再根據(jù)從n邊形的一個頂點出發(fā)可引（n﹣3）條對角線求解即可．
【解答】解：180°﹣108°＝72°，
360°÷72°＝5，
則從這個多邊形的一個頂點可以引出對角線的條數(shù)是5﹣3＝2．
故答案為：2．
【點評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系，求出每一個外角的度數(shù)是關(guān)鍵，另外多邊形的對角線條數(shù)的兩個公式也需要熟記．
10．（3分）若3x＝4，9y＝7，則3x﹣2y的值為　?。?br /> 【分析】根據(jù)3x﹣2y＝3x÷32y＝3x÷9y即可代入求解．
【解答】解：3x﹣2y＝3x÷32y＝3x÷9y＝．
故答案是：．
【點評】本題考查了同底數(shù)的冪的除法運算，正確理解3x﹣2y＝3x÷32y＝3x÷9y是關(guān)鍵．
11．（3分）如果25x2+mxy+9y2是一個完全平方式，則m的值為　±30?。?br /> 【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出k的值．
【解答】解：∵25x2+mxy+9y2是一個完全平方式，
∴m＝±2×5×3＝±30．
故答案為：±30．
【點評】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，若AD⊥BD于點D，則AD的長為　5cm　．

【分析】根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠B＝∠BAC，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式求出∠ACD＝30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答即可．
【解答】解：∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC＝15°，
∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝15°+15°＝30°，
∵AD⊥BC，
∴AD＝AC＝×10＝5（cm）．
故答案為：5cm．
【點評】本題考查了等邊對等角的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．（3分）如圖，小明從A點出發(fā)，沿直線前進(jìn)12米后向左轉(zhuǎn)36°，再沿直線前進(jìn)12米，又向左轉(zhuǎn)36°…照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點時，一共走了　120　米．

【分析】根據(jù)題意多邊形的外角和為360°，由題意得到小明運動的軌跡為正10邊形的周長，求出即可．
【解答】解：由題意得：360°÷36°＝10，
則他第一次回到出發(fā)地A點時，一共走了12×10＝120（米）．
故答案為：120．
【點評】此題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟練掌握多邊形的外角和定理是解本題的關(guān)鍵．
14．（3分）一組按規(guī)律排列的式子：，，，，，其中第8個式子是　　，第n個式子是?。ī?）n+1?　（用含的n式子表示，n為正整數(shù)）．
【分析】觀察分母的變化為a的1次冪、3次冪、5次冪…2n﹣1次冪；分子的變化為：2、5、10、17…n2+1；分式符號的變化為：+、﹣、+、﹣…（﹣1）n+1．
【解答】解：∵＝（﹣1）2?，
﹣＝（﹣1）3?，
＝（﹣1）4?，
…
∴第8個式子是，
第n個式子為：（﹣1）n+1?．
故答案是：；（﹣1）n+1?．
【點評】本題考查學(xué)生通過觀察、歸納、抽象出數(shù)列的規(guī)律的能力，要求學(xué)生首先分析題意，找到規(guī)律，并進(jìn)行推導(dǎo)得出答案．
三.解答題（每小題5分，共20分）
15．（5分）如果一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍還多180°，那么這個多邊形的邊數(shù)是多少？
【分析】多邊形的內(nèi)角和比外角和的3倍多180°，而多邊形的外角和是360°，則內(nèi)角和是1260度．n邊形的內(nèi)角和可以表示成（n﹣2）?180°，設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，就得到方程，從而求出邊數(shù)．
【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得
（n﹣2）?180＝360×3+180，
解得：n＝9．
則這個多邊形的邊數(shù)是9．
【點評】考查了多邊形內(nèi)角與外角，此題要結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式尋求等量關(guān)系，構(gòu)建方程即可求解．
16．（5分）解方程：+＝3．
【分析】因為2x﹣2＝2（x﹣1），1﹣x＝﹣（x﹣1），所以方程最簡公分母為：2（x﹣1），故方程同乘以最簡公分母化為整式方程求解．
【解答】解：方程兩邊同乘以2（x﹣1），
得：3﹣2＝6（x﹣1），
整理得：1＝6x﹣6，
解得：x＝．
經(jīng)檢驗：x＝是原方程的解．
【點評】（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要驗根．
17．（5分）因式分解：a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【分析】直接提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝（x﹣y）（a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）．
故答案為：（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）．
【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運用乘法公式是解題關(guān)鍵．
18．（5分）如圖，已知點D、E、F分別是△ABC的三邊上的點，CE＝BF，且△DCE的面積與△DBF的面積相等．求證：AD平分∠BAC．

【分析】過D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，利用面積可得DM＝DN，再利用角平分線的判定方法可得AD平分∠BAC．
【解答】證明：過D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵△DCE的面積與△DBF的面積相等，
∴＝，
∵CE＝BF，
∴DM＝DN，
∴AD平分∠BAC．

【點評】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握角平分線的判定定理．
四、解答題（每小題7分，共28分）
19．（7分）先化簡，再求值：，其中x的值從不等式組的整數(shù)解中選取．
【分析】直接將括號里面通分化簡，進(jìn)而利用分式混合運算法則計算，進(jìn)而解不等式組，得出符合題意的x的值，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：
＝[﹣1]×
＝（﹣）×
＝×
＝﹣，
解不等式組得：
﹣1≤x＜，
當(dāng)x＝2時，原式＝﹣＝﹣2．
【點評】此題主要考查了分式的混合運算以及不等式組的解法，正確化簡分式是解題關(guān)鍵．
20．（7分）如圖，已知△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A（﹣2，3）、B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）將△ABC向右平移5個單位，再向下平移4個單位得△A1B1C1，圖中畫出△A1B1C1，平移后點A的對應(yīng)點A1的坐標(biāo)是　（3，﹣1）　．
（2）將△ABC沿x軸翻折△A2BC，圖中畫出△A2BC，翻折后點A對應(yīng)點A2坐標(biāo)是?。ī?，﹣3）?。?br /> （3）將△ABC向左平移2個單位，則△ABC掃過的面積為　13.5?。?br />
【分析】（1）直接利用平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進(jìn)而得出答案；
（2）利用關(guān)于x軸對稱點的性質(zhì)進(jìn)而得出對應(yīng)點位置；
（3）利用平移的性質(zhì)可得△ABC掃過的面積為△A′B′C′+平行四邊形A′C′CA的面積．
【解答】解：（1）如圖所示：△A1B1C1，即為所求，平移后點A的對應(yīng)點A1的坐標(biāo)是：（3，﹣1）；
故答案為：（3，﹣1）；

（2）如圖所示：△A2BC，即為所求，翻折后點A對應(yīng)點A2坐標(biāo)是：（﹣2，﹣3）；
故答案為：（﹣2，﹣3）；

（3）將△ABC向左平移2個單位，則△ABC掃過的面積為：
S△A′B′C′+S平行四邊形A′C′CA
＝×3×5+2×3
＝13.5．
故答案為：13.5．

【點評】此題主要考查了平移變換以及三角形面積求法，正確得出平移后對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵．
21．（7分）如圖，邊長分別為a，b的兩個正方形并排放在一起，請計算圖中陰影部分面積，并求出當(dāng)a+b＝16，ab＝60時陰影部分的面積．

【分析】陰影部分面積＝兩個正方形面積減去兩個直角三角形面積，整理后將a+b與ab的值代入計算即可求出值．
【解答】解：根據(jù)題意得：S陰影部分＝a2+b2﹣b2﹣a（a+b）
＝a2+b2﹣a2﹣ab﹣b2
＝（a2+b2﹣ab）
＝[（a+b）2﹣3ab]，
把a+b＝16，ab＝60代入得：S陰影部分＝38．
故圖中陰影部分的面積為38．
【點評】此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
22．（7分）已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．
求證：AC﹣AB＝2BE．

【分析】延長BE交AC于M，利用三角形內(nèi)角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM，∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM．
再利用∠4是△BCM的外角，再利用等腰三角形對邊相等，CM＝BM利用等量代換即可求證．
【解答】證明：延長BE交AC于M
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°
在△ABE中，
∵∠1+∠3+∠AEB＝180°，
∴∠3＝90°﹣∠1
同理，∠4＝90°﹣∠2
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴AB＝AM
∵BE⊥AE，
∴BM＝2BE，
∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4＝∠5+∠C
∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5
∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C
∴∠5＝∠C
∴CM＝BM
∴AC﹣AB＝BM＝2BE

【點評】此題考查學(xué)生對等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，此題的關(guān)鍵是作好輔助線，延長BE交AC于M，利用三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，考查的知識點較多，是一道難題．
五.解答題（每小題8分，共16分）
23．（8分）甲、乙兩同學(xué)的家與學(xué)校的距離均為3000米．甲同學(xué)先步行600米，然后乘公交車去學(xué)校、乙同學(xué)騎自行車去學(xué)校．已知甲步行速度是乙騎自行車速度的，公交車的速度是乙騎自行車速度的2倍．甲乙兩同學(xué)同時從家發(fā)去學(xué)校，結(jié)果甲同學(xué)比乙同學(xué)早到2分鐘．
（1）求乙騎自行車的速度；
（2）當(dāng)甲到達(dá)學(xué)校時，乙同學(xué)離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？
【分析】（1）設(shè)乙騎自行車的速度為x米/分鐘，則甲步行速度是x米/分鐘，公交車的速度是2x米/分鐘，
根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；
（2）300×2＝600米即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）設(shè)乙騎自行車的速度為x米/分鐘，則甲步行速度是x米/分鐘，公交車的速度是2x米/分鐘，
根據(jù)題意得+＝﹣2，
解得：x＝300米/分鐘，
經(jīng)檢驗x＝300是方程的根，
答：乙騎自行車的速度為300米/分鐘；

（2）∵300×2＝600米，
答：當(dāng)甲到達(dá)學(xué)校時，乙同學(xué)離學(xué)校還有600米．
【點評】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得到乙的運動速度是解題關(guān)鍵．
24．（8分）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE＝AD，請根據(jù)小明的方法思考：

（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是　 　
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范圍是　C　
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【方法感悟】
解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．
【問題解決】
（3）如圖2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C＝∠BAE．
【分析】（1）根據(jù)AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根據(jù)全等得出BE＝AC＝6，AE＝2AD，由三角形三邊關(guān)系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延長AE到F，使EF＝AE，連接DF，可證明△ABE≌△FDE，則∠BAE＝∠EFD，∠B＝∠EDF，再由外角的性質(zhì)得出∠ADF＝∠ADC，則△ADF≌△ADC（SAS），則∠AFD＝∠C，從而得出∠C＝∠BAE．
【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案為：B；

（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三邊關(guān)系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故答案為：C．

（3）證明：如圖，延長AE到F，使EF＝AE，連接DF，
∵AE是△ABD的中線
∴BE＝ED，
在△ABE與△FDE中，，
∴△ABE≌△FDE（SAS），
∴AB＝DF，∠BAE＝∠EFD，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠DAC+∠ACD＝∠ADB＝∠BAD，
∴∠BAE+∠EAD＝∠BAD，∠BAE＝∠EFD，
∴∠EFD+∠EAD＝∠DAC+∠ACD，
∴∠ADF＝∠ADC，
∵AB＝DC，
∴DF＝DC，
在△ADF與△ADC中，，
∴△ADF≌△ADC（SAS）
∴∠C＝∠AFD＝∠BAE．

【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的中線，三角形的三邊關(guān)系定理，等腰三角形性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，主要考查學(xué)生運用定理進(jìn)行推理的能力．
六.解答題（每小題10分，共20分）
25．（10分）華昌中學(xué)開學(xué)初在金利源商場購進(jìn)A、B兩種品牌的足球，購買A品牌足球花費了2500元，購買B品牌足球花費了2000元，且購買A品牌足球數(shù)量是購買B品牌足球數(shù)量的2倍，已知購買一個B品牌足球比購買一個A品牌足球多花30元．
（1）求購買一個A品牌、一個B品牌的足球各需多少元？
（2）華昌中學(xué)響應(yīng)習(xí)總書記“足球進(jìn)校園”的號召，決定兩次購進(jìn)A、B兩種品牌足球共50個，恰逢金利源商場對兩種品牌足球的售價進(jìn)行調(diào)整，A品牌足球售價比第一次購買時提高了8%，B品牌足球按第一次購買時售價的9折出售，如果這所中學(xué)此次購買A、B兩種品牌足球的總費用不超過3260元，那么華昌中學(xué)此次最多可購買多少個B品牌足球？
【分析】（1）設(shè)一個A品牌的足球需x元，則一個B品牌的足球需（x+30）元，根據(jù)購買A品牌足球數(shù)量是購買B品牌足球數(shù)量的2倍列出方程解答即可；
（2）設(shè)此次可購買a個B品牌足球，則購進(jìn)A牌足球（50﹣a）個，根據(jù)購買A、B兩種品牌足球的總費用不超過3260元，列出不等式解決問題．
【解答】解：（1）設(shè)一個A品牌的足球需x元，則一個B品牌的足球需（x+30）元，由題意得
＝×2
解得：x＝50
經(jīng)檢驗x＝50是原方程的解，
x+30＝80
答：一個A品牌的足球需50元，則一個B品牌的足球需80元．
（2）設(shè)此次可購買a個B品牌足球，則購進(jìn)A牌足球（50﹣a）個，由題意得
50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3260
解得a≤31
∵a是整數(shù)，
∴a最大等于31，
答：華昌中學(xué)此次最多可購買31個B品牌足球．
【點評】此題考查一元一次不等式與分式方程的應(yīng)用，找出題目蘊含的等量關(guān)系與不等關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
26．（10分）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．
（Ⅰ）若設(shè)AP＝x，則PC＝　6﹣x　，QC＝　6+x??；（用含x的代數(shù)式表示）
（Ⅱ）當(dāng)∠BQD＝30°時，求AP的長；
（Ⅲ）在運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由．

【分析】（Ⅰ）由△ABC是邊長為6的等邊三角形，設(shè)AP＝x，則PC＝6﹣x，QB＝x，由此即可解決問題．
（Ⅱ）在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，PC＝QC，即6﹣x＝（6+x），求出x的值即可；
（Ⅲ）作QF⊥AB，交直線AB的延長線于點F，連接QE，PF，由點P、Q作勻速運動且速度相同，可知AP＝BQ，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進(jìn)而可得出EB+AE＝BE+BF＝AB，DE＝AB，由等邊△ABC的邊長為6可得出DE＝3，故當(dāng)點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變．
【解答】解：（Ⅰ）∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，
設(shè)AP＝x，則PC＝6﹣x，QB＝x，
∴QC＝QB+BC＝6+x，
故答案為：6﹣x，6+x；
（Ⅱ）
∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，
∴PC＝QC，即6﹣x＝（6+x），解得x＝2，
∴AP＝2；

（Ⅲ）當(dāng)點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變．理由如下：
法一、如圖，作QF⊥AB，交直線AB的延長線于點F，連接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，
∵點P、Q速度相同，
∴AP＝BQ，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，
∴∠APE＝∠BQF，
∴在△APE和△BQF中，
，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，
∴四邊形PEQF是平行四邊形，
∴DE＝EF，
∵EB+AE＝BE+BF＝AB，
∴DE＝AB，
又∵等邊△ABC的邊長為6，
∴DE＝3，
∴當(dāng)點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變．
法二、如圖，過點P作BC的平行線交AB于點M，

∴∠AMP＝∠ABC＝60°，∠PMD＝∠QBD，
∴△AMP是等邊三角形，
∴MP＝AP＝x，
∵PE⊥AB，
∴AE＝EM，
∵QB＝x，
∴MP＝QB，
又∵∠MDP＝∠BDQ
∴△DMP≌△DBQ（AAS），
∴DM＝DB，
∴DE＝DM+ME＝AB＝3．
∴當(dāng)點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變．

【點評】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．


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