?2021年福建省泉州市中考數(shù)學二檢試卷
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．
1．（4分）﹣的絕對值是（　　）
A．5 B．﹣5 C．﹣ D．
2．（4分）截至2021年2月3日，“天問一號”火星探測器總飛行里程已超過4.5億公里，距地球約170000000公里．將數(shù)字170000000用科學記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．1.7×108 B．17×107 C．0.17×109 D．170×106
3．（4分）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
4．（4分）下列運算正確的是（　?。?br /> A．a2?a3＝a5 B．a2+a3＝a5 C．（a3）2＝a5 D．（3a）2＝6a2
5．（4分）如圖，該幾何體的左視圖是（　?。?br />
A． B． C． D．
6．（4分）下列事件中，是隨機事件的是（　　）
A．從背面朝上的5張紅桃和5張梅花撲克牌中抽取一張牌，恰好是方塊
B．拋擲一枚普通硬幣9次是正面，拋擲第10次恰好是正面
C．從裝有10個黑球的不透明箱子中隨機摸出1個球，恰好是黑球
D．拋擲一枚質地均勻的正方體骰子，出現(xiàn)的點數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)
7．（4分）如圖，數(shù)軸上兩點M、N所對應的實數(shù)分別為m、n，則m+n的結果可能是（　　）

A．1 B． C．0 D．﹣1
8．（4分）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，EO⊥AC于點O，交BC于點E，若△ABE的周長為5，AB＝2，則AD的長為（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．4
9．（4分）如圖，在6×6的網格圖中，⊙O經過格點A、B、D，點C在格點上，連接AC交⊙O于點E，連接BD、DE，則sin∠BDE的值為（　?。?br />
A． B． C． D．2
10．（4分）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+3（a＞0），當0≤x≤m時，3﹣a≤y≤3，則m的取值范圍為（　　）
A．0≤m≤1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≥2
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．把答案填在答題卡的相應位置.
11．（4分）不等式2x﹣6＞0的解集是　 ?。?br /> 12．（4分）若n邊形的每一個外角都為45°，則n的值為　 　．
13．（4分）某校數(shù)學課外興趣小組10個同學數(shù)學素養(yǎng)測試成績如圖所示，則該興趣小組10個同學的數(shù)學素養(yǎng)測試成績的眾數(shù)是　 　分．

14．（4分）若x﹣2y2＝﹣4，則﹣3x+6y2的值為　 　．
15．（4分）如圖所示的圖案是我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經》中“趙爽弦圖”經修飾后的圖形，四邊形ABCD與四邊形EFGH均為正方形，點H是DE的中點，陰影部分的面積為24，則AD的長為　 　．

16．（4分）如圖，點A、C為反比例函數(shù)y1＝﹣上的動點，點B、D為反比例函數(shù)y2＝上的動點，若四邊形ABCD為菱形，則該菱形邊長的最小值為　 ?。?br />
三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.在答題卡的相應位置內作答.
17．（8分）解方程組：．
18．（8分）先化簡，再求值：（﹣1）÷，其中a＝1+．
19．（8分）如圖，在?ABCD中，點E、F分別在邊CB、AD的延長線上，且BE＝DF，EF分別與AB、CD交于點G、H．求證：AG＝CH．

20．（8分）如圖三角形紙片ABC中，∠A＝30°，AC＝，點P為AB邊上的一點（點P不與點A、B重合），連接CP，將△ACP沿著CP折疊得到△A'CP．
（1）求作△A'CP；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）若∠BPA'＝30°，求點P到直線AC的距離．

21．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，將△ABC繞點B按順時針方向旋轉得到△DBE，當點E恰好落在線段AB上時，連接AD，∠ABD的平分線BF交AD于點F，連接EF．
（1）求EF的長；
（2）求證：C、E、F三點共線．

22．（10分）某超市銷售一款果凍，4月底以22元/千克購入200千克，5月10日再以22.5元/千克購入120千克．如表是這些果凍的銷售記錄，圖象是其銷售利潤y（元）與銷售量x（千克）之間的函數(shù)關系．
時間
銷售記錄
5月1日至7日
售價25元/千克，一共售出150千克
5月8日至9日
“五一”長假結束，這兩天以成本價促銷
5月10日至20日
售價25元/千克，全部售完，共獲利780元
請根據上述信息，解答問題：
（1）5月1日至7日，該超市銷售這款果凍共獲利多少元？
（2）求5月10日至5月20日期間銷售利潤y（元）與銷售量x（千克）之間的函數(shù)關系式，并直接寫出x的取值范圍．

23．（10分）隨著互聯(lián)網的快速發(fā)展，人們的生活越來越離不開快遞，某快遞公司郵寄每件包裹的收費標準是：重量小于或等于1千克的收費10元；重量超過1千克的部分，每超過1千克（不足1千克按1千克計算）需再收費2元．下表是該公司某天9：00～10：00統(tǒng)計的收件情況：
重量G（千克）
0＜G≤1
1＜G≤2
2＜G≤3
3＜G≤4
4＜G≤5
G＞5
件數(shù)
135
140
110
65
50
0
試根據以上所提供的信息，解決下列問題：
（1）求包裹重量為1＜G≤2的概率；
（2）小東打算在該公司郵寄一批每件3千克的包裹到不同地方，現(xiàn)有兩種付費方式供他選擇：①按該公司收費標準付費；②按上表中的平均費用付費．問：他選擇哪種方式付費合算？說明理由．
24．（13分）如圖1，在⊙O中，點A是優(yōu)弧BAC上的一點，點I為△ABC的內心，連接AI并延長交⊙O于點D，連接OD交BC于點E，連接BI．
（1）求證：OD⊥BC；
（2）連接DB，求證：DB＝DI；
（3）如圖2，若BC＝24，tan∠OBC＝，當B、O、I三點共線時，過點D作DG∥BI，交⊙O于點G，求DG的長．

25．（13分）已知頂點為D的拋物線y＝a（x﹣3）2（a≠0）交y軸于點C（0，3），且與直線l交于不同的兩點A、B（A、B不與點D重合）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若∠ADB＝90°，
①試說明：直線l必過定點；
②過點D作DF⊥l，垂足為點F，求點C到點F的最短距離．

2021年福建省泉州市中考數(shù)學二檢試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．
1．（4分）﹣的絕對值是（　?。?br /> A．5 B．﹣5 C．﹣ D．
【分析】直接利用絕對值的定義得出答案．
【解答】解：﹣的絕對值是：．
故選：D．
2．（4分）截至2021年2月3日，“天問一號”火星探測器總飛行里程已超過4.5億公里，距地球約170000000公里．將數(shù)字170000000用科學記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．1.7×108 B．17×107 C．0.17×109 D．170×106
【分析】用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，且n比原來的整數(shù)位數(shù)少1，據此判斷即可．
【解答】解：170000000＝1.7×108．
故選：A．
3．（4分）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據軸對稱及中心對稱概念，結合選項即可得出答案．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
C、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意．
故選：C．
4．（4分）下列運算正確的是（　?。?br /> A．a2?a3＝a5 B．a2+a3＝a5 C．（a3）2＝a5 D．（3a）2＝6a2
【分析】A、根據同底數(shù)冪的運算法則判斷即可；B、根據同類項定義判斷即可；C、根據冪的乘方運算法則判斷即可；D、根據積的乘方運算法則計算即可．
【解答】解：A、a2?a3＝a5，正確；
B、a2+a3不是同類項，不能合并，故不正確；
C、（a3）2＝a6，故不正確；
D、（3a）2＝9a2，故不正確，
故選：A．
5．（4分）如圖，該幾何體的左視圖是（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】找到從左面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現(xiàn)在左視圖中．
【解答】解：從左面看，是一列兩個矩形．
故選：B．
6．（4分）下列事件中，是隨機事件的是（　　）
A．從背面朝上的5張紅桃和5張梅花撲克牌中抽取一張牌，恰好是方塊
B．拋擲一枚普通硬幣9次是正面，拋擲第10次恰好是正面
C．從裝有10個黑球的不透明箱子中隨機摸出1個球，恰好是黑球
D．拋擲一枚質地均勻的正方體骰子，出現(xiàn)的點數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)
【分析】根據事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．
【解答】解：A、從背面朝上的5張紅桃和5張梅花撲克牌中抽取一張牌，恰好是方塊是不肯能事件，不符合題意；
B、拋擲一枚普通硬幣9次是正面，拋擲第10次恰好是正面是隨機事件，符合題意；
C、從裝有10個黑球的不透明箱子中隨機摸出1個球，恰好是黑球是必然事件，不符合題意；
D、拋擲一枚質地均勻的正方體骰子，出現(xiàn)的點數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)是必然事件，不符合題意，
故選：B．
7．（4分）如圖，數(shù)軸上兩點M、N所對應的實數(shù)分別為m、n，則m+n的結果可能是（　?。?br />
A．1 B． C．0 D．﹣1
【分析】根據m，n的范圍求出m+n的范圍即可．
【解答】解：由數(shù)軸知：﹣3＜m＜﹣2，1＜n＜2．
∴﹣2＜m+n＜0．
∴m+n的值可能為﹣1．
故選：D．
8．（4分）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，EO⊥AC于點O，交BC于點E，若△ABE的周長為5，AB＝2，則AD的長為（　?。?br />
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【分析】由矩形的性質可得AO＝CO，由線段垂直平分線的性質可得AE＝EC，即可求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BC＝AD，
∵EO⊥AC，
∴AE＝EC，
∵△ABE的周長為5，
∴AB+AE+BE＝5，
∴2+BC＝5，
∴BC＝3＝AD，
故選：C．
9．（4分）如圖，在6×6的網格圖中，⊙O經過格點A、B、D，點C在格點上，連接AC交⊙O于點E，連接BD、DE，則sin∠BDE的值為（　?。?br />
A． B． C． D．2
【分析】連接OD與AC相交與點F，在Rt△AOF中可求出AF的長，根據圓周角定理可知∠BDE＝∠A，即求∠A的正弦值，即可得出答案．
【解答】解：連接OD與AC相交與點F，
在Rt△AOF中，OF＝1，AO＝2，
∴AF＝，
∵∠BDE＝∠A，
∴sin∠BDE＝sin∠OAF＝．
故選：B．

10．（4分）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+3（a＞0），當0≤x≤m時，3﹣a≤y≤3，則m的取值范圍為（　?。?br /> A．0≤m≤1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≥2
【分析】根據題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質，可以求得m的取值范圍．
【解答】解：二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2﹣a+3（a＞0），
∴該函數(shù)圖象開口向上，對稱軸是直線x＝1，當x＝1時，該函數(shù)取得最小值﹣a+3，
∵當0≤x≤m時，3﹣a≤y≤3，當y＝3時，x＝2或x＝0，
∴1≤m≤2，
故選：C．
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．把答案填在答題卡的相應位置.
11．（4分）不等式2x﹣6＞0的解集是　x＞3　．
【分析】移項、系數(shù)化成1即可求解．
【解答】解：移項，得2x＞6，
系數(shù)化成1得x＞3．
故答案是：x＞3．
12．（4分）若n邊形的每一個外角都為45°，則n的值為　8　．
【分析】利用多邊形的外角和360°除以45°即可得到n的值．
【解答】解：∵n邊形的的外角和為360°，每一個外角都為45°，
∴n＝360°÷45°＝8，
故答案為：8．
13．（4分）某校數(shù)學課外興趣小組10個同學數(shù)學素養(yǎng)測試成績如圖所示，則該興趣小組10個同學的數(shù)學素養(yǎng)測試成績的眾數(shù)是　92　分．

【分析】根據眾數(shù)的定義即可求解．
【解答】解；在這一組數(shù)據中92出現(xiàn)次數(shù)最多，故眾數(shù)是92分．
故答案為：92．
14．（4分）若x﹣2y2＝﹣4，則﹣3x+6y2的值為　12?。?br /> 【分析】將﹣3x+6y2變形為﹣3（x﹣2y2），再把x﹣2y2＝﹣4代入即可得解．
【解答】解：∵x﹣2y2＝﹣4，
∴﹣3x+6y2＝﹣3（x﹣2y2）＝﹣3×（﹣4）＝12，
故答案為：12．
15．（4分）如圖所示的圖案是我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經》中“趙爽弦圖”經修飾后的圖形，四邊形ABCD與四邊形EFGH均為正方形，點H是DE的中點，陰影部分的面積為24，則AD的長為　?。?br />
【分析】由四邊形ABCD與四邊形EFGH均為正方形，點H是DE的中點，可知E、F、G分別為AF、BG、CH的中點，可推出陰影部分的四個直角三角形面積相等，每一個都為正方形EFGH面積的，從而陰影部分總面積為正方形EFGH面積的3倍，即可得正方形EFGH面積為8，繼而得DH＝EH＝AE＝，由勾股定理可求得AD的長．
【解答】解：由四邊形ABCD與四邊形EFGH均為正方形，點H是DE的中點，可知E、F、G分別為AF、BG、CH的中點，
且AE＝EH＝DH＝HG＝CG＝FG＝BF＝EF＝BE，
∴S△AEH＝S△DHG＝S△CGF＝S△BFE＝，
∴S陰影＝3×S正方形EFGH＝24，
∴S正方形EFGH＝8，
∴EH＝DH＝，
∴DE＝2EH＝4，
又∠AED＝90°，
∴＝＝＝．
故答案為：2．
16．（4分）如圖，點A、C為反比例函數(shù)y1＝﹣上的動點，點B、D為反比例函數(shù)y2＝上的動點，若四邊形ABCD為菱形，則該菱形邊長的最小值為　4　．

【分析】連接AC、BD，過A點作AE⊥x軸于E，過D點作DF⊥x軸于F，如圖，利用菱形的性質得到AC⊥BD，利用反比例函數(shù)k的幾何意義得到S△AOE＝3，S△ODF＝1，再證明Rt△AOE∽Rt△ODF，利用相似三角形的性質得到OA：OD＝：1，所以AD＝2OD，利用點D為反比例函數(shù)y2＝的對稱軸與反比例函數(shù)圖象在一象限的交點時，OD最小得到OD的最小值為2，從而得到AD的最小值為4．
【解答】解：連接AC、BD，過A點作AE⊥x軸于E，過D點作DF⊥x軸于F，如圖，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，
∵A為反比例函數(shù)y1＝﹣上的點，點D為反比例函數(shù)y2＝上的點，
∴S△AOE＝|﹣6|＝3，S△ODF＝×2＝1，
∵∠OAE+∠AOE＝90°，∠AOE+∠DOF＝90°，
∴∠OAE＝∠DOF，
∴Rt△AOE∽Rt△ODF，
∴S△AOE：S△ODF＝OA2：OD2＝3：1，
∴OA：OD＝：1，
∴AD＝＝2OD，
當OD最小時，AD最小，
∵點D為反比例函數(shù)y2＝的對稱軸與反比例函數(shù)圖象在一象限的交點時，OD最小，
∴OD的最小值為＝2，
∴AD的最小值為4，
即該菱形邊長的最小值為4．
故答案為4．

三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.在答題卡的相應位置內作答.
17．（8分）解方程組：．
【分析】兩個方程中，x或y的系數(shù)既不相等也不互為相反數(shù)，需要先求出x或y的系數(shù)的最小公倍數(shù)，即將方程中某個未知數(shù)的系數(shù)變成其最小公倍數(shù)之后，再進行加減．
【解答】解：，
②×2﹣①得：
5y＝15，
y＝3，
把y＝3代入②得：
x＝5，
∴方程組的解為．
18．（8分）先化簡，再求值：（﹣1）÷，其中a＝1+．
【分析】根據分式的運算法則進行化簡，然后將a的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝÷
＝?
＝，
當a＝1+時，
原式＝＝．
19．（8分）如圖，在?ABCD中，點E、F分別在邊CB、AD的延長線上，且BE＝DF，EF分別與AB、CD交于點G、H．求證：AG＝CH．

【分析】利用平行四邊形的性質得出AF＝EC，再利用全等三角形的判定與性質得出答案．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，AD∥BC，
∴∠E＝∠F，
∵BE＝DF，
∴AF＝EC，
在△AGF和△CHE中
，
∴△AGF≌△CHE（ASA），
∴AG＝CH．
20．（8分）如圖三角形紙片ABC中，∠A＝30°，AC＝，點P為AB邊上的一點（點P不與點A、B重合），連接CP，將△ACP沿著CP折疊得到△A'CP．
（1）求作△A'CP；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）若∠BPA'＝30°，求點P到直線AC的距離．

【分析】（1）根據要求作出圖形即可．
（2）如圖，過點P作PH⊥AC于H．求出PH即可．
【解答】解：（1）如圖，△A'CP即為所求作．


（2）如圖，過點P作PH⊥AC于H．

∵∠BPA′＝30°，∠A＝30°，
∴∠APC＝∠CPA′＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ACP＝75°，
∴AC＝AP＝，
∴PH＝PA＝，
∴點P到直線AC的距離為．
21．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，將△ABC繞點B按順時針方向旋轉得到△DBE，當點E恰好落在線段AB上時，連接AD，∠ABD的平分線BF交AD于點F，連接EF．
（1）求EF的長；
（2）求證：C、E、F三點共線．

【分析】（1）將△ABC繞點B按順時針方向旋轉得到△DBE，可得DE＝AC＝8，BE＝BC＝6，從而可求AD，由AB＝BD，BF平分∠ABD，可得F是AD中點，EF＝AD即可得答案；
（2）連接CE，先證∠ABC＝2∠1＝2∠3，再用∠ABC+∠BCE+∠BEC＝180°得2∠3+2∠BEC＝180°，從而證明∠3+∠BEC+∠BED＝180°即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵將△ABC繞點B按順時針方向旋轉得到△DBE，
∴AB＝BD＝10，DE＝AC＝8，BE＝BC＝6，∠DEB＝∠C＝90°，
∴∠AED＝90°，AE＝AB﹣BE＝4，
∴AD＝＝4，
∵BF平分∠ABD，且AB＝BD，
∴AF＝DF，
Rt△ADE中，EF＝AD＝2；
（2）連接CE，如圖：

由（1）知：BF平分∠ABD，且AB＝BD，
∴EF＝AD＝DF，∠BFD＝∠BEG＝90°，
∴∠2＝∠3，
∵∠DGF＝∠BGE，
∴△DFG∽△BEG，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∵BF平分∠ABD，
∴∠ABD＝∠ABC＝2∠1，
∴∠ABC＝2∠3，
∵BC＝BE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵∠ABC+∠BCE+∠BEC＝180°，
∴2∠3+2∠BEC＝180°，
∴∠3+∠BEC＝90°，
∴∠3+∠BEC+∠BED＝180°，
∴C、E、F三點共線．
22．（10分）某超市銷售一款果凍，4月底以22元/千克購入200千克，5月10日再以22.5元/千克購入120千克．如表是這些果凍的銷售記錄，圖象是其銷售利潤y（元）與銷售量x（千克）之間的函數(shù)關系．
時間
銷售記錄
5月1日至7日
售價25元/千克，一共售出150千克
5月8日至9日
“五一”長假結束，這兩天以成本價促銷
5月10日至20日
售價25元/千克，全部售完，共獲利780元
請根據上述信息，解答問題：
（1）5月1日至7日，該超市銷售這款果凍共獲利多少元？
（2）求5月10日至5月20日期間銷售利潤y（元）與銷售量x（千克）之間的函數(shù)關系式，并直接寫出x的取值范圍．

【分析】（1）由函數(shù)的圖象可知，由此可得5月1日至7日，該超市銷售這款果凍150千克，根據售價和購入即可求解；
（2）根據銷售利潤求出點B的橫坐標，可得B（190，450），設5月10日至5月20日期間銷售利潤y（元）與銷售量x（千克）之間的函數(shù)關系式為y＝kx+b，由點A、B的坐標即可求解．
【解答】解：（1）150×（25﹣22）＝450（元），
答：5月1日至7日，該超市銷售這款果凍共獲利450元；
（2）5月10日至5月20日期間銷售4月底購入果凍獲得的利潤：（780﹣450）﹣120×（25﹣22.5）＝30（元），
5月10日至5月20日期間銷售4月底購入果凍的數(shù)量：30÷（25﹣22）＝10（千克），
∴點B的橫坐標：200﹣10＝190，
設5月10日至5月20日期間銷售利潤y（元）與銷售量x（千克）之間的函數(shù)關系式為y＝kx+b，
把（190，450）和（320，780）代入y＝kx+b得，
，
解得：，
∴y＝x﹣（190≤x≤320）．
答：5月10日至5月20日期間銷售利潤y（元）與銷售量x（千克）之間的函數(shù)關系式為y＝x﹣（190≤x≤320）．
23．（10分）隨著互聯(lián)網的快速發(fā)展，人們的生活越來越離不開快遞，某快遞公司郵寄每件包裹的收費標準是：重量小于或等于1千克的收費10元；重量超過1千克的部分，每超過1千克（不足1千克按1千克計算）需再收費2元．下表是該公司某天9：00～10：00統(tǒng)計的收件情況：
重量G（千克）
0＜G≤1
1＜G≤2
2＜G≤3
3＜G≤4
4＜G≤5
G＞5
件數(shù)
135
140
110
65
50
0
試根據以上所提供的信息，解決下列問題：
（1）求包裹重量為1＜G≤2的概率；
（2）小東打算在該公司郵寄一批每件3千克的包裹到不同地方，現(xiàn)有兩種付費方式供他選擇：①按該公司收費標準付費；②按上表中的平均費用付費．問：他選擇哪種方式付費合算？說明理由．
【分析】（1）包裹重量為1＜G≤2的概率，等于1＜G≤2的件數(shù)除以總件數(shù)；
（2）將兩種付費方式的費用計算出來進行比較即可．
【解答】解：（1）1＜G≤2的概率記為P，
則P＝，
∴包裹重量為1＜G≤2的概率為28%；
（2）①按公司收費標準付費，則費用S1＝10+2×（3﹣1）＝10+4＝14（元）；
②按平均費用付費，則費用S2＝＝；
∵13.02＜14，
∴選擇平均費用付費合算．
24．（13分）如圖1，在⊙O中，點A是優(yōu)弧BAC上的一點，點I為△ABC的內心，連接AI并延長交⊙O于點D，連接OD交BC于點E，連接BI．
（1）求證：OD⊥BC；
（2）連接DB，求證：DB＝DI；
（3）如圖2，若BC＝24，tan∠OBC＝，當B、O、I三點共線時，過點D作DG∥BI，交⊙O于點G，求DG的長．

【分析】（1）證明＝，再利用垂徑定理可得結論．
（2）想辦法證明∠DBI＝∠DIB，即可解決問題．
（3）如圖2中，連接OG，過點O作OH⊥CG于H，解直角三角形求出OE，再利用全等三角形的性質求出DH，可得結論．
【解答】（1）證明：如圖1中，
∵I是△ABC的內心，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC．

（2）證明：如圖1中，連接BD．
∵I是△ABC的內心，
∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，
∵∠DIB＝∠BAI+∠ABI，∠DBI＝∠CBI+∠CBD，∠CBD＝∠CAI，
∴∠DBI＝∠DIB，
∴DB＝DI.

（3）解：如圖2中，連接OG，過點O作OH⊥DG于H．
∵OD⊥BC，
∴BE＝EC＝12，
∵tan∠OBE＝＝，
∴OE＝5，
∵DG∥OB，
∴∠BOE＝∠ODH，
∵∠BEO＝∠OHD＝90°，OB＝OD，
∴△OBE≌△ODH（AAS），
∴OE＝DH＝5，
∵OH⊥DG，
∴DH＝HG＝5，
∴DG＝10．


25．（13分）已知頂點為D的拋物線y＝a（x﹣3）2（a≠0）交y軸于點C（0，3），且與直線l交于不同的兩點A、B（A、B不與點D重合）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若∠ADB＝90°，
①試說明：直線l必過定點；
②過點D作DF⊥l，垂足為點F，求點C到點F的最短距離．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）①依題意可設A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2≠0，過點A、B向x軸作垂線，垂足分別為P、Q，頂點坐標為（3，0），判定△APD∽△DQB，可得比例式，用x1，x2表示出y1y2；設直線l的解析式為y＝kx+b（k≠0），將其與拋物線解析式聯(lián)立，解方程組，用k和b表示出x1+x2和y1y2，從而可得關于k和b的方程，解得k與b的關系，則可得結論；②由題意可得點F在以DE為直徑的圓上，由勾股定理求得CG的值，在△CFG中，由三角形的三邊關系可得答案．
【解答】解：（1）把點C（0，3）代入y＝a（x﹣3）2，得：9a＝3，
∴a＝，
∴拋物線的解析式為y＝（x﹣3）2；
（2）①證明：依題意可設A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2≠0，過點A、B向x軸作垂線，垂足分別為P、Q，頂點坐標為（3，0），
∴∠APD＝∠DQB＝90°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ADP+∠QDB＝90°．
又∵∠ADP+∠PAD＝90°，
∴∠PAD＝∠QDB，
∴△APD∽△DQB，
∴＝，即，
∴y1y2＝3（x1+x2）﹣x1x2﹣9．
設直線l的解析式為y＝kx+b（k≠0），
聯(lián)立，得x2﹣（3k+6）x+（9﹣3b）＝0，
∴△＝（3k+6）2﹣4（9﹣3b）＝9k2+36k+12b＞0，
∴x＝，
∴x1+x2＝3k+6，x1x2＝9﹣3b，
∴y1y2＝3（3k+6）﹣（9﹣3b）﹣9
＝9k+3b
＝3（3k+b）．
∵y1y2＝（kx1+b）（kx2+b）
＝k2x1x2+kb（x1+x2）+b2
＝k2（9﹣3b）+kb（3k+6）+b2
＝9k2+6kb+b2
＝（3k+b）2，
∴（3k+b）2＝3（3k+b），
∴（3k+b）（3k+b﹣3）＝0，
∴3k+b＝0（不合題意，舍去），或3k+b﹣3＝0，
當3k+b﹣3＝0，即b＝3﹣3k時，y＝kx+3﹣3k＝k（x﹣3）+3，
令x﹣3＝0，則y＝3，
∴直線l必過定點E（3，3）；
②∵點D（3，0），點E（3，3），點C（0，3），
∴DE＝3，
∵DF⊥l，
∴點F在以DE為直徑的圓上，設圓心為G，則點G（3，），
∴CG＝＝．
如圖，連接CG、FG，則CF≥|CG﹣FG|＝﹣＝．

當且僅當點F在線段CG上時，上式取“＝“，
∴CF的最小值為．


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