舒城中學(xué)高二統(tǒng)考試卷（四）         文  數(shù)                         時(shí)間：120分鐘    滿分：150分  一、選擇題：本大題12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)全集，集合，那么為（     ）A． B． C． D．2．函數(shù)的部分圖象大致是（      ）A． B．C． D．3．下列4個(gè)說法中正確的有（     ）①命題“若，則”的逆否命題為“若則”；②若，則；③若復(fù)合命題：“”為假命題，則p，q均為假命題；④“”是“”的充分不必要條件．A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④4．函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是（     ）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的值域是，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>    ）A．[，2]         B．[2，4]        C．[4，8]            D．[1，2]6．已知函數(shù)可表示為1234則下列結(jié)論正確的是（     ）A． B．的值域是C．的值域是 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增7．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（    ）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，且，則（     ）A． B． C． D．9．如圖，某池塘里浮萍的面積y（單位：）與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系為.關(guān)于下列說法：①浮萍每月的增長率為1；②第5個(gè)月時(shí)，浮萍面積就會(huì)超過；③浮萍每月增加的面積都相等；④若浮萍蔓延到所經(jīng)過的時(shí)間分別是，則，其中正確的說法是（    ）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④10．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（      ）A． B． C． D．11．已知是定義在上的且以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，如果直線與曲線恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為 （      ）A． B．C．0 D．12．已知函數(shù)，若是函數(shù)的唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（      ）A． B． C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13．設(shè)命題：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>；命題：當(dāng)時(shí)， 恒成立，如果命題“p∧q”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．14.若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對稱，則實(shí)數(shù)=__________．15．已知函數(shù)，則的值域?yàn)?/span>________.16．若直線是曲線的一條切線，則______．三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．(本題12分)設(shè)的內(nèi)角、、所對的邊長分別為、、，滿足，且.（1）求角的大?。?/span>（2）若，邊上的中線的長為，求的面積.   18．(本題12分)如圖所示，半圓弧所在平面與平面垂直，且是弧上異于 ，的點(diǎn)，，， .（1）求證:平面;（2）若為弧的中點(diǎn)，且，求點(diǎn)到平面的距離.   19．(本題12分)近年來，共享單車進(jìn)駐城市，綠色出行引領(lǐng)時(shí)尚．某公司計(jì)劃對未開通共享單車的縣城進(jìn)行車輛投放，為了確定車輛投放量，對過去在其他縣城的投放量情況以及年使用人次進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到了投放量（單位：千輛）與年使用人次（單位：千次）的數(shù)據(jù)如下表所示，根據(jù)數(shù)據(jù)繪制投放量與年使用人次的散點(diǎn)圖如圖所示．（1）觀察散點(diǎn)圖，可知兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系，擬用對數(shù)函數(shù)模型或指數(shù)函數(shù)模型對兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合，請問哪個(gè)模型更適宜作為投放量與年使用人次的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由），并求出關(guān)于的回歸方程；（2）已知每輛單車的購入成本為元，年調(diào)度費(fèi)以及維修等的使用成本為每人次元，按用戶每使用一次，收費(fèi)元計(jì)算，若投入輛單車，則幾年后可實(shí)現(xiàn)盈利？參考數(shù)據(jù)：其中，．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．   20．(本題12分)設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）求四邊形面積的最大值．  21．(本題12分)已知函數(shù)，．（1）令，求的最小值；（2）若恒成立，求的取值范圍．選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22．(本題10分)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)，曲線與曲線相交于兩點(diǎn)，求．  23．(本題10分)設(shè)函數(shù)．解不等式：；記函數(shù)的最小值為，已知，，且，求證：．                   參考答案1-5：BACDA  6-10：BCDCA  11-12:DA13. 14. 1   15.   16.17．（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，再利用兩角和的余弦公式整理可得，即可得解；（2）由向量的平行四邊形法則可得，同時(shí)平方，再結(jié)合余弦定理可推出，求出c代入三角形面積公式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，由正弦定理得，又，故，從而，即；而，故為銳角，所以.（2）因?yàn)?/span>為邊上的中線，從而，，所以有，，又中，有，從而，所以，為直角三角形，在直角中，因?yàn)?/span>，，所以，的面積.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，涉及兩角和的余弦公式、向量的平行四邊形法則、向量數(shù)量積，屬于中檔題.18．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）先證明，再證明平面平面，證得，利用線面垂直的判定定理可以證明平面（2）先證明，利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】解:（1）證明:取中點(diǎn)，連接因?yàn)?/span>，所以因?yàn)?/span>，所以四邊形是平行四邊形又，，所以四邊形是正方形設(shè)，則，，，所以，即又平面平面，平面平面所以平面，又平面，所以因?yàn)?/span>，又，所以平面（2）解:為弧的中點(diǎn)，由可知，，，均為等腰直角三角形，又，所以可得，因此，，從而可得所以由的結(jié)論平面可知，到平面的距離為設(shè)點(diǎn)到平面的距離為則所以.【點(diǎn)睛】立體幾何解答題的基本結(jié)構(gòu)：(1)第一問一般是幾何位置關(guān)系的證明，用判定定理；(2)第二問是計(jì)算，求角或求距離（求體積通常需要先求距離）.如果求體積（或求距離），常用的方法有：(1) 直接法；(2)等體積法；(3) 補(bǔ)形法；(4)向量法.19．（1）適宜，；（2）6年.【分析】（1）由散點(diǎn)圖可判斷適宜，設(shè)，則，再根據(jù)參考數(shù)據(jù)及公式即可得解；（2）先將代入得年使用人次，進(jìn)而可得收益和總投資比較大小即可得解.【詳解】（1）由散點(diǎn)圖判斷，適宜作為投放量與年使用人次的回歸方程類型．由，兩邊同時(shí)取常用對數(shù)得．設(shè)，則．因?yàn)?/span>，，，，所以．把代入，得，所以，所以，則，故關(guān)于的回歸方程為．（2）投入千輛單車，則年使用人次為千人次，每年的收益為（千元），總投資千元，假設(shè)需要年開始盈利，則，即，故需要年才能開始盈利．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于非線性回歸方程的求解，一般要結(jié)合題意作變換，轉(zhuǎn)化為線性回歸方程來求解，同時(shí)也要注意相應(yīng)數(shù)據(jù)的變化.20．（Ⅰ）解：依題設(shè)得橢圓的方程為，直線的方程分別為，．············ 2分如圖，設(shè)，其中，且滿足方程，故．①由知，得；由在上知，得．所以，化簡得，解得或．················ 6分（Ⅱ）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知，點(diǎn)到的距離分別為，．9分又，所以四邊形的面積為，當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)．所以的最大值為．【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意易得橢圓方程，直線的方程，再設(shè)，滿足方程，把用坐標(biāo)表示出來得，又點(diǎn)在直線上，則，根據(jù)以上關(guān)系式可解得的值；（Ⅱ）先求點(diǎn)E、F到AB的距離，再求，則可得面積，然后利用不等式求面積的最大值.試題解析：（I）依題意，得橢圓的方程為， 1分直線的方程分別為， 2分如圖設(shè)，其中，滿足方程且故，由知，得， 4分由點(diǎn)在直線上知，得， 5分，化簡得解得或. 7分（II）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知，點(diǎn)E、F到AB的距離分別為， 8分， 9分又，所以四邊形AEBF的面積為， 11分當(dāng)即當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，所以S的最大值為 13分考點(diǎn)：1、橢圓的性質(zhì)；2、直線與橢圓相交的綜合應(yīng)用；3、不等式. 21．（1）0；（2）．【分析】（1）有題意知，，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，由此可求出函數(shù)的最小值；（2）原不等式等價(jià)于在上恒成立，令，求導(dǎo)得，令，易得在存在唯一的零點(diǎn)，即，得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得，，由此可求出答案．【詳解】解：（1）有題意知，，，∴，∴當(dāng)，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，即在上單調(diào)遞增，故，∴的最小值為0；（2）原不等式等價(jià)于，即，在上恒成立，等價(jià)于，在上恒成立，令，，∴，令，則為上的增函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，，∴在存在唯一的零點(diǎn)，即，由，又有在上單調(diào)遞增，∴，，∴，∴，∴的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查計(jì)算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于難題．22．（1），；（2）.【分析】（1）將已知極坐標(biāo)方程利用兩角和的余弦公式展開，利用極直互化公式得到的直角坐標(biāo)方程，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系消去參數(shù)的值，得到的普通方程；（2）寫出以為基點(diǎn)的直線的參數(shù)方程，代入的普通方程，利用參數(shù)的幾何意義，結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算.【詳解】（1）∵，∴,的直角坐標(biāo)方程為，的普通方程為；(2)的參數(shù)方程為(為參數(shù))，將曲線的參數(shù)方程代入的普通方程，整理得.令，由韋達(dá)定理,則有,， .【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程，普通方程，極坐標(biāo)方程之間的互化，考查直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是要掌握直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義.23．（1）；（2）見解析【解析】【分析】對x分三種情況討論去絕對值；變形后用基本不等式證明．本題考查了絕對值不等式的解法屬中檔題．【詳解】解：，，當(dāng)時(shí)，不等式即為，解得，，當(dāng)時(shí)，不等式即為，解得，當(dāng)時(shí)，不等式即為，解得綜上所述，不等式的解集為證明：由可知，，，即，，即．【點(diǎn)睛】絕對值不等式的解法：法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想． 

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