1．2021的相反數(shù)是（ ）
A．﹣2021B．2021C．D．﹣
2．綏德縣，位于陜西省北部，榆林市東南部，其行政區(qū)域總面積約185000公頃．?dāng)?shù)據(jù)185000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．1.85×105B．18.5×105C．0.185×105D．185×103
3．如圖，已知直線AB∥CD，若∠B＝50°，則∠E的度數(shù)是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
4．正比例函數(shù)y＝（m2+1）x經(jīng)過的象限是（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限
C．第一、四象限D(zhuǎn)．第二、三象限
5．計算（﹣x2y2z）2的結(jié)果正確的是（ ）
A．﹣x4y4zB．x4y4z2C．﹣x4y4zD．x4y4z2
6．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，D是AB的中點，EF⊥CD于點F，則EF的長是（ ）
A．3B．4C．5D．
7．如圖，函數(shù)y＝kx﹣2b的圖象經(jīng)過點（3，0），則關(guān)于x的不等式k（x﹣1）（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x＞4D．x＜4
8．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AD上一點，連接BE交AC于點G，延長BE交CD的延長線于點F，則（ ）
A．B．C．D．
9．如圖，四邊形ABDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，CE是⊙O的直徑，DC．若∠BDC＝20°，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
10．將拋物線C1：y＝x2﹣2x+3向左平移2個單位長度，得到拋物線C2，將拋物線C2繞其頂點旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C3，則拋物線C3與y軸的交點坐標(biāo)是（ ）
A．（0，﹣1）B．（0，1）C．（0，﹣2）D．（0，2）
二、填空題（共4小題，每小題3分，計12分）
11．計算：|﹣2|+2sin60°的值為 ．
12．如圖，在正六邊形ABCDEF中，連接AC、CF ．
13．如圖，點A和點B分別是反比例的數(shù)y＝（x＞0）和y＝（x＞0），AB⊥x軸，點C為y軸上一點△ABC＝2，則m﹣n的值為 ．
14．如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，點E為AD所在直線上的一個動點．連接CE，將線段CE繞點C順肘針旋轉(zhuǎn)120°后得到對應(yīng)的線段CF，則線段DF的最小值為 ．
三、解答題（共11小題，計78分。解答應(yīng)寫出過程）
15．（5分）解不等式組：．
16．（5分）化簡：（1+）÷．
17．（5分）如圖，在△ABC中，AC＝3，請用尺規(guī)作圖法，在BC上求作一點O△AOC：S△AOB＝3：5．（不寫作法，保留作圖痕跡）
18．（5分）如圖，AD⊥CD，BC⊥CD，AD＝CE，求證：AE＝EB．
19．（7分）進(jìn)入2021年以來，全球新冠肺炎疫情流行加速，異常嚴(yán)峻的國際疫情形勢，某校組織了一次防疫知識培訓(xùn)．培訓(xùn)結(jié)束后進(jìn)行測試，試題的滿分為10分（共5小題，每小題2分），并用得到的數(shù)據(jù)繪制了不完整的統(tǒng)計圖：
請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題
（1）圖1中m的值是 ，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；
（2）所抽取學(xué)生成績的眾數(shù)是 分，平均數(shù)是 分；
（3）若該校有1000名學(xué)生，請你估計該校本次測試成績?yōu)闈M分的學(xué)生共有多少名？
20．（7分）傍晚，小張和媽媽在某公園散步，發(fā)現(xiàn)公園的一路燈旁有一棵古老的大樹，小華激動地說：“媽媽，我可以通過測量您的影長，測得媽媽的影長DF＝1.6m．媽媽沿BD的方向到達(dá)點F處，此時小華測得媽媽的影長FG＝2m．已知媽媽的身高為1.6m（即CD＝EF＝1.6m），AB⊥BG，CD⊥BG
21．（7分）綏德雪花是糕點中的珍品，有“糕點之王”的稱譽(yù)．形似月餅，呈黃白色，是深受老百姓喜愛的一種傳統(tǒng)美食．某公司的王小姐去綏德出差，準(zhǔn)備回去時帶點綏德雪花給家人和朋友品嘗．已知甲、乙兩家超市都以30元/袋的價格銷售同一品牌、同一規(guī)格的綏德雪花
甲超市：辦理本超市會員卡（卡費60元），食品全部打六折銷售；
乙超市：購買同種商品超過一定數(shù)量后，超過的部分打折銷售．
活動期間，若王小姐購買綏德雪花x袋，在甲、乙超市所需費用分別為y甲元、y乙元、y乙與x之間的函數(shù)圖象如圖所示，解答下列問題：
（1）分別寫出y甲、y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）王小姐準(zhǔn)備購買15袋綏德雪花，你認(rèn)為在哪家超市購買更劃算？
22．（7分）3月8日，是為慶祝婦女在經(jīng)濟(jì)、政治和社會等領(lǐng)域做出的重要貢獻(xiàn)和取得的巨大成就而設(shè)立的國際婦女節(jié)，某班召開了一次以“魅力女性，班主任制作了編號為A、B、C、D的4張卡片（如圖，除編號和內(nèi)容外，其余完全相同），并將它們背面朝上洗勻后放在桌面上．
（1）張華從中隨機(jī)抽取一張，抽到的卡片編號為A的概率為 ．
（2）若張華從4張卡片中隨機(jī)抽取1張不放回，李明再從余下的3張卡片中隨機(jī)抽取1張，然后根據(jù)抽取的卡片講述卡片上女英雄的故事
23．（8分）如圖，AB為⊙O的直徑，AC為弦，∠BCD＝∠A，OD交⊙O于點E．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若CD＝4，AC＝2.7，cs∠BCD＝
24．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C（0，﹣3）．
（1）求拋物線的表達(dá)式和點B的坐標(biāo)；
（2）點M是拋物線對稱軸上一點，在拋物線上是杏存在點N，使以點M、N、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在；若不存在，請說明理由．
25．（12分）[問題提出]
（1）如圖1，已知線段AB＝4，點C是一個動點，則線段AC長度的最大值是 ；
[問題探究]
（2）如圖2，以正方形ABCD的邊CD為直徑作半圓O，E為半圓O上一動點，求AE長度的最大值；
[問題解決]
（3）如圖3，某植物園有一塊三角形花地ABC，經(jīng)測量米，BC＝120米，∠ACB＝30°（空地足夠大），為了增加綠化面積，管理員計劃在BC下方找一點P，擴(kuò)建后沿AP修一條小路，以便游客觀賞．考慮植物園的整體布局，要求小路AP的長度盡可能長，問修建的觀賞小路AP的長度是否存在最大值？若存在；若不存在，請說明理由．
2021年陜西省寶雞市金臺區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共10小題，每小題3分，計30分，每小題只有一個選項是符合題意的）
1．2021的相反數(shù)是（ ）
A．﹣2021B．2021C．D．﹣
【分析】利用相反數(shù)的定義分析得出答案，只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)．
【解答】解：2021的相反數(shù)是：﹣2021．
故選：A．
2．綏德縣，位于陜西省北部，榆林市東南部，其行政區(qū)域總面積約185000公頃．?dāng)?shù)據(jù)185000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．1.85×105B．18.5×105C．0.185×105D．185×103
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)整數(shù)．
【解答】解：185000＝1.85×105．
故選：A．
3．如圖，已知直線AB∥CD，若∠B＝50°，則∠E的度數(shù)是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠BMD＝∠B＝50°，再根據(jù)∠BMD是△MDE的外角，即可得出∠E．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BMD＝∠B＝50°，
又∵∠BMD是△MDE的外角，
∴∠E＝∠BMD﹣∠D＝50°﹣30°＝20°．
故選：C．
4．正比例函數(shù)y＝（m2+1）x經(jīng)過的象限是（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限
C．第一、四象限D(zhuǎn)．第二、三象限
【分析】判斷m2+1的符號即可得到答案．
【解答】解：∵m2≥0，
∴m8+1＞0，
而正比例函數(shù)y＝kx當(dāng)k＞2時圖象經(jīng)過一、三象限，
∴正比例函數(shù)y＝（m2+1）x經(jīng)過一、三象限，
故選：A．
5．計算（﹣x2y2z）2的結(jié)果正確的是（ ）
A．﹣x4y4zB．x4y4z2C．﹣x4y4zD．x4y4z2
【分析】積的乘方，把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，據(jù)此計算即可．
【解答】解：（﹣x6y2z）2＝＝．
故選：B．
6．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，D是AB的中點，EF⊥CD于點F，則EF的長是（ ）
A．3B．4C．5D．
【分析】根據(jù)勾股定理得出AB，進(jìn)而利用直角三角形的性質(zhì)得出BD＝DC＝AD＝5，利用三角形面積公式解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵D是AB的中點，
∴線段CD是中線，
∴AD＝BD＝CD＝5，△BDC＝S△ABC＝××3×8＝12．
如圖，連接DE，
∵E為BC邊的中點，
∴S△DEC＝S△BDC＝6，
∵S△DEC＝DC?EF，
∴×8EF＝6，
解得：EF＝，
故選：D．
7．如圖，函數(shù)y＝kx﹣2b的圖象經(jīng)過點（3，0），則關(guān)于x的不等式k（x﹣1）（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x＞4D．x＜4
【分析】觀察函數(shù)圖象得到即可．
【解答】解：由圖象可得：當(dāng)x＜3時，kx﹣2b＞8，
所以關(guān)于x的不等式kx﹣2b＞0的解集是x＜4，
所以關(guān)于x的不等式k（x﹣1）＞2b的解集為x﹣4＜3，
即：x＜4，
故選：D．
8．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AD上一點，連接BE交AC于點G，延長BE交CD的延長線于點F，則（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，則可判斷△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和AE＝2ED即可得結(jié)果．
【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，
∴＝
∵△ABE∽△DFE，
∴＝，
∵AE＝2ED，
∴AB＝2DF，
∴＝，
∴＝．
故選：A．
9．如圖，四邊形ABDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，CE是⊙O的直徑，DC．若∠BDC＝20°，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
【分析】根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵CE是⊙O的直徑，
∴∠CDE＝90°，
∵∠BDC＝20°，
∴∠BDE＝∠CDE﹣∠BDC＝70°，
∵四邊形ABDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠A＝180°﹣∠BDE＝110°，
故選：C．
10．將拋物線C1：y＝x2﹣2x+3向左平移2個單位長度，得到拋物線C2，將拋物線C2繞其頂點旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C3，則拋物線C3與y軸的交點坐標(biāo)是（ ）
A．（0，﹣1）B．（0，1）C．（0，﹣2）D．（0，2）
【分析】根據(jù)拋物線C1的解析式得到頂點坐標(biāo)，根據(jù)頂點式及平移前后二次項的系數(shù)不變可得拋物線C2的得到坐標(biāo)，而根據(jù)拋物線C2繞其頂點旋轉(zhuǎn)180°后頂點不變，開口方向相反，由此可得到拋物線C3所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，令x＝0，即可求得交點坐標(biāo)．
【解答】解：∵拋物線C1：y＝x2﹣8x+3＝（x﹣1）3+2，
∴拋物線C1的頂點為（4，2），
∵向左平移2個單位長度，得到拋物線C7，
∴拋物線C2的頂點坐標(biāo)為（﹣1，6），
∵將拋物線C2繞其頂點旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C3，
∴拋物線C6的開口方向相反，頂點為（﹣1，
∴拋物線C3的解析式為y＝﹣（x+7）2+2，
令x＝5，則y＝1，
∴拋物線C3與y軸的交點坐標(biāo)是（5，1）．
故選：B．
二、填空題（共4小題，每小題3分，計12分）
11．計算：|﹣2|+2sin60°的值為 2 ．
【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣+4×
＝5﹣+
＝4．
故答案為：2．
12．如圖，在正六邊形ABCDEF中，連接AC、CF 30 ．
【分析】由正六邊形的性質(zhì)得出∠B＝∠BAF＝∠AFE＝120°，BC＝AB＝AF＝FE，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠BAC＝∠BCA＝30°，∠FAE＝∠FEA＝30°，求出∠CAE＝30°．
【解答】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠B＝∠BAF＝∠AFE＝120°，BC＝AB＝AF＝FE，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠CAB＝∠ACF＝30°．
故答案為：30°．
13．如圖，點A和點B分別是反比例的數(shù)y＝（x＞0）和y＝（x＞0），AB⊥x軸，點C為y軸上一點△ABC＝2，則m﹣n的值為 4 ．
【分析】連接AO，CO，將△ABC面積轉(zhuǎn)化為△ABO的面積，再通過＝2求解．
【解答】解：連接AO．CO，
∵AB⊥x軸，點C為y軸上一點，
∴AB∥y軸，
∴S△ABC＝S△ABO＝2，
∴＝2．
∴＝8，
即m﹣n＝4．
故答案為：4．
14．如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，點E為AD所在直線上的一個動點．連接CE，將線段CE繞點C順肘針旋轉(zhuǎn)120°后得到對應(yīng)的線段CF，則線段DF的最小值為 3 ．
【分析】連接BE，作BH⊥AD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△DCF≌△BCE，把求DF的最小值轉(zhuǎn)化為求BE的最小值，再根據(jù)垂線段最短可得答案．
【解答】解：連接BE，作BH⊥AD交DA的延長線于H，
菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠BCD＝120°．
∵∠ECF＝120°，
∴∠1＝∠2．
由旋轉(zhuǎn)可得：EC＝FC，
在△BEC和△DFC中，
，
∴△DCF≌△BCE（SAS），
∴DF＝BE，
即求DF的最小值轉(zhuǎn)化為求BE的最小值．
∵在Rt△AHB中，∠BAH＝60°，
∴BH＝4×sin60°＝3，
當(dāng)E與H重合時，BE最小值是3，
∴DF的最小值是3．
故答案為：3．
三、解答題（共11小題，計78分。解答應(yīng)寫出過程）
15．（5分）解不等式組：．
【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集．
【解答】解：，
由①得：x＞﹣2，
由②得：x≤4，
則不等式的解集為﹣3＜x≤4．
16．（5分）化簡：（1+）÷．
【分析】先把括號內(nèi)通分，再把除法運算化為乘法運算，然后約分即可．
【解答】解：原式＝?
＝．
17．（5分）如圖，在△ABC中，AC＝3，請用尺規(guī)作圖法，在BC上求作一點O△AOC：S△AOB＝3：5．（不寫作法，保留作圖痕跡）
【分析】作BM∥AC，在射線BM上截取BD，使得BD＝BA，連接AD交BC于點O，點O即為所求作．
【解答】解：如圖，點O即為所求作．
18．（5分）如圖，AD⊥CD，BC⊥CD，AD＝CE，求證：AE＝EB．
【分析】由“AAS”可證△ADE≌△ECB，可得AE＝BE．
【解答】證明：∵AD⊥CD，BC⊥CD，
∴∠C＝∠D＝90°，
在△ADE和△ECB中，
，
∴△ADE≌△ECB（AAS），
∴AE＝BE．
19．（7分）進(jìn)入2021年以來，全球新冠肺炎疫情流行加速，異常嚴(yán)峻的國際疫情形勢，某校組織了一次防疫知識培訓(xùn)．培訓(xùn)結(jié)束后進(jìn)行測試，試題的滿分為10分（共5小題，每小題2分），并用得到的數(shù)據(jù)繪制了不完整的統(tǒng)計圖：
請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題
（1）圖1中m的值是 32 ，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；
（2）所抽取學(xué)生成績的眾數(shù)是 10 分，平均數(shù)是 7.12 分；
（3）若該校有1000名學(xué)生，請你估計該校本次測試成績?yōu)闈M分的學(xué)生共有多少名？
【分析】（1）根據(jù)百分比之和為1可得m的值，由“2分”人數(shù)及其所占百分比求出總?cè)藬?shù)，總?cè)藬?shù)乘以“4分”對應(yīng)百分比可得其人數(shù)，從而補(bǔ)全圖形；
（2）根據(jù)眾數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的定義列式計算即可；
（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中滿分人數(shù)所占比例即可．
【解答】解：（1）m%＝1﹣（8%+16%+20%+24%）＝32%，即m＝32；
∵被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為4÷8%＝50（人），
∴“4分”的人數(shù)為50×16%＝6（人），
補(bǔ)全圖形如下：
故答案為：32；
（2）所抽取學(xué)生成績的眾數(shù)是10分，平均數(shù)為，
故答案為：10、7.12；
（3）估計該校本次測試成績?yōu)闈M分的學(xué)生共有1000×＝320（人）．
20．（7分）傍晚，小張和媽媽在某公園散步，發(fā)現(xiàn)公園的一路燈旁有一棵古老的大樹，小華激動地說：“媽媽，我可以通過測量您的影長，測得媽媽的影長DF＝1.6m．媽媽沿BD的方向到達(dá)點F處，此時小華測得媽媽的影長FG＝2m．已知媽媽的身高為1.6m（即CD＝EF＝1.6m），AB⊥BG，CD⊥BG
【分析】在同一時刻物高和影長成正比，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答．
【解答】解：∵CD∥EF∥AB，
∴△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴，，
又∵CD＝EF，
∴，
∵DF＝1.6m，F(xiàn)G＝5m，
∴BF＝BD+DF＝BD+1.6，BG＝BD+DF+FG＝BD+8.6，
∴＝，
∴BD＝2.4m，BF＝6.2+1.6＝3（m），
∴＝，
解得，AB＝4．
答：這棵大樹的高度是8m．
21．（7分）綏德雪花是糕點中的珍品，有“糕點之王”的稱譽(yù)．形似月餅，呈黃白色，是深受老百姓喜愛的一種傳統(tǒng)美食．某公司的王小姐去綏德出差，準(zhǔn)備回去時帶點綏德雪花給家人和朋友品嘗．已知甲、乙兩家超市都以30元/袋的價格銷售同一品牌、同一規(guī)格的綏德雪花
甲超市：辦理本超市會員卡（卡費60元），食品全部打六折銷售；
乙超市：購買同種商品超過一定數(shù)量后，超過的部分打折銷售．
活動期間，若王小姐購買綏德雪花x袋，在甲、乙超市所需費用分別為y甲元、y乙元、y乙與x之間的函數(shù)圖象如圖所示，解答下列問題：
（1）分別寫出y甲、y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）王小姐準(zhǔn)備購買15袋綏德雪花，你認(rèn)為在哪家超市購買更劃算？
【分析】（1）根據(jù)兩家超市做促銷活動的方案可求出y甲、y乙與x的函數(shù)解析式；
（2）分別計算求出在兩家超市購買的費用，再進(jìn)行比較就可以求出結(jié)論．
【解答】解：（1）由題意得，
y甲＝60+0.6×30x＝18x+60，
當(dāng)4＜x≤10時，y乙＝30x，
設(shè)當(dāng)＞10時，y乙＝kx+b，
由題意得，
解得：，
∴y乙＝12x+180，
∴y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y乙＝；
（2）當(dāng)＝15時，y甲＝18×15+60＝330（元），
y乙＝12×15+180＝360（元），
y甲＜y乙，
∴在甲超市購買更劃算．
22．（7分）3月8日，是為慶祝婦女在經(jīng)濟(jì)、政治和社會等領(lǐng)域做出的重要貢獻(xiàn)和取得的巨大成就而設(shè)立的國際婦女節(jié)，某班召開了一次以“魅力女性，班主任制作了編號為A、B、C、D的4張卡片（如圖，除編號和內(nèi)容外，其余完全相同），并將它們背面朝上洗勻后放在桌面上．
（1）張華從中隨機(jī)抽取一張，抽到的卡片編號為A的概率為 ．
（2）若張華從4張卡片中隨機(jī)抽取1張不放回，李明再從余下的3張卡片中隨機(jī)抽取1張，然后根據(jù)抽取的卡片講述卡片上女英雄的故事
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有12個等可能的結(jié)果，張華、李明兩人中恰好有一人講述“花木蘭替父從軍”的故事的有6個，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）張華從中隨機(jī)抽取一張，抽到的卡片編號為A的概率為，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如圖：
共有12個等可能的結(jié)果，張華，
∴張華、李明兩人中恰好有一人講述“花木蘭替父從軍”的故事的概率為＝．
23．（8分）如圖，AB為⊙O的直徑，AC為弦，∠BCD＝∠A，OD交⊙O于點E．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若CD＝4，AC＝2.7，cs∠BCD＝
【分析】（1）連接OC．由圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)證得∠OCD＝90°．則可得出結(jié)論；
（2）由銳角三角函數(shù)求出AB的長，得出OC＝3，由勾股定理求出OD＝5，則可得出答案．
【解答】（1）證明：如圖，連接OC．
∵AB為⊙O的直徑，AC為弦，
∴∠ACB＝90°，∠OCB+∠ACO＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A．
∵∠BCD＝∠A，
∴∠ACO＝∠BCD．
∴∠OCB+∠BCD＝90°．
∴∠OCD＝90°．
∴CD⊥OC．
∵OC為⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：∵∠BCD＝∠A，cs∠BCD＝，
∴csA＝cs∠BCD＝．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，csA＝．
∴AB＝＝＝6．
∴OC＝OE＝＝3．
在Rt△OCD中，∠OCD＝90°，CD＝4，
∴．
∴DE＝OD﹣OE＝8﹣3＝2．
24．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C（0，﹣3）．
（1）求拋物線的表達(dá)式和點B的坐標(biāo)；
（2）點M是拋物線對稱軸上一點，在拋物線上是杏存在點N，使以點M、N、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）將A、C兩點坐標(biāo)代入y＝x2+bx+c中即可求解該拋物線表達(dá)式，求出表達(dá)式后令該拋物線表達(dá)式中y＝0，求出x，即可得點B坐標(biāo)．
（2）分AB為平行四邊形的一邊或?qū)蔷€兩種情況討論即可．
【解答】解：（1）把點A（﹣1，0），﹣5）代入y＝x2+bx+c中，
得，解得．
∴該拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣7．
（2）存在點N，理由如下：
①當(dāng)AB為平行四邊形的一邊時，如解圖1，
則MN∥AB，且MN＝AB，
∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，
∴點M的橫坐標(biāo)為6．
∴根據(jù)平移關(guān)系可得，點N的橫坐標(biāo)為5或﹣3，
∴把x＝2或﹣3代入y＝x2﹣3x﹣3．中，得y＝12，
∴N1（8，12），N2（﹣3，12）．
∴M（6，5）．
②當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時，如解圖2，
則MN與AB互相平分，
∴N6為該拋物線的頂點坐標(biāo)（1，﹣4），
∴點M的坐標(biāo)為（3，4）．
綜上所述，點N的坐標(biāo)為（5，12，﹣5）．
25．（12分）[問題提出]
（1）如圖1，已知線段AB＝4，點C是一個動點，則線段AC長度的最大值是 6 ；
[問題探究]
（2）如圖2，以正方形ABCD的邊CD為直徑作半圓O，E為半圓O上一動點，求AE長度的最大值；
[問題解決]
（3）如圖3，某植物園有一塊三角形花地ABC，經(jīng)測量米，BC＝120米，∠ACB＝30°（空地足夠大），為了增加綠化面積，管理員計劃在BC下方找一點P，擴(kuò)建后沿AP修一條小路，以便游客觀賞．考慮植物園的整體布局，要求小路AP的長度盡可能長，問修建的觀賞小路AP的長度是否存在最大值？若存在；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）當(dāng)C在線段AB延長線上時，AC最大；
（2）連接AO并延長交半圓O于F，當(dāng)E運動到F時，AE最大，AF的長度即是AE的最大值，Rt△AOD中求出OA即可得到答案；
（3）作BC的垂直平分線DE，在BC下方作∠BCO＝30°，射線CO交DE于O，以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O，連接OB、連接AO并延長交⊙O于P，則AP為滿足條件的小路，過A作AF⊥OC于F，Rt△ACF中，求出AF、CF，再在Rt△AOF中，求出OA，即可得到答案．
【解答】解：（1）當(dāng)C在線段AB延長線上時，AC最大，
故答案為：6；
（2）連接AO并延長交半圓O于F，如圖：
∵正方形ABCD的邊CD為直徑作半圓O，，邊長為2，
∴∠ADO＝90°，AD＝5，
當(dāng)E運動到F時，AE最大，
Rt△AOD中，AO＝＝，
∴AF＝AO+OF＝+1，
即AE最大為+1；
（3）作BC的垂直平分線DE，在BC下方作∠BCO＝30°，以O(shè)為圓心，連接OB，則AP為滿足條件的小路，如圖：
∵∠BCO＝30°，∠ACB＝30°，
∴∠ACF＝60°，
Rt△ACF中，AF＝AC?sin60°＝30，
∵DE垂直平分BC，BC＝120，
∴CE＝60，∠OEC＝90°，
∴OC＝＝40，
∴OF＝OC﹣CF＝30，
Rt△AOF中，OA＝，
∴AP＝OA+OP＝60+40．
即小路AP的長度最大為60+40．

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