幾 何 概 型　　　　　　　　　　　　　　　　 (20分鐘　35分)1.下列概率模型中，幾何概型的個數(shù)為 (　　)①從區(qū)間[-10，10]內(nèi)任取出一個數(shù)，求取到1的概率；②從區(qū)間[-10，10]內(nèi)任取出一個數(shù)，求取到絕對值不大于1的數(shù)的概率；③從區(qū)間[-10，10]內(nèi)任取出一個整數(shù)，求取到大于1而小于2的數(shù)的概率；④向一個邊長為4 cm的正方形ABCD內(nèi)投一點(diǎn)P，求點(diǎn)P離中心不超過1 cm的概率.A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B.①不是幾何概型，雖然區(qū)間[-10，10]有無限多個點(diǎn)，但取到“1”只是一個數(shù)字，不能構(gòu)成區(qū)域長度；②是幾何概型，因為區(qū)間[-10，10]和[-1，1]上有無限多個數(shù)可取(滿足無限性)，且在這兩個區(qū)間內(nèi)每個數(shù)被取到的機(jī)會是相等的(滿足等可能性)；③不是幾何概型，因為區(qū)間[-10，10]上的整數(shù)只有21個(是有限的)，不滿足無限性特征；④是幾何概型，因為在邊長為4 cm的正方形和半徑為1 cm的圓內(nèi)均有無數(shù)多個點(diǎn)，且這兩個區(qū)域內(nèi)的任何一個點(diǎn)都有相等可能被投到，故滿足無限性和等可能性.2.如圖所示，在一個邊長為a，b(a>b>0)的矩形內(nèi)畫一個梯形，梯形上、下底長分別為與，高為b.向該矩形內(nèi)隨機(jī)地投一點(diǎn)，則所投的點(diǎn)落在梯形內(nèi)部的概率為????????????? (　　)A.   B.   C.   D.【解析】選C.S矩形=ab，S梯形=b=ab.故所投的點(diǎn)在梯形內(nèi)部的概率為P===.3.某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為 (　　)A.   B.   C.   D.【解析】選B.如圖，若該行人在時間段AB的某一時刻來到該路口，則該行人至少等待15秒才出現(xiàn)綠燈.AB長度為40-15=25，由幾何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為=.4.方程x2+x+n=0(n∈(0，1))有實根的概率為_____. 【解析】由于方程x2+x+n=0(n∈(0，1))有實根，所以Δ≥0，即1-4n≥0，所以n≤，又n∈(0，1)，所以有實根的概率為P==.答案：5.在400毫升自來水中有一個大腸桿菌，今從中隨機(jī)取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率為______. 【解析】大腸桿菌在400毫升自來水中的位置是任意的，且結(jié)果有無限個，屬于幾何概型.設(shè)取出2毫升水樣中有大腸桿菌為事件A，則事件A構(gòu)成的區(qū)域體積是2毫升，全部試驗結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積是400毫升，則P(A)==0.005.答案：0.0056.已知一只螞蟻在邊長為4的正三角形內(nèi)爬行，求此螞蟻到三角形三個頂點(diǎn)的距離均超過1的概率.【解析】設(shè)正三角形ABC的邊長為4，其面積為4.分別以A，B，C為圓心，1為半徑在△ABC中作扇形，除去三個扇形剩下的部分即表示螞蟻距三角形三個頂點(diǎn)的距離均超過1的區(qū)域，其面積為4-3×××12=4-，故所求概率P==1-π.　　　　　　　　　　　　　　　　 (30分鐘　60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1.在長為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32 cm2的概率為 (　　)A.   B.   C.   D.【解析】選C.設(shè)AC=x cm，CB=(12-x)cm，0<x<12，所以矩形面積小于32 cm2，即為x(12-x)<32?0<x<4或8<x<12，故所求概率為=.2.一只蜜蜂在一個棱長為30的正方體玻璃容器內(nèi)隨機(jī)飛行.若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體玻璃容器的6個表面的距離均大于10，則飛行是安全的，假設(shè)蜜蜂在正方體玻璃容器內(nèi)飛行到每一個位置的可能性相同，那么蜜蜂飛行是安全的概率為 (　　)A.   B.   C.   D.【解析】選C.由題意，可知當(dāng)蜜蜂在棱長為10的正方體區(qū)域內(nèi)飛行時才是安全的，所以由幾何概型的概率計算公式，知蜜蜂飛行是安全的概率為=.3.如圖，A是圓O上固定的一點(diǎn)，在圓上其他位置任取一點(diǎn)A′，連接AA′，它是一條弦，它的長度小于或等于半徑長度的概率為 (　　)A.   B.   C.   D.【解析】選C.如圖，當(dāng)AA′的長度等于半徑長度時，∠AOA′=60°，由圓的對稱性及幾何概型得P==.4.球O與棱長為a的正方體ABCD -A1B1C1D1的各個面均相切，如圖，用平行于底面的平面截去長方體A2B2C2D2-A1B1C1D1，得到截面A2B2C2D2，且A2A=a，現(xiàn)隨機(jī)向截面A2B2C2D2上撒一粒黃豆，則黃豆落在截面中的圓內(nèi)的概率為????????????? (　　)A.   B.   C.   D.【解析】選B.由題意知，截面中的圓的半徑為=a，面積為a2，又因為截面A2B2C2D2的面積為a2，所以黃豆落在截面中的圓內(nèi)的概率為.5.如圖所示，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，以線段BD的長為半徑作兩個圓.若在該圖形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自四邊形ABCD內(nèi)的概率為 (　　)A.   B.C.    D.【解析】選A.設(shè)兩圓的半徑均為2，由已知可得△ABD、△BCD是全等的等邊三角形，所以S四邊形ABCD=2××22×=2.整個圖形可以看作由兩個弓形組成，其面積為S=2=π+2.所以所求的概率為P== .【補(bǔ)償訓(xùn)練】 一只螞蟻在邊長為4的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則在離三個頂點(diǎn)距離都大于2的區(qū)域內(nèi)的概率為 (　　)A.1-   B.C.    D.【解析】選A.滿足條件的正△ABC如圖所示：其中正△ABC的面積為S△ABC=×42=4，滿足到正△ABC的頂點(diǎn)A，B，C的距離均不大于2的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，陰影部分區(qū)域的面積為S=×π×22=2π.則使取到的點(diǎn)到三個頂點(diǎn)A，B，C的距離都大于2的概率是P=1-=1-.二、填空題(每小題5分，共15分)6.設(shè)D是半徑為R的圓周上的一定點(diǎn)，在圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)C，連接CD得一弦，若A表示“所得弦的長大于圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”，則P(A)=______. 【解析】如圖所示，△DPQ為圓內(nèi)接正三角形，當(dāng)C點(diǎn)位于劣弧上時，弦DC>PD，所以P(A)=.答案：7.在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離小于等于a的概率為______. 【解析】點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離小于等于a可以看作是隨機(jī)的，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離小于等于a可視作構(gòu)成事件的區(qū)域，棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1可視作試驗的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，可用“體積比”公式計算概率P==π.答案：π8.已知正方形ABCD的邊長為2，H是邊DA的中點(diǎn).在正方形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)P，則滿足|PH|<的概率為______. 【解析】如圖，設(shè)E，F(xiàn)分別為邊AB，CD的中點(diǎn)，則滿足|PH|<的點(diǎn)P在△AEH，扇形HEF及△DFH內(nèi)，由幾何概型的概率計算公式知，所求概率為=+.答案：+三、解答題(每小題10分，共20分)9.已知點(diǎn)M(x，y)滿足|x|≤1，|y|≤1.求點(diǎn)M落在圓(x-1)2+(y-1)2=1的內(nèi)部的概率.【解析】如圖所示，區(qū)域Ω為圖中的正方形，正方形的面積為4，且陰影部分是四分之一圓，其面積為π，則點(diǎn)M落在圓(x-1)2+(y-1)2=1的內(nèi)部的概率為=.10.平面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑r<a的硬幣任意擲在這個平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率.【解析】設(shè)事件A：“硬幣不與任何一條平行線相碰”.為了確定硬幣的位置，由硬幣中心O向靠得最近的平行線引垂線OM，垂足為M，如圖，這樣線段OM長度(記作|OM|)的取值范圍是[0，a]，只有當(dāng)r<|OM|≤a時，硬幣不與平行線相碰，其長度范圍是(r，a].所以P(A)==.1.如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由一個半圓和一個四分之一圓構(gòu)成，兩個陰影部分分別標(biāo)記為A和M.在此圖內(nèi)任取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自A區(qū)域的概率記為P，取自M區(qū)域的概率記為P，則????????????? (　　)A.P>PB.P<PC.P=PD.P與P的大小關(guān)系與半徑長度有關(guān)【解析】選C.由題意，設(shè)四分之一圓的半徑為R，則半圓的半徑為R，陰影部分A的面積為R2，空白部分的面積為πR2-R2，陰影部分M的面積為×π×-=R2，陰影部分A的面積=陰影部分M的面積，所以P(A)=P(M).2.甲乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)到達(dá)該碼頭的時刻是等可能的.如果甲船停泊時間為1 h，乙船停泊時間為2 h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率.【解析】設(shè)甲、乙兩艘船到達(dá)碼頭的時刻分別為x與y，記事件A為“兩船都不需要等待碼頭空出”，則0≤x≤24，0≤y≤24，要使兩船都不需要等待碼頭空出，當(dāng)且僅當(dāng)甲比乙早到達(dá)1 h以上或乙比甲早到達(dá)2 h以上，即y-x≥1或x-y≥2.故所求事件構(gòu)成集合A={(x，y)|y-x≥1或x-y≥2，x∈[0，24]，y∈[0，24]}.A為圖中陰影部分，全部結(jié)果構(gòu)成集合Ω為邊長是24的正方形及其內(nèi)部.所求概率為P(A)====.【補(bǔ)償訓(xùn)練】 如圖，已知AB是半圓O的直徑，AB=8，M，N，P是將半圓圓周四等分的三個分點(diǎn).(1)從A，B，M，N，P這5個點(diǎn)中任取3個點(diǎn)，求這3個點(diǎn)組成直角三角形的概率；(2)在半圓內(nèi)任取一點(diǎn)S，求△SAB的面積大于8的概率.【解析】(1)從A，B，M，N，P這5個點(diǎn)中任取3個點(diǎn)，一共可以組成10個三角形：△ABM，△ABN，△ABP，△AMN，△AMP，△ANP，△BMN，△BMP，△BNP，△MNP，其中是直角三角形的只有△ABM，△ABN，△ABP 3個，所以組成直角三角形的概率為.(2)連接MP，取線段MP的中點(diǎn)D，則OD⊥MP，易求得OD=2，當(dāng)S點(diǎn)在線段MP上時，S△ABS=×2×8=8，所以只有當(dāng)S點(diǎn)落在陰影部分時，△SAB的面積才能大于8，而S陰影=S扇形M OP-S△O MP=××42-×42=4π-8，所以由幾何概型的概率公式得△SAB的面積大于8的概率為=. 

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高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修3電子課本

3.3.1 幾何概型

版本： 人教版新課標(biāo)A

年級： 必修3

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