3.3.1　幾何概型課時(shí)過關(guān)·能力提升一、基礎(chǔ)鞏固1.已知f(x)=x+1,x∈[-3,2],則滿足f(x0)≤0,x0∈[-3,2]的x0取值的概率為(　　)A. B. C. D.解析:∵f(x0)≤0,∴x0+1≤0,∴x0≤-1.∵x0∈[-3,2],∴f(x0)≤0時(shí),x0的取值范圍為-3≤x0≤-1.∴x0的取值概率為.答案:B2.一只螞蟻在如圖所示的地板磚(除顏色不同外,其余全部相同)上爬來爬去,它最后停留在黑色地板磚(陰影部分)上的概率是(　　)A. B. C. D.解析:從題圖中可以得到地板磚總數(shù)為12,其中黑色地板磚有4個(gè),由此可知最后停留在黑色地板磚上的概率是.答案:A3.如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn).若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于(　　)A. B. C. D.解析:△ABE的面積是矩形ABCD面積的一半,由幾何概型,點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率為.答案:C4.如圖,在半徑為4的大圓中有三個(gè)小半圓O1,O2,O3,其半徑分別為1,2,1,若在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是(　　)A. B. C. D.解析:S陰=·π·42-·π·22+π·12=7π.S大圓=π·42=16π,∴在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自陰影部分的概率是P=.答案:A5.一只小蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為30的正方體玻璃容器內(nèi)隨意地飛行,若蜜蜂在飛行過程中與正方體玻璃容器6個(gè)表面中至少有一個(gè)面的距離不大于10,則就有可能撞到玻璃上而不安全,若始終保持與正方體玻璃容器6個(gè)表面的距離均大于10,則飛行是安全的.假設(shè)蜜蜂在正方體玻璃容器內(nèi)飛行到每一位置的可能性相同,那么蜜蜂飛行是安全的概率是(　　)A. B. C. D.解析:蜜蜂的飛行區(qū)域是棱長(zhǎng)為30的正方體內(nèi)部, V=303=27 000,蜜蜂安全飛行的區(qū)域是棱長(zhǎng)為30-10-10=10的正方體內(nèi)部,V'=103=1 000,所以蜜蜂飛行是安全的概率是.答案:C6.《廣告法》對(duì)插播廣告的時(shí)間有一定的規(guī)定,某人對(duì)某臺(tái)的電視節(jié)目做了長(zhǎng)期的統(tǒng)計(jì)后得出結(jié)論,他任意時(shí)間打開電視機(jī)看該臺(tái)節(jié)目,看不到廣告的概率為,那么該臺(tái)每小時(shí)約有　　　　　分鐘的廣告. 解析:60×=6(分鐘).答案:67.在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn),則該點(diǎn)落在三棱錐A1-ABC內(nèi)的概率是　　　.解析:P=.答案:8.如圖,圓盤中扇形陰影部分的圓心角為60°,向圓盤內(nèi)投鏢,如果某人每次都能隨機(jī)投入圓盤中,那么他投中陰影部分的概率為　　　　　. 解析:設(shè)圓盤的半徑為r,投中陰影部分為事件A,陰影部分面積為S'=πr2=πr2,故P(A)=.答案:9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均不大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域,E是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域,向D中隨機(jī)投一點(diǎn),則所投的點(diǎn)落在E中的概率是　　　　　. 解析:設(shè)點(diǎn)P(x,y)是區(qū)域D內(nèi)任意一點(diǎn),則則區(qū)域D是直線x=±2與y=±2圍成的正方形,如圖,區(qū)域E是以原點(diǎn)為圓心,半徑為1的圓面.設(shè)點(diǎn)P落在區(qū)域E中為事件A,則P(A)=.答案:10.小明一家訂閱的晚報(bào)會(huì)在下午5:30~6:30之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地被送到,小明一家人在下午6:00~7:00之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地開始晚餐.(1)你認(rèn)為晚報(bào)在晚餐開始之前被送到和晚餐開始之后被送到哪一種可能性更大?(2)晚報(bào)在晚餐開始之前被送到的概率是多少?解:建立如圖所示的坐標(biāo)系.圖中直線x=6,x=7,y=5.5,y=6.5圍成一個(gè)正方形區(qū)域,該試驗(yàn)的所有結(jié)果與區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)一一對(duì)應(yīng).由題意知,每次結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的,是幾何概型.(1)作射線y=x(x>0).晚報(bào)在晚餐前送達(dá)即y<x,因此圖中陰影部分g表示事件A:“晚報(bào)在晚餐前送到”.而空白部分G則表示事件B:“晚報(bào)在晚餐開始后送到”.由圖知事件A發(fā)生的可能性大.(2)易求正方形區(qū)域的面積為1,而g的面積為,由幾何概型的概率公式可得P(A)=.二、能力提升1.在區(qū)間[1,9]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則事件“log2(x-3)>0”發(fā)生的概率為(　　)A. B. C. D.解析:由log2(x-3)>0,得x-3>1,又x∈[1,9],所以x∈(4,9].由幾何概型的概率公式,得所求概率為P=.答案:D2.如圖所示,已知正方形ABCD,以對(duì)角線AC為一邊作正△ACE,現(xiàn)向四邊形區(qū)域ABCE內(nèi)投一點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q落在陰影部分的概率為(　　)A.2-B.2-C.D.解析:設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則AC=2.∵△ACE為正三角形,∴S△ACE=×(2)2sin 60°=2.∴陰影部分面積為S=2×2×2=2-2,∴向四邊形區(qū)域ABCE內(nèi)投一點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q落在陰影部分的概率為P==2-.答案:B3.四邊形ABCD為長(zhǎng)方形,AB=2,BC=1,O為AB的中點(diǎn),在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為(　　)A. B.1-C. D.1-解析:如圖,要使所取點(diǎn)到O的距離大于1,則該點(diǎn)應(yīng)分布在陰影區(qū)域,P==1-.答案:B4.已知正三棱錐S-ABC,在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P,使得VP-ABC<VS-ABC的概率是(　　)A. B. C. D.解析:設(shè)三棱錐S-ABC的高為h,三棱錐P-ABC的高為h'.∵VP-ABC<VS-ABC,∴h'<h.取D,E,F分別為SA,SB,SC的中點(diǎn),連接DE,EF,DF,則P落在三棱臺(tái)DEF-ABC內(nèi),∴VP-ABC<VS-ABC的概率為=.答案:B5.在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地取出兩個(gè)數(shù),則兩數(shù)之和小于的概率是　　　　　. 解析:設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為x,y,則x+y<,由幾何概型及圖可知,所求概率為.答案:★6.在區(qū)間[-2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,若x滿足|x|≤m的概率為,則m=　　　　　. 解析:由|x|≤m,得-m≤x≤m,當(dāng)m≤2時(shí),由題意,m=2.5,矛盾,舍去;當(dāng)2<m<4時(shí),由題意得,解得m=3.答案:37.甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會(huì)面,并約定先到者應(yīng)等候另一個(gè)人一刻鐘,過時(shí)即可離去,求兩人能會(huì)面的概率.解:以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間,則兩人能夠會(huì)面當(dāng)且僅當(dāng)|x-y|≤15.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,(x,y)的所有可能結(jié)果是邊長(zhǎng)為60的正方形,而事件A“兩人能夠會(huì)面”的可能結(jié)果由圖中的陰影部分表示,由幾何概型的概率公式得P(A)=.★8.設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.(1)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)數(shù)根的概率;(2)若a是從區(qū)間[0,3]上任取的一個(gè)數(shù),b是從區(qū)間[0,2]上任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)數(shù)根的概率.解:設(shè)事件A為“方程x2+2ax+b2=0有實(shí)數(shù)根”.當(dāng)a≥0,b≥0時(shí),方程x2+2ax+b2=0有實(shí)數(shù)根當(dāng)且僅當(dāng)a≥b. (1)基本事件共有12個(gè):(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值,第二個(gè)數(shù)表示b的取值.事件A中包含9個(gè)基本事件,事件A發(fā)生的概率為P(A)=.(2)如圖,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?/span>{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)?/span>{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},如圖陰影部分所示.所以所求的概率為P(A)=.

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3.3.1 幾何概型

版本： 人教版新課標(biāo)A

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