?2021年江西省宜春市中考數(shù)學(xué)一模試卷
一、選擇題（共6小題，共18分，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)）
1．下列四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（　?。?br /> A．﹣1 B．﹣2 C． D．0
2．下列計(jì)算正確的是（　　）
A．3a2+a2＝4a4 B．a(chǎn)2?a3＝a6
C．2a2+3a3＝5a5 D．（a2）3＝a6
3．如右圖所示的是將正方體切去一個(gè)角后形成的幾何體，則該幾何體的左視圖為（　　）

A． B． C． D．
4．如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，CF平分∠ACB，交DE于點(diǎn)F，若AC＝4，則EF的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如圖，直線y1＝﹣x+1與雙曲線y2＝交于A（﹣2，a）、B（3，b）兩點(diǎn)，則當(dāng)y1＞y2時(shí)，x的取值范圍是（　?。?br />
A．x＞﹣2或0＜x＜3 B．﹣2＜x＜0或x＞3
C．x＜﹣2或0＜x＜3 D．﹣2＜x＜3
6．如圖，點(diǎn)O為正六邊形的中心，P、Q分別從點(diǎn)A（﹣1，0）同時(shí)出發(fā)，沿正六邊形按圖示方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，則第2021次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)為（　?。?br />
A． B．（1，0） C． D．（﹣1，0）
二、填空題（共6小題，共18分）
7．化簡(jiǎn)（x+y）（x﹣y）＝　 ?。?br /> 8．某公益機(jī)構(gòu)設(shè)立了網(wǎng)站接受愛心捐助，旨在推動(dòng)社會(huì)和諧、發(fā)展公益慈善事業(yè)．據(jù)網(wǎng)站統(tǒng)計(jì)，目前已有大約2600000人獻(xiàn)愛心，將“2600000”用科學(xué)記數(shù)法表示為　 　．
9．已知α、β是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式αβ﹣4＝　 ?。?br /> 10．如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)C、D分別落在點(diǎn)M、N處，若∠EFM＝2∠BFM，則∠EFC的度數(shù)為　 　．

11．古代名著《算學(xué)啟蒙》中有一題：良馬日行二百四十里．駑馬日行一百五十里．駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之．意思是：跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里．慢馬先走12天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬x天可追上慢馬，則由題意，可列方程為　 　．
12．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，點(diǎn)D在BC上，且DC＝2，點(diǎn)M在△ABC的邊上，點(diǎn)F為MD的中點(diǎn)，則當(dāng)BM＝2MD時(shí)，CF的長(zhǎng)為　 ?。?br />
三、解答題（本大題共5小題，共30分）
14．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a＝．
15．為了準(zhǔn)備2021年九年級(jí)物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn)操作考試，某中學(xué)對(duì)九年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了模擬訓(xùn)練，物理、化學(xué)各有4個(gè)不同的實(shí)驗(yàn)操作題目，物理實(shí)驗(yàn)用①、②、③、④表示，化學(xué)實(shí)驗(yàn)用字母a、b、c、d表示，測(cè)試時(shí)每名學(xué)生每科只操作一個(gè)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)的題目由學(xué)生抽簽確定，第一次抽簽確定物理實(shí)驗(yàn)題目，第二次抽簽確定化學(xué)實(shí)驗(yàn)題目．
（1）某位同學(xué)抽簽的所有可能情況有　 　種．
（2）小明對(duì)物理的②④實(shí)驗(yàn)和化學(xué)的a、d實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)備比較充分，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求小明同時(shí)抽到兩科都準(zhǔn)備較充分的實(shí)驗(yàn)題目的概率．
16．如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺完成以下作圖（保留作圖痕跡）．
（1）在圖1中，作△ABC的中線BD；
（2）在圖2中，作一個(gè)以△ABC的中線BD為邊的平行四邊形BDEF．

17．在疫情防控期間，某中學(xué)為保障廣大師生生命健康安全，欲從商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批免洗手消毒液和84消毒液．如果購(gòu)買30瓶免洗手消毒液和60瓶84消毒液，共需花費(fèi)930元，如果購(gòu)買40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花費(fèi)1320元．
（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的價(jià)格分別是多少元？
（2）若商場(chǎng)有兩種促銷方案：方案一，所有購(gòu)買商品均打八折；方案二，購(gòu)買10瓶免洗手消毒液送5瓶84消毒液，學(xué)校打算購(gòu)進(jìn)免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，請(qǐng)問學(xué)校選用哪種方案更節(jié)約錢？節(jié)約多少錢？
四、（本大題共3小題，共24分）
18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y＝在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)C，CD⊥x軸，tan∠BAO＝，OA＝4，OD＝2．
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)E是反比例函數(shù)在第三象限內(nèi)圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥y軸，垂足為點(diǎn)F，連接OE、AF，如果S△BAF＝4S△EFO，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

19．某學(xué)校共有學(xué)生2350名，學(xué)校為了解疫情期間學(xué)生對(duì)網(wǎng)課內(nèi)容的喜歡程度，開展了一次網(wǎng)上問卷調(diào)查，隨機(jī)抽取部分學(xué)生，按四個(gè)類別統(tǒng)計(jì)，其中A表示“很喜歡”，B表示“喜歡”，C表示“一般”，D表示“不喜歡”，并將調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

請(qǐng)根據(jù)圖中提供信息，解決下列問題：
（1）這次共抽取多少名學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計(jì)調(diào)查？扇形統(tǒng)計(jì)圖中D類所在的扇形的圓形角度數(shù)是多少？
（2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整．
（3）估計(jì)該校表示“喜歡”的B類學(xué)生大約有多少人？
20．市政府為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù)，圖1是某品牌共享單車放在水平地面上的實(shí)物圖，圖2是其示意圖，其中AB、CD都與地面平行，車輪半徑為31cm，∠ACD＝70°，AC＝62cm，坐墊F與點(diǎn)A的距離AF為13cm．
（1）求坐墊F到地面的距離．
（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)坐墊F到CD的距離調(diào)整為人體腿長(zhǎng)的0.8時(shí)，坐騎比較舒適．小明的腿長(zhǎng)約為85m，現(xiàn)將坐墊F調(diào)整至坐騎舒適高度位置F′，求FF′的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin70≈0.94，cos70≈0.34，tan70≈2.75）

五、（本大題共2小題，共18分）
21．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，D是AC中點(diǎn)，直線OD與⊙O相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，P是⊙O外一點(diǎn)，P在直線OD上，連接PA，PC，AF，且滿足∠PCA＝∠ABC．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）證明：EF2＝4OD?OP；
（3）若BC＝8，tan∠AFP＝，求DE的長(zhǎng)．

22．如圖，已知拋物線L1：y1＝x2，平移后經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0）得到拋物線L2，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線L2的解析式；
（2）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)P為拋物線L2上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，與拋物線L1交于點(diǎn)D，是否存在PD＝2OC？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

六、（本大題共12分）
23．定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．
理解：（1）如圖1，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接AD，CD．
求證：四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形．
探究：（2）如圖2，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，BA＝BC，連接BD，BD是否平分∠ADC？請(qǐng)說(shuō)明理由．
運(yùn)用：（3）如圖3，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，CB＝CD，其外角∠FCB的平分線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，AB＝20，CE＝10，求BE的長(zhǎng)．


2021年江西省宜春市中考數(shù)學(xué)一模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題
1．下列四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（　?。?br /> A．﹣1 B．﹣2 C． D．0
【分析】正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小．
【解答】解：∵﹣2＜﹣1＜0＜，
∴最小的數(shù)是﹣2，
故選：B．
2．下列計(jì)算正確的是（　?。?br /> A．3a2+a2＝4a4 B．a(chǎn)2?a3＝a6
C．2a2+3a3＝5a5 D．（a2）3＝a6
【分析】根據(jù)冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪的乘法等法則計(jì)算求解判斷即可．
【解答】解：A，3a2+a2＝4a2，故此選項(xiàng)不符合題意；
B，a2?a3＝a2+3＝a5，故此選項(xiàng)不符合題意；
C，2a2+3a3≠5a5，故此選項(xiàng)不符合題意；
D，（a2）3＝a2×3＝a6，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
3．如右圖所示的是將正方體切去一個(gè)角后形成的幾何體，則該幾何體的左視圖為（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】找到從左面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在左視圖中．
【解答】解：從左面看，是一個(gè)正方形，正方形的上邊中點(diǎn)與正方形的右下角頂點(diǎn)用虛線連接．
故選：C．
4．如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，CF平分∠ACB，交DE于點(diǎn)F，若AC＝4，則EF的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到DE∥BC，進(jìn)而證明∠BCF＝∠EFC，根據(jù)角平分線的定義、等腰三角形的判定定理解答即可．
【解答】解：∵D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE∥BC，AE＝EC，
∴∠BCF＝∠EFC，
∵CF平分∠ACB，
∴∠BCF＝∠ECF，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴EF＝EC＝AC＝2，
故選：B．
5．如圖，直線y1＝﹣x+1與雙曲線y2＝交于A（﹣2，a）、B（3，b）兩點(diǎn)，則當(dāng)y1＞y2時(shí)，x的取值范圍是（　?。?br />
A．x＞﹣2或0＜x＜3 B．﹣2＜x＜0或x＞3
C．x＜﹣2或0＜x＜3 D．﹣2＜x＜3
【分析】當(dāng)y1＞y2時(shí)，x的取值范圍就是y1的圖象落在y2圖象的上方時(shí)對(duì)應(yīng)的x的取值范圍．
【解答】解：根據(jù)圖象可得，當(dāng)y1＞y2時(shí)，
x的取值范圍是：x＜﹣2或0＜x＜3，
故選：C．
6．如圖，點(diǎn)O為正六邊形的中心，P、Q分別從點(diǎn)A（﹣1，0）同時(shí)出發(fā)，沿正六邊形按圖示方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，則第2021次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)為（　?。?br />
A． B．（1，0） C． D．（﹣1，0）
【分析】連接OB，證△AOB是等邊三角形，得AB＝OA＝1，過B作BG⊥OA于點(diǎn)G，則AG＝OA＝，BG＝AG＝，得B（，），C（，），E（，﹣），再由題意得P，Q第一次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)在點(diǎn)C（，），第二次相遇地點(diǎn)在點(diǎn)E（，﹣），第三次相遇地點(diǎn)在點(diǎn)A（﹣1，0），如此循環(huán)下去，即可求出第2021次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：連接OB，如圖所示：
∵A（1，0），O為正六邊形的中心，
∴OA＝1，∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB＝OA＝1，
過B作BG⊥OA于點(diǎn)G，
則AG＝OA＝，BG＝AG＝，
∴B（，），
∴C（，），E（，﹣），
∵正六邊形的邊長(zhǎng)＝1，
∴正六邊形的周長(zhǎng)＝6，
∵點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴第1次相遇需要的時(shí)間為：6÷（1+2）＝2（秒），
此時(shí)點(diǎn)P的路程為1×2＝2，點(diǎn)的Q路程為2×2＝4，
此時(shí)P，Q相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)在點(diǎn)C（，），
以此類推：第二次相遇地點(diǎn)在點(diǎn)E（，﹣），
第三次相遇地點(diǎn)在點(diǎn)A（﹣1，0），
…如此下去，
∵2021÷3＝673…2，
∴第2021次相遇地點(diǎn)在點(diǎn)E，E的坐標(biāo)為（，﹣），
故選：C．

二、填空題
7．化簡(jiǎn)（x+y）（x﹣y）＝　x2﹣y2　．
【分析】根據(jù)平方差公式求出即可．
【解答】解：（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，
故答案為：x2﹣y2．
8．某公益機(jī)構(gòu)設(shè)立了網(wǎng)站接受愛心捐助，旨在推動(dòng)社會(huì)和諧、發(fā)展公益慈善事業(yè)．據(jù)網(wǎng)站統(tǒng)計(jì)，目前已有大約2600000人獻(xiàn)愛心，將“2600000”用科學(xué)記數(shù)法表示為　2.6×106?。?br /> 【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
【解答】解：2600000＝2.6×106，
故答案為：2.6×106．
9．已知α、β是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式αβ﹣4＝　﹣5?。?br /> 【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系得到αβ＝﹣1，從而得到代數(shù)式αβ﹣4的值．
【解答】解：根據(jù)題意得αβ＝﹣1，
所以αβ﹣1＝﹣1﹣4＝﹣5．
故答案為﹣5．
10．如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)C、D分別落在點(diǎn)M、N處，若∠EFM＝2∠BFM，則∠EFC的度數(shù)為　72°　．

【分析】由折疊的性質(zhì)得到∠EFM＝∠EFC，，根據(jù)已知角的關(guān)系求出所求即可．
【解答】解：由折疊得：∠EFM＝∠EFC，
∵∠EFM＝2∠BFM，
∴設(shè)∠EFM＝∠EFC＝x，則有∠BFM＝x，
∵∠MFB+∠MFE+∠EFC＝180°，
∴x+x+x＝180°，
解得：x＝72°，
則∠EFC＝72°．
故答案為：72°．
11．古代名著《算學(xué)啟蒙》中有一題：良馬日行二百四十里．駑馬日行一百五十里．駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之．意思是：跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里．慢馬先走12天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬x天可追上慢馬，則由題意，可列方程為　240x＝150x+12×150?。?br /> 【分析】設(shè)快馬x天可以追上慢馬，根據(jù)快馬和慢馬所走的路程相等建立方程即可．
【解答】解：設(shè)快馬x天可以追上慢馬，
據(jù)題題意：240x＝150x+12×150，
故答案為：240x＝150x+12×150
12．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，點(diǎn)D在BC上，且DC＝2，點(diǎn)M在△ABC的邊上，點(diǎn)F為MD的中點(diǎn)，則當(dāng)BM＝2MD時(shí)，CF的長(zhǎng)為　3或或　．

【分析】分點(diǎn)M在AB上、AC上、BC上三種情況，①當(dāng)點(diǎn)M在AB上時(shí)，如圖1，過點(diǎn)D作DM⊥BC交AB于M，根據(jù)勾股定理求出DF的長(zhǎng)，由直角三角形的性質(zhì)求出CF的長(zhǎng)．②當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，求出BM＝，MD＝，則可得出答案；③當(dāng)點(diǎn)M在AC上時(shí)，設(shè)CM＝x，由勾股定理求出x，由直角三角形的性質(zhì)可求出答案．
【解答】解：∵DC＝2，BC＝6，
∴BD＝4，
①當(dāng)點(diǎn)M在AB上時(shí)，如圖1，過點(diǎn)D作DM⊥BC交AB于M，

∵∠B＝30°，
∴BM＝2MD，
則MD＝BD?tanB＝4×＝，
∵點(diǎn)F為MD的中點(diǎn)，
∴DF＝DM＝，
∴CF＝＝＝．
②當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，
∵BD＝4，BM＝2MD，
∴BM＝，MD＝，
∵點(diǎn)F為MD的中點(diǎn)，
∴DF＝，
∴CF＝CD+DF＝．
③當(dāng)點(diǎn)M在AC上時(shí)，如圖2，

設(shè)CM＝x，
在Rt△CDM中，DM＝＝，
在Rt△BCM中，BM＝＝，
∵BM＝2MD，
∴＝2，
解得，x＝，
∴MD＝＝，
∵點(diǎn)F為MD的中點(diǎn)，
∴CF＝DM＝．
故答案為或或．
三、解答題
14．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a＝．
【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則把原式化簡(jiǎn)，代入計(jì)算即可．
【解答】解：
＝[+]÷
＝?
＝，
當(dāng)a＝時(shí)，原式＝＝﹣6．
15．為了準(zhǔn)備2021年九年級(jí)物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn)操作考試，某中學(xué)對(duì)九年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了模擬訓(xùn)練，物理、化學(xué)各有4個(gè)不同的實(shí)驗(yàn)操作題目，物理實(shí)驗(yàn)用①、②、③、④表示，化學(xué)實(shí)驗(yàn)用字母a、b、c、d表示，測(cè)試時(shí)每名學(xué)生每科只操作一個(gè)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)的題目由學(xué)生抽簽確定，第一次抽簽確定物理實(shí)驗(yàn)題目，第二次抽簽確定化學(xué)實(shí)驗(yàn)題目．
（1）某位同學(xué)抽簽的所有可能情況有　16　種．
（2）小明對(duì)物理的②④實(shí)驗(yàn)和化學(xué)的a、d實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)備比較充分，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求小明同時(shí)抽到兩科都準(zhǔn)備較充分的實(shí)驗(yàn)題目的概率．
【分析】（1）畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)即可；
（2）共有16個(gè)等可能的結(jié)果，小明同時(shí)抽到兩科都準(zhǔn)備較充分的實(shí)驗(yàn)題目的結(jié)果有4個(gè)，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）畫樹狀圖如圖：

某位同學(xué)抽簽的所有可能情況共16種．
故答案為：16．

（2）與樹狀圖可知，共有16個(gè)等可能的結(jié)果，小明同時(shí)抽到兩科都準(zhǔn)備較充分的實(shí)驗(yàn)題目的結(jié)果有4個(gè)，
則小明同時(shí)抽到兩科都準(zhǔn)備較充分的實(shí)驗(yàn)題目的概率為＝．
16．如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺完成以下作圖（保留作圖痕跡）．
（1）在圖1中，作△ABC的中線BD；
（2）在圖2中，作一個(gè)以△ABC的中線BD為邊的平行四邊形BDEF．

【分析】（1）利用平行線等分線段定理取AC的中點(diǎn)D，連接DE即可．
（2）取格點(diǎn)P，Q，連接PQ，取PQ的中點(diǎn)E，格點(diǎn)F，作四邊形BDEF即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）如圖，線段BD即為所求作．
（2）如圖，四邊形BDEF即為所求作（答案不唯一）．

17．在疫情防控期間，某中學(xué)為保障廣大師生生命健康安全，欲從商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批免洗手消毒液和84消毒液．如果購(gòu)買30瓶免洗手消毒液和60瓶84消毒液，共需花費(fèi)930元，如果購(gòu)買40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花費(fèi)1320元．
（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的價(jià)格分別是多少元？
（2）若商場(chǎng)有兩種促銷方案：方案一，所有購(gòu)買商品均打八折；方案二，購(gòu)買10瓶免洗手消毒液送5瓶84消毒液，學(xué)校打算購(gòu)進(jìn)免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，請(qǐng)問學(xué)校選用哪種方案更節(jié)約錢？節(jié)約多少錢？
【分析】（1）根據(jù)購(gòu)買30瓶免洗手消毒液和60瓶84消毒液，共需花費(fèi)930元，如果購(gòu)買40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花費(fèi)1320元，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，從而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的價(jià)格分別是多少元；
（2）根據(jù)題意，可以求出方案一和方案二的花費(fèi)情況，然后比較大小并作差即可解答本題．
【解答】解：（1）設(shè)每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的價(jià)格分別是a元、b元，
，
解得，
即每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的價(jià)格分別是15元、8元；
（2）方案一的花費(fèi)為：（15×100+8×60）×0.8＝1584（元），
方案二的花費(fèi)為：15×100+8×（60﹣100÷10×5）＝1580（元），
1584﹣1580＝4（元），1584＞1580，
答：學(xué)校選用方案二更節(jié)約錢，節(jié)約4元．
18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y＝在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)C，CD⊥x軸，tan∠BAO＝，OA＝4，OD＝2．
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)E是反比例函數(shù)在第三象限內(nèi)圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥y軸，垂足為點(diǎn)F，連接OE、AF，如果S△BAF＝4S△EFO，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

【分析】（1）由條件可求得點(diǎn)A坐標(biāo)及AD，由tan∠BAO＝則可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可求得m的值，可求得反比例函數(shù)解析式，把點(diǎn)A，點(diǎn)C坐標(biāo)代入y＝kx+b求出一次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)出E的坐標(biāo)，從而可分別表示出△BAF和EDFO的面積，由條件可列出方程，從而可求得E點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵OA＝4，OD＝2，
∴A（﹣4，0），D（2，0），
∴AD＝OA+OD＝4+2＝6，
∵∠BAO＝∠CAD，
∴tan∠BAO＝tan∠CAD＝，
∵tan∠CAD＝，
∴CD＝tan∠CAD?AD＝×6＝3，
∵D（2，0），CD⊥x軸，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（2，3），
∵一次函數(shù)y＝kx+b圖象與x軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y＝在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)C，
∴將A（﹣4，0），C（2，3）代入y＝kx+b中，
聯(lián)立可得：，
解得：，
∴一次函數(shù)的解析式為y＝x+2，
∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝的圖象上，
∴將C（2，3）代入y＝中，
可得：3＝，
解得：m＝6，
∴反比例函數(shù)解析式為y＝；
（2）設(shè)點(diǎn)E（﹣x，﹣），根據(jù)題意得，
∵點(diǎn)E在第三象限，
∴EF＝x，OF＝，
∴S△EFO＝EF?OF＝x?＝3，
∵由（1）可知一次函數(shù)的解析式為y＝x+2，
又∵一次函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)B，
∴令x＝0代入y＝x+2可得：y＝2，
∴B（0，2），
∴OB＝2，
∴BF＝OB+OF＝2+，
∴S△BAF＝BF?OA＝（2+）×4＝2（2+），
∵S△BAF＝4S△EFO，
∴2（2+）＝4×3，
解得：x＝，
當(dāng)x＝時(shí)，﹣＝﹣4，
∴E（﹣，﹣4）．
19．某學(xué)校共有學(xué)生2350名，學(xué)校為了解疫情期間學(xué)生對(duì)網(wǎng)課內(nèi)容的喜歡程度，開展了一次網(wǎng)上問卷調(diào)查，隨機(jī)抽取部分學(xué)生，按四個(gè)類別統(tǒng)計(jì)，其中A表示“很喜歡”，B表示“喜歡”，C表示“一般”，D表示“不喜歡”，并將調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

請(qǐng)根據(jù)圖中提供信息，解決下列問題：
（1）這次共抽取多少名學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計(jì)調(diào)查？扇形統(tǒng)計(jì)圖中D類所在的扇形的圓形角度數(shù)是多少？
（2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整．
（3）估計(jì)該校表示“喜歡”的B類學(xué)生大約有多少人？
【分析】（1）利用C類人數(shù)除以所占百分比可得抽取總?cè)藬?shù)，用360°乘以D類所占的百分比，計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)總數(shù)計(jì)算出A類的人數(shù)，然后再補(bǔ)圖即可；
（3）利用樣本估計(jì)總體的方法計(jì)算即可．
【解答】解：（1）抽取的學(xué)生總數(shù)：12÷24%＝50（人），
扇形統(tǒng)計(jì)圖中D類所在的扇形的圓形角度數(shù)是360°×＝64.8°；

（2）A類學(xué)生人數(shù)：50﹣24﹣12﹣9＝5（人），
補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：

（3）2350×＝1128（人），
答：該校表示“喜歡”的B類學(xué)生大約有1128人．
20．市政府為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù)，圖1是某品牌共享單車放在水平地面上的實(shí)物圖，圖2是其示意圖，其中AB、CD都與地面平行，車輪半徑為31cm，∠ACD＝70°，AC＝62cm，坐墊F與點(diǎn)A的距離AF為13cm．
（1）求坐墊F到地面的距離．
（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)坐墊F到CD的距離調(diào)整為人體腿長(zhǎng)的0.8時(shí)，坐騎比較舒適．小明的腿長(zhǎng)約為85m，現(xiàn)將坐墊F調(diào)整至坐騎舒適高度位置F′，求FF′的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin70≈0.94，cos70≈0.34，tan70≈2.75）

【分析】（1）通過作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)求解即可；
（2）根據(jù)坐墊F到CD的距離調(diào)整為人體腿長(zhǎng)的0.8時(shí)，由小明的腿長(zhǎng)約為85cm，求出CF′，進(jìn)而求出FF′即可．
【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)F作FM⊥CD，垂足為M，

根據(jù)題意可知，CE＝31cm，AC＝62cm，AF＝13cm，
在Rt△FCM中，
FM＝FC?sin∠ACM≈（62+13）×0.94＝70.5（cm），
所以坐墊F到地面的距離為FM+CE＝70.5+31≈101.5（cm），
答：坐墊E到地面的距離約為101.5cm；
（2）如圖，由題意得，當(dāng)F′M′＝85×0.8＝68cm時(shí)，人騎行最舒服，
在Rt△F′CM′中，
CF′＝＝≈72.34（cm），
所以FF′＝CF﹣CF′＝62+13﹣72.34≈2.7（cm），
答：EE'的長(zhǎng)約為2.7cm．
21．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，D是AC中點(diǎn)，直線OD與⊙O相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，P是⊙O外一點(diǎn)，P在直線OD上，連接PA，PC，AF，且滿足∠PCA＝∠ABC．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）證明：EF2＝4OD?OP；
（3）若BC＝8，tan∠AFP＝，求DE的長(zhǎng)．

【分析】（1）先判斷出PA＝PC，得出∠PAC＝∠PCA，再判斷出∠ACB＝90°，得出∠CAB+∠CBA＝90°，再判斷出∠PCA+∠CAB＝90°，得出∠CAB+∠PAC＝90°，即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出Rt△AOD∽R(shí)t△POA，得出OA2＝OP?OD，進(jìn)而得出EF2＝OP?OD，即可得出結(jié)論；
（3）在Rt△ADF中，設(shè)AD＝2a，得出DF＝3a．OD＝BC＝4，AO＝OF＝3a﹣4，最后用勾股定理得出OD2+AD2＝AO2，即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明∵D是弦AC中點(diǎn)，
∴OD⊥AC，
∴PD是AC的中垂線，
∴PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°．
又∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠PCA+∠CAB＝90°，
∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA，
∴PA是⊙O的切線；

（2）證明：由（1）知∠ODA＝∠OAP＝90°，
∴Rt△AOD∽R(shí)t△POA，
∴，
∴OA2＝OP?OD．
又OA＝EF，
∴EF2＝OP?OD，即EF2＝4OP?OD．

（3）解：在Rt△ADF中，設(shè)AD＝2a，則DF＝3a．
OD＝BC＝4，AO＝OF＝3a﹣4．
∵OD2+AD2＝AO2，即42+4a2＝（3a﹣4）2，解得a＝，
∴DE＝OE﹣OD＝3a﹣8＝．
22．如圖，已知拋物線L1：y1＝x2，平移后經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0）得到拋物線L2，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線L2的解析式；
（2）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)P為拋物線L2上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，與拋物線L1交于點(diǎn)D，是否存在PD＝2OC？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

【分析】（1）由于二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)表示的是拋物線的開口大小和開口方向，在平移過程中，拋物線的形狀沒有發(fā)生變化，所以二次項(xiàng)系數(shù)仍為，已知了平移后的拋物線經(jīng)過x軸上的A、B兩點(diǎn)，可由待定系數(shù)法求出平移后的拋物線解析式；
（2）由坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特征可得C（0，﹣3），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到AB，BC，AC的值，再根據(jù)等腰三角形的判定即可求解；
（3）可設(shè)P（a，a2﹣a﹣3），D（a，a2），根據(jù)PD＝2OC，列出方程即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線L2的解析式為y＝x2+bx+c，經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），根據(jù)題意，得，
解得
∴拋物線L2的解析式為y＝x2﹣x﹣3．

（2）△ABC的形狀是等腰三角形．
理由：根據(jù)題意，得C（0，﹣3），
∵AB＝4﹣（﹣1）＝5，BC＝＝5，AC＝＝，
∴△ABC的形狀是等腰三角形．

（3）存在PD＝2OC．
設(shè)P（a，a2﹣a﹣3），D（a，a2），
根據(jù)題意，得PD＝|a2﹣a﹣3﹣a2|＝|a+3|，OC＝3，
當(dāng)|+3|＝6時(shí)，解得a1＝，a2＝﹣4．
∴P1（，﹣），P2（﹣4，18）．
六、（本大題共12分）
23．定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．
理解：（1）如圖1，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接AD，CD．
求證：四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形．
探究：（2）如圖2，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，BA＝BC，連接BD，BD是否平分∠ADC？請(qǐng)說(shuō)明理由．
運(yùn)用：（3）如圖3，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，CB＝CD，其外角∠FCB的平分線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，AB＝20，CE＝10，求BE的長(zhǎng)．

【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可知∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，再證AD＝CD，即可根據(jù)等補(bǔ)四邊形的定義得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)B分別作BE⊥DC于點(diǎn)E，BF垂直DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，證△ABF≌△CBE，得到BF＝BE，根據(jù)角平分線的判定可得出結(jié)論；
（3）連接AC，先證∠BAD＝∠BCF，推出∠BCE＝∠BAC，再證△BCE∽△CAE，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可求出BE的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）證明：∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，
∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴弧AD＝弧CD，
∴AD＝CD，
∴四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形；
（2）BD平分∠ADC，理由如下：
過點(diǎn)B分別作BE⊥DC于點(diǎn)E，BF垂直DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖：

則∠AFB＝∠CEB＝90°，
∵四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形，
∴∠C+∠BAD＝180°，
又∠BAE+∠BAD＝180°，
∴∠C＝∠BAF，
∵AB＝BC，
∴△ABF≌△CBE（AAS），
∴BF＝BE，
∴BD是∠ADC的平分線，即BD平分∠ADC；
（3）連接AC，如圖：

∵四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
又∠BCD+∠BCF＝180°，
∴∠BAD＝∠BCF，
∵CF平分∠BCF，
∴∠BCE＝∠BCF，
由（2）知，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠BAD，
∴∠BCE＝∠BAC，
又∠E＝∠E，
∴△BCE∽△CAE，
∴＝，
∵AB＝20，CE＝10，
∴＝，解得BE＝10﹣10（﹣10﹣10舍去），
∴BE＝10﹣10．


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