?2021年湖南省長(zhǎng)沙市中考數(shù)學(xué)模擬試卷（三）
一、選擇題（共12小題，每小題3分，共36分）
1．下列四個(gè)數(shù)：﹣2，﹣0.6，，中，絕對(duì)值最小的是（　　）
A．﹣2 B．﹣0.6 C． D．
2．下列計(jì)算正確的是（　　）
A．a(chǎn)3+a2＝a5 B．a(chǎn)5÷a2＝a3 C．a(chǎn)3?a2＝a6 D．（﹣a3）2＝﹣a6
3．下列四個(gè)圓形圖案中，分別以它們所在圓的圓心為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α，旋轉(zhuǎn)后的圖形也能與原圖形完全重合，則這個(gè)圖形是（　?。?br /> A． B． C． D．
4．五邊形的內(nèi)角和是（　?。?br /> A．180° B．360° C．540° D．720°
5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)N（﹣2，﹣3）繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°（　?。?br /> A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，3）
6．下列命題中，是真命題的是（　?。?br /> A．菱形對(duì)角線相等
B．函數(shù)y＝的自變量取值范圍是x≠﹣1
C．若|a|＝|b|，則a＝b
D．同位角一定相等
7．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，若CD＝3（　　）

A．7 B．6 C．5 D．4
8．如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在邊AC上時(shí)，連接AD，則∠DAC的度數(shù)是（　?。?br />
A．60° B．65° C．70° D．75°
9．拋物線y＝2x2﹣2x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　?。?br /> A．0 B．1 C．2 D．3
10．《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺（水平距離）時(shí)，秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，試問繩索有多長(zhǎng)？”根據(jù)題意，可得秋千的繩索長(zhǎng)為（　?。?br />
A．10尺 B．14.5尺 C．13尺 D．17尺
11．小明家1至6月份的用水量統(tǒng)計(jì)如圖所示，關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法中錯(cuò)誤的是（　?。?br />
A．眾數(shù)是 6噸 B．平均數(shù)是 5噸
C．中位數(shù)是 5噸 D．方差是
12．如圖，A，B為圓O上的點(diǎn)，且D為弧AB的中點(diǎn)，DE⊥BC于E，若AC＝，則的值為（　?。?br />
A．3 B．2 C．+1 D．+1
二、填空題（共4小題，每題3分，共12分）
13．計(jì)算﹣3＝　 ?。?br /> 14．為了防止輸入性“新冠肺炎”，某醫(yī)院成立隔離治療發(fā)熱病人防控小組，決定從內(nèi)科3位骨干醫(yī)師中（含有甲）　 ?。?br /> 15．如圖，已知l1∥l2∥l3，相鄰兩條平行直線間的距離相等．若等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C在l1上，另兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別在l3、l2上，則tanα的值是　 ?。?br />
16．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含B、C兩點(diǎn)），點(diǎn)B落在點(diǎn)E處；在CD上有一點(diǎn)M，點(diǎn)C落在直線PE上的點(diǎn)F處，直線PE交CD于點(diǎn)N，NA．則以下結(jié)論中正確的有　 ?。▽懗鏊姓_結(jié)論的序號(hào)）
①△CMP∽△BPA；
②四邊形AMCB的面積最大值為10；
③當(dāng)P為BC中點(diǎn)時(shí)，AE為線段NP的中垂線；
④線段AM的最小值為2；
⑤當(dāng)△ABP≌△ADN時(shí)，BP＝4﹣4．

三、解答題（本大題共9個(gè)小題，共72分）
17．（6分）計(jì)算：（﹣）﹣2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0
18．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：（﹣b）?，其中a﹣b＝2．
19．（6分）如圖，在△ABC中，DE分別是AB，BE＝2DE，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，連CF．
（1）求證：四邊形BCFE是菱形；
（2）若CE＝6，∠BEF＝120°，求菱形BCFE的面積．

20．（8分）為了解全校同學(xué)對(duì)球類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的喜愛情況，該校某班的研究性學(xué)習(xí)小組在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取部分同學(xué)參與“我最喜愛的球類項(xiàng)目”問卷調(diào)查，收集數(shù)據(jù)后繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：

請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，解答下列問題：
（1）全班共有　 　名同學(xué)；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）若該校約有1500名學(xué)生，估計(jì)全校學(xué)生中喜歡足球的有多少人；
（4）若從九年級(jí)的3名女選手和八年級(jí)的2名女選手中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)組成乒乓球雙打組合，用畫樹狀圖或列表法求抽到的兩名同學(xué)恰好是同一年級(jí)的概率．
21．（8分）人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級(jí)上冊(cè)第84頁探究了“三角形中邊與角之間的不等關(guān)系”，部分原文如下：
如圖1，在△ABC中，如果AB＞AC，使邊AC落在AB上，點(diǎn)C落在AB上的D點(diǎn)，則∠C＝∠ADE．
∵∠ADE＞∠B（想一想為什么），
∴∠C＞∠B．
（1）請(qǐng)證明上文中的∠ADE＞∠B；
（2）如圖2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B
同學(xué)小雅提供了一種方法：將△ABC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)C上，折線交AB于點(diǎn)F，再運(yùn)用三角形三邊關(guān)系即可證明，請(qǐng)你按照小雅的方法完成證明；
（3）如圖3，在△ABC中，∠C＝2∠B，得到折痕AE，過點(diǎn)E作AC的平行線交AB于點(diǎn)M，求∠DEM的度數(shù)．

22．（9分）九一班計(jì)劃購買A、B兩種相冊(cè)共42冊(cè)作為畢業(yè)禮品，這兩種相冊(cè)的單價(jià)分別是50元和40元，由于學(xué)生對(duì)兩類相冊(cè)喜好不同，但又不少于B種相冊(cè)數(shù)量的，如果設(shè)買A種相冊(cè)x冊(cè)
（1）求計(jì)劃購買這兩種相冊(cè)所需的費(fèi)用y（元）關(guān)于x（冊(cè)）的函數(shù)關(guān)系式．
（2）班委會(huì)多少種不同的購買方案？
（3）商店為了促銷，決定對(duì)A種相冊(cè)每?jī)?cè)讓利a元銷售（12≤a≤18），B種相冊(cè)每?jī)?cè)讓利b元銷售，當(dāng)總費(fèi)用最少時(shí)，求此時(shí)a的值．
23．（9分）如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB＝90°上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)O分別作弦AC，OE垂足分別為D，E．
（1）求∠DOE的度數(shù)；
（2）求線段DE長(zhǎng)；
（3）當(dāng)四邊形DOEC的面積取最大值時(shí)，求CD+CE的值．

24．（10分）我們定義：如果兩個(gè)多項(xiàng)式A與B的差為常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)為正數(shù)，則稱A是B的“差常式”2﹣5x+6，B＝（x+1）（x﹣6），則A是B的“差常式”
（1）已知多項(xiàng)式C＝2x2﹣5x+4，D＝（x﹣2）（2x﹣1），判斷C是否是D的“差常式”，請(qǐng)說明理由，若是；
（2）已知多項(xiàng)式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b為常數(shù)），M是N的“差常式”，且當(dāng)x為實(shí)數(shù)時(shí)，求M關(guān)于N的“差常值”；
（3）若多項(xiàng)式x2+b2x+c2是x2+b1x+c1的“差常式”（其中b1，b2，c1，c2為常數(shù)），令y1＝x2+b1x+c1，y2＝x2+b2x+c2（c1＜c2），直線y＝kx+m與y1＝x2+b1x+c1，y2＝x2+b2x+c2的圖象相交于E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4），其中x1＜x2＜x3＜x4．若y1＝x2+b1x+c1的圖象的頂點(diǎn)為P，記S1，S2，S3分別為△EPF，△EPG，△EPH的面積．問：，請(qǐng)求出它的值；如果不是
25．（10分）如圖，拋物線y＝ax2+bx過A（4，0），B（1，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)C、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，交x軸于點(diǎn)H．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出△ABC的面積；
（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，當(dāng)△ABP的面積為6時(shí)；
（4）若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，是否存在以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形？若存在，若不存在，請(qǐng)說明理由．

2021年湖南省長(zhǎng)沙市中考數(shù)學(xué)模擬試卷（三）
參考答案與試題解析
一、選擇題（共12小題，每小題3分，共36分）
1．下列四個(gè)數(shù)：﹣2，﹣0.6，，中，絕對(duì)值最小的是（　?。?br /> A．﹣2 B．﹣0.6 C． D．
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，計(jì)算出各選項(xiàng)的絕對(duì)值，然后再比較大小即可．
【解答】解：∵|﹣2|＝2，|﹣6.6|＝0.6，|，||＝，
∵，
所以絕對(duì)值最小的是，
故選：C．
2．下列計(jì)算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)3+a2＝a5 B．a(chǎn)5÷a2＝a3 C．a(chǎn)3?a2＝a6 D．（﹣a3）2＝﹣a6
【分析】分別根據(jù)合并同類項(xiàng)法則，同底數(shù)冪的除法法則，同底數(shù)冪的乘法法則以及積的乘方運(yùn)算法則逐一判斷即可．
【解答】解：A．a(chǎn)3與a2不是同類項(xiàng)，所以不能合并；
B．a(chǎn)4÷a2＝a3，運(yùn)算正確；
C．a(chǎn)5?a2＝a5，故本選項(xiàng)不合題意；
D．（﹣a7）2＝a6，故本選項(xiàng)不合題意．
故選：B．
3．下列四個(gè)圓形圖案中，分別以它們所在圓的圓心為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α，旋轉(zhuǎn)后的圖形也能與原圖形完全重合，則這個(gè)圖形是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】求出各旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的最小旋轉(zhuǎn)角度，繼而可作出判斷．
【解答】解：A、最小旋轉(zhuǎn)角度＝；
B、最小旋轉(zhuǎn)角度＝；
C、最小旋轉(zhuǎn)角度＝；
D、最小旋轉(zhuǎn)角度＝；
綜上可得：旋轉(zhuǎn)一定角度后，能與原圖形完全重合．
故選：A．
4．五邊形的內(nèi)角和是（　?。?br /> A．180° B．360° C．540° D．720°
【分析】根據(jù)n邊形的內(nèi)角和為：（n﹣2）?180°（n≥3，且n為整數(shù)），求出五邊形的內(nèi)角和是多少度即可．
【解答】解：五邊形的內(nèi)角和是：
（5﹣2）×180°
＝3×180°
＝540°
故選：C．
5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)N（﹣2，﹣3）繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°（　?。?br /> A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，3）
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)解決問題即可．
【解答】解：點(diǎn)N（﹣2，﹣3）繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，6），
故選：D．
6．下列命題中，是真命題的是（　?。?br /> A．菱形對(duì)角線相等
B．函數(shù)y＝的自變量取值范圍是x≠﹣1
C．若|a|＝|b|，則a＝b
D．同位角一定相等
【分析】利用菱形的性質(zhì)、分式有意義的條件、絕對(duì)值的定義及平行線的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
【解答】解：A、菱形的對(duì)角線垂直但不一定相等，是假命題；
B、函數(shù)y＝，正確；
C、若|a|＝|b|，故錯(cuò)誤；
D、只要兩直線平行同位角才相等，是假命題，
故選：B．
7．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，若CD＝3（　?。?br />
A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得DE＝CD＝3，由∠B＝30°知BD＝2DE＝6．
【解答】解：如圖，作DE⊥AB于點(diǎn)E，

∵AD為∠CAB的平分線，
∴DE＝CD＝3，
∵∠B＝30°，
則BD＝2DE＝8，
故選：B．
8．如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在邊AC上時(shí)，連接AD，則∠DAC的度數(shù)是（　?。?br />
A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知△ABC≌△DEC，據(jù)此得∠ACB＝∠DCE＝30°、AC＝DC，繼而可得答案．
【解答】解：由題意知△ABC≌△DEC，
則∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，
∴∠DAC＝＝＝75°，
故選：D．
9．拋物線y＝2x2﹣2x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　?。?br /> A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】對(duì)于拋物線解析式，分別令x＝0與y＝0求出對(duì)應(yīng)y與x的值，即可確定出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【解答】解：拋物線y＝2x2﹣6x+1，
令y＝2，得到2x2﹣5x+1＝8，
∵△＝8﹣8＝4，
∴拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，
則拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2，
故選：C．
10．《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺（水平距離）時(shí)，秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，試問繩索有多長(zhǎng)？”根據(jù)題意，可得秋千的繩索長(zhǎng)為（　?。?br />
A．10尺 B．14.5尺 C．13尺 D．17尺
【分析】設(shè)繩索有x尺長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)果．
【解答】解：設(shè)繩索有x尺長(zhǎng)，
則102+（x+1﹣8）2＝x2，
解得：x＝14.4，
即繩索長(zhǎng)14.5尺，
故選：B．

11．小明家1至6月份的用水量統(tǒng)計(jì)如圖所示，關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法中錯(cuò)誤的是（　?。?br />
A．眾數(shù)是 6噸 B．平均數(shù)是 5噸
C．中位數(shù)是 5噸 D．方差是
【分析】根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)和方差的定義計(jì)算各量，然后對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為6噸，平均數(shù)為5噸，方差為噸2．
故選：C．
12．如圖，A，B為圓O上的點(diǎn)，且D為弧AB的中點(diǎn)，DE⊥BC于E，若AC＝，則的值為（　?。?br />
A．3 B．2 C．+1 D．+1
【分析】如圖，連接AD，BD，CD，在EB上取點(diǎn)Q，使EQ＝CE，根據(jù)D為弧AB的中點(diǎn)，∠ACB＝120°，得到∠DCB＝30°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到CD＝DQ，求得∠CDQ＝120°，推出∠ACD＝∠DQB，得到△ACD≌△BQD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC＝BQ，再證明AC＝EC＝EQ＝BQ即可解決問題．
【解答】解：如圖，連接AD，CD，OD，在⊙O上取一點(diǎn)K，BK，使EQ＝CE．

∵D為弧AB的中點(diǎn)，∠ACB＝120°，
∴∠K＝60°，∠AOB＝120°
∴∠DCB＝∠DOB＝30°，
∵CE＝QE，DE⊥BC，
∴CD＝DQ，
∴∠CDQ＝120°，
∵∠CDB＝∠ACB＝120°，
∴∠CDA＝∠QDB，
∵∠DCE＝∠DQE＝30°，
∴∠DQB＝150°，
∵∠ACD＝120°+30°＝150°，
∴∠ACD＝∠DQB，
在△ACD與△BQD中，
，
∴△ACD≌△BQD（ASA），
∴AC＝BQ，
∵CE＝DEDE，
∴AC＝CE＝EQ＝BQ，
∴BE：CE＝2：4，
故選：B．
二、填空題（共4小題，每題3分，共12分）
13．計(jì)算﹣3＝　?。?br /> 【分析】原式各項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式，合并即可得到結(jié)果．
【解答】解：原式＝2﹣6×
＝7﹣
＝．
故答案為：．
14．為了防止輸入性“新冠肺炎”，某醫(yī)院成立隔離治療發(fā)熱病人防控小組，決定從內(nèi)科3位骨干醫(yī)師中（含有甲）　?。?br /> 【分析】畫出樹狀圖，共有6個(gè)等可能的結(jié)果，甲一定會(huì)被抽調(diào)到防控小組的結(jié)果有4個(gè)，由概率公式即可求解．
【解答】解：內(nèi)科3位骨干醫(yī)師分別即為甲、乙、丙，
畫樹狀圖如圖：

共有6個(gè)等可能的結(jié)果，甲一定會(huì)被抽調(diào)到防控小組的結(jié)果有3個(gè)，
∴甲一定會(huì)被抽調(diào)到防控小組的概率＝＝；
故答案為：．
15．如圖，已知l1∥l2∥l3，相鄰兩條平行直線間的距離相等．若等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C在l1上，另兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別在l3、l2上，則tanα的值是　　．

【分析】過點(diǎn)A作AD⊥l1于D，過點(diǎn)B作BE⊥l1于E，根據(jù)同角的余角相等求出∠CAD＝∠BCE，然后利用“角角邊”證明△ACD和△CBE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CD＝BE，然后利用勾股定理列式求出AC，然后利用銳角的正切等于對(duì)邊比鄰邊列式計(jì)算即可得解．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥l1于D，過點(diǎn)B作BE⊥l1于E，設(shè)l2，l2，l3間的距離為2，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在等腰直角△ABC中，AC＝BC，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝1，
∴DE＝3，
∴tan∠α＝．
故答案為：．

16．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含B、C兩點(diǎn)），點(diǎn)B落在點(diǎn)E處；在CD上有一點(diǎn)M，點(diǎn)C落在直線PE上的點(diǎn)F處，直線PE交CD于點(diǎn)N，NA．則以下結(jié)論中正確的有?、佗冖荨。▽懗鏊姓_結(jié)論的序號(hào)）
①△CMP∽△BPA；
②四邊形AMCB的面積最大值為10；
③當(dāng)P為BC中點(diǎn)時(shí)，AE為線段NP的中垂線；
④線段AM的最小值為2；
⑤當(dāng)△ABP≌△ADN時(shí)，BP＝4﹣4．

【分析】①正確，只要證明∠APM＝90°即可解決問題．
②正確，設(shè)PB＝x，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題即可．
③錯(cuò)誤，先判斷出ND＝ND，設(shè)ND＝NE＝y(tǒng)，在Rt△PCN中，利用勾股定理求出y即可解決問題．
④錯(cuò)誤，作MG⊥AB于G，因?yàn)锳M＝＝，所以AG最小時(shí)AM最小，構(gòu)建二次函數(shù)，求得AG的最小值為3，AM的最小值為5．
⑤正確，在AB上取一點(diǎn)K使得AK＝PK，設(shè)PB＝z，列出方程即可解決問題．
【解答】解：∵∠APB＝∠APE，∠MPC＝∠MPN，
∵∠CPN+∠NPB＝180°，
∴2∠NPM+2∠APE＝180°，
∴∠MPN+∠APE＝90°，
∴∠APM＝90°，
∵∠CPM+∠APB＝90°，∠APB+∠PAB＝90°，
∴∠CPM＝∠PAB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝DC＝AD＝3，∠C＝∠B＝90°，
∴△CMP∽△BPA．故①正確，
設(shè)PB＝x，則CP＝4﹣x，
∵△CMP∽△BPA，
∴＝，
∴CM＝x（4﹣x），
∴S四邊形AMCB＝[4+x2+2x+8＝﹣（x﹣2）7+10，
∴x＝2時(shí)，四邊形AMCB面積最大值為10，
當(dāng)PB＝PC＝PE＝2時(shí)，
由折疊知，AE＝AB＝AD，
∴∠AEN＝90°＝∠D，
∵AN＝AN，
∴Rt△ADN≌Rt△AEN（HL），
∴DN＝EN，
設(shè)ND＝NE＝y(tǒng)，
在Rt△PCN中，（y+7）2＝（4﹣y）2+22解得y＝，
∴NE≠EP，故③錯(cuò)誤，
作MG⊥AB于G，
∴MG＝AD＝4，
根據(jù)勾股定理得：AM＝＝，
∴AG最小時(shí)AM最小，
∵AG＝AB﹣BG＝AB﹣CM＝5﹣x（8﹣x）＝7+3，
∴x＝2時(shí)，AG最小值＝4，
∴AM最小值＝＝5．
∵△ABP≌△ADN時(shí)，
∴△ABP≌△ADN≌△AEN≌△AEP，
∴∠PAB＝∠DAN＝22.8°，
在AB上取一點(diǎn)K使得AK＝PK，設(shè)PB＝z，
∴∠KPA＝∠KAP＝22.5°
∵∠PKB＝∠KPA+∠KAP＝45°，
∴∠BPK＝∠BKP＝45°，
∴PB＝BK＝z，AK＝PK＝z，
∴z+z＝4，
∴z＝4﹣4，
∴PB＝4﹣4．
故答案為①②⑤．

三、解答題（本大題共9個(gè)小題，共72分）
17．（6分）計(jì)算：（﹣）﹣2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0
【分析】原式利用零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則，絕對(duì)值的代數(shù)意義，以及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可求出值．
【解答】解：原式＝4﹣2+﹣+1＝5．
18．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：（﹣b）?，其中a﹣b＝2．
【分析】先算括號(hào)內(nèi)的減法，算乘法，即可求出答案．
【解答】解：（﹣b）?
＝?
＝?
＝，
當(dāng)a﹣b＝2時(shí)，原式＝＝．
19．（6分）如圖，在△ABC中，DE分別是AB，BE＝2DE，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，連CF．
（1）求證：四邊形BCFE是菱形；
（2）若CE＝6，∠BEF＝120°，求菱形BCFE的面積．

【分析】（1）從所給的條件可知，DE是△ABC中位線，所以DE∥BC且2DE＝BC，所以BC和EF平行且相等，所以四邊形BCFE是平行四邊形，又因?yàn)锽E＝FE，所以是菱形；
（2）由∠BEF是120°，可得∠EBC為60°，即可得△BEC是等邊三角形，求得BE＝BC＝CE＝6，再過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，求的高EG的長(zhǎng)，即可求得答案．
【解答】（1）證明：∵D、E分別是AB，
∴DE∥BC且2DE＝BC，
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四邊形BCFE是平行四邊形，
又∵BE＝EF，
∴四邊形BCFE是菱形；

（2）解：∵∠BEF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等邊三角形，
∴BE＝BC＝CE＝7，
過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，
∴EG＝BE?sin60°＝6×＝3，
∴S菱形BCFE＝BC?EG＝4×3＝18．

20．（8分）為了解全校同學(xué)對(duì)球類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的喜愛情況，該校某班的研究性學(xué)習(xí)小組在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取部分同學(xué)參與“我最喜愛的球類項(xiàng)目”問卷調(diào)查，收集數(shù)據(jù)后繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：

請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，解答下列問題：
（1）全班共有　50　名同學(xué)；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）若該校約有1500名學(xué)生，估計(jì)全校學(xué)生中喜歡足球的有多少人；
（4）若從九年級(jí)的3名女選手和八年級(jí)的2名女選手中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)組成乒乓球雙打組合，用畫樹狀圖或列表法求抽到的兩名同學(xué)恰好是同一年級(jí)的概率．
【分析】（1）由喜歡籃球的人數(shù)除以所占百分比即可；
（2）求出喜歡乒乓球和喜歡足球的學(xué)生人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；
（3）由全校學(xué)生總?cè)藬?shù)乘以喜歡足球的人數(shù)所占的比例即可；
（4）畫樹狀圖，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）12÷24%＝50（名），
故答案為：50；
（2）喜歡乒乓球的學(xué)生人數(shù)為：50×36%＝18（人），喜歡足球的學(xué)生人數(shù)為：50﹣12﹣18﹣10＝10（人），
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖：

（3），
答：全校學(xué)生中喜歡足球的大約有300人；
（4）把九年級(jí)的3名女選手和八年級(jí)的2名女選手分別記為：A、A、A，B、B，
畫樹狀圖如下：

由圖可知，共有20種等可能情況，
∴抽到的兩名同學(xué)恰好是同一年級(jí)的概率為＝．
21．（8分）人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級(jí)上冊(cè)第84頁探究了“三角形中邊與角之間的不等關(guān)系”，部分原文如下：
如圖1，在△ABC中，如果AB＞AC，使邊AC落在AB上，點(diǎn)C落在AB上的D點(diǎn)，則∠C＝∠ADE．
∵∠ADE＞∠B（想一想為什么），
∴∠C＞∠B．
（1）請(qǐng)證明上文中的∠ADE＞∠B；
（2）如圖2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B
同學(xué)小雅提供了一種方法：將△ABC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)C上，折線交AB于點(diǎn)F，再運(yùn)用三角形三邊關(guān)系即可證明，請(qǐng)你按照小雅的方法完成證明；
（3）如圖3，在△ABC中，∠C＝2∠B，得到折痕AE，過點(diǎn)E作AC的平行線交AB于點(diǎn)M，求∠DEM的度數(shù)．

【分析】（1）利用三角形的外角的性質(zhì)，即可得出結(jié)論；
（2）先由折疊得出BF＝CF，再利用三角形外角的性質(zhì)，即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出∠B＝∠BED，再判斷出∠MAE＝∠MEA，進(jìn)而求出∠B+∠BAE＝70°，即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵∠ADE＝∠B+∠BED，
∴∠ADE＞∠B；

（2）證明：由折疊知，BF＝CF，
在△ACF中，AF+FC＞AC，
∴AF+BF＞AC，
∴AB＞AC；

（3）由折疊知，∠MAE＝∠EAC，
∵∠C＝2∠B，
∴∠ADE＝2∠B，
∵∠ADE＝∠B+∠BED，
∴∠B＝∠BED，
∵M(jìn)E∥AC，
∴∠MEA＝∠EAC，
∵∠MAE＝∠EAC，
∴∠MAE＝∠MEA，
∵∠BEA＝110°，
∴∠B+∠BAE＝180°﹣∠BEA＝180°﹣110°＝70°，
∴∠BED+∠MEA＝∠B+∠BAM＝70°，
∴∠DEM＝∠BEA﹣（∠BED+∠MEA）＝110°﹣70°＝40°．
22．（9分）九一班計(jì)劃購買A、B兩種相冊(cè)共42冊(cè)作為畢業(yè)禮品，這兩種相冊(cè)的單價(jià)分別是50元和40元，由于學(xué)生對(duì)兩類相冊(cè)喜好不同，但又不少于B種相冊(cè)數(shù)量的，如果設(shè)買A種相冊(cè)x冊(cè)
（1）求計(jì)劃購買這兩種相冊(cè)所需的費(fèi)用y（元）關(guān)于x（冊(cè)）的函數(shù)關(guān)系式．
（2）班委會(huì)多少種不同的購買方案？
（3）商店為了促銷，決定對(duì)A種相冊(cè)每?jī)?cè)讓利a元銷售（12≤a≤18），B種相冊(cè)每?jī)?cè)讓利b元銷售，當(dāng)總費(fèi)用最少時(shí)，求此時(shí)a的值．
【分析】（1）根據(jù)題意得到y(tǒng)（元）關(guān)于x（冊(cè)）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)題意可得到一個(gè)關(guān)于x的不等式組，可求出x的取值范圍，再結(jié)合花費(fèi)的函數(shù)式，可求出x的具體數(shù)值；
（3）根據(jù)購買所需的總費(fèi)用與購買的方案無關(guān)可得函數(shù)關(guān)系式中x的系數(shù)為0，即可得到a與b的關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)最小即可確定a的取值范圍，即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）依題意得：y＝50x+40（42﹣x），
即y＝10x+1680；

（2）依題意得
，
解得12≤x＜18，
∴x可取12、13、15、17，
故班委會(huì)有6種不同的購買方案；

（3）設(shè)總費(fèi)用為w，根據(jù)題意得，
w＝（50﹣a）x+（40﹣b）（42﹣x），
w＝（50﹣a）x+42（40﹣b）﹣（40﹣b）x，
w＝（10﹣a+b）x+42（40﹣b），
∵購買所需的總費(fèi)用與購買的方案無關(guān)，即w的值與x無關(guān)，
∴10﹣a+b＝7，
∴b＝a﹣10，
∴w＝42[40﹣（a﹣10）]＝﹣42a+2100，
∵﹣42＜0，∴w隨a增大而減小，
又∵12≤a≤18，
∴a＝18時(shí)，w最?。?354（元）
所以a＝18．
23．（9分）如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB＝90°上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)O分別作弦AC，OE垂足分別為D，E．
（1）求∠DOE的度數(shù)；
（2）求線段DE長(zhǎng)；
（3）當(dāng)四邊形DOEC的面積取最大值時(shí)，求CD+CE的值．

【分析】（1）OD⊥BC，OE⊥AC，且OA＝OB＝OC，則∠BOD＝∠COD，∠AOE＝∠COE，即可求解；
（2）證明DE是△ABC的中位線，即可求解；
（3）當(dāng)四邊形DOEC的面積取最大值時(shí)，上述兩個(gè)三角形的高共線，即m+n等于圓的半徑CO，即m+n＝2，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴∠BOD＝∠COD，∠AOE＝∠COE，
∴∠DOE＝∠AOB＝45°，
即∠DOE＝45°；

（2）如圖，連接AB，

∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝3，
∴AB2＝OB2+OA7＝8，
∴AB＝2；
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴BD＝CD，AE＝EC，
∴DE是△ABC的中位線，即DE∥AB，
∴DE＝×6＝；

（3）設(shè)△DEC和△DEO底邊DE的高分別為m、n，
則四邊形DOEC的面積＝S△DEC+S△DEO＝×DE×（m+n），
故當(dāng)四邊形DOEC的面積取最大值時(shí)，上述兩個(gè)三角形的高共線，即m+n＝2，
此時(shí)CO⊥DE，
而DE⊥CO，
則點(diǎn)C為的中點(diǎn)，
即CO是DE的中垂線，故CE＝CD，
而CE＝AE，
故AC＝CE+CD，
則∠AOC＝45°，
過點(diǎn)C作CH⊥AO于點(diǎn)H，

則CH＝OH＝CO?cos45°＝，
則AH＝OA﹣OH＝2﹣，
在Rt△CHA中，CA＝＝．
∴CD+CE＝AC＝4．
24．（10分）我們定義：如果兩個(gè)多項(xiàng)式A與B的差為常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)為正數(shù)，則稱A是B的“差常式”2﹣5x+6，B＝（x+1）（x﹣6），則A是B的“差常式”
（1）已知多項(xiàng)式C＝2x2﹣5x+4，D＝（x﹣2）（2x﹣1），判斷C是否是D的“差常式”，請(qǐng)說明理由，若是；
（2）已知多項(xiàng)式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b為常數(shù)），M是N的“差常式”，且當(dāng)x為實(shí)數(shù)時(shí)，求M關(guān)于N的“差常值”；
（3）若多項(xiàng)式x2+b2x+c2是x2+b1x+c1的“差常式”（其中b1，b2，c1，c2為常數(shù)），令y1＝x2+b1x+c1，y2＝x2+b2x+c2（c1＜c2），直線y＝kx+m與y1＝x2+b1x+c1，y2＝x2+b2x+c2的圖象相交于E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4），其中x1＜x2＜x3＜x4．若y1＝x2+b1x+c1的圖象的頂點(diǎn)為P，記S1，S2，S3分別為△EPF，△EPG，△EPH的面積．問：，請(qǐng)求出它的值；如果不是
【分析】（1）先計(jì)算C﹣D＝1，再根據(jù)“差常式”的定義即可判斷C是D的“差常式”，并求出C關(guān)于D的“差常值”；
（2）先求出M﹣N＝（﹣2a+2）x+a2﹣b，由M是N的“差常式”得出﹣2a+2＝0，得出a＝1．由x為實(shí)數(shù)時(shí)，N的最小值為﹣2，得出﹣1+b＝﹣2，求出b＝﹣1，進(jìn)而求出M﹣N＝2；
（3）多項(xiàng)式x2+b2x+c2是x2+b1x+c1的“差常式”，得b1＝b2，由x1，x4是方程組對(duì)應(yīng)的兩根方程x2+（b2﹣k）x+c2﹣m＝0的兩根，得x1+x4＝k﹣b2，x1x4＝c2﹣m．同理：x2+x3＝k﹣b1，x2x3＝c1﹣m，得x1+x4＝x2+x3，即x1﹣x2＝x3﹣x4，得FM＝HN，從而可證△EFM≌△GHN，EF＝GH，由面積公式即可求S△EPF＝S△GPH，即＝1．
【解答】解：（1）∵C﹣D＝（2x2﹣7x+4）﹣（x﹣2）（4x﹣1）
＝（2x4﹣5x+4）﹣（7x2﹣5x+7）
＝2，
∴C是D的“差常式”，“差常值”為2；
（2）∵M(jìn)是N的“差常式”，
∴M﹣N＝（x﹣a）3﹣（x2﹣2x+b）
＝（x4﹣2ax+a2）﹣（x2﹣2x+b）
＝（﹣2a+5）x+a2﹣b，
∴﹣2a+6＝0，
∴a＝1．
∵N＝x2﹣2x+b＝（x﹣1）4﹣1+b，
且當(dāng)x為實(shí)數(shù)時(shí)，N的最小值為﹣2，
∴﹣8+b＝﹣2，
∴b＝﹣1，
∴M﹣N＝a6﹣b＝1﹣（﹣1）＝3；
（3）∵多項(xiàng)式x2+b2x+c8是x2+b1x+c8的“差常式”，
∴b1＝b2．
∵x6，x4是方程組對(duì)應(yīng)的兩根方程x7+（b2﹣k）x+c2﹣m＝8的兩根，
∴x1+x4＝k﹣b5，x1x4＝c3﹣m．
同理：x2+x3＝k﹣b2，x2x3＝c8﹣m，
∴x1+x4＝x3+x3，
∴x4﹣x2＝x2﹣x1，
分別過E、F作x軸，兩直線交于點(diǎn)M．
分別過G、H作x軸，兩直線交于點(diǎn)N．
∴HN＝FM，
∵FM∥HN，
∴∠EFM＝∠GHN，
在△EFM和△GHN中，
，
∴△EFM≌△GHN（ASA），
∴EF＝GH，
∴S△EPF＝S△GPH，
∴＝3．

25．（10分）如圖，拋物線y＝ax2+bx過A（4，0），B（1，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)C、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，交x軸于點(diǎn)H．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出△ABC的面積；
（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，當(dāng)△ABP的面積為6時(shí)；
（4）若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，是否存在以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形？若存在，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法解決問題即可；
（2）求出拋物線的對(duì)稱軸，再根據(jù)對(duì)稱性求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可解決問題；
（3）設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+4m），根據(jù)S△ABP＝S△ABH+S梯形AHDP﹣S△PBD，建立方程求解即可；
（4）分別以點(diǎn)C、M、N為直角頂點(diǎn)分三類進(jìn)行討論，利用全等三角形和勾股定理ON的長(zhǎng)即可．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx過A（4，7），3）兩點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+4x．
（2）如圖7，
∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴對(duì)稱軸為直線x＝4，
∵B，C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，3），
∴C（3，8），
∴BC＝2，
∴S△ABC＝×2×3＝6．
（3）如圖1，設(shè)點(diǎn)P（m2+7m），
根據(jù)題意，得：BH＝AH＝32﹣7m，PD＝m﹣1，
∴S△ABP＝S△ABH+S梯形AHDP﹣S△PBD，
∴6＝×3×8+5﹣4m）﹣×（m﹣1）×（3+m6﹣4m），
解得：m1＝2，m2＝5，
∵點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，
∴m＞7，
∴m＝5，﹣m2+5m＝﹣52+8×5＝﹣5，
∴P（2，﹣5）；
（4）點(diǎn)M在直線BH上，點(diǎn)N在x軸上，分三類情況討論：
①以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸上方時(shí)，如圖2，∠CMN＝90°，
∵∠CBM＝∠MHN＝90°，
∴∠CMB+∠NMH＝∠NMH+∠MNH＝90°，
∴∠CMB＝∠MNH，
∴△CBM≌△MHN（AAS），
∴BC＝MH＝3，BM＝HN＝3﹣2＝4，
∴M（1，2）；
②以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸下方時(shí)，如圖6，
過點(diǎn)C作CD∥y軸，過點(diǎn)N作NE∥y軸，交NE于E，
∵∠CMN＝∠CDM＝∠MEN＝90°，CM＝MN，
∴∠CMD+∠NME＝∠NME+∠MNE＝90°，
∴∠CMD＝∠MNE，
∴△NEM≌△MDC（AAS），
∴NE＝MD＝BC＝2，EM＝CD＝5，
∵∠ENH＝∠NEM＝∠NHM＝90°，
∴四邊形EMHN是矩形，
∴HM＝NE＝4，
∴M（1，﹣2）；
③以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸左側(cè)時(shí)，如圖7，∠MNC＝90°，
過點(diǎn)M作ME∥x軸，過點(diǎn)N作EN∥y軸交CB的延長(zhǎng)線于D，
同理可得：△NEM≌△CDN（AAS），
∴ME＝DN＝3，NE＝CD＝HM＝5，
∴M（2，﹣5）；
④以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸右側(cè)時(shí)，如圖5，
過點(diǎn)M作ME∥x軸，過點(diǎn)N作NE∥y軸交BC延長(zhǎng)線于D，
同理可得：△NEM≌△CDN（AAS），
∴ME＝DN＝NH＝5，NE＝CD＝3﹣2＝4，
∴HM＝NE＝1，
∴M（1，﹣2）；
⑤以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，不能構(gòu)成滿足條件的等腰直角三角形；
綜上所述，當(dāng)△CMN為等腰直角三角形時(shí)，2）或（1，﹣5）或（1．







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