?2021年湖南省長沙市岳麓區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試卷
一、選擇題（本大題共計(jì)10個(gè)小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）若二次根式有意義，則x的取值范圍是（　　）
A．x＜3 B．x≠3 C．x≤3 D．x≥3
2．（3分）六個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，其俯視圖是（　　）

A． B．
C． D．
3．（3分）下列計(jì)算正確的是（　?。?br /> A．2a2+3a2＝5a4 B．（a+b）2＝a2+ab+b2
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．﹣2a2?3a2＝﹣6a2
4．（3分）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史．2017年5月，世界圍棋冠軍柯潔與人工智能機(jī)器人AlphaGo進(jìn)行圍棋人機(jī)大戰(zhàn)．截取首局對戰(zhàn)棋譜中的四個(gè)部分，由棋子擺成的圖案（不考慮顏色）是中心對稱的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）下列說法正確的是（　?。?br /> A．一個(gè)游戲的中獎(jiǎng)概率是 則做10次這樣的游戲一定會(huì)中獎(jiǎng)
B．為了解全國中學(xué)生的心理健康情況，應(yīng)該采用普查的方式
C．一組數(shù)據(jù) 8，8，7，10，6，8，9 的眾數(shù)和中位數(shù)都是8
D．若甲組數(shù)據(jù)的方差S2＝0.01，乙組數(shù)據(jù)的方差S2＝0.1，則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定
7．（3分）如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝5，DE＝2，則△BCE的的面積等于（　?。?br />
A．4 B．5 C．7 D．10
8．（3分）隨著全球能源危機(jī)的逐漸加重，太陽能發(fā)電行業(yè)發(fā)展迅速．全球太陽能光伏應(yīng)用市場持續(xù)穩(wěn)步增長，2019年全球裝機(jī)總量約600GW，預(yù)計(jì)到2021年全球裝機(jī)總量達(dá)到864GW．設(shè)全球新增裝機(jī)量的年平均增長率為x，則可列的方程為（　　）
A．600（1+2x）＝864 B．600+2x＝864
C．（600+x）2＝864 D．600（1+x）2＝864
9．（3分）如圖，線段AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)E，∠E＝42°，則∠CDB等于（　?。?br />
A．22° B．24° C．28° D．48°
10．（3分）若點(diǎn)M（m，n）是拋物線y＝﹣2x2+2x+m上的點(diǎn)，且拋物線與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，則m﹣n的最小值（　?。?br /> A．﹣ B． C． D．﹣
二、填空題（本大題共6個(gè)小紐，每小題3分。共18分）
11．（3分）2021年2月24日，我國首次火星探測任務(wù)天問一號探測器成功實(shí)施第三次近火制動(dòng)，進(jìn)入火星停泊軌道．此次天問一號探測器進(jìn)入的火星停泊軌道是與火星的最遠(yuǎn)距離59000000米的橢圓形軌道．將59000000米用科學(xué)記數(shù)法表示為　 　米．
12．（3分）如圖，已知a∥b，∠1＝128°，則∠2＝　 　．

13．（3分）當(dāng)m　 　時(shí)，函數(shù)y＝的圖象在第二、四象限內(nèi)．
14．（3分）若圓錐的底面直徑為6cm，母線長為10cm，則圓錐的側(cè)面積為　 　cm2．
15．（3分）在一個(gè)不透明的布袋中裝有除顏色外其他都相同的黃、白兩種顏色的球共40個(gè)，從中任意摸出一個(gè)球，若摸到黃球的概率為，則布袋中黃球的個(gè)數(shù)為　 ?。?br /> 16．（3分）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB1C1，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在CB的延長線上，連接CB1，則＝　 　．

三、解答題（本大題共9個(gè)小題第17、18、19題，每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24，25題每小題6分，共72分.）
17．（6分）計(jì)算：（）﹣1+2tan60°﹣（2021+π）0﹣．
18．（6分）先化簡，再求值：÷（﹣），其中x＝2+．
19．（6分）如圖，在5×7的正方形網(wǎng)格中，A、B、C都是格點(diǎn)，AB為半圓的直徑，C在半圓上，請你僅用無刻度的直尺完成以下作圖（保留作圖痕跡）：
（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)D；
（2）直接標(biāo)出弦BC的中點(diǎn)及半圓的圓心O，并作BC弧的中點(diǎn)E；
（3）在射線BC上作點(diǎn)F，使∠AFB＝∠BAC．

20．（8分）九（1）班針對“你最向往的研學(xué)目標(biāo)”的問題對全班學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查（共提供A、B、C、D四個(gè)研學(xué)目標(biāo)，每名學(xué)生從中分別選一個(gè)目標(biāo)），并根據(jù)調(diào)查結(jié)果列出統(tǒng)計(jì)表繪制扇形統(tǒng)計(jì)圖．
男、女生最向往的研學(xué)目標(biāo)人數(shù)統(tǒng)計(jì)表
目標(biāo)
A
B
C
D
男生（人數(shù)）
7
m
2
5
女生（人數(shù)）
9
4
2
n
根據(jù)以上信息解決下列問題：
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中A所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為　 　；
（3）從最向往的研學(xué)目標(biāo)為C的4名學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生參加競標(biāo)演說，求所選取的2名學(xué)生中恰好有一名男生、一名女生的概率．

21．（8分）如圖，AD平分∠BAC，AB＝AC，且AB∥CD，點(diǎn)E在線段AD．上，BE的延長線交CD于點(diǎn)F，連接CE．
（1）求證：△ACE≌△ABE．
（2）當(dāng)AC＝AE，∠CAD＝38°時(shí)，求∠DCE的度數(shù)．

22．（9分）為進(jìn)一步提升摩托車、電動(dòng)自行車騎乘人員和汽車駕乘人員安全防護(hù)水平，公安部交通管理局部署在全國開展“一盔一帶”安全守護(hù)行動(dòng)．某商店銷售A，B兩種頭盔，批發(fā)價(jià)和零售價(jià)格如表所示，請解答下列問題．
名稱
A種頭盔
B種頭盔
批發(fā)價(jià)（元/個(gè)）
60
40
零售價(jià)（元/個(gè)）
80
50
（1）第一次，該商店批發(fā)A，B兩種頭盔共120個(gè)，用去5600元錢，求A，B兩種頭盔各批發(fā)了多少個(gè)？
（2）第二次，該商店用7200元錢仍然批發(fā)這兩種頭盔（批發(fā)價(jià)和零售價(jià)不變），要想將第二次批發(fā)的兩種頭盔全部售完后，所獲利潤率不低于30%，則該超市第二次至少批發(fā)A種頭盔多少個(gè)？
23．（9分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，O為AB上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A，D的?O分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OF交AD于點(diǎn)G．
（1）求證：BC是?O的切線；
（2）求證：AD2＝AB?AF；
（3）若BE＝12，tanB＝，求AD的長．

24．（10分）設(shè)點(diǎn)P在矩形ABCD內(nèi)部，當(dāng)點(diǎn)P到矩形的一條邊的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等時(shí)，稱點(diǎn)P為該邊的“中軸點(diǎn)”．例如：若點(diǎn)P在矩形ABCD內(nèi)部，且PA＝PD，則稱P為邊AD的“中軸點(diǎn)”．已知點(diǎn)P是矩形ABCD邊AD的“中軸點(diǎn)”，且AB＝10，BC＝8，如圖1．
（1）求證：P是矩形ABCD邊BC的“中軸點(diǎn)”；
（2）如圖2，連接PA，PB，若△PAB是直角三角形，求PA的值；
（3）如圖3，連接PA，PB，PD，求tan∠PDC?tan∠PBA的最小值．

25．（10分）拋物線y＝ax2+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且位于x軸下方．
（1）如圖1，若P（1，﹣3），B（4，0）．
①求該拋物線的解析式；
②若D是拋物線上一點(diǎn)，滿足∠DPO＝∠POB，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖2，已知直線PA，PB與y軸分別交于E、F兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．


2021年湖南省長沙市岳麓區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共計(jì)10個(gè)小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）若二次根式有意義，則x的取值范圍是（　?。?br /> A．x＜3 B．x≠3 C．x≤3 D．x≥3
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出答案．
【解答】解：由題意可知：x﹣3≥0，
∴x≥3
故選：D．
2．（3分）六個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，其俯視圖是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【分析】俯視圖有3列，從左到右正方形個(gè)數(shù)分別是2，1，2．
【解答】解：俯視圖從左到右分別是2，1，2個(gè)正方形，如圖所示：．
故選：B．
3．（3分）下列計(jì)算正確的是（　　）
A．2a2+3a2＝5a4 B．（a+b）2＝a2+ab+b2
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．﹣2a2?3a2＝﹣6a2
【分析】根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的式子可以計(jì)算出正確的結(jié)果，從而可以解答本題．
【解答】解：2a2+3a2＝5a2，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
（﹣2a2）3＝﹣8a6，故選項(xiàng)C正確；
﹣2a2?3a2＝﹣6a4，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：C．
4．（3分）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史．2017年5月，世界圍棋冠軍柯潔與人工智能機(jī)器人AlphaGo進(jìn)行圍棋人機(jī)大戰(zhàn)．截取首局對戰(zhàn)棋譜中的四個(gè)部分，由棋子擺成的圖案（不考慮顏色）是中心對稱的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形可得答案．
【解答】解：A、是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
B、不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
C、不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
D、不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意．
故選：A．
5．（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（　　）
A． B．
C． D．
【分析】首先解出不等式的解集，然后再根據(jù)不等式組解集的規(guī)律：大小小大中間找，確定不等式組的解集，再在數(shù)軸上表示即可．
【解答】解：不等式組，
由①得：x≥1，
由②得：x＜2，
∴不等式組的解集為1≤x＜2．
數(shù)軸上表示如圖：
，
故選：D．
6．（3分）下列說法正確的是（　　）
A．一個(gè)游戲的中獎(jiǎng)概率是 則做10次這樣的游戲一定會(huì)中獎(jiǎng)
B．為了解全國中學(xué)生的心理健康情況，應(yīng)該采用普查的方式
C．一組數(shù)據(jù) 8，8，7，10，6，8，9 的眾數(shù)和中位數(shù)都是8
D．若甲組數(shù)據(jù)的方差S2＝0.01，乙組數(shù)據(jù)的方差S2＝0.1，則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定
【分析】利用概率的意義、全面調(diào)查與抽樣調(diào)查、中位數(shù)、眾數(shù)及概率的意義逐項(xiàng)判斷即可得到正確的答案．
【解答】解：A、一個(gè)游戲的中獎(jiǎng)概率是，則做10次這樣的游戲可能中獎(jiǎng)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、了解全國中學(xué)生的心理健康情況，范圍比較廣，應(yīng)采用抽查的反思調(diào)查，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、數(shù)據(jù) 8，8，7，10，6，8，9 中8出現(xiàn)的次數(shù)最多的為8，故眾數(shù)為8，排序后中位數(shù)為8，故本選項(xiàng)正確；
D、根據(jù)方差越小越穩(wěn)定可知乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：C．
7．（3分）如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝5，DE＝2，則△BCE的的面積等于（　?。?br />
A．4 B．5 C．7 D．10
【分析】過E作EF⊥BC于點(diǎn)F，由角平分線的性質(zhì)可求得EF＝DE，則可求得△BCE的面積．
【解答】解：過E作EF⊥BC于點(diǎn)F，
∵CD是AB邊上的高，BE平分∠ABC，
∴EF＝DE＝2，
∴S△BCE＝BC?EF＝×5×2＝5，
故選：B．

8．（3分）隨著全球能源危機(jī)的逐漸加重，太陽能發(fā)電行業(yè)發(fā)展迅速．全球太陽能光伏應(yīng)用市場持續(xù)穩(wěn)步增長，2019年全球裝機(jī)總量約600GW，預(yù)計(jì)到2021年全球裝機(jī)總量達(dá)到864GW．設(shè)全球新增裝機(jī)量的年平均增長率為x，則可列的方程為（　?。?br /> A．600（1+2x）＝864 B．600+2x＝864
C．（600+x）2＝864 D．600（1+x）2＝864
【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：2019年的裝機(jī)總量×（1+增長率）2＝2021年的裝機(jī)總量，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．
【解答】解：設(shè)全球新增裝機(jī)量的年平均增長率為x，
由題意得：600（1+x）2＝864，
故選：D．
9．（3分）如圖，線段AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)E，∠E＝42°，則∠CDB等于（　?。?br />
A．22° B．24° C．28° D．48°
【分析】連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)可知∠OCE＝90°，再由直角三角形的性質(zhì)得出∠COE的度數(shù)，由圓周角定理即可得出結(jié)論．
【解答】解：連接OC，
∵CE是⊙O的切線，
∴∠OCE＝90°，
∵∠E＝42°，
∴∠COE＝90°﹣42°＝48°，
∴∠CDB＝∠COE＝24°．
故選：B．

10．（3分）若點(diǎn)M（m，n）是拋物線y＝﹣2x2+2x+m上的點(diǎn)，且拋物線與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，則m﹣n的最小值（　?。?br /> A．﹣ B． C． D．﹣
【分析】根據(jù)題意求得m的取值，然后把點(diǎn)M（m，n）代入y＝﹣2x2+2x+m，得到n＝﹣2m2+2m+m，進(jìn)一步得到m﹣n＝2m2﹣2m＝2（m﹣）2﹣，結(jié)合m的取值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果．
【解答】解：∵拋物線y＝﹣2x2+2x+m與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，
∴△＝4﹣4×（﹣2）m≤0，
解得m≤﹣，
∴點(diǎn)M（m，n）是拋物線y＝﹣2x2+2x+m上的點(diǎn)，
∴n＝﹣2m2+2m+m，
∴m﹣n＝2m2﹣2m＝2（m﹣）2﹣，
∵m≤﹣，
∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，m﹣n有最小值，最小值為2×（﹣﹣）2﹣＝，
故選：B．
二、填空題（本大題共6個(gè)小紐，每小題3分。共18分）
11．（3分）2021年2月24日，我國首次火星探測任務(wù)天問一號探測器成功實(shí)施第三次近火制動(dòng)，進(jìn)入火星停泊軌道．此次天問一號探測器進(jìn)入的火星停泊軌道是與火星的最遠(yuǎn)距離59000000米的橢圓形軌道．將59000000米用科學(xué)記數(shù)法表示為　5.9×107　米．
【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，且n比原來的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．
【解答】解：59000000米＝5.9×107米．
故答案為：5.9×107．
12．（3分）如圖，已知a∥b，∠1＝128°，則∠2＝　52°?。?br />
【分析】由平行線的性質(zhì)得出∠3＝∠1＝128°，再結(jié)合∠2，∠3互補(bǔ)，即可求出∠2的度數(shù)．
【解答】解：如圖所示：

∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝128°．
又∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣128°＝52°．
故答案為：52°．
13．（3分）當(dāng)m?。?　時(shí)，函數(shù)y＝的圖象在第二、四象限內(nèi)．
【分析】由雙曲線在第二、四象限，可知k＜0即可解答．
【解答】解：∵函數(shù)y＝的圖象在第二、四象限內(nèi)．
∴m﹣2＜0，
∴m＜2．
14．（3分）若圓錐的底面直徑為6cm，母線長為10cm，則圓錐的側(cè)面積為　30π　cm2．
【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式計(jì)算．
【解答】解：圓錐的側(cè)面積＝×6π×10＝30π（cm2）．
故答案為30π．
15．（3分）在一個(gè)不透明的布袋中裝有除顏色外其他都相同的黃、白兩種顏色的球共40個(gè)，從中任意摸出一個(gè)球，若摸到黃球的概率為，則布袋中黃球的個(gè)數(shù)為　18?。?br /> 【分析】利用摸到黃球的概率為，然后根據(jù)概率公式計(jì)算即可．
【解答】解：設(shè)袋子中黃球有x個(gè)，根據(jù)題意，得：
＝，
解得：x＝18，
即布袋中黃球可能有18個(gè)，
故答案為：18．
16．（3分）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB1C1，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在CB的延長線上，連接CB1，則＝　?。?br />
【分析】由直角三角形的性質(zhì)可求CB＝2AB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC＝B1C1，AC＝AC1，由等腰三角形的判定和性質(zhì)可得AB＝BC1，即可求解．
【解答】解：如圖，延長CA交B1C1于H，

設(shè)AB＝x，
∵∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，
∴CB＝2AB＝2x，AC＝x，
∵將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB1C1，
∴BC＝B1C1，AC＝AC1，
∴∠ACB＝∠AC1B＝30°，
∵∠ABC＝∠BAC1+∠AC1B＝60°，
∴∠BAC1＝∠AC1B1＝30°，
∴AB∥B1C1，
∴∠CAB＝∠CHC1＝90°，
∴∠B1AH＝30°，
∴B1H＝AB1＝，AH＝x，
∴CH＝x，
∴B1C＝＝x，
∴＝，
故答案為．
三、解答題（本大題共9個(gè)小題第17、18、19題，每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24，25題每小題6分，共72分.）
17．（6分）計(jì)算：（）﹣1+2tan60°﹣（2021+π）0﹣．
【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)、算術(shù)平方根分別化簡得出答案．
【解答】解：原式＝2+2﹣1﹣1
＝2．
18．（6分）先化簡，再求值：÷（﹣），其中x＝2+．
【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式，再將x的值代入計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
當(dāng)x＝2+時(shí)，
原式＝．
19．（6分）如圖，在5×7的正方形網(wǎng)格中，A、B、C都是格點(diǎn)，AB為半圓的直徑，C在半圓上，請你僅用無刻度的直尺完成以下作圖（保留作圖痕跡）：
（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)D；
（2）直接標(biāo)出弦BC的中點(diǎn)及半圓的圓心O，并作BC弧的中點(diǎn)E；
（3）在射線BC上作點(diǎn)F，使∠AFB＝∠BAC．

【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)解決問題即可．
（2）取AB，BC的中點(diǎn)O，T，作射線OT交⊙O于點(diǎn)E，點(diǎn)O，T，E即為所求作．
（3）取格點(diǎn)R，連接AR交直線BC于點(diǎn)F，點(diǎn)F即為所求作．
【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)D即為所求作．
（2）如圖，點(diǎn)O，點(diǎn)T，點(diǎn)E即為所求作．
（3）如圖，點(diǎn)F即為所求作．

20．（8分）九（1）班針對“你最向往的研學(xué)目標(biāo)”的問題對全班學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查（共提供A、B、C、D四個(gè)研學(xué)目標(biāo)，每名學(xué)生從中分別選一個(gè)目標(biāo)），并根據(jù)調(diào)查結(jié)果列出統(tǒng)計(jì)表繪制扇形統(tǒng)計(jì)圖．
男、女生最向往的研學(xué)目標(biāo)人數(shù)統(tǒng)計(jì)表
目標(biāo)
A
B
C
D
男生（人數(shù)）
7
m
2
5
女生（人數(shù)）
9
4
2
n
根據(jù)以上信息解決下列問題：
（1）m＝　8　，n＝　3??；
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中A所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為　144°?。?br /> （3）從最向往的研學(xué)目標(biāo)為C的4名學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生參加競標(biāo)演說，求所選取的2名學(xué)生中恰好有一名男生、一名女生的概率．

【分析】（1）先根據(jù)C組男女生人數(shù)及其所占百分比求出樣本容量，再根據(jù)B組對應(yīng)百分比及女生B組人數(shù)求解可得m的值，最后根據(jù)各組人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)求出n的值；
（2）用360°乘以A組人數(shù)所占比例即可；
（3）應(yīng)用列表法的方法，求出恰好選到1名男生和1名女生的概率是多少即可．
【解答】解：（1）樣本容量＝（2+2）÷30%＝40，
依據(jù)題意得：（4+m）＝40×30%，
解得：m＝8；
n＝40﹣7﹣8﹣2﹣5﹣9﹣4﹣2＝3；
故答案為：8、3；

（2）（7+9）÷40×360°＝144°；
故答案為：144°．
（3）列表得：

男1
男2
女1
女2
男1
﹣﹣
男2男1
女1男1
女2男1
男2
男1男2
﹣﹣
女1男2
女2男2
女1
男1女1
男2女1
﹣﹣
女2女1
女2
男1女2
男2女2
女1女2
﹣﹣
由表格可知，共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中恰好選中1男1女的結(jié)果數(shù)為8，
所以恰好選中1男1女的概率P＝．
21．（8分）如圖，AD平分∠BAC，AB＝AC，且AB∥CD，點(diǎn)E在線段AD．上，BE的延長線交CD于點(diǎn)F，連接CE．
（1）求證：△ACE≌△ABE．
（2）當(dāng)AC＝AE，∠CAD＝38°時(shí)，求∠DCE的度數(shù)．

【分析】（1）先由角平分線的性質(zhì)可得∠CAE＝∠BAE，再根據(jù)已知條件即可用SAS證明方法進(jìn)行證明即可得出答案；
（2）現(xiàn)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出∠ACE＝∠AEC＝71°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，∠DCA+∠BAC＝180°，求解即可得出答案．
【解答】證明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE，
在△ACE和△ABE中，
，
∴△ACE≌△ABE（SAS）；
（2）∵AC＝AE，∠CAD＝38°，
∴∠ACE＝∠AEC＝71°，
又∵∠CAD＝∠BAD＝38°，
∴∠CAB＝∠CAD+BAD＝38°+38°＝76°，
∵AB∥CD，
∴∠DCA+∠BAC＝180°，
∴∠DCE+∠ACE+∠BAD＝180°，
∴∠DCE＝180°﹣71°﹣76°＝33°．
22．（9分）為進(jìn)一步提升摩托車、電動(dòng)自行車騎乘人員和汽車駕乘人員安全防護(hù)水平，公安部交通管理局部署在全國開展“一盔一帶”安全守護(hù)行動(dòng)．某商店銷售A，B兩種頭盔，批發(fā)價(jià)和零售價(jià)格如表所示，請解答下列問題．
名稱
A種頭盔
B種頭盔
批發(fā)價(jià)（元/個(gè)）
60
40
零售價(jià)（元/個(gè)）
80
50
（1）第一次，該商店批發(fā)A，B兩種頭盔共120個(gè)，用去5600元錢，求A，B兩種頭盔各批發(fā)了多少個(gè)？
（2）第二次，該商店用7200元錢仍然批發(fā)這兩種頭盔（批發(fā)價(jià)和零售價(jià)不變），要想將第二次批發(fā)的兩種頭盔全部售完后，所獲利潤率不低于30%，則該超市第二次至少批發(fā)A種頭盔多少個(gè)？
【分析】（1）設(shè)第一次A種頭盔批發(fā)了x個(gè)，B種頭盔批發(fā)了y個(gè)．根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可得出答案；
（2）設(shè)第二次批發(fā)A種頭盔a個(gè)，則批發(fā)B種頭盔個(gè)．根據(jù)題意列出一元一次不等式，則可得解．
【解答】解：（1）設(shè)第一次A種頭盔批發(fā)了x個(gè)，B種頭盔批發(fā)了y個(gè)．
根據(jù)題意，得，
解得：，
答：第一次A種頭盔批發(fā)了40個(gè)，B種頭盔批發(fā)了80個(gè)．

（2）設(shè)第二次批發(fā)A種頭盔a個(gè)，則批發(fā)B種頭盔個(gè)．
由題意，得（80﹣60）a+（50﹣40）×≥7200×30%，
解得：a≥72，
答：第二次該商店至少批發(fā)72個(gè)A種頭盔．
23．（9分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，O為AB上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A，D的?O分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OF交AD于點(diǎn)G．
（1）求證：BC是?O的切線；
（2）求證：AD2＝AB?AF；
（3）若BE＝12，tanB＝，求AD的長．

【分析】（1）先判斷出OD∥AC，得出∠ODB＝90°，即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出∠AEF＝∠B，再判斷出∠AEF＝∠ADF，進(jìn)而得出∠B＝∠ADF，進(jìn)而判斷出△ABD～△ADF，即可得出結(jié)論；
（3）連接EF，在直角三角形BOD中，根據(jù)勾股定理可得BO的長度用BD和OD表示，進(jìn)而得sinB＝＝，設(shè)圓的半徑為r，由sinB的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出r的值，由直徑所對的圓周角為直角，得到EF與BC平行得到sin∠AEF＝sin∠B，進(jìn)而求出AF的長，再根據(jù)（2）的結(jié)論可求出AD的長．
【解答】解：（1）如圖1，

連接OD，則OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵點(diǎn)D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切線；
（2）如圖2，

連接OD，DF，EF，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠AFE＝90°＝∠C，
∴EF∥BC，
∴∠B＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
由（1）知，∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD～△ADF，
∴＝，
∴AD2＝AB?AF；
（3）如圖3，

連接EF，
在Rt△BOD中，tanB＝＝，
∵OD2+BD2＝OB2，設(shè)OD為5x，則BD為12x，
由勾股定理得BO＝＝13x，
∴sinB＝＝，
設(shè)半徑為r，
則＝，
得r＝，
∴AE＝15，AB＝AE+BE＝27，
∵AE為直徑，
∴∠AFE＝∠C＝90°，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
∴sin∠AEF＝＝，
∴AF＝AE×＝15×＝，
∵AD2＝AB?AF，
∴AD＝＝＝．
24．（10分）設(shè)點(diǎn)P在矩形ABCD內(nèi)部，當(dāng)點(diǎn)P到矩形的一條邊的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等時(shí)，稱點(diǎn)P為該邊的“中軸點(diǎn)”．例如：若點(diǎn)P在矩形ABCD內(nèi)部，且PA＝PD，則稱P為邊AD的“中軸點(diǎn)”．已知點(diǎn)P是矩形ABCD邊AD的“中軸點(diǎn)”，且AB＝10，BC＝8，如圖1．
（1）求證：P是矩形ABCD邊BC的“中軸點(diǎn)”；
（2）如圖2，連接PA，PB，若△PAB是直角三角形，求PA的值；
（3）如圖3，連接PA，PB，PD，求tan∠PDC?tan∠PBA的最小值．

【分析】（1）連接PB、PC，通過求證△CDP≌△BAP即可求證P是矩形ABCD邊BC的“中軸點(diǎn)“；
（2）連接PD，過點(diǎn)P作PE⊥DA于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F，設(shè)AF＝x，利用三角形相似找到關(guān)系式，即可算出AP的長；
（3）過點(diǎn)P作PF'⊥AB于點(diǎn)F'，利用（1）（2）中所求，將∠PDC進(jìn)行轉(zhuǎn)換，再結(jié)合二次函數(shù)最值即可找到tan∠PDC?tan∠PBA的最小值．
【解答】解：（1）連接PB、PC，如圖所示：

∵點(diǎn)P為該邊的“中軸點(diǎn)”，
∴PA＝PD，∠PDA＝∠PAD，
又∵∠CDA＝∠DAB＝90°，
∴∠CDP＝∠BAP，
在△CDP和△BAP中，
，
∴△CDP≌△BAP（SAS），
∴PC＝PB，
∴P是矩形ABCD邊BC的“中軸點(diǎn)“；
（2）解：連接PD，過點(diǎn)P作PE⊥DA于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F，

由（1）得PD＝PA，故△PDA為等腰三角形，
∴DE＝EA＝AD＝＝＝4，
∵在四邊形PEAF中，∠PEA＝∠EAF＝∠AFP＝90°，
∴四邊形PEAF為矩形，
∴EA＝PF＝4，
又∵△PAB是直角三角形，∠PFA＝PFB＝90°，
∴∠PAF＝90°﹣∠PBA，∠FPB＝90°﹣∠PBF，
即∠PAF＝∠FPB，
∴△FAP∽△FPB，
∴，
∴PF2＝AF?BF，
即16＝AF?BF，
設(shè)AF＝x，則BF＝10﹣x，可得方程：
x（10﹣x）＝16，
解得：x1＝2，x2＝8，
當(dāng)AF＝2時(shí)，PA＝＝＝2，
當(dāng)AF＝8時(shí)，PA＝＝，
綜上，當(dāng)△PAB是直角三角形時(shí)，PA的值為2或4；
（3）過點(diǎn)P作PF'⊥AB于點(diǎn)F'，如圖所示：

由（1）（2）可知，∠PDC＝∠PAF'，PF'＝4，
∴tan＝∠PDC＝tan∠PAF'＝，tan∠PBA＝，
∴tan∠PDC?tan∠PBA＝，
設(shè)AF'＝x，則BF'＝10﹣x，
∴tan∠PDC?tan∠PBA＝，
觀察易知，當(dāng)x（10﹣x）取得最大值時(shí)，tan∠PDC?tan∠PBA取得最小值，
令y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣5）2+25，
∵﹣1＜0，
∴當(dāng)x＝5時(shí)，y取得最大值25，
∴存在最小值：，
故tan∠PDC?tan∠PBA的最小值為．
25．（10分）拋物線y＝ax2+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且位于x軸下方．
（1）如圖1，若P（1，﹣3），B（4，0）．
①求該拋物線的解析式；
②若D是拋物線上一點(diǎn)，滿足∠DPO＝∠POB，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖2，已知直線PA，PB與y軸分別交于E、F兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．

【分析】（1）①根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，可得答案；②根據(jù)平行線的判定，可得PD∥OB，根據(jù)函數(shù)值相等兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，可得D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得E、F點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案．
【解答】解：（1）①將P（1，﹣3），B（4，0）代入y＝ax2+c，得
，解得，
拋物線的解析式為y＝x2﹣；
②如圖1，
當(dāng)點(diǎn)D在OP左側(cè)時(shí)，
由∠DPO＝∠POB，得
DP∥OB，
D與P關(guān)于y軸對稱，P（1，﹣3），
得D（﹣1，﹣3）；
當(dāng)點(diǎn)D在OP右側(cè)時(shí)，延長PD交x軸于點(diǎn)G．
作PH⊥OB于點(diǎn)H，則OH＝1，PH＝3．
∵∠DPO＝∠POB，
∴PG＝OG．
設(shè)OG＝x，則PG＝x，HG＝x﹣1．
在Rt△PGH中，由x2＝（x﹣1）2+32，得x＝5．
∴點(diǎn)G（5，0）．
∴直線PG的解析式為y＝x﹣
解方程組得，．
∵P（1，﹣3），
∴D（，﹣）．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，﹣3）或（，﹣）．

（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，是定值，定值為2，理由如下：

作PQ⊥AB于Q點(diǎn)，設(shè)P（m，am2+c），A（﹣t，0），B（t，0），則at2+c＝0，c＝﹣at2．
∵PQ∥OF，
∴，
∴OF＝＝﹣＝＝amt+at2．
同理OE＝﹣amt+at2．
∴OE+OF＝2at2＝﹣2c＝2OC．
∴＝2．



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