?專題1.4 一次函數(shù)章末重難點題型
【人教版】



【考點1 函數(shù)的概念】
【方法點撥】一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都
有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù).
【例1】（2020春?常德期末）下列各曲線中表示y是x的函數(shù)的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)函數(shù)的意義即可求出答案．
【解答】解：根據(jù)函數(shù)的意義可知：
對于自變量x的任何值，y都有唯一的值與之相對應(yīng)，所以D正確．
故選：D．
【點評】本題考查了函數(shù)的定義．解題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)的定義，在一個變化過程中有兩個變量x，y，對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù)，x叫自變量．
【變式1-1】（2019春?無棣縣期末）下列關(guān)于變量x，y的關(guān)系，其中y不是x的函數(shù)的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義可知，滿足對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)關(guān)系，據(jù)此即可確定函數(shù)的個數(shù)．
【解答】解：A、C、D當(dāng)x取值時，y有唯一的值對應(yīng)，
故選：B．
【點評】此題主要考查了函數(shù)的定義．函數(shù)的定義：在一個變化過程中，有兩個變量x，y，對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù)，x叫自變量．
【變式1-2】（2019春?微山縣期末）下列關(guān)于變量x，y的關(guān)系，其中y不是x的函數(shù)的是（　?。?br /> A．
x
1
2
3
4
y
2
6
8
10
B．
x
1
2
3
4
y
6
6
8
10
C．
x
1
2
3
4
y
6
6
8
8
D．
x
1
2
3
y
2
6
8
10
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x與y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x是自變量，進(jìn)而判斷得出即可．
【解答】解：選項ABC中，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應(yīng)，故y是x的函數(shù)；
只有選項D中，x取1個值，y有2個值與其對應(yīng)，故y不是x的函數(shù)．
故選：D．
【點評】此題主要考查了函數(shù)的定義，正確掌握函數(shù)定義是解題關(guān)鍵．
【變式1-3】（2019秋?東?？h期末）變量x、y有如下的關(guān)系，其中y是x的函數(shù)的是（　?。?br /> A．y2＝8x B．|y|＝x C．y=1x D．x=12y4
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義：設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x與y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x是自變量進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A、y2＝8x，y不是x的函數(shù)，故此選項錯誤；
B、|y|＝x，y不是x的函數(shù)，故此選項錯誤；
C、y=1x，y是x的函數(shù)，故此選項正確；
D、x=12y4，y不是x的函數(shù)，故此選項錯誤；
故選：C．
【點評】此題主要考查了函數(shù)概念，關(guān)鍵是對函數(shù)概念的理解：①有兩個變量；②一個變量的數(shù)值隨著另一個變量的數(shù)值的變化而發(fā)生變化；③對于自變量的每一個確定的值，函數(shù)值有且只有一個值與之對應(yīng)，即單對應(yīng)．
【考點2 函數(shù)自變量的取值范圍】
【方法點撥】函數(shù)自變量的范圍，一般從三個方面考慮：
（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；
（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時，考慮分式的分母不能為0；
（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)非負(fù)．
【例2】（2020春?海淀區(qū)校級期中）下列函數(shù)中，自變量取值范圍錯誤的是（　?。?br /> A．y=12x?1（x≠12） B．y=1?x（x≤1）
C．y＝x2﹣1（x為任意實數(shù)） D．y=1x?1（x≥1）
【分析】利用2x﹣1≠0可對A進(jìn)行判斷；利用1﹣x≥0可對B進(jìn)行判斷；利用x全體實數(shù)可對C進(jìn)行判斷；利用x﹣1＞0可對D進(jìn)行判斷．
【解答】解：y=12x?1的自變量的取值范圍為x≠12；
y=1?x的自變量的取值范圍為x≤1；
y＝x2﹣1的自變量的取值范圍為x為任意實數(shù)；
y=1x?1的自變量的取值范圍為x＞1．
故選：D．
【點評】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍：自變量的取值范圍必須使含有自變量的表達(dá)式都有意義．④于實際問題中的函數(shù)關(guān)系式，自變量的取值除必須使表達(dá)式有意義外，還要保證實際問題有意義．
【變式2-1】（2020秋?長安區(qū)校級月考）在函數(shù)y=x+4+x﹣2中，自變量x的取值范圍是（　?。?br /> A．x≥﹣4 B．x≠0 C．x≥﹣4且x≠0 D．x＞﹣4且x≠0
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由題意得，x+4≥0，x≠0，
解得，x≥﹣4且x≠0，
故選：C．
【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2020?黃石）函數(shù)y=1x?3+x?2的自變量x的取值范圍是（　?。?br /> A．x≥2，且x≠3 B．x≥2 C．x≠3 D．x＞2，且x≠3
【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，以及分母不等于0，就可以求出x的范圍．
【解答】解：根據(jù)題意得：x﹣2≥0，且x﹣3≠0，
解得x≥2，且x≠3．
故選：A．
【點評】本題考查的是函數(shù)自變量取值范圍的求法．函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：
（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；
（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時，考慮分式的分母不能為0；
（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)非負(fù)．
【變式2-3】（2020?陽新縣模擬）函數(shù)y=11?3x+（x+2）0的自變量x的取值范圍是（　?。?br /> A．x＞13 B．x＜13 C．x＜13且x≠﹣2 D．x≠13
【分析】根據(jù)分母不為0、二次根式有意義的條件和零指數(shù)冪的意義得到1﹣3x＞0且x+2≠0，然后求出它們的公共部分即可．
【解答】解：根據(jù)題意得1﹣3x＞0且x+2≠0，
所以x＜13且x≠﹣2．
故選：C．
【點評】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍：自變量的取值范圍必須使含有自變量的表達(dá)式都有意義．
【考點3 函數(shù)圖象的識別】
【方法點撥】首先應(yīng)理解函數(shù)圖象的橫軸和縱軸表示的量，再根據(jù)實際情況來判斷函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．
【例3】（2020春?沙河口區(qū)期末）一天早上小明步行上學(xué)，他離開家后不遠(yuǎn)便發(fā)現(xiàn)有東西忘在了家里，馬上以相同的速度回家去拿，到家后因事耽誤一會，忙完后才離開，為了不遲到，小明跑步到了學(xué)校，則小明離學(xué)校的距離y與離家的時間t之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)題意和各個選項中函數(shù)圖象可以判斷哪個選項是正確的，本題得以解決．
【解答】解：由題意可得，小明步行上學(xué)時小明離學(xué)校的距離減小，而后離開家后不遠(yuǎn)便發(fā)現(xiàn)有東西忘在了家里，于是以相同的速度回家去拿時小明離學(xué)校的距離增大，到家后因事耽誤一會，忙完后才離開，此時距離不變，小明跑步到了學(xué)校時小明離學(xué)校的距離減小直至為0．
故B選項符合，
故選：B．
【點評】此題考查函數(shù)圖象，關(guān)鍵是根據(jù)題意得出距離先減小再增大，然后不變后減小為0進(jìn)行判斷．
【變式3-1】（2020春?武侯區(qū)期末）成都市雙流新城公園是亞洲最大的城市濕地公園，周末小李在這個公園里某筆直的道路上騎車游玩，先前進(jìn)了a千米，體息了一段時間，又原路返回b千米（b＜a），再前進(jìn)c千米，則他離起點的距離s與時間t的關(guān)系的示意圖是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)前進(jìn)時路程增加，休息時路程不變，返回時路程減少，再前進(jìn)時路程增加，可得答案．
【解答】解：由題意，得
路程先增加，路程不變，路程減少，路程又增加，故D符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查了函數(shù)圖象，理解題意掌握路程與時間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，注意B圖象中時間沒變路程無法減少．
【變式3-2】（2020春?揭陽期中）小明觀看了《中國詩聞大會》第三期，主題為“人生自有詩意”，受此啟發(fā)根據(jù)鄰居家的故事寫了一首小詩：“兒子學(xué)成今日返，老父早早到車站，兒子到后細(xì)端詳，父子高興把家還”，如圖用y軸表示父親與兒子行進(jìn)中離家的距離，用x軸表示父親離家的時間，那么下面圖象與上述詩的含義大致相吻合的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】開始時，父親離家的距離越來越遠(yuǎn)，而兒子離家的距離越來越近，車站在兩人出發(fā)點之間，而父親早到，兩人停一段時間以后，兩人一起回家，則離家的距離與離家時間的關(guān)系相同．
【解答】解：開始時，父親離家的距離越來越遠(yuǎn)，而兒子離家的距離越來越近，車站在兩人出發(fā)點之間，而父親早到，故A，B，D不符合題意；兩人停一段時間以后，兩人一起回家，則離家的距離與離家時間的關(guān)系相同，則選項D符合題意．
故選：D．
【點評】主要考查了函數(shù)圖象的讀圖能力．要能根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)和圖象上的數(shù)據(jù)分析得出函數(shù)的類型和所需要的條件，結(jié)合實際意義得到正確的結(jié)論．
【變式3-3】（2020春?文圣區(qū)期末）如圖，向一個半徑為R、容積為V的球形容器內(nèi)注水，則能反映容積內(nèi)水的體積y與容器內(nèi)水深x之間的關(guān)系的圖象可能為（　　）

A． B．
C． D．
【分析】水深h越大，水的體積v就越大，故容器內(nèi)水的體積y與容器內(nèi)水深x間的函數(shù)是增函數(shù)，根據(jù)球的特征進(jìn)行判斷分析即可．
【解答】解：根據(jù)球形容器形狀可知，函數(shù)y的變化趨勢呈現(xiàn)出，當(dāng)0＜x＜R時，y增量越來越大，當(dāng)R＜x＜2R時，y增量越來越小，
曲線上的點的切線斜率先是逐漸變大，后又逐漸變小，故y關(guān)于x的函數(shù)圖象是先凹后凸．
故選：A．
【點評】本題主要考查了函數(shù)圖象的變化特征，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．解得此類試題時注意，如果水的體積隨深度的增加而逐漸變快，對應(yīng)圖象是曲線從緩逐漸變陡．
【考點4 通過函數(shù)圖象獲取信息】
【方法點撥】理解函數(shù)圖象橫縱坐標(biāo)表示的意義，理解問題的過程，就能夠通過圖象得到函數(shù)問題的相應(yīng)解決．需注意計算單位的統(tǒng)一．
【例4】（2020春?長葛市期末）甲、乙兩同學(xué)從A地出發(fā)，騎自行車在同一條路上行駛到B地，他們離出發(fā)地的距離s（千米）和行駛時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，有下列說法：
（1）他們都行駛了18千米；
（2）甲在途中停留了0.5小時；
（3）乙比甲晚出發(fā)了0.5小時；
（4）相遇后，甲的速度大于乙的速度；
（5）甲、乙兩人同時到達(dá)目的地．
其中，符合圖象描述的說法有（　　）

A．2個 B．4個 C．3個 D．5個
【分析】通過觀察圖象可得到甲出發(fā)0.5小時后停留了0.5小時，然后再用1.5小時到達(dá)離出發(fā)地18千米的目的地；乙比甲晚0.5小時出發(fā)，用1.5小時到達(dá)離出發(fā)地18千米的目的地，根據(jù)此信息分別對5種說法分別進(jìn)行判斷．
【解答】解：觀察圖象，甲、乙到達(dá)目的地時離出發(fā)地的距離，所以（1）正確；
都為18千米，甲在0.5小時至1小時之間，S沒有變化，說明甲在途中停留了0.5小時，所以（2）正確；
甲出發(fā)0.5小時后乙開始出發(fā)，說明（3）正確；
兩圖象相交后乙的圖象在甲的上方，說明甲的速度小于乙的速度，所以（4）不正確；
甲出發(fā)2.5小時后到達(dá)目的地，而乙在甲出發(fā)2小時后到達(dá)目的地，所以（5）不正確．
故選：C．
【點評】本題考查了函數(shù)圖象：學(xué)會看函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象中獲取信息，并且解決有關(guān)問題．
【變式4-1】（2020春?門頭溝區(qū)期末）甲、乙二人約好沿同一路線去某地集合進(jìn)行宣傳活動，如圖，是甲、乙二人行走的圖象，點O代表的是學(xué)校，x表示的是行走時間（單位：分），y表示的是與學(xué)校的距離（單位：米），最后都到達(dá)了目的地，根據(jù)圖中提供的信息，下面有四個推斷：
①甲、乙二人第一次相遇后，停留了10分鐘；
②甲先到達(dá)的目的地；
③甲在停留10分鐘之后提高了行走速度；
④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快．
所有正確推斷的序號是（　?。?br />
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)得出路程、時間與速度，進(jìn)而解答即可．
【解答】解：①甲、乙二人第一次相遇后，停留了20﹣10＝10分鐘，說法正確；
②甲在35分時到達(dá)，乙在40分時到達(dá)，所以甲先到達(dá)的目的地，說法正確；
⑧甲在停留10分鐘之后減慢了行走速度，說法錯誤；
④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快，說法正確；
故選：D．
【點評】本題考查一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．
【變式4-2】（2020春?莘縣期末）已知A、B兩地相距600米，甲、乙兩人同時從A地出發(fā)前往B地，所走路程y（米）與行駛時間x（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法中：①甲每分鐘走100米；②兩分鐘后乙每分鐘走50米；③甲比乙提前3分鐘到達(dá)B地；④當(dāng)x＝2或6時，甲乙兩人相距100米．正確的有　 ?。ㄔ跈M線上填寫正確的序號）．

【分析】①根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可知甲6分鐘走了600米，從而可以計算出甲每分鐘走的路程，從而可以判斷該小題是否正確；
②根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)可知，乙2分鐘到6分鐘走的路程是500﹣300＝200米，從而可以計算出兩分鐘后乙每分鐘走的路程，從而可以判斷該小題是否正確；
③根據(jù)乙2分鐘后的速度，可以計算出乙從A地到B地用的總的時間，然后與6作差，即可判斷該小題是否正確；
④根據(jù)圖象，可以分別計算出x＝2和x＝6時，甲乙兩人的距離，從而可以判斷該小題是否正確．
【解答】解：由圖象可得，
甲每分鐘走：600÷6＝100（米），故①正確；
兩分鐘后乙每分鐘走：（500﹣300）÷（6﹣2）＝200÷4＝50（米），故②正確；
乙到達(dá)B地用的時間為：2+（600﹣300）÷50＝2+300÷50＝2+6＝8（分鐘），則甲比乙提前8﹣6＝2分鐘達(dá)到B地，故③錯誤；
當(dāng)x＝2時，甲乙相距300﹣100×2＝300﹣200＝100（米），當(dāng)x＝6時，甲乙相距600﹣500＝100米，故④正確；
故答案為：①②④．
【點評】本題考查函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
【變式4-3】（2019春?九龍坡區(qū)校級期中）重慶實驗外國語學(xué)校運動會期間，小明和小歡兩人打算勻速從教室跑到600米外的操場參加入場式，出發(fā)時小明發(fā)現(xiàn)鞋帶松了，停下來系鞋帶，小歡繼續(xù)跑往操場，小明系好鞋帶后立即沿同一路線開始追趕小歡小明在途中追上小歡后繼續(xù)前行，小明到達(dá)操場時入場式還沒有開始，于是小明站在操場等待，小歡繼續(xù)前往操場．設(shè)小明和小歡兩人相距s（米），小歡行走的時間為t（分鐘），s關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖所示，則在整個運動過程中，小明和小歡第一次相距80米后，再過　 　分鐘兩人再次相距80米．

【分析】由題意小歡的速度為40米/分鐘，小明的速度為80米/分鐘，設(shè)小明在途中追上小歡后需要x分鐘兩人相距80米，則：80x﹣40x＝80，解得x＝2分鐘，推出小歡一共走了40×（2+2）＝160（米），由此即可解決問題．
【解答】解：由題意小歡的速度為40米/分鐘，小明的速度為80米/分鐘，
設(shè)小明在途中追上小歡后需要x分鐘兩人相距80米，
則有：80x﹣40x＝80，
∴x＝2，
此時小歡一共走了40×（2+2）＝160（米），
（600﹣160﹣80）÷40＝9（分）．
即小明和小歡第一次相距80米后，再過9分鐘兩人再次相距80米．
故答案為：9
【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，路程，速度，時間的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．
【考點5 動點問題的函數(shù)圖象】
【例5】（2020春?青島期末）如圖，在長方形ABCD中，動點P從A出發(fā)，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向運動到點A處停止．設(shè)點P運動的路程為x，△PCD的面積為y，如果y與x之間的關(guān)系如圖所示，那么長方形ABCD的面積為（　?。?br />
A．12 B．24 C．20 D．48
【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖象得出AB、BC的長度，再求出面積即可．
【解答】解：由題意可知，當(dāng)點P從點A運動到點B時，△PCD的面積不變，結(jié)合圖象可知AB＝6，
當(dāng)點P從點B運動到點C時，△PCD的面積逐漸變小直到為0，結(jié)合圖象可知BC＝4，
∴長方形ABCD的面積為：AB?BC＝6×4＝24．
故選：B．
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)和函數(shù)圖象，能根據(jù)圖形得出正確信息是解此題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2020春?芝罘區(qū)期末）如圖1，在長方形ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿BC，CD，DA運動至點A停止，設(shè)點P運動的路程為x，三角形ABP的面積為y，如果y關(guān)于x的圖象如圖2所示，則長方形ABCD的周長是（　?。?br />
A．13 B．17 C．18 D．26
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象、結(jié)合圖形求出AB、BC的值，即可得出矩形ABCD的周長．
【解答】解：∵動點P從點B出發(fā)，沿BC、CD、DA運動至點A停止，而當(dāng)點P運動到點C，D之間時，△ABP的面積不變，
函數(shù)圖象上橫軸表示點P運動的路程，x＝4時，y開始不變，說明BC＝4，x＝9時，接著變化，說明CD＝9﹣4＝5，
∴AB＝5，BC＝4，
∴矩形ABCD的周長＝2（AB+BC）＝18．
故選：C．
【點評】本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，在解題時要能根據(jù)函數(shù)的圖象求出AB、BC的長度是解決問題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2020?河南二模）如圖①．在正方形ABCD的邊BC上有一點E，連接AE．點P從正方形的頂點A出發(fā)，沿A→D→C以1cm/s的速度勻速運動到點C．圖②是點P運動時，△APE的面積y（cm2）隨時間x（s）變化的函數(shù)圖象．當(dāng)x＝7時，y的值為（　　）

A．7 B．6 C．132 D．112
【分析】①當(dāng)點P在點D時，y=12AB×AD=12×a×a＝8，解得：a＝4，②當(dāng)點P在點C時，y=12EP×AB=12×EP×4＝6，解得：EP＝3，即EC＝3，BE＝1，③當(dāng)x＝7時，y＝S正方形ABCD﹣（S△ABE+S△ECP+S△APD，即可求解．
【解答】解：設(shè)正方形的邊長為a，
①當(dāng)點P在點D時，y=12AB×AD=12×a×a＝8，解得：a＝4，
②當(dāng)點P在點C時，y=12EP×AB=12×EP×4＝6，解得：EP＝3，即EC＝3，BE＝1，
③當(dāng)x＝7時，如下圖所示：

此時，PC＝1，PD＝7﹣4＝3，
當(dāng)x＝7時，y＝S正方形ABCD﹣（S△ABE+S△ECP+S△APD）＝4×4?12（4×1+1×3+4×3）=132，
故選：C．
【點評】本題考查的是動點圖象問題，此類問題關(guān)鍵是：弄清楚不同時間段，圖象和圖形的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而求解．
【變式5-3】（2020春?自貢期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點A（6，0），C（0，4）點D與坐標(biāo)原點O重合，動點P從點O出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿O﹣A﹣B﹣C的路線向終點C運動，連接OP、CP，設(shè)點P運動的時間為t秒，△CPO的面積為S，下列圖象能表示t與S之間函數(shù)關(guān)系的是（　?。?br />
A．
B．
C．
D．
【分析】根據(jù)動點運動的起點位置、關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點，結(jié)合排除法，可得答案．
【解答】解：∵動點P從點O出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿O﹣A﹣B﹣C的路線向終點C運動，△CPO的面積為S
∴當(dāng)t＝0時，OP＝0，故S＝0
∴選項C、D錯誤；
當(dāng)t＝3時，點P和點A重合，
∴當(dāng)點P在從點A運動到點B的過程中，S的值不變，均為12，故排除A，只有選項B符合題意．
故選：B．
【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合及正確運用排除法，是解題的關(guān)鍵．
【考點6 一次函數(shù)的定義】
【方法點撥】一次函數(shù)的定義，一次函數(shù)y＝kx+b的條件是：k、b為常數(shù)，k≠0，自變量次數(shù)為1．注意一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)，正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)．
【例6】（2020秋?長清區(qū)校級月考）下列函數(shù)中，是一次函數(shù)的是　 　，是正比例函數(shù)的是　 ?。ㄌ钚蛱枺?br /> （1）y=?x2；（2）y=?2x；（3）y＝3﹣5x；（4）y＝﹣5x2；（5）y＝6x?12；（6）y＝x（x﹣4）﹣x2；（7）y＝x﹣6．
【分析】根據(jù)一次函數(shù)與正比例函數(shù)的定義解答即可．
【解答】解：（1）y=?x2是一次函數(shù)，也是正比例函數(shù)；（2）y=?2x是反比例函數(shù)；（3）y＝3﹣5x是一次函數(shù)；（4）y＝﹣5x2是二次函數(shù)；（5）y＝6x?12是一次函數(shù)；（6）y＝x（x﹣4）﹣x2＝﹣4x是正比例函數(shù)，也是一次函數(shù)；（7）y＝x﹣6是一次函數(shù)．
故答案為：（1）（3）（5）（6）（7）；（1）（6）
【點評】本題主要考查了正比例函數(shù)與一次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)與正比例函數(shù)的定義及關(guān)系：一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)，正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)．
【變式6-1】（2019春?偃師市期中）已知函數(shù)y＝（m+b）x+m﹣2，當(dāng)m　 　時，是一次函數(shù)；當(dāng)m　 　時，是正比例函數(shù)．
【分析】根據(jù)一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義作答．
【解答】解：由題意知，當(dāng)m+b≠0，即m≠﹣b時，函數(shù)y＝（m+b）x+m﹣2是一次函數(shù)；
當(dāng)當(dāng)m+b≠0且m﹣2＝0，即m≠﹣b且m＝2時，函數(shù)y＝（m+b）x+m﹣2是正比例函數(shù)；
故答案是：≠﹣b；≠﹣b且m＝2．
【點評】本題主要考查一次函數(shù)與正比例函數(shù)之間的聯(lián)系，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊情況．
【變式6-2】（2020春?金山區(qū)期中）若函數(shù)y＝（m﹣2）xm2?3+2是一次函數(shù)，那么m＝　 ?。?br /> 【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義，列出關(guān)于m的方程和不等式進(jìn)行求解即可．
【解答】解：由題意得，m2﹣3＝1且m﹣2≠0，
解得：m＝±2且m≠2，
∴m＝﹣2．
故答案為：﹣2．
【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的定義，一次函數(shù)y＝kx+b的條件是：k、b為常數(shù)，k≠0，自變量次數(shù)為1．
【變式6-3】（2020春?叢臺區(qū)校級期中）函數(shù)y＝（m﹣2）x|m|﹣1+5是y關(guān)于x的一次函數(shù)，則m＝　﹣2?。?br /> 【分析】根據(jù)一次函數(shù)y＝kx+b的定義條件是：k、b為常數(shù)，k≠0，自變量次數(shù)為1，即可得出m的值．
【解答】解：根據(jù)一次函數(shù)的定義可得：m﹣2≠0，|m|﹣1＝1，
由|m|﹣1＝1，解得：m＝﹣2或2，
又m﹣2≠0，m≠2，
則m＝﹣2．
故答案為：﹣2．
【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的定義，難度不大，注意基礎(chǔ)概念的掌握．
【考點7 一次函數(shù)的圖象】
【方法點撥】一次函數(shù)圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置與k、b的關(guān)系．解答本題注意理解：直線y＝kx+b所在的位置與k、b的符號有直接的關(guān)系．k＞0時，直線必經(jīng)過一、三象限．k＜0時，直線必經(jīng)過二、四象限．b＞0時，直線與y軸正半軸相交．b＝0時，直線過原點；b＜0時，直線與y軸負(fù)半軸相交．
【例7】（2020春?九龍坡區(qū)校級期末）已知如圖是函數(shù)y＝kx+b的圖象，則函數(shù)y＝kbx+k的大致圖象是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)函數(shù)y＝kx+b的圖象確定k，b的取值范圍，即可確定函數(shù)y＝kbx+k的大致圖象．
【解答】解：由函數(shù)y＝kx+b的圖象可知k＜0、b＞0，
∴kb＜0，
∴函數(shù)y＝kbx+k的圖象經(jīng)過第二、三、四象限；
故選：C．
【點評】本題主要考查一次函數(shù)圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置與k、b的關(guān)系．解答本題注意理解：直線y＝kx+b所在的位置與k、b的符號有直接的關(guān)系．k＞0時，直線必經(jīng)過一、三象限．k＜0時，直線必經(jīng)過二、四象限．b＞0時，直線與y軸正半軸相交．b＝0時，直線過原點；b＜0時，直線與y軸負(fù)半軸相交．
【變式7-1】（2020春?孝義市期末）一次函數(shù)y＝mx+n與y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由于m、n的符號不確定，故應(yīng)先討論m、n的符號，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行選擇．
【解答】解：（1）當(dāng)m＞0，n＞0時，mn＞0，
一次函數(shù)y＝mx+n的圖象一、二、三象限，
正比例函數(shù)y＝mnx的圖象過一、三象限，無符合項；
（2）當(dāng)m＞0，n＜0時，mn＜0，
一次函數(shù)y＝mx+n的圖象一、三、四象限，
正比例函數(shù)y＝mnx的圖象過二、四象限，C選項符合；
（3）當(dāng)m＜0，n＜0時，mn＞0，
一次函數(shù)y＝mx+n的圖象二、三、四象限，
正比例函數(shù)y＝mnx的圖象過一、三象限，無符合項；
（4）當(dāng)m＜0，n＞0時，mn＜0，
一次函數(shù)y＝mx+n的圖象一、二、四象限，
正比例函數(shù)y＝mnx的圖象過二、四象限，無符合項．
故選：C．
【點評】一次函數(shù)y＝kx+b的圖象有四種情況：
①當(dāng)k＞0，b＞0，函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限；
②當(dāng)k＞0，b＜0，函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限；
③當(dāng)k＜0，b＞0時，函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限；
④當(dāng)k＜0，b＜0時，函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限．
【變式7-2】（2020秋?西湖區(qū)期末）若實數(shù)a，b，c滿足a+b+c＝0，且a＜b＜c，則函數(shù)y＝﹣cx﹣a的圖象可能是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】先判斷出a是負(fù)數(shù)，c是正數(shù)，然后根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系確定圖象經(jīng)過的象限以及與y軸的交點的位置即可得解．
【解答】解：∵a+b+c＝0，且a＜b＜c，
∴a＜0，c＞0，（b的正負(fù)情況不能確定），
∴﹣a＞0，﹣c＜0，
∴函數(shù)y＝﹣cx﹣a的圖象經(jīng)過二、一、四象限．
故選：B．
【點評】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，先確定出a、c的正負(fù)情況是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．
【變式7-3】（2019秋?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖所示，直線l1：y＝ax+b和l2：y＝﹣bx+a在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)各選項中的函數(shù)圖象判斷出a、b異號，然后分別確定出兩直線經(jīng)過的象限以及與y軸的交點位置，即可得解．
【解答】解：∵直線l1：經(jīng)過第一、三象限，
∴a＞0，
又∵該直線與y軸交于負(fù)半軸，
∴b＜0．
∴﹣b0，
∴直線l2經(jīng)過第一、二、三象限．
故選：B．
【點評】本題考查了一次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0），k＞0時，一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一三象限，k＜0時，一次函數(shù)圖象經(jīng)過第二四象限，b＞0時與y軸正半軸相交，b＜0時與y軸負(fù)半軸相交．
【考點8 一次函數(shù)的性質(zhì)】
【例8】（2020秋?句容市月考）已知一次函數(shù)y＝（1﹣2m）x+m+1，當(dāng)m為何值時，
（1）y隨x的增大而增大？
（2）圖象經(jīng)過第一、二、四象限？
（3）圖象與y軸的交點在x軸的上方？
（4）經(jīng)過直角坐標(biāo)系原點？此時圖象經(jīng)過那個象限？
【分析】（1）由y隨x的增大而增大，利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出1﹣2m＞0，解之即可得出結(jié)論；
（2）由一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，利用一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)一次函數(shù)的定義結(jié)合一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出結(jié)論；
（4）根據(jù)一次函數(shù)的定義結(jié)合一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，即可得出此時一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限．
【解答】解：（1）∵y隨x的增大而增大，
∴1﹣2m＞0，
∴m＜12，
∴當(dāng)m＜12時，y隨x的增大而增大；
（2）∵一次函數(shù)y＝（1﹣2m）x+m+1的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，
∴1?2m＜0m+1＞0，
解得：m＞12，
∴當(dāng)m＞12時，一次函數(shù)y＝（1﹣2m）x+m+1的圖象經(jīng)過第一、二、四象限；
（3）∵一次函數(shù)y＝（1﹣2m）x+m+1的圖象與y軸的交點在x軸的上方，
∴1?2m≠0m+1＞0，
解得：m＞﹣1且m≠12，
∴當(dāng)m＞﹣1且m≠12時，一次函數(shù)y＝（1﹣2m）x+m+1的圖象與y軸的交點在x軸的上方；
（4）∵一次函數(shù)y＝（1﹣2m）x+m+1的圖象經(jīng)過直角坐標(biāo)系原點，
∴1?2m≠0m+1=0，
解得：m＝﹣1，
∴1﹣2m＝3＞0，
∴當(dāng)m＝﹣1時，一次函數(shù)y＝（1﹣2m）x+m+1的圖象經(jīng)過原點，此時圖象經(jīng)過第一、三象限．
【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的定義以及一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：（1）利用一次函數(shù)的性質(zhì)找出1﹣2m＞0；（2）利用一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系找出關(guān)于m的一元一次不等式組；（3）根據(jù)一次函數(shù)的定義結(jié)合一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，找出關(guān)于m的一元一次不等式；（4）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出m值．
【變式8-1】（2020秋?吳江區(qū)期末）已知關(guān)于x的一次函數(shù)y＝mx+4m﹣2．
（1）若這個函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，求m的值；
（2）若這個函數(shù)的圖象不過第四象限，求m的取值范圍；
（3）不論m取何實數(shù)這個函數(shù)的圖象都過定點，試求這個定點的坐標(biāo)．
【分析】（1）直接把（0，0）代入求出m的值即可；
（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于m的不等式組，求出m的取值范圍即可；
（3）把一次函數(shù)解析式化為關(guān)于m的一元一次方程，根據(jù)方程有無數(shù)解解答．
【解答】解：（1）∵這個函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，
∴當(dāng)x＝0時，y＝0，即4m﹣2＝0，
解得m=12；
（2）∵這個函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限，
∴m＞04m?2≥0，
解得，m≥12；
（3）一次函數(shù)y＝mx+4m﹣2變形為：m（x+4）＝y(tǒng)+2，
∵不論m取何實數(shù)這個函數(shù)的圖象都過定點，
∴x+4＝0，y+2＝0，
解得，x＝﹣4，y＝﹣2，
則不論m取何實數(shù)這個函數(shù)的圖象都過定點（﹣4，﹣2）．
【點評】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，熟知一次函數(shù)圖象上各點一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．
【變式8-2】（2020秋?南明區(qū)校級期中）已知一次函數(shù) y＝（6+3m）x+（n﹣4）．求：
（1）m為何值時，y隨x的增大而減??；
（2）m，n滿足什么條件時，函數(shù)圖象與y軸的交點在x軸下方；
（3）m，n分別取何值時，函數(shù)圖象經(jīng)過原點；
（4）m，n滿足什么條件時，函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限．
【分析】（1）由y隨x的增大而減小利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得出6+3m＜0，解之即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)一次函數(shù)的定義結(jié)合一次函數(shù)圖象與y軸的交點在x軸下方，即可分別得出關(guān)于m、n的一元一次不等式，解之即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)一次函數(shù)的定義結(jié)合一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式以及關(guān)于n的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
（4）根據(jù)一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限利用一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，即可分別得出關(guān)于m、n的一元一次不等式，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵y隨x的增大而減小，
∴6+3m＜0，
∴m＜﹣2，
∴當(dāng)m＜﹣2時，y隨x的增大而減小；
（2）∵一次函數(shù) y＝（6+3m）x+（n﹣4）的圖象與y軸的交點在x軸下方，
∴6+3m≠0，n﹣4＜0，
∴m≠﹣2，n＜4．
∴當(dāng)m≠﹣2、n＜4時，函數(shù)圖象與y軸的交點在x軸下方；
（3）∵一次函數(shù) y＝（6+3m）x+（n﹣4）的圖象經(jīng)過原點，
∴6+3m≠0，n﹣4＝0，
∴m≠﹣2，n＝4．
∴當(dāng)m≠﹣2、n＝4時，函數(shù)圖象經(jīng)過原點；
（4）∵一次函數(shù) y＝（6+3m）x+（n﹣4）的圖象不經(jīng)過第二象限，
∴一次函數(shù) y＝（6+3m）x+（n﹣4）的圖象經(jīng)過第一、三、四象限或第一、三象限．
當(dāng)一次函數(shù) y＝（6+3m）x+（n﹣4）的圖象經(jīng)過第一、三、四象限時，6+3m＞0，n﹣4＜0，
∴m＞﹣2，n＜4；
當(dāng)一次函數(shù) y＝（6+3m）x+（n﹣4）的圖象經(jīng)過第一、三象限時，6+3m＞0，n﹣4＝0，
∴m＞﹣2，n＝4．
綜上所述：當(dāng)m＞﹣2、n≤4時，函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限．
【點評】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及一次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是：（1）利用一次函數(shù)的性質(zhì)找出6+3m＜0；（2）根據(jù)題意，找出關(guān)于m、n的一元一次不等式；（3）根據(jù)題意，找出關(guān)于m的一元一次方程及關(guān)于n的一元一次不等式；（4）分一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三、四象限或第一、三象限兩種情況考慮．
【變式8-3】（2019秋?安徽月考）已知一次函數(shù)y＝（1﹣3m）x+m﹣4，若其函數(shù)值y隨著x的增大而減小，且其圖象不經(jīng)過第一象限，求m的取值范圍．
【分析】由數(shù)值y隨著x的增大而減小可得出1﹣3m＜0，結(jié)合一次函數(shù)圖象不經(jīng)過第一象限（經(jīng)過第二、四象限或者經(jīng)過第二、三、四象限）可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍．
【解答】解：依題意，得：1?3m＜0m?4≤0，
解得：13＜m≤4．
∴m的取值范圍為13＜m≤4．
【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，牢記“k＜0，b＜0?y＝kx+b的圖象在二、三、四象限”和“k＜0，b＝0?y＝kx+b的圖象在二、四象限”是解題的關(guān)鍵．
【考點9 一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征】
【例9】（2020春?高州市期中）已知一次函數(shù)y＝kx+b（k＜0）的圖象上兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，則下列不等式中恒成立的是（　?。?br /> A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1﹣y2＞0
【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求解．
【解答】解：∵已知一次函數(shù)y＝kx+b（k＜0）的圖象上兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，
∴當(dāng)k＜0時，x越大，y越小，
∴選項A：不一定成立，
選項B：不一定成立，
選項C：不一定成立，
選項D：一定成立，
故選：D．
【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，本題的解題關(guān)鍵當(dāng)k＜0，x越大，y越?。?br /> 【變式9-1】（2020春?老河口市期末）若正比例函數(shù)y＝（2﹣3m）x的圖象經(jīng)過點A（x1，y1）和B（x2，y2），且當(dāng)x1＜x2時，y1＞y2，則m的取值范圍是（　?。?br /> A．m＞0 B．m＞23 C．m＜23 D．m＜0
【分析】由條件可判斷函數(shù)的增減性，可得到關(guān)于m的不等式，可求得m的取值范圍．
【解答】解：∵當(dāng)x1＜x2時，y1＞y2，
∴一次函數(shù)y隨x的增大而減小，
∴2﹣3m＜0，
解得m＞23．
故選：B．
【點評】本題主要考查一次函數(shù)的增減性，根據(jù)y隨x的變化情況得出關(guān)于m的不等式是解題的關(guān)鍵．
【變式9-2】（2020春?黃陂區(qū)期末）若點A（x1，﹣3），B（x2，﹣2），C（x3，1）在一次函數(shù)y＝3x﹣b的圖象上，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x3＜x2＜x1 D．x1＜x3＜x2
【分析】根據(jù)k＝3＞0時，y隨x的增大而增大，從而可知x1、x2、x3的大?。?br /> 【解答】解：∵一次函數(shù)y＝3x﹣b中，k＝3＞0，
∴y隨x的增大而增大；
∵點A（x1，﹣3），B（x2，﹣2），C（x3，1），
∴x1＜x2＜x3；
故選：A．
【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，解題的關(guān)鍵是當(dāng)k＞0時，函數(shù)y隨x的增大而增大．
【變式9-3】（2020春?青川縣期末）已知點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（2，﹣1）四點在直線y＝kx+4的圖象上，且x1＞x2＞x3，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（　?。?br /> A．y1＞y2＞2y3 B．y3＞y2＞y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求得k，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．
【解答】解：∵點D（2，﹣1）在直線y＝kx+4的圖象上，
∴﹣1＝2k+4，
解得k=?52，
∵k＜0，
∴函數(shù)y隨x的增大而減小，
∵x1＞x2＞x3，
∴y3＞y2＞y1，
故選：B．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【考點10 一次函數(shù)圖象與幾何變換】
【方法點撥】解決此類問題的關(guān)鍵是記住一次函數(shù)圖象平移的口訣：上加下減，左加右減，并且一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象平移后k不變是關(guān)鍵.
【例10】（2020?蓮湖區(qū)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，若將一次函數(shù)y＝﹣2x+6的圖象向下平移n（n＞0）個單位長度后恰好經(jīng)過點（﹣1，﹣2），則n的值為（　?。?br /> A．10 B．8 C．5 D．3
【分析】根據(jù)一次函數(shù)y＝﹣2x+6的圖象向下平移k不變，可設(shè)平移后的函數(shù)解析式為：y＝﹣2x+6﹣n，把點（﹣1，﹣2）代入即可求得n．
【解答】解：∵若將一次函數(shù)y＝﹣2x+6的圖象向下平移n（n＞0）個單位長度，
∴平移后的函數(shù)解析式為：y＝﹣2x+6﹣n，
∵函數(shù)解y＝﹣2x+6﹣n的圖象經(jīng)過點（﹣1，﹣2），
∴﹣2＝﹣2×（﹣1）+6﹣n，
解得：n＝10，
故選：A．
【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象平移后k不變是解決問題的關(guān)鍵，
【變式10-1】（2020?陜西四模）直線y＝kx+1沿著y軸向上平移b個單位后，經(jīng)過點A（﹣2，0）和y軸上的一點B，若△ABO（O為坐標(biāo)原點）的面積為4，則b的值為（　?。?br /> A．4 B．2 C．3 D．1
【分析】由直線y＝kx+b+1經(jīng)過點A（﹣2，0）和y軸正半軸上的一點B，可得B點的坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式即可得出答案．
【解答】解：直線y＝kx+1沿著y軸向上平移b個單位后，得到y(tǒng)＝kx+b+1，
∵直線y＝kx+b+1經(jīng)過點A（﹣2，0）和y軸正半軸上的一點B，
∴B（0，b+1），
∵△ABO的面積是：12×2×（b+1）＝4，
解得b＝3．
故選：C．
【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上與幾何變換，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是表示出三角形的面積，然后求解．
【變式10-2】（2020春?碑林區(qū)校級期末）在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)y＝2x的圖象向上平移m（m＞0）個單位長度，使其與直線y＝﹣x+4的交點位于第二象限，則m的取值范圍為（　?。?br /> A．0＜m＜2 B．2＜m＜4 C．m≥4 D．m＞4
【分析】將直線y＝2x的圖象向上平移m個單位可得：y＝2x+m，求出直線y＝2x+m，與直線y＝﹣x+4的交點，再由此點在第二象限可得出m的取值范圍．
【解答】解：將直線y＝2x的圖象向上平移m個單位可得：y＝2x+m
聯(lián)立兩直線解析式得：y=2x+my=?x+4，
解得：x=4?m3y=8+m3，
即交點坐標(biāo)為（4?m3，8+m3），
∵交點在第二象限，
∴4?m3＜08+m3＞0，
解得：m＞4．
故選：D．
【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換、兩直線的交點坐標(biāo)，注意第二象限的點的橫坐標(biāo)小于0、縱坐標(biāo)大于0．
【變式10-3】（2020?海淀區(qū)校級一模）把直線y＝﹣2x向上平移后得到直線AB，若直線AB經(jīng)過點（m，n），且2m+n＝8，則直線AB的表達(dá)式為（　?。?br /> A．y＝﹣2x+4 B．y＝﹣2x+8 C．y＝﹣2x﹣4 D．y＝﹣2x﹣8
【分析】由題意知，直線AB的k是﹣2，又已知直線AB上的一點（m，n），所以用直線的解析式方程y﹣y0＝k（x﹣x0）求得解析式即可．
【解答】解：∵直線AB是直線y＝﹣2x平移后得到的，
∴直線AB的k是﹣2（直線平移后，其K不變）
∴設(shè)直線AB的方程為y﹣y0＝﹣2（x﹣x0） ①
把點（m，n）代入①并整理，得
y＝﹣2x+（2m+n） ②
∵2m+n＝8 ③
把③代入②，解得y＝﹣2x+8，
即直線AB的解析式為y＝﹣2x+8．
故選：B．
【點評】本題是關(guān)于一次函數(shù)的圖象與它平移后圖象的轉(zhuǎn)變的題目，在解題時，緊緊抓住直線平移后，K不變這一性質(zhì)，再根據(jù)題意中的已知條件，來確定用哪種方程來解答．
【考點11 一次函數(shù)解析式】
【方法點撥】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時，先設(shè)y＝kx+b；將自變量x的值及與它對應(yīng)的函數(shù)值y的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進(jìn)而寫出函數(shù)解析式．
【例11】（2019秋?建湖縣期末）已知：y+4與x+3成正比例，且x＝﹣4時y＝﹣2；
（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式
（2）點P1（m，y1）、P2（m+1，y2）在（1）中所得函數(shù)的圖象上，比較y1與y2的大?。?br /> 【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)出函數(shù)關(guān)系式，把x＝﹣4，y＝﹣2代入求出待定系數(shù)，確定函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)函數(shù)的增減性，做出判斷即可．
【解答】解：（1）因為y+4與x+3成正比例，因此設(shè)y+4＝k（x+3）（k≠0），
把x＝﹣4，y＝﹣2代入得，﹣2+4＝k（﹣4+3），
解得，k＝﹣2，
∴y+4＝﹣2（x+3），
即：y＝﹣2x﹣10，
（2）由（1）知，y＝﹣2x+10，
∴k＝﹣2＜0，
∴y隨x的增大而減小，
又∵m＜m+1，
∴y1＞y2．
【點評】考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的關(guān)系式，把點的坐標(biāo)代入是常用的方法．
【變式11-1】（2020春?赫山區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：y＝kx+b（k≠0經(jīng)過點A（﹣4，0），與y軸交于點B，如果△AOB的面積為4，求直線l的表達(dá)式．
【分析】先把A點坐標(biāo)代入y＝kx+b得到b＝4k，則y＝kx+4k，所以B（0，4k），利用三角形面積公式得到12×4×|4k|＝4，解得k=12或?12，從而得到直線l的表達(dá)式．
【解答】解：把A（﹣4，0）代入y＝kx+b得﹣4k+b＝0，解得b＝4k，
∴y＝kx+4k，
當(dāng)x＝0時，y＝kx+4k+4k，則B（0，4k），
∵△AOB的面積為4，
∴12×4×|4k|＝4，解得k=12或?12，
∴直線l的表達(dá)式為y=12x+2或y=?12x﹣2．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時，先設(shè)y＝kx+b；將自變量x的值及與它對應(yīng)的函數(shù)值y的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進(jìn)而寫出函數(shù)解析式．
【變式11-2】（2020春?齊齊哈爾期末）某一次函數(shù)，當(dāng)其自變量x的取值范圍是﹣3≤x≤﹣1，它對應(yīng)的函數(shù)值y的取值范圍是4≤y≤6，求這個一次函數(shù)解析式？
【分析】設(shè)一次函數(shù)的解析式為y＝kx+b（k≠0），再根據(jù)一次函數(shù)的增減性，可知本題分兩種情況：①當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而增大，把x＝﹣3，y＝4；x＝﹣1，y＝6代入一次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝kx+b，運用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)的解析式；②當(dāng)k＜0時，y隨x的增大而減小，把x＝﹣3，y＝6；x＝﹣1，y＝4代入一次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝kx+b，運用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)的解析式．
【解答】解：設(shè)一次函數(shù)解析式為y＝kx+b（k≠0）．
①當(dāng)k＞0時，把x＝﹣3，y＝4；x＝﹣1，y＝6代入一次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝kx+b，
得?3k+b=4?k+b=6，解得k=1b=7，
則這個函數(shù)的解析式是y＝x+7；
②當(dāng)k＜0時，把x＝﹣3，y＝6；x＝﹣1，y＝4代入一次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝kx+b，
得?3k+b=6?k+b=4，解得k=?1b=3，
則這個函數(shù)的解析式是y＝﹣x+3．
綜上，所求一次函數(shù)解析式為：y＝x+7或y＝﹣x+3．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
【變式11-3】（2020春?橋東區(qū)校級月考）一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸和y軸的正半軸分別交于A，B兩點．已知OA+OB＝6（O為坐標(biāo)原點）．且S△ABO＝4，則這個一次函數(shù)的解析式為（　?。?br /> A．y=?12x+2 B．y＝﹣2x+4
C．y=23x+16 D．y=?12x+2或y＝﹣2x+4
【分析】首先根據(jù)題意設(shè)A（x，0），B（0，y），再根據(jù)“OA+OB＝6（O為坐標(biāo)原點）．且S△ABO＝4，”可得方程組12xy=4x+y=6，再解出x、y的值，進(jìn)而得到A、B兩點坐標(biāo)．然后再利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式．
【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸和y軸的正半軸分別交于A，B兩點．
∴設(shè)A（x，0），B（0，y），
∵OA+OB＝6（O為坐標(biāo)原點）．且S△ABO＝4，
∴12xy=4x+y=6，
解得：x=2y=4或x=4y=2，
∴A（2，0）、B（0，4）或A（4，0）、B（0，2），
當(dāng)A（2，0）、B（0，4）時0=2k+bb=4，解得b=4k=?2，
當(dāng)A（4，0）、B（0，2）時，0=4k+bb=2，解得k=?12b=2，
∴這個一次函數(shù)的解析式為y=?12x+2或y＝﹣2x+4，
故選：D．
【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，關(guān)鍵是根據(jù)題意計算出一次函數(shù)圖象所經(jīng)過的點的坐標(biāo)．
【考點12 一次函數(shù)與一元一次方程】
【方法點撥】一次函數(shù)與一元一次方程，關(guān)鍵是掌握求一元一次方程ax+b＝0 （a，b為常數(shù)，a≠0）的解可以轉(zhuǎn)化為：一次函數(shù)y＝ax+b的函數(shù)值為0時，求相應(yīng)的自變量的值．從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y＝ax+b，確定它與x軸的交點的橫坐標(biāo)的值．
【例12】（2020春?香坊區(qū)期末）如圖，一次函數(shù)y＝﹣2x和y＝kx+b的圖象相交于點A（m，3），則關(guān)于x的方程kx+b+2x＝0的解為　 ．

【分析】首先將點A的坐標(biāo)代入正比例函數(shù)中求得m的值，然后結(jié)合圖象直接寫出方程的解即可．
【解答】解：∵函數(shù)y＝﹣2x經(jīng)過點A（m，3），
∴﹣2m＝3，
解得：m=?32，
則關(guān)于x的方程kx+b+2x＝0可以變形為kx+b＝﹣2x，
由圖象得：kx+b＝﹣2x的解為x=?32．
故答案為x=?32
【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求得m的值，然后利用數(shù)形結(jié)合的方法確定方程的解．
【變式12-1】（2019秋?常州期末）如圖，已知一次函數(shù)y＝kx﹣b與y=13x的圖象相交于點A（a，1），則關(guān)于x的方程（k?13）x＝b的解x＝　 ?。?br />
【分析】把A（a，1）代入y=13x求出a，根據(jù)A點的橫坐標(biāo)，即可求出答案．
【解答】解：把A（a，1）代入y=13x得：1=13a，
解得a＝3，
∴A（3，1），
∴根據(jù)圖象信息可得關(guān)于x的方程kx﹣b=13x的解為3，
∴關(guān)于x的方程（k?13）x＝b的解為x＝3．
故答案為3．
【點評】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式等知識點，題目具有一定的代表性，難度適中．
【變式12-2】（2020?吳江區(qū)二模）若一次函數(shù)y＝kx+3（k為常數(shù)且k≠0）的圖象經(jīng)過點（﹣2，0），則關(guān)于x的方程k（x﹣5）+3＝0的解為（　　）
A．x＝﹣5 B．x＝﹣3 C．x＝3 D．x＝5
【分析】利用一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系可得kx+3＝0的解是x＝﹣2，進(jìn)而可得x﹣5＝﹣2，然后可得x的值．
【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx+3（k為常數(shù)且k≠0）的圖象經(jīng)過點（﹣2，0），
∴kx+3＝0的解是x＝﹣2，
∴x﹣5＝﹣2，
則x＝3，
故選：C．
【點評】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程，關(guān)鍵是掌握求一元一次方程ax+b＝0 （a，b為常數(shù)，a≠0）的解可以轉(zhuǎn)化為：一次函數(shù)y＝ax+b的函數(shù)值為0時，求相應(yīng)的自變量的值．從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y＝ax+b，確定它與x軸的交點的橫坐標(biāo)的值．
【變式12-3】（2020?南安市校級自主招生）如圖，直線y＝ax+b與x軸交于A點（4，0），與直線y＝mx交于B點（2，n），則關(guān)于x的一元一次方程ax﹣b＝mx的解為（　?。?br />
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝4 D．x＝﹣4
【分析】首先，根據(jù)兩直線的交點的橫坐標(biāo)即為聯(lián)立兩直線方程求解的x值，則由直線y＝ax+b與直線y＝mx交于點B（2，n），可得交點橫坐標(biāo)為x=bm?a=2；其次，通過解一元一次方程ax﹣b＝mx，得x=?bm?a，則x=?bm?a=?2，即可得解．
【解答】解：∵y=ax+by=mx，
∴ax+b＝mx，
解得x=bm?a，
∵直線y＝ax+b與直線y＝mx交于點B（2，n），
∴bm?a=2，
由ax﹣b＝mx，得x=?bm?a，
∴x=?bm?a=?2，
∴關(guān)于x的一元一次方程ax﹣b＝mx的解為：x＝﹣2，
故選：B．
【點評】本題考查一次函數(shù)與一元一次方程，解題的關(guān)鍵是明確題意，掌握一次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)就是對應(yīng)一元一次方程的解．
【考點13 一次函數(shù)與一元一次不等式】
【方法點撥】一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
【例13】（2020春?壽光市期末）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點A（0，3），B（4，﹣3），則關(guān)于x的不等式kx+b+3＜0的解集為（　?。?br />
A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3
【分析】由一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過B（4，﹣3），以及y隨x的增大而減小，可得關(guān)于x的不等式kx+b+3＜0的解集．
【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過B（4，﹣3），
∴x＝4時，kx+b＝﹣3，
又y隨x的增大而減小，
∴關(guān)于x的不等式kx+b+3＜0的解集是x＞4．
故選：A．
【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
【變式13-1】（2020?徐州一模）如圖是一次函數(shù)y1＝kx+b與y2＝x+a的圖象，則不等式kx﹣x＜a﹣b的解集是（　?。?br />
A．x＜3 B．x＞3 C．x＜a+b D．x＞a﹣b
【分析】利用函數(shù)圖象，寫出直線y1在直線y2下方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．
【解答】解：結(jié)合圖象，當(dāng)x＞3時，y1＜y2，即kx+b＜x+a，
所以不等式kx﹣x＜a﹣b的解集為x＞3．
故選：B．
【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合，運用數(shù)形結(jié)合的思想解決此類問題．
【變式13-2】（2019秋?南潯區(qū)期末）如圖，直線y＝ax+b與x軸交于點A（4，0），與直線y＝mx交于點B（2，n），則關(guān)于x的不等式組0＜ax﹣b＜mx的解集為（　?。?br />
A．﹣4＜x＜﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞4 D．2＜x＜4
【分析】先根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得到a＞0，再把A（4，0）代入y＝ax+b得b＝﹣4a，把B（2，n）代入y＝ax+b得n＝﹣2a，把B（2，n）代入y＝mx得m＝﹣a，則不等式組0＜ax﹣b＜mx化為0＜ax+4a＜﹣ax，然后解不等式組即可．
【解答】解：直線y＝ax+b經(jīng)過第一、三、四象限，則a＞0，
把A（4，0）代入y＝ax+b得4a+b＝0，則b＝﹣4a，
把B（2，n）代入y＝ax+b得n＝2a+b＝2a﹣4a＝﹣2a，
把B（2，n）代入y＝mx得n＝2m，則m＝﹣a，
不等式組0＜ax﹣b＜mx化為0＜ax+4a＜﹣ax，
解得﹣4＜x＜﹣2．
故選：A．
【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
【變式13-3】（2020春?東昌府區(qū)期末）如圖所示，直線y＝﹣x+m與y＝nx+4n（n≠0）的交點的橫坐標(biāo)為﹣2，則關(guān)于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整數(shù)解有（　　）

A．1個 B．2個 C．3個 D．無數(shù)個
【分析】先確定直線y＝nx+4n與x軸的交點坐標(biāo)為（﹣4，0），再結(jié)合函數(shù)圖象寫出﹣x+m＞nx+4n＞0的解集為﹣4＜x＜﹣2，然后找出其整數(shù)解即可．
【解答】解：當(dāng)y＝0時，nx+4n＝0，解得x＝﹣4，則直線y＝nx+4n與x軸的交點坐標(biāo)為（﹣4，0），
∵直線y＝﹣x+m與y＝nx+4n（n≠0）的交點的橫坐標(biāo)為﹣2，
∴當(dāng)﹣4＜x＜﹣2時，﹣x+m＞nx+4n＞0，
即﹣x+m＞nx+4n＞0的解集為﹣4＜x＜﹣2，
∴﹣x+m＞nx+4n＞0的整數(shù)解為﹣3．
故選：A．
【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．

【考點14 一次函數(shù)的應(yīng)用（方案選擇問題）】
【例14】（2019秋?宿松縣校級期末）2017年“中國移動”公司提供兩種通訊收費方案供客戶選擇．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）設(shè)通話時間為x分鐘，方案一的通訊費用為y1元，方案二的通訊費用為y2元，分別求出y1、y2關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
（2）請你通過計算說明如何選用通訊收費方案更合算．
（3）小明的爸爸每月的通話時間約為500分鐘，應(yīng)選用哪種通訊收費方案．

【分析】（1）根據(jù)收費標(biāo)準(zhǔn)寫出函數(shù)表達(dá)式；
（2）利用（1）中的函數(shù)表達(dá)式，代入相關(guān)的x的值；
（3）利用（2）中的結(jié)論進(jìn)行解答．
【解答】解：（1）根據(jù)題意知，y1=40(0≤x≤50)0.1x+40(x＞50)．
y2＝0.2x（x≥0）；

（2）當(dāng)0≤x≤50時，y1＝40＞y2，選擇方案二合算；
當(dāng)x＞50時：
①y1＞y2，即0.1x+45＞0.2x，
解得x＜450，選擇方案二合算；
②y1＝y(tǒng)2，即0.1x+40＝0.2x，
解得x＝400，選擇兩種方案一樣合算；
③y1＜y2，即0.1x+40＜0.2x，
解得x＞450，選擇方案一合算．
綜上所述，當(dāng)通話時間小于400分鐘，選擇方案二合算；當(dāng)通話時間為400分鐘，選擇兩種方案一樣合算；當(dāng)通話時間大于400分鐘，選擇方案一合算；

（3）由于500＞400，所以小明的爸爸選用通訊收費方案一合算．
【點評】本題考查的是用一次函數(shù)解決實際問題，此類題是近年中考中的熱點問題，解題的關(guān)鍵是掌握兩種不同的收費標(biāo)準(zhǔn)．
【變式14-1】（2020春?河北期末）甲、乙兩家采摘園的草莓品質(zhì)相同，銷售價格都是每千克40元，兩家均推出了“周末”優(yōu)惠方案，甲采摘園的優(yōu)惠方案是：游客進(jìn)園需購買50元的門票，采摘的草莓六折優(yōu)惠；乙采摘園的優(yōu)惠方案是：游客進(jìn)園不需要購買門票，采摘的草莓超過10千克后，超過部分五折優(yōu)惠．優(yōu)惠期間，設(shè)某游客的草莓采摘量為x（x＞10）千克，在甲采摘園所需總費用為y1元，在乙采摘園所需總費用為y2元．
（1）求y1、y2關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)采摘多少千克草莓時，在甲、乙兩采摘園所需費用相同？如果你是游客你會如何選擇采摘園？
【分析】（1）根據(jù)題意，可以寫出y1、y2關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的方程和不等式，從而可以解答本題．
【解答】解：（1）由題意可得，
y1＝50+40x×0.6＝24x+50，
y2＝40×10+（x﹣10）×40×0.5＝20x+200，
即y1關(guān)于x的函數(shù)解析式是y1＝24x+50，y2關(guān)于x的函數(shù)解析式是y2＝20x+200；
（2）當(dāng)24x+50＝20x+200時，得x＝37.5，即當(dāng)采摘量等于37.5千克時，在甲、乙兩采摘園所需費用相同；
當(dāng)24x+50＞20x+200時，得x＞37.5，即當(dāng)采摘量超過37.5千克時，選擇乙采摘園；
當(dāng)24x+50＜20x+200時，得x＜37.5，即當(dāng)采摘量超過10千克且少于37.5千克時，選擇甲采摘園；
由上可得，當(dāng)采摘量等于37.5千克時，在甲、乙兩采摘園所需費用相同；當(dāng)采摘量超過37.5千克時，選擇乙采摘園；當(dāng)采摘量超過10千克且少于37.5千克時，選擇甲采摘園．
【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答．
【變式14-2】（2020?陜西四模）習(xí)近平在決戰(zhàn)決勝脫貧攻堅座談會上強調(diào)：堅決克服新冠肺炎疫情影響，堅決奪取脫貧攻堅戰(zhàn)全面勝利.2020年是脫貧攻堅戰(zhàn)最后一年，收官之年又遭遇疫情影響，各項工作任務(wù)更重，要求更高．某地的蘋果產(chǎn)業(yè)成為該地農(nóng)民打贏脫貧攻堅戰(zhàn)的利器，已知該地有甲、乙兩個蘋果園，盛產(chǎn)的蘋果品質(zhì)相同，現(xiàn)兩個蘋果園推出了不同的銷售方案，甲蘋果園：不論一次購買數(shù)量是多少，價格均為6元/kg；乙蘋果園：一次購買數(shù)量不超過50kg時，價格均為7元/kg，超過50kg，則超出部分的價格按5元/kg計．設(shè)某水果店在同一個蘋果園一次購買蘋果的數(shù)量為xkg（x＞0）．
（1）設(shè)在甲蘋果園花費y1元，在乙蘋果園花費y2元，分別求y1，y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若該水果店計劃用360元來購進(jìn)蘋果，則它在甲、乙哪個蘋果園中購買蘋果的數(shù)量較多？
【分析】（1）根據(jù)題意，可以分別寫出y1，y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)題意和（1）中的函數(shù)關(guān)系式，可以分別求得該水果店計劃用360元在兩個蘋果園購買的蘋果數(shù)量，然后比較大小即可解答本題．
【解答】解：（1）由題意可得，
y1＝6x，
當(dāng)0＜x≤50，y2＝7x，
當(dāng)x＞50時，y2＝50×7+（x﹣50）×5＝5x+100，
即y1關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y1＝6x，y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y2=7x(0＜x≤50)5x+100(x＞50)；
（2）當(dāng)y1＝360時，360＝6x，
解得，x＝60；
當(dāng)y2＝360時，
∵360＞50×7，
∴360＝5x+100，
解得，x＝52；
∵60＞52，
∴該水果店在甲蘋果園中購買蘋果的數(shù)量較多，
答：該水果店在甲蘋果園中購買蘋果的數(shù)量較多．
【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答．
【變式14-3】（2020春?陸川縣期末）為改善生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，某村計劃在九洲江堤坡種植白楊樹，現(xiàn)甲、乙兩家林場有相同的白楊樹苗可供選擇，其具體銷售方案如下：



甲林場
乙林場
購樹苗數(shù)量
銷售單價
購樹苗數(shù)量
銷售單價
不超過1000棵時
4元棵
不超過2000棵時
4元棵
超過1000棵的部分
3.8元棵
超過2000棵的部分
3.6元棵
購買白楊樹苗x棵，到兩家林場購買所需費用分別為y甲（元），y乙（元）．
（1）該村需要購買1800棵白楊樹苗，如果都在甲林場購買所需費用為　 　元，如果都在乙林場購買所需費用為　 　元；
（2）分別求出y甲，y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如果你是該村的負(fù)責(zé)人，應(yīng)該選擇到哪家林場購買樹苗合算，為什么？
【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以計算出購買1800棵白楊樹苗時，在兩家林場的花費；
（2）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以分別寫出y甲，y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)題意，利用分類討論的方法，可以得到應(yīng)該選擇到哪家林場購買樹苗合算．
【解答】解：（1）由題意可得，
當(dāng)購買1800棵白楊樹苗時，
在甲林場需要花費：1000×4+（1800﹣1000）×3.8＝7040（元），
在乙林場需要花費：1800×4＝7200（元），
故答案為：7040，7200；
（2）由題意可得，
當(dāng)0≤x≤1000時，y甲＝4x，y乙＝4x，
當(dāng)1000＜x≤2000時，y甲＝1000×4+（x﹣1000）×3.8＝3.8x+200，y乙＝4x，
當(dāng)x＞2000時，y甲＝1000×4+（x﹣1000）×3.8＝3.8x+200，y乙＝2000×4+（x﹣2000）×3.6＝3.6x+800，
由上可得，y甲=4x(0≤x≤1000且x為整數(shù))3.8x+200(x＞1000且x為整數(shù))；
y乙=4x(0≤x≤2000且x為整數(shù))3.6x+800(x＞2000且x為整數(shù))；
（3）①當(dāng)0≤x≤1000時，兩家林場單價一樣，因此到兩林場購買所需要費用都一樣；
②當(dāng)1000＜x≤2000時，甲林場有優(yōu)惠而乙林場無優(yōu)惠，故當(dāng)1 000＜x≤2 000時，到甲林場購買合算；
③當(dāng)x＞2000時，y甲＝3.8x+200，y乙＝3.6x+800，y甲﹣y乙＝3.8x+200﹣（3.6x+800）＝0.2x﹣600，
當(dāng)y甲＝y(tǒng)乙時，0.2x﹣600＝0，解得x＝3000．
∴當(dāng)x＝3000時，到兩林場購買所需要費用都一樣；
當(dāng)y甲＜y乙時，0.2x﹣600＜0，解得x＜3000．
∴當(dāng)2000＜x＜3000時，到甲林場購買合算；
當(dāng)y甲＞y乙時，0.2x﹣600＞0，解得x＞3000，
∴當(dāng)x＞3000時，到乙林場購買合算；
綜上所述，當(dāng)0≤x≤1000或x＝3000時，到兩林場購買所需要費用都一樣；當(dāng)1000＜x＜3000時，到甲林場購買合算；當(dāng)x＞3000時，到乙林場購買合算．
【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論的思想解答．
【考點15 一次函數(shù)的應(yīng)用（最大利潤問題）】
【例15】（2020春?裕華區(qū)校級期末）某商店銷售A型和B型兩種型號的電腦，獲利情況如表格所示．該商店計劃一次購進(jìn)兩種型號的電腦共100臺（能夠全部售出），設(shè)購進(jìn)A型電腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤為y元．
型號
每臺獲利（元）
A型
120
B型
140
（1）求y與x的關(guān)系式；
（2）若B型電腦的進(jìn)貨量不超過A型電腦的3倍，則該商店購進(jìn)A型、B型電腦各多少臺，才能使銷售利潤最大？
（3）因市場原因，每臺A型電腦獲利在原基礎(chǔ)上增加了m元（m＞0）．此時，銷售總利潤隨x的增大而減小，請直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以寫出y與x的關(guān)系式；
（2）根據(jù)B型電腦的進(jìn)貨量不超過A型電腦的3倍，可以得到x的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到該商店購進(jìn)A型、B型電腦各多少臺，才能使銷售利潤最大；
（3）根據(jù)題意，可以寫出銷售總利潤與x、m的關(guān)系式，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到m的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意可得，
y＝120x+140（100﹣x）＝﹣20x+14000，
即y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣20x+14000；
（2）∵B型電腦的進(jìn)貨量不超過A型電腦的3倍，
∴100﹣x≤3x，
解得，x≥25，
∵y＝﹣20x+14000，k＝﹣20，
∴y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x＝25時，y取得最大值，此時100﹣x＝75，
答：商店購進(jìn)A型、B型電腦分別為25臺、75臺時，才能使銷售利潤最大；
（3）由題意可得，
y＝（120+m）x+140（100﹣x）＝（120+m﹣140）x+14000＝（m﹣20）x+14000，
∵因市場原因，每臺A型電腦獲利在原基礎(chǔ)上增加了m元（m＞0）．此時，銷售總利潤隨x的增大而減小，
∴m＞0且m﹣20＜0，
解得，0＜m＜20，
即m的取值范圍是0＜m＜20．
【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答．
【變式15-1】（2020春?樊城區(qū)校級月考）某公司銷售A型和B型兩種電腦，其中A型電腦每臺利潤為400元，B型電腦每臺利潤為500元．該公司計劃一次性購進(jìn)這兩種型號的電腦共100臺，其中B型電腦的進(jìn)貨量不超過A型電腦的2倍，設(shè)購進(jìn)A型電腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤為y元．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該商店購進(jìn)A型、B型電腦各多少臺，才能使銷售總利潤最大，最大利潤是多少？
（3）實際進(jìn)貨時，廠家對A型電腦出廠價下調(diào)a（0＜a＜200）元，若該公司保持這兩種型號電腦的售價不變，并且無論該公司如何進(jìn)貨這100臺電腦的銷售利潤不變，求a的值．
【分析】（1）根據(jù)“總利潤＝A型電腦每臺利潤×A電腦數(shù)量+B型電腦每臺利潤×B電腦數(shù)量”可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)“B型電腦的進(jìn)貨量不超過A型電腦的2倍且電腦數(shù)量為整數(shù)”求得x的范圍，再結(jié)合（1）所求函數(shù)解析式及一次函數(shù)的性質(zhì)求解可得；
（3）據(jù)題意得y＝（400+a）x+500（100﹣x），即y＝（a﹣100）x+50000，當(dāng)a＝100時，無論該公司如何進(jìn)貨這100臺電腦的銷售利潤不變．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，y＝400x+500（100﹣x）＝﹣100x+50000；

（2）∵100﹣x≤2x，
∴x≥1003，
∵y＝﹣100x+50000中k＝﹣100＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∵x為整數(shù)，
∴x＝34時，y取得最大值，最大值為46600，
答：該商店購進(jìn)A型34臺、B型電腦66臺，才能使銷售總利潤最大，最大利潤是46600元；

（3）據(jù)題意得，y＝（400+a）x+500（100﹣x），即y＝（a﹣100）x+50000，
當(dāng)a＝100時，無論該公司如何進(jìn)貨這100臺電腦的銷售利潤不變．
【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)x值的增大而確定y值的增減情況．
【變式15-2】（2020?碑林區(qū)校級模擬）2020年4月20日，國家主席習(xí)近平在陜西柞水縣考察，點贊當(dāng)?shù)靥禺a(chǎn)﹣﹣柞水木耳，稱贊到“小木耳、大產(chǎn)業(yè)”，要將其發(fā)展成“幫助群眾脫貧致富、推動鄉(xiāng)村振興”的特色產(chǎn)業(yè)．王師傅在政府的扶持下種植了A、B兩個品種的木耳共3畝，兩種木耳的成本（包括種植成本和設(shè)備成本）和售價如表：
品種
種植成本（萬元/畝）
售價（萬元/畝）
設(shè)備成本（萬元/畝）
A
1.5
3.5
0.2
B
2
4.3
0.3
設(shè)種植A品種木耳x畝，若3畝地全部種植兩種木耳共獲得利潤y萬元．（利潤＝售價﹣種植成本﹣設(shè)備成本）
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若A品種木耳的種植畝數(shù)不少于B品種木耳種植畝數(shù)的1.5倍，則種植A品種木耳種植多少畝時利潤最大？并求最大利潤．
【分析】（1）根據(jù)題意，可以寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)A品種木耳的種植畝數(shù)不少于B品種木耳種植畝數(shù)的1.5倍，可以求得x的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到種植A品種木耳種植多少畝時利潤最大，并求出此時的最大利潤．
【解答】解：（1）由題意可得，
y＝（3.5﹣1.5﹣0.2）x+（4.3﹣2﹣0.3）×（3﹣x）＝﹣0.2x+6，
即y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣0.2x+6；
（2）∵A品種木耳的種植畝數(shù)不少于B品種木耳種植畝數(shù)的1.5倍，
∴x≥1.5（3﹣x），
解得，x≥1.8，
∵y＝﹣0.2x+6，k＝﹣0.2，
∴y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x＝1.8時，y取得最大值，此時y＝5.64，
答：種植A品種木耳種植1.8畝時利潤最大，最大利潤是5.64萬元．
【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答．
【變式15-3】（2020春?永城市期末）某商場銷售10臺A型和20臺B型加濕器的利潤為2500元，銷售20臺A型和10臺B型加濕器的利潤為2000元．
（1）求每臺A型加濕器和每臺B型加濕器的銷售利潤；
（2）該商場計劃一次購進(jìn)兩種型號的加濕器共100臺，設(shè)購進(jìn)A型加濕器x臺，這100臺加濕器的銷售總利潤為y元．
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②若B型加濕器的進(jìn)貨量不超過A型加濕器的2倍，則該商場應(yīng)怎樣進(jìn)貨才能使銷售總利潤最大？
【分析】（1）根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后即可得到每臺A型加濕器和每臺B型加濕器的銷售利潤；
（2）①根據(jù)題意，可以寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
②根據(jù)B型加濕器的進(jìn)貨量不超過A型加濕器的2倍，可以得到x的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得該商場應(yīng)怎樣進(jìn)貨才能使銷售總利潤最大．
【解答】解：（1）設(shè)每臺A型加濕器的銷售利潤為a元，每臺B型加濕器的銷售利潤為b元，
10a+20b=250020a+10b=2000，得a=50b=100，
即每臺A型加濕器的銷售利潤為50元，每臺B型加濕器的銷售利潤為100元；
（2）①由題意可得，
y＝50x+100（100﹣x）＝﹣50x+10000，
即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣50x+10000；
②∵B型加濕器的進(jìn)貨量不超過A型加濕器的2倍，
∴100﹣x≤2x，
解得，x≥3313，
∵y＝﹣50x+10000，﹣50＜0，
∴y隨x的增大而減?。?br /> ∵x為正整數(shù)，
∴當(dāng)x＝34時，y取最大值，此時100﹣x＝66，
答：商場購進(jìn)34臺A型加濕器和66臺B型加濕器的銷售總利潤最大．
【點評】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答．
【考點16 一次函數(shù)的應(yīng)用（調(diào)配問題）】
【例16】（2020春?南崗區(qū)校級月考）A城有化肥200噸，B城有化肥300噸，現(xiàn)要把化肥運往牛家、紅旗兩農(nóng)村，如果從A城運往牛家村、紅旗村運費分別是20元/噸與30元/噸，從B城運往牛家村、紅旗村運費分別是15元/噸與22元/噸，現(xiàn)已知牛家村需要220噸化肥，紅旗村需要280噸化肥．
（1）如果設(shè)從A城運往牛家村x噸化肥，求此時所需的總運費y（元）與x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出自變量x的取值范圍）．
（2）如果你承包了這項運輸任務(wù)，算一算怎樣調(diào)運花錢最少，并求出最少運費．
【分析】（1）設(shè)從A城運往牛家村x噸化肥，用含x的代數(shù)式分別表示出從A運往運往紅旗村的肥料噸數(shù)，從B城運往牛家村化肥噸數(shù)，及從B城運往紅旗村化肥噸數(shù)，然后根據(jù)：運費＝運輸噸數(shù)×運輸費用，即可得到所需的總運費y（元）與x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)關(guān)系式和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到怎樣調(diào)運花錢最少，然后再求出最少運費即可．
【解答】解：（1）∵從A城運往牛家村 x 噸化肥，
∴從A城運往紅旗村（200﹣x）噸化肥，
從B城運往牛家村化肥（220﹣x）噸，則從B城運往紅旗村280﹣（200﹣x）＝（80+x）噸，
∴y＝20x+30（200﹣x）+15（220﹣x）+22（80+x）＝﹣3x+11060（0≤x≤200）；
（2）由于y＝﹣3x+11060是一次函數(shù)，k＝﹣3＜0，
∴y隨x的增大而減?。?br /> ∵x≤200，
∴當(dāng)x＝200時，運費最少，最少運費是10460元，
∴當(dāng)從A城運往牛家村200噸，從B城運往牛家村肥料20噸，從B城運往紅旗村280噸時總運費最少，最少運費是10460元，
答：從A城運往牛家村200噸，從B城運往牛家村肥料20噸，從B城運往紅旗村280噸時總運費最少，最少運費是10460元．
【點評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答．
【變式16-1】（2020春?海勃灣區(qū)期末）預(yù)防新型冠狀病毒期間，某種消毒液廣寧需要6噸，懷柔需要8噸，正好端州儲備有10噸，四會儲備有4噸，市預(yù)防新型冠狀病毒領(lǐng)導(dǎo)小組決定將這14噸消毒液調(diào)往廣寧和懷柔，消毒液的運費價格如下表（單位：元/噸）設(shè)從端州調(diào)運x噸到廣寧．
起點\終點
廣寧
懷柔
端州
60
100
四會
35
70
（1）求調(diào)運14噸消毒液的總運費y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出總運費最低的調(diào)運方案，最低運費的多少？
【分析】（1）設(shè)從端州調(diào)運x噸到廣寧，則從端州調(diào)運（10﹣x）噸到懷柔，從四會調(diào)運（6﹣x）噸到廣寧，從四會調(diào)運8﹣（10﹣x）＝（x﹣2）噸到懷柔，根據(jù)總運費＝每噸的運費×運輸重量，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由從四會調(diào)運到廣寧及從四會調(diào)運到懷柔消毒液的重量非負(fù)，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．
【解答】解：（1）設(shè)從端州調(diào)運x噸到廣寧，則從端州調(diào)運（10﹣x）噸到懷柔，從四會調(diào)運（6﹣x）噸到廣寧，從四會調(diào)運8﹣（10﹣x）＝（x﹣2）噸到懷柔，
依題意，得：y＝60x+100（10﹣x）+35（6﹣x）+70（x﹣2）＝﹣5x+1070．
（2）依題意，得：6?x≥0x?2≥0，
解得：2≤x≤6．
∵在一次函數(shù)y＝﹣5x+1070中，k＝﹣5＜0，
∴y隨x增大而減小，
∴當(dāng)x＝6時，y取得最小值，最小值＝﹣5×6+1070＝1040，
∴從端州調(diào)運6噸到廣寧，從端州調(diào)運4噸到懷柔，從四會調(diào)運4噸到懷柔時，總運費最低，最低運費為1040元．
【點評】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．
【變式16-2】（2020春?舒蘭市期末）抗擊新冠疫情期間，一方危急，八方支援．當(dāng)吉林市疫情嚴(yán)重時，急需大量醫(yī)療防護(hù)物資．現(xiàn)知A城有醫(yī)療防護(hù)物資200t，B城有醫(yī)療防護(hù)物資300t．現(xiàn)要把這些醫(yī)療物資全部運往C、D兩市．從A城往C、D兩市的運費分別為20元/t和25元/t；從B城往C、D兩市的運費分別為15元/t和24元/t．現(xiàn)C市需要物資240t，D市需要物資260t．若設(shè)從A城往C市運xt．請回答下列問題：
（1）用含x的式子表示從A往D市運物資的數(shù)量為t，從B往C市運物資的數(shù)量為t，從B往D市運物資的數(shù)量為t（寫化簡后的式子）．
（2）求出怎樣調(diào)運物資可使總運費最少？最少運費是多少？
【分析】（1）從A城往C市運xt．根據(jù)題意則可得運往D市（200﹣x）噸；從B運往C、D市的分別為（240﹣x）噸和（60+x）噸；
（2）根據(jù)（1）中所求以及每噸運費從而可得出y與x大的函數(shù)關(guān)系；x可取0至200之間的任何數(shù)，利用函數(shù)增減性求出即可．
【解答】解：（1）用含x的式子表示從A往D市運 （ 200﹣x ）t，
從B往C市運 （240﹣x）t，
從B往 D市運 （60+x）t，
（2）設(shè)總運費為W元，則有
W＝20x+25（ 200﹣x ）+15（240﹣x）+24（60+x）
＝4x+10040，
∵0≤x≤200，W隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝0時，W有最小值，
即從A往D調(diào)200t，從B往D調(diào)60t，從B往C調(diào)240t時，總運費最少為10040元．
【點評】此題主要考查了一次函數(shù)應(yīng)用，根據(jù)已知得出A城和B城運往各地的物資噸數(shù)是解題關(guān)鍵．
【變式16-3】（2020春?防城港期末）預(yù)防新型冠狀病毒期間，某種消毒液甲城需要7噸，乙城需要8噸，正好A地儲備有10噸，B地儲備有5噸，市預(yù)防新型冠狀病毒領(lǐng)導(dǎo)小組決定將A、B兩地儲備的這15噸消毒液全部調(diào)往甲城和乙城，消毒液的運費價格如下表（單位：元/噸），設(shè)從A地調(diào)運x噸消毒液給甲城．
終點
起點
甲城
乙城
A地
100
120
B地
110
95
（1）根據(jù)題意，應(yīng)從B地調(diào)運　 　噸消毒液給甲城，從B地調(diào)運　 　噸消毒液給乙城；（結(jié)果請用含x的代數(shù)式表示）
（2）求調(diào)運這15噸消毒液的總運費y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍；
（3）求出總運費最低的調(diào)運方案，并算出最低運費．
【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以解答本題；
（2）根據(jù)題意，可以得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）根據(jù)題意，可以得到x的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到總運費最低的調(diào)運方案，然后計算出最低運費．
【解答】解：（1）由題意可得，
從A地調(diào)運x噸消毒液給甲城，則調(diào)運（10﹣x）噸消毒液給乙城，從B地調(diào)運（7﹣x）噸消毒液給甲城，調(diào)運8﹣（10﹣x）＝（x﹣2）噸消毒液給乙城，
故答案為：（7﹣x），（x﹣2）；
（2）由題意可得，
y＝100x+120（10﹣x）+110（7﹣x）+95（x﹣2）＝﹣35x+1780，
∵x≤77?x≤5，
∴2≤x≤7，
即總運費y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣35x+1780（2≤x≤7）；
（3）∵y＝﹣35x+1780，
∴y隨x的增大而減小，
∵2≤x≤7，
∴當(dāng)x＝7時，y取得最小值，此時y＝1535，
即從A地調(diào)運7噸消毒液給甲城時，總運費最低，運費最低為1535元．
【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式組應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答．
【考點17 一次函數(shù)的應(yīng)用（行程問題）】
【例17】（2020春?歷下區(qū)期末）一輛客車從甲地開往乙地，一輛出租車從乙地開往甲地，兩車同時出發(fā)，設(shè)客車離甲地的距離為y1千米，出租車離甲地的距離為y2千米，兩車行駛的時間為x小時，y1、y2關(guān)于x的圖象如圖所示：
（1）客車的速度是　 　千米/小時，出租車的速度是　 　千米小時；
（2）根據(jù)圖象，分別直接寫出y1、y2關(guān)于x的關(guān)系式；
（3）求兩車相遇的時間．

【分析】（1）根據(jù)速度＝路程÷時間，列式進(jìn)行計算即可得解；
（2）根據(jù)兩函數(shù)圖象經(jīng)過的點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答即可；
（3）根據(jù)y1＝y(tǒng)2列等式，求出即可．
【解答】解：（1）由圖可知，甲乙兩地間的距離為600km，
所以，客車速度=60010=60（km/h），
出租車速度=6006=100（km/h），
故答案為：60，100；

（2）設(shè)客車的函數(shù)關(guān)系式為y1＝k1x，則10k1＝600，
解得k1＝60，
所以，y1＝60x（0≤x≤10），
設(shè)出租車的函數(shù)關(guān)系式為y2＝k2x+b，
則6k2+b=0b=600，
解得k2=?100b=600，
所以，y2＝﹣100x+600（0≤x≤6）；

（3）當(dāng)出租車與客車相遇時，60x+100x＝600，
解得x=154．
所以兩車相遇的時間為145小時．
【點評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)解析式的求法；主要根據(jù)待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，根據(jù)圖象準(zhǔn)確獲取信息是解題的關(guān)鍵．
【變式17-1】（2020春?海珠區(qū)期末）甲、乙兩名同學(xué)沿直線進(jìn)行登山，甲、乙沿相同的路線同時從山腳出發(fā)到達(dá)山頂．甲同學(xué)到達(dá)山頂休息1小時后再沿原路下山．他們離山腳的距離S（千米）隨時間t（小時）變化的圖象如圖所示．根據(jù)圖象中的有關(guān)信息回答下列問題：
（1）分別求出甲、乙兩名同學(xué)上山過程中S與t的函數(shù)解析式；
（2）若甲同學(xué)下山時在點F處與乙同學(xué)相遇，此時點F與山頂?shù)木嚯x為0.75千米；
①求甲同學(xué)下山過程中S與t的函數(shù)解析式；
②相遇后甲、乙兩名同學(xué)各自繼續(xù)下山和上山，求當(dāng)乙到山頂時，甲離乙的距離是多少千米？

【分析】（1）由圖可知，甲、乙兩同學(xué)登山過程中路程s與時間t都成正比例函數(shù)，分別設(shè)為S甲＝k1t，S乙＝k2t，用待定系數(shù)法可求解．
（2）①把y＝4﹣0.75代入（1）中乙同學(xué)上山過程中S與t的函數(shù)解析式，求出點F的橫坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；
②把y＝4代入（1）中乙同學(xué)上山過程中S與t的函數(shù)解析式，求出乙到山頂所用時間，再代入①的關(guān)系式求解即可．
【解答】解：（1）設(shè)甲、乙兩同學(xué)登山過程中，路程s（千米）與時間t（時）的函數(shù)解析式分別為S甲＝k1t，S乙＝k2t
由題意，得2＝4k1，2＝6k2
∴k1=12，k2=13，
∴解析式分別為S甲=12t，S乙=13t；

（2）①當(dāng)y＝4﹣0.75時，13t=4?0.75，
解得t=394，
∴點F（394，134），
甲到山頂所用時間為：4÷12=8（小時）
由題意可知，點D坐標(biāo)為（9，4），
設(shè)甲同學(xué)下山過程中S與t的函數(shù)解析式為s＝kt+b，
則：9k+b=4394k+b=134，解答k=?1b=13，
∴甲同學(xué)下山過程中S與t的函數(shù)解析式為s＝﹣t+13；
②乙到山頂所用時間為：4÷4÷13=12（小時），
當(dāng)x＝12時，s＝﹣12+13＝1，
當(dāng)乙到山頂時，甲離乙的距離是：4﹣1＝3（千米）．
【點評】本題意在考查學(xué)生利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)關(guān)系式，并利用關(guān)系式求值的運算技能和從坐標(biāo)系中提取信息的能力，是道綜合性較強的代數(shù)應(yīng)用題，有一定的能力要求．
【變式17-2】（2020春?雙流區(qū)期末）某景區(qū)的三個景點A，B，C在同一線路上，甲、乙兩名游客從景點A出發(fā)，甲步行到景點C；乙先乘景區(qū)觀光車到景點B，在B處停留一段時間后，再步行到景點C，甲、乙兩人同時到達(dá)最點C．甲、乙兩人距景點A的路程y（米）與甲出發(fā)的時間x（分）之間的圖象如圖所示：
（1）甲步行的速度為　 　米/分，乙步行時的速度為　 　米/分；
（2）分別寫出甲游客從景點A出發(fā)步行到景點C和乙游客乘景區(qū)觀光車時y與x之間的關(guān)系式；
（3）問乙出發(fā)多長時間與甲在途中相遇？

【分析】（1）由圖象得相應(yīng)的路程和時間，利用路程除以時間得速度；
（2）利用待定系數(shù)法解答即可；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論解答即可．
【解答】解：（1）甲步行的速度為：5400÷90＝60（米/分）；
乙步行的速度為：（5400﹣3000）÷（90﹣60）＝80（米/分）．
故答案為：60，80；

（2）設(shè)甲的函數(shù)解析式為：y＝kx，將（90，5400）代入得k＝60，
∴y＝60x．
根據(jù)題意，設(shè)乙乘景區(qū)觀光車時y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），將（20，0），（30，3000）代入得：
20k+b=030k+b=3000，解得：k=300b=?6000，
∴乙乘景區(qū)觀光車時y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝300x﹣6000（20≤x≤30）；

（3）由y=60xy=300x?6000得x＝25，即甲出發(fā)25分鐘與乙第一次相遇，即乙發(fā)5分鐘與乙第一次相遇；
在y＝60x中，令y＝3000得：x＝50，此時甲與乙第二次相遇．
∴乙發(fā)5分鐘和30分鐘與乙兩次在途中相遇．
【點評】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及行程問題的基本關(guān)系．本題難度中等．
【變式17-3】（2020?雞西）A，B兩城市之間有一條公路相連，公路中途穿過C市，甲車從A市到B市，乙車從C市到A市，甲車的速度比乙車的速度慢20千米/時，兩車距離C市的路程y（單位：千米）與駛的時間t（單位：小時）的函數(shù)圖象如圖所示，結(jié)合圖象信息，解答下列問題：
（1）甲車的速度是　 　千米/時，在圖中括號內(nèi)填入正確的數(shù)；
（2）求圖象中線段MN所在直線的函數(shù)解析式，不需要寫出自變量的取值范圍；
（3）直接寫出甲車出發(fā)后幾小時，兩車距C市的路程之和是460千米．

【分析】（1）利用圖中信息解決問題即可．
（2）利用待定系數(shù)法解決問題即可．
（3）分兩種情形分別求解即可解決問題．
【解答】解：（1）由題意，甲的速度為4808=60千米/小時．乙的速度為80千米/小時，
48080=6（小時），4+6＝10（小時），
∴圖中括號內(nèi)的數(shù)為10．
故答案為：60．

（2）設(shè)線段MN所在直線的解析式為 y＝kt+b （ k≠0 ）．
把點M（4，0），N（10，480）代入y＝kt+b，
得：4k+b=010k+b=480，
解得：k=80b=?320．
∴線段MN所在直線的函數(shù)解析式為y＝80t﹣320．

（3）（480﹣460）＝20，
20÷60=13（小時），
或60t﹣480+80（t﹣4）＝460，
解得t＝9，
答：甲車出發(fā)13小時或9小時時，兩車距C市的路程之和是460千米．
【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
【考點18 一次函數(shù)的綜合應(yīng)用】
【例18】（2020?河北模擬）如圖，直線l1的解析式為y=12x+1，且l1與x軸交于點D，直線l2經(jīng)過定點A、B，直線l1與l2交于點C．
（1）求直線的解析式；
（2）求△ADC的面積；
（3）在x軸上是否存在一點E，使△BCE的周長最短？若存在，請求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可直接求得l2的函數(shù)解析式；
（2）首先解兩條之間的解析式組成的方程組求得C的坐標(biāo)，然后利用三角形的面積公式即可求解；
（3）求得C關(guān)于y軸的對稱點，然后求得經(jīng)過這個點和B點的直線解析式，直線與x軸的交點就是E．
【解答】解：（1）設(shè)l2的解析式是y＝kx+b，
根據(jù)題意得：4k+b=0?k+b=5，解得k=?1b=4，
則函數(shù)的解析式是：y＝﹣x+4；

（2）在y=12x+1中令y＝0，
即y=12x+1＝0，解得：x＝﹣2，
則D的坐標(biāo)是（﹣2，0）．
解方程組y=?x+4y=12x+1，解得x=2y=2，
則C的坐標(biāo)是（2，2）．
則S△ADC=12×AD×yC=12×6×2＝6；

（3）存在，理由：
設(shè)C（2，2）關(guān)于y軸的對稱點C′（2，﹣2），
連接BC′交x軸于點E，則點E為所求點，

△BCE的周長＝BC+BE+CE＝BC+BE+C′E＝BC+BC′為最小，
設(shè)經(jīng)過（2，﹣2）和B的函數(shù)解析式是y＝mx+n，則2m+n=?2?m+m=5，解得：m=?73n=83，
則直線的解析式是y=?73x+83，
令y＝0，則y=?73x+83=0，解得：x=87．
則E的坐標(biāo)是（87，0）．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，以及對稱的性質(zhì)，正確確定E的位置是本題的關(guān)鍵．
【變式18-1】（2020春?洛陽期末）如圖，一次函數(shù)y1=54x+n與x軸交于點B，一次函數(shù)y2=?34x+m與y軸交于點C，且它們的圖象都經(jīng)過點D（1，?74）．
（1）則點B的坐標(biāo)為　 　，點C的坐標(biāo)為　 ??；
（2）在x軸上有一點P（t，0），且t＞125，如果△BDP和△CDP的面積相等，求t的值；
（3）在（2）的條件下，在y軸的右側(cè)，以CP為腰作等腰直角△CPM，直接寫出滿足條件的點M的坐標(biāo)．

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，分別令y＝0和x＝0，可得B、C點坐標(biāo)；
（2）根據(jù)面積的和差，可得關(guān)于t的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）分情況討論，注意是在y軸的右側(cè)，有三個符合條件的點M，作輔助線，構(gòu)建三角形全等，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得M的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）將D（1，?74）代入y=54x+n，解得n＝﹣3，
即y=54x﹣3，當(dāng)y＝0時，54x﹣3＝0．
解得x=125，
即B點坐標(biāo)為（125，0）；
將（1，?74）代入y=?34x+m，解得m＝﹣1，
即y=?34x﹣1，當(dāng)x＝0時，y＝﹣1．
即C點坐標(biāo)為（0，﹣1）；
故答案為：（125，0），（0，﹣1）；

（2）如圖1，

S△BDP=12（t?125）×|?74|=78t?2110，
當(dāng)y＝0時，?34x﹣1＝0，解得x=?43，即E點坐標(biāo)為（?43，0），
S△CDP＝S△DPE﹣S△CPE=12（t+43）×74?12×（t+43）×|﹣1|=38t+12，
由△BDP和△CDP的面積相等，
得：78t?2110=38t+12，
解得t＝5.2；

（3）以CP為腰作等腰直角△CPM，有以下兩種情況：
①如圖2，當(dāng)以點C為直角頂點，CP為腰時，

點M1在y軸的左側(cè)，不符合題意，
過M2作M2A⊥y軸于A，
∵∠PCM2＝∠PCO+∠ACM2＝∠PCO+∠OPC＝90°，
∴∠ACM2＝∠OPC，
∵∠POC＝∠CAM2，PC＝CM2，
∴△POC≌△CAM2（AAS），
∴PO＝AC＝5.2，OC＝AM2＝1，
∴M2（1，﹣6.2）；
②如圖3，當(dāng)以點P為直角頂點，CP為腰時，

過M4作M4E⊥x軸于E，
同理得△COP≌△PEM4，
∴OC＝EP＝1，OP＝M4E＝5.2，
∴M4（6.2，﹣5.2），
同理得M3（4.2，5.2）；
綜上所述，滿足條件的點M的坐標(biāo)為（1，﹣6.2）或（6.2，﹣5.2）或（4.2，5.2）．
【點評】本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用面積的和差得出關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵；利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等是解題關(guān)鍵．
【變式18-2】（2020春?柳州期末）如圖，已知直線y＝2x+2與y軸、x軸分別交于A、B兩點，點C的坐標(biāo)為（﹣3，1）．
（1）直接寫出點A的坐標(biāo)　 　，點B的坐標(biāo)　 ?。?br /> （2）求證△ABC是等腰直角三角形．
（3）若直線AC交x軸于點M，點P（?52，k）是線段BC上一點，在線段BM上是否存在一點N，使直線PN平分△BCM的面積？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）利用待定系數(shù)法解決問題即可．
（2）作CD⊥x軸于點D，證明△CDB≌△BOA（SAS）即可解決問題．
（3）求出點P的坐標(biāo)，利用面積法求出BN的長即可解決問題．
【解答】（1）解：對于直線y＝2x+2，令x＝0，得到y(tǒng)＝2，令y＝0，得到x＝﹣1，
∴A（0，2），B（﹣1，0）．
故答案為A（0，2），B（﹣1，0）．

（2）證明：作CD⊥x軸于點D，
由題意可得 CD＝1，OD＝3，OB＝1，OA＝2，
∴CD＝OB＝1，BD＝OA＝2，
∵∠CDB＝∠AOB＝90?，
∴△CDB≌△BOA（SAS）
∴BC＝BA，∠CBD＝∠BAO，
∵∠ABO+∠BAO＝90?，
∴∠ABO+∠CBD＝90?，
即∠ABC＝90?，
∴△ABC是等腰直角三角形．

（3）解：∵P（?52，k）在直線BC：y=?12x?12上，
∴P(?52，34)，
∵直線AC：y=13x+2交x軸于M，
∴M（﹣6，0），
∵S△BCM=12×5×1=52，
假設(shè)存在點N，使直線PN平分△BCM的面積，
則S△BPN=12?BN?34=12×52，
∴BN=103
∴ON＝BN+OB=103+1=133，
∴N(?133，0)．

【點評】本題考查屬于一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
【變式18-3】（2019秋?南潯區(qū)期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx+8分別交x軸，y軸于A、B兩點，已知A點坐標(biāo)（6，0），點C在直線AB上，橫坐標(biāo)為3，點D是x軸正半軸上的一個動點，連結(jié)CD，以CD為直角邊在右側(cè)構(gòu)造一個等腰Rt△CDE，且∠CDE＝90°．

（1）求直線AB的解析式以及C點坐標(biāo)；
（2）設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，試用含m的代數(shù)式表示點E的坐標(biāo)；
（3）如圖2，連結(jié)OC，OE，請直接寫出使得△OCE周長最小時，點E的坐標(biāo)．
【分析】（1）把A（6，0）代入y＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：k=?43，即可求解；
（2）證明△CDF≌△DEG（AAS），則CF＝DG＝4，DF＝EG＝3﹣m，OG＝4+m，則E（4+m，m﹣3）；
（3）過點O作直線l的對稱點O′，連接CO′交直線l于點E′，則點E′為所求點，即可求解．
【解答】解：（1）把A（6，0）代入y＝kx+8中，
得6k+8＝0，解得：k=?43，
∴y=?43x+8，
把x＝3代入，得y＝4，
∴C（3，4）；

（2）作CF⊥x軸于點F，EG⊥x軸于點G，

∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝DE，∠CDE＝90°，
∴∠CDF＝90°﹣∠EDG＝∠DEG，且∠CFD＝∠DGE＝90°，
∴△CDF≌△DEG（AAS）
∴CF＝DG＝4，DF＝EG＝3﹣m，
∴OG＝4+m，
∴E（4+m，m﹣3）；

（3）點E（4+m，m﹣3），則點E在直線l：y＝x﹣7上，
設(shè)：直線l交y軸于點H（0，﹣7），
過點O作直線l的對稱點O′，
∵直線l的傾斜角為45°，則HO′∥x軸，則點O′（7，﹣7），
連接CO′交直線l于點E′，則點E′為所求點，
OC是常數(shù)，
△OCE周長＝OC+CE+OE＝OC+OE′+CE′＝OC+CE′+O′E′＝OC+CO′為最小，
由點C、O′的坐標(biāo)得，直線CO′的表達(dá)式為：y=?114x+494
聯(lián)立y=x?7y=?114x+494，
解得：x=7715y=?2815，
故：E(7715，?2815)．
【點評】本題考查的是一次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、點的對稱性等，綜合性很強，難度較大．

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