?2021年福建省莆田市中考數(shù)學(xué)二檢試卷
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（4分）計(jì)算（﹣1）2021的結(jié)果（　　）
A．﹣2021 B．﹣1 C．1 D．2021
2．（4分）如圖是一個(gè)由6個(gè)相同正方體組成的立體圖形，它的主視圖是（　　）

A． B．
C． D．
3．（4分）據(jù)統(tǒng)計(jì)，2020年莆田市常住人口約為2910000人，將2910000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．2.91×105 B．2.91×106 C．29.1×105 D．0.291×107
4．（4分）下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
5．（4分）下列運(yùn)算中正確的是（　　）
A．a(chǎn)5+a5＝2a10 B．3a3?2a2＝6a6
C．a(chǎn)6÷a2＝a3 D．（﹣2ab）2＝4a2b2
6．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，連接AC、AD、BD，若∠CAB＝35°，則∠ADC的度數(shù)為（　?。?br />
A．35° B．55° C．65° D．70°
7．（4分）《九章算術(shù)》記載了這樣一道題：“以繩測(cè)井，若將繩三折測(cè)之，繩多四尺；若將繩四折測(cè)之，繩多一尺，問(wèn)繩長(zhǎng)井深各幾何？”題意是：用繩子測(cè)量水井深度，如果將繩子折成三等份，那么每等份井外余繩四尺：如果將繩子折成四等份，那么每等份井外余繩一尺．問(wèn)繩長(zhǎng)和井深各多少尺？假設(shè)井深為x尺，則符合題意的方程應(yīng)為（　?。?br /> A． B．3x+4＝4x+1
C． D．3（x+4）＝4（x+1）
8．（4分）科技館為某機(jī)器人編制了一個(gè)程序，如果機(jī)器人在平地上按照?qǐng)D中所示的程序行走，那么該機(jī)器人所走的總路程為（　?。?br />
A．6米 B．12米 C．16米 D．20米
9．（4分）如圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．若△ABC的三邊所圍成的區(qū)域面積記為S1，黑色部分面積記為S2，其余部分面積記為S3，則下列關(guān)系式正確的是（　　）

A．S1＝S2 B．S2＝S3
C．S2+S3＝S1 D．S22+S32＝S12
10．（4分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的最大值為a﹣b+c，且M（﹣4，c），N（﹣3，m），P（1，m），Q（2，n），R（3，n+1）中只有兩點(diǎn)不在該二次函數(shù)圖象上，下列關(guān)于這兩點(diǎn)的說(shuō)法正確的是（　?。?br /> A．這兩點(diǎn)一定是M和N B．這兩點(diǎn)一定是Q和R
C．這兩點(diǎn)可能是M和Q D．這兩點(diǎn)可能是P和Q
二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．
11．（4分）如果一個(gè)扇形的圓心角為90°，弧長(zhǎng)為π，那么該扇形的半徑為　 　．
12．（4分）若x＝，則4x2+4x＝　 ?。?br /> 13．（4分）為了估計(jì)水塘中的魚(yú)數(shù)，養(yǎng)魚(yú)者首先從魚(yú)塘中捕獲30條魚(yú)，在每條魚(yú)身上做好記號(hào)后，把這些魚(yú)放歸魚(yú)塘，再?gòu)聂~(yú)塘中打撈200條魚(yú)，如果在這200條中有5條魚(yú)是有記號(hào)的，則魚(yú)塘中的魚(yú)估計(jì)大約有　 　條．
14．（4分）某雷達(dá)探測(cè)目標(biāo)得到的結(jié)果如圖所示，若記圖中目標(biāo)A的位置為（3，30°），目標(biāo)B的位置為（2，180°），目標(biāo)C的位置為（4，240°），則圖中目標(biāo)D的位置可記為　 ?。?br />
15．（4分）莆田湄洲島，是億萬(wàn)媽祖信徒敬仰的圣地，這里的媽祖廟更是名揚(yáng)四海．在湄洲媽祖廟的正殿前方上建造了一尊巨型石雕媽祖像，面向臺(tái)灣海峽，為海峽兩岸同胞共同瞻仰．小穎想測(cè)量雕像的高，她先測(cè)得雕像的影長(zhǎng)為4.1m，并在同一時(shí)刻測(cè)得一根長(zhǎng)為1.4m的竹竿的影長(zhǎng)是0.4m．請(qǐng)你幫她算一下，石雕媽祖像高是　 　m．

16．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，若原點(diǎn)O關(guān)于直線y＝﹣x+k的對(duì)稱點(diǎn)O'在雙曲線y＝上，則k的值為　 ?。?br /> 三、解答題：本大題共9小題，共86分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程、正確作圖或演算步驟．
17．（8分）計(jì)算：20210+|1﹣|﹣2cos45°．
18．（8分）如圖，點(diǎn)C，E，F(xiàn)，B在同一直線上，AB∥CD，AE＝DF，下列3個(gè)條件：①∠A＝∠D；②BF＝CE；③AE∥DF，選出能推出AB＝CD的一個(gè)條件．已知：如圖，AB∥CD，AE＝DF，　 　（寫出一種情況即可）；求證：AB＝CD．

19．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x＝3．
20．（8分）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD，連接BD．
（1）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形（要求：尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法）；
（2）求∠DBC的度數(shù)．

21．（8分）2021年3月23日，莆田市校園讀書(shū)月活動(dòng)暨第一屆校園閱讀論壇正式啟動(dòng)，開(kāi)啟了莆田市“書(shū)香校園、智慧閱讀”2.0版的新篇章．某初中校組織全校1000名學(xué)生參加“數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽”，從全校隨機(jī)抽取100名學(xué)生調(diào)查學(xué)生的答題情況，得到成績(jī)統(tǒng)計(jì)表：
分?jǐn)?shù)段
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
頻數(shù)
6
10
30
50
4
（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是　 　（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）；
①眾數(shù)落在80≤x＜90分?jǐn)?shù)段
②中位數(shù)落在80≤x＜90分?jǐn)?shù)段
③平均數(shù)落在80≤x＜90分?jǐn)?shù)段
④極差落在30＜x≤50分?jǐn)?shù)段
（2）學(xué)校從90≤x≤100分?jǐn)?shù)段的4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行學(xué)習(xí)交流．已知4名學(xué)生中，1名來(lái)自七年級(jí)，1名來(lái)自八年級(jí)，2名來(lái)自九年級(jí)，求抽到的2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率．
22．（10分）如圖，△ABC中，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，∠A＝∠BCD．
（1）求證：AC為⊙O的切線；
（2）在BC上取點(diǎn)E，使BE＝BD，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交AC于點(diǎn)F．若EF＝BD，求sinA的值．

23．（10分）鞋業(yè)是福建省莆田市的支柱產(chǎn)業(yè)、當(dāng)家產(chǎn)業(yè)，歷經(jīng)30多年的發(fā)展，莆田已經(jīng)成為世界知名運(yùn)動(dòng)鞋制造基地．某鞋廠準(zhǔn)備生產(chǎn)A，B兩種品牌運(yùn)動(dòng)鞋共100萬(wàn)雙，已知生產(chǎn)每雙A種品牌和B種品牌運(yùn)動(dòng)鞋共需成本185元，且每雙B種品牌運(yùn)動(dòng)鞋成本比A種高15元．
（1）求A，B兩種品牌運(yùn)動(dòng)鞋每雙的成本分別是多少元；
（2）“閩寧對(duì)口扶貧協(xié)作援寧群體”遵循“優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)、互惠互利、長(zhǎng)期協(xié)作、共同發(fā)展”的方針，該鞋廠主動(dòng)扛起對(duì)口幫扶寧夏脫貧攻堅(jiān)的歷史使命，每售出1雙A種品牌運(yùn)動(dòng)鞋就捐出a元．根據(jù)市場(chǎng)供需情況，計(jì)劃生產(chǎn)A種品牌運(yùn)動(dòng)鞋至少60萬(wàn)雙，B種品牌運(yùn)動(dòng)鞋至少20萬(wàn)雙．已知A，B兩種品牌運(yùn)動(dòng)鞋每雙售價(jià)分別為115元和125元，該鞋廠將如何安排生產(chǎn)才能獲得最大利潤(rùn)？
24．（12分）如圖1，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE．過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD于點(diǎn)F，點(diǎn)G為DE的中點(diǎn)，連接CF，CG，GF．
（1）求證：∠FGC＝2∠BDC；
（2）設(shè)BE＝x，△GFC的面積為S，
①求S與x的函數(shù)關(guān)系式；
②如圖2，點(diǎn)M，N分別在AD，CD上，且DM＝，DN＝1，連接GM，GN，當(dāng)GM+GN取最小值時(shí)，求S的值．

25．（14分）已知函數(shù)y1＝mx2+（1﹣m）x和y2＝nx2+（1﹣n）x（m＞0，n＜0）的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A，且函數(shù)y1，y2的圖象分別與x軸正半軸交于點(diǎn)B，C．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若∠BAC＝90°，
①求證：mn＝﹣1；
②函數(shù)y1，y2圖象的頂點(diǎn)分別為M，N，設(shè)△ABC的外心為點(diǎn)P，△OMN的內(nèi)心為點(diǎn)Q．問(wèn)是否存在m，n的值，使得O，P，Q三點(diǎn)共線？若存在，求m，n的值；若不存在，說(shuō)明理由．

2021年福建省莆田市中考數(shù)學(xué)二檢試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（4分）計(jì)算（﹣1）2021的結(jié)果（　?。?br /> A．﹣2021 B．﹣1 C．1 D．2021
【分析】直接根據(jù)有理數(shù)的乘方的運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝﹣1．
故選：B．
2．（4分）如圖是一個(gè)由6個(gè)相同正方體組成的立體圖形，它的主視圖是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．
【解答】解：從正面看第一層是3個(gè)小正方形，第二層右邊2個(gè)小正方形，第三層右邊2個(gè)小正方形，
故選：D．
3．（4分）據(jù)統(tǒng)計(jì)，2020年莆田市常住人口約為2910000人，將2910000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．2.91×105 B．2.91×106 C．29.1×105 D．0.291×107
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．
【解答】解：2910000＝2.91×106．
故選：B．
4．（4分）下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念對(duì)各圖形分析判斷即可得解．
【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意；
B、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意；
C、既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，本選項(xiàng)符合題意；
D、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
5．（4分）下列運(yùn)算中正確的是（　　）
A．a(chǎn)5+a5＝2a10 B．3a3?2a2＝6a6
C．a(chǎn)6÷a2＝a3 D．（﹣2ab）2＝4a2b2
【分析】根據(jù)整式運(yùn)算即可求出答案．
【解答】解：（A）a5+a5＝2a5，故A錯(cuò)誤；
（B）3a3?2a2＝6a5，故B錯(cuò)誤；
（C）a6÷a2＝a4，故C錯(cuò)誤；
故選：D．
6．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，連接AC、AD、BD，若∠CAB＝35°，則∠ADC的度數(shù)為（　?。?br />
A．35° B．55° C．65° D．70°
【分析】先求出∠CDB，由∠ADB＝90°，可得∠ADC．
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
又∵∠CDB＝∠CAB＝35°（圓周角定理），
∴∠ADC＝90°﹣35°＝55°．
故選：B．
7．（4分）《九章算術(shù)》記載了這樣一道題：“以繩測(cè)井，若將繩三折測(cè)之，繩多四尺；若將繩四折測(cè)之，繩多一尺，問(wèn)繩長(zhǎng)井深各幾何？”題意是：用繩子測(cè)量水井深度，如果將繩子折成三等份，那么每等份井外余繩四尺：如果將繩子折成四等份，那么每等份井外余繩一尺．問(wèn)繩長(zhǎng)和井深各多少尺？假設(shè)井深為x尺，則符合題意的方程應(yīng)為（　?。?br /> A． B．3x+4＝4x+1
C． D．3（x+4）＝4（x+1）
【分析】設(shè)井深為x尺，根據(jù)繩子的長(zhǎng)度固定不變，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．
【解答】解：設(shè)井深為x尺，
依題意，得：3（x+4）＝4（x+1）．
故選：D．
8．（4分）科技館為某機(jī)器人編制了一個(gè)程序，如果機(jī)器人在平地上按照?qǐng)D中所示的程序行走，那么該機(jī)器人所走的總路程為（　　）

A．6米 B．12米 C．16米 D．20米
【分析】先判斷出機(jī)器人所走過(guò)的路線是正多邊形，然后用多邊形的外角和除以每一個(gè)外角的度數(shù)求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)周長(zhǎng)公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【解答】解：根據(jù)題意得，機(jī)器人所走過(guò)的路線是正多邊形，
∵每一次都是左轉(zhuǎn)30°，
∴多邊形的邊數(shù)＝360°÷30°＝12，
周長(zhǎng)＝12×1＝12米．
故選：B．
9．（4分）如圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．若△ABC的三邊所圍成的區(qū)域面積記為S1，黑色部分面積記為S2，其余部分面積記為S3，則下列關(guān)系式正確的是（　　）

A．S1＝S2 B．S2＝S3
C．S2+S3＝S1 D．S22+S32＝S12
【分析】設(shè)AB＝c，AC＝b，BC＝a，S3為以BC為直徑的半圓減去△ABC的面積，S1為以AB、AC為直徑的兩個(gè)半圓的面積的和減去S3，然后根據(jù)圓的面積公式和勾股定理可確定S2＝S1．
【解答】解：設(shè)AB＝c，AC＝b，BC＝a，
S3＝π?（a）2﹣S1＝πa2﹣S1，
S2＝π?（c）2+π?（b）2﹣S3＝πc2+πb2﹣S3＝π（c2+b2）﹣（πa2﹣S1），
∵c2+b2＝a2，
∴S2＝S1．
故選：A．
10．（4分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的最大值為a﹣b+c，且M（﹣4，c），N（﹣3，m），P（1，m），Q（2，n），R（3，n+1）中只有兩點(diǎn)不在該二次函數(shù)圖象上，下列關(guān)于這兩點(diǎn)的說(shuō)法正確的是（　?。?br /> A．這兩點(diǎn)一定是M和N B．這兩點(diǎn)一定是Q和R
C．這兩點(diǎn)可能是M和Q D．這兩點(diǎn)可能是P和Q
【分析】二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的最大值為a﹣b+c，說(shuō)明a＜0，對(duì)稱軸x＝﹣1，假設(shè)選項(xiàng)成立，逐項(xiàng)判斷即可得到答案．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的最大值為a﹣b+c，
∴拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x＝﹣1，
A、若M和N不在該二次函數(shù)圖象上，則由題意知P（1，m），Q（2，n），R（3，n+1）一定在圖象上，而x＞﹣1時(shí)y隨x增大而減小，這與Q（2，n），R（3，n+1）矛盾，故A不符合題意；
B、若Q和R不在該二次函數(shù)圖象上，則M（﹣4，c）一定在圖象上，而拋物線與y軸交點(diǎn)（0，c）一定在圖象上，這樣拋物線對(duì)稱軸為x＝＝﹣2，這與拋物線對(duì)稱軸為x＝﹣1矛盾，故B不符合題意；
C、M和Q可能不在該二次函數(shù)圖象上，故C符合題意；
D、若P和Q不在該二次函數(shù)圖象上，則M（﹣4，c）一定在圖象上，同B理由，故D不符合題意；
故選：C．
二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．
11．（4分）如果一個(gè)扇形的圓心角為90°，弧長(zhǎng)為π，那么該扇形的半徑為　2?。?br /> 【分析】設(shè)該扇形的半徑為R，根據(jù)弧長(zhǎng)公式得到＝π，然后解方程即可．
【解答】解：設(shè)該扇形的半徑為R，
根據(jù)題意得＝π，解得R＝2．
故答案為2．
12．（4分）若x＝，則4x2+4x＝　1?。?br /> 【分析】先把已知條件變形得到2x+1＝，兩邊平方得到4x2+4x+1＝2，從而得到4x2+4x的值．
【解答】解：∵x＝，
∴2x＝﹣1，
即2x+1＝，
∴（2x+1）2＝2，
即4x2+4x+1＝2，
∴4x2+4x＝1．
故答案為1．
13．（4分）為了估計(jì)水塘中的魚(yú)數(shù)，養(yǎng)魚(yú)者首先從魚(yú)塘中捕獲30條魚(yú)，在每條魚(yú)身上做好記號(hào)后，把這些魚(yú)放歸魚(yú)塘，再?gòu)聂~(yú)塘中打撈200條魚(yú)，如果在這200條中有5條魚(yú)是有記號(hào)的，則魚(yú)塘中的魚(yú)估計(jì)大約有　1200　條．
【分析】首先求出有記號(hào)的5條魚(yú)在200條魚(yú)中所占的比例，然后根據(jù)用樣本中有記號(hào)的魚(yú)所占的比例等于魚(yú)塘中有記號(hào)的魚(yú)所占的比例，即可求得魚(yú)的總條數(shù)．
【解答】解：∵×100%＝2.5%
∴30÷2.5%＝1200（條）．
故答案為：1200．
14．（4分）某雷達(dá)探測(cè)目標(biāo)得到的結(jié)果如圖所示，若記圖中目標(biāo)A的位置為（3，30°），目標(biāo)B的位置為（2，180°），目標(biāo)C的位置為（4，240°），則圖中目標(biāo)D的位置可記為?。?，120°）?。?br />
【分析】根據(jù)坐標(biāo)的意義，第一個(gè)數(shù)表示距離，第二個(gè)數(shù)表示度數(shù)，根據(jù)圖形寫出即可．
【解答】解：由圖可知，圖中目標(biāo)D的位置可記為（5，120°）．
故答案為：（5，120°）．
15．（4分）莆田湄洲島，是億萬(wàn)媽祖信徒敬仰的圣地，這里的媽祖廟更是名揚(yáng)四海．在湄洲媽祖廟的正殿前方上建造了一尊巨型石雕媽祖像，面向臺(tái)灣海峽，為海峽兩岸同胞共同瞻仰．小穎想測(cè)量雕像的高，她先測(cè)得雕像的影長(zhǎng)為4.1m，并在同一時(shí)刻測(cè)得一根長(zhǎng)為1.4m的竹竿的影長(zhǎng)是0.4m．請(qǐng)你幫她算一下，石雕媽祖像高是　14.35　m．

【分析】根據(jù)題意作出圖形，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，作出如下圖形：石雕媽祖像身高為AB，影長(zhǎng)為BE，同一時(shí)刻竹竿為CD，竹竿的影子為ED．

設(shè)石雕媽祖像身高為xm，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∴x＝14.35，
∴石雕媽祖像身高為14.35m，
故答案為：14.35．
16．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，若原點(diǎn)O關(guān)于直線y＝﹣x+k的對(duì)稱點(diǎn)O'在雙曲線y＝上，則k的值為　?。?br /> 【分析】連接OO′，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得OO′與直線y＝﹣x+k垂直，再利用對(duì)稱的性質(zhì)列出方程可得答案．
【解答】解：如圖，

設(shè)直線OO′關(guān)系式為y＝ax，O′（m，n），
∴a＝，
設(shè)OO′中點(diǎn)為N，則N（，），
由對(duì)稱性可得N在直線y＝﹣x+k上，且OO′與直線y＝﹣x+k垂直，
∴，
解得：k＝，m＝，n＝．
故答案為：．
三、解答題：本大題共9小題，共86分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程、正確作圖或演算步驟．
17．（8分）計(jì)算：20210+|1﹣|﹣2cos45°．
【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及絕對(duì)值的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案．
【解答】解：原式＝1+﹣1﹣2×
＝1+﹣1﹣
＝0．
18．（8分）如圖，點(diǎn)C，E，F(xiàn)，B在同一直線上，AB∥CD，AE＝DF，下列3個(gè)條件：①∠A＝∠D；②BF＝CE；③AE∥DF，選出能推出AB＝CD的一個(gè)條件．已知：如圖，AB∥CD，AE＝DF，　①或③?。▽懗鲆环N情況即可）；求證：AB＝CD．

【分析】若選擇①，由AB∥CD可得∠B＝∠C，由AAS定理可得△ABE≌△DCF，利用全等三角形的性質(zhì)定理可得結(jié)果；若選擇③，由AE∥DF可得∠AEB＝∠DFC，可證得△ABE≌△DCF，利用全等三角形的性質(zhì)定理可得結(jié)果．
【解答】解：若選①，證明如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵在△ABE與△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD；
若選③，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵AE∥DF，
∴∠AEB＝∠DFC，
∵在△ABE與△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD．
故答案為：①或③．
19．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x＝3．
【分析】直接將括號(hào)里面通分運(yùn)算，進(jìn)而利用分式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝?
＝，
當(dāng)x＝3時(shí)，原式＝＝．
20．（8分）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD，連接BD．
（1）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形（要求：尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法）；
（2）求∠DBC的度數(shù)．

【分析】（1）分別以A、B為圓心，以AB為半徑在AB的右側(cè)畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠ABC＝70°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABD為等邊三角形，則∠ABD＝60°，然后計(jì)算∠ABC﹣∠ABD即可．
【解答】解：（1）如圖，線段AD，BD即為所求作；

（2）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝70°，
由旋轉(zhuǎn)可知：∠BAD＝60°，AB＝AD，
∴△ABD為等邊三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣60°＝10°．
21．（8分）2021年3月23日，莆田市校園讀書(shū)月活動(dòng)暨第一屆校園閱讀論壇正式啟動(dòng)，開(kāi)啟了莆田市“書(shū)香校園、智慧閱讀”2.0版的新篇章．某初中校組織全校1000名學(xué)生參加“數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽”，從全校隨機(jī)抽取100名學(xué)生調(diào)查學(xué)生的答題情況，得到成績(jī)統(tǒng)計(jì)表：
分?jǐn)?shù)段
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
頻數(shù)
6
10
30
50
4
（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是　②④?。▽懗鏊姓_結(jié)論的序號(hào)）；
①眾數(shù)落在80≤x＜90分?jǐn)?shù)段
②中位數(shù)落在80≤x＜90分?jǐn)?shù)段
③平均數(shù)落在80≤x＜90分?jǐn)?shù)段
④極差落在30＜x≤50分?jǐn)?shù)段
（2）學(xué)校從90≤x≤100分?jǐn)?shù)段的4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行學(xué)習(xí)交流．已知4名學(xué)生中，1名來(lái)自七年級(jí)，1名來(lái)自八年級(jí)，2名來(lái)自九年級(jí)，求抽到的2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率．
【分析】（1）由眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)以及極差的定義求解即可；
（2）畫樹(shù)狀圖，共有12種結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中抽到的2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的結(jié)果有10種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）①由眾數(shù)的定義得：眾數(shù)不一定落在80≤x＜90分?jǐn)?shù)段，故不正確；
②由中位數(shù)的定義得：中位數(shù)落在80≤x＜90分?jǐn)?shù)段，故②正確；
③平均數(shù)不一定落在80≤x＜90分?jǐn)?shù)段，故③不正確；
④由極差的定義得：極差落在30＜x≤50分?jǐn)?shù)段，故④正確；
故答案為：②④；
（2）分別記七，八年級(jí)的學(xué)生為A和B，記九年級(jí)同學(xué)為C、D，
則根據(jù)題意，畫如下的樹(shù)狀圖：

共有12種結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中抽到的2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的結(jié)果有10種，
∴P（不同年級(jí)）＝．
22．（10分）如圖，△ABC中，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，∠A＝∠BCD．
（1）求證：AC為⊙O的切線；
（2）在BC上取點(diǎn)E，使BE＝BD，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交AC于點(diǎn)F．若EF＝BD，求sinA的值．

【分析】（1）根據(jù)BC為直徑，可得∠BDC＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ACB＝90°，進(jìn)而可得AC為⊙O的切線；
（2）設(shè)CE＝x，BE＝y(tǒng)，則BC＝x+y，EF＝BD＝y(tǒng)．利用銳角三角函數(shù)列式計(jì)算即可得結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵BC為直徑，
∴∠BDC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°．
∵∠A＝∠BCD，
∴∠BCD+∠ACD＝90°．
∴∠ACB＝90°，
∴AC為⊙O的切線；
（2）解：∵EF∥AB，
∴∠A＝∠EFC．
∵∠A＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠EFC．
設(shè)CE＝x，BE＝y(tǒng)，則BC＝x+y，EF＝BD＝y(tǒng)．
∴，
，
∴，
∴x2+xy﹣y2＝0，
∴（）2+﹣1＝0，
∴．
23．（10分）鞋業(yè)是福建省莆田市的支柱產(chǎn)業(yè)、當(dāng)家產(chǎn)業(yè)，歷經(jīng)30多年的發(fā)展，莆田已經(jīng)成為世界知名運(yùn)動(dòng)鞋制造基地．某鞋廠準(zhǔn)備生產(chǎn)A，B兩種品牌運(yùn)動(dòng)鞋共100萬(wàn)雙，已知生產(chǎn)每雙A種品牌和B種品牌運(yùn)動(dòng)鞋共需成本185元，且每雙B種品牌運(yùn)動(dòng)鞋成本比A種高15元．
（1）求A，B兩種品牌運(yùn)動(dòng)鞋每雙的成本分別是多少元；
（2）“閩寧對(duì)口扶貧協(xié)作援寧群體”遵循“優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)、互惠互利、長(zhǎng)期協(xié)作、共同發(fā)展”的方針，該鞋廠主動(dòng)扛起對(duì)口幫扶寧夏脫貧攻堅(jiān)的歷史使命，每售出1雙A種品牌運(yùn)動(dòng)鞋就捐出a元．根據(jù)市場(chǎng)供需情況，計(jì)劃生產(chǎn)A種品牌運(yùn)動(dòng)鞋至少60萬(wàn)雙，B種品牌運(yùn)動(dòng)鞋至少20萬(wàn)雙．已知A，B兩種品牌運(yùn)動(dòng)鞋每雙售價(jià)分別為115元和125元，該鞋廠將如何安排生產(chǎn)才能獲得最大利潤(rùn)？
【分析】（1）設(shè)生產(chǎn)A種品牌運(yùn)動(dòng)鞋成本m元，B種運(yùn)動(dòng)鞋成本n元，根據(jù)題意列方程組求解即可；
（2）設(shè)生產(chǎn)A種品牌運(yùn)動(dòng)鞋x萬(wàn)雙，則生產(chǎn)B種品牌運(yùn)動(dòng)鞋（100﹣x）萬(wàn)雙，根據(jù)題意列不等式組求出x的取值范圍；設(shè)總利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意求出w與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：（1）設(shè)生產(chǎn)A種品牌運(yùn)動(dòng)鞋成本m元，B種運(yùn)動(dòng)鞋成本n元，
依題意，得，
解得，
答：生產(chǎn)A種運(yùn)動(dòng)鞋成本85元，B種運(yùn)動(dòng)鞋成本100元．
（2）設(shè)生產(chǎn)A種品牌運(yùn)動(dòng)鞋x萬(wàn)雙，則生產(chǎn)B種品牌運(yùn)動(dòng)鞋（100﹣x）萬(wàn)雙，設(shè)總利潤(rùn)為w元，
則w＝（115﹣85）x+（125﹣100）（100﹣x）﹣ax＝（5﹣a）x+2500．
又∵，
解得60≤x≤80．
①當(dāng)5﹣a＞0時(shí)，w隨x的增大而增大，
∴當(dāng)a＜5，x＝80時(shí)，wmax＝2900﹣80a；
②當(dāng)5﹣a＝0，即a＝5時(shí)，w＝2500；
③當(dāng)5﹣a＜0時(shí)，w隨x的增大而減小，
∴當(dāng)a＞5，x＝60時(shí)，wmax＝2800﹣60a．
綜上所述，當(dāng)a＜5時(shí)，鞋廠將選擇生產(chǎn)A種運(yùn)動(dòng)鞋80萬(wàn)雙，B種運(yùn)動(dòng)鞋20萬(wàn)雙能獲得最大利潤(rùn)；當(dāng)a＝5時(shí)，利潤(rùn)均為2500萬(wàn)元；當(dāng)a＞5時(shí)，鞋廠將選擇生產(chǎn)A種運(yùn)動(dòng)鞋60萬(wàn)雙，B種運(yùn)動(dòng)鞋40萬(wàn)雙能獲得最大利潤(rùn)．
24．（12分）如圖1，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE．過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD于點(diǎn)F，點(diǎn)G為DE的中點(diǎn)，連接CF，CG，GF．
（1）求證：∠FGC＝2∠BDC；
（2）設(shè)BE＝x，△GFC的面積為S，
①求S與x的函數(shù)關(guān)系式；
②如圖2，點(diǎn)M，N分別在AD，CD上，且DM＝，DN＝1，連接GM，GN，當(dāng)GM+GN取最小值時(shí)，求S的值．

【分析】（1）如圖1，先根據(jù)直角三角形斜邊中線可得FG＝CG，
法一：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論；
法二：根據(jù)FG＝GE＝GC＝GD，可知E，F(xiàn)，D，C四點(diǎn)共圓，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系可得結(jié)論；
（2）①法一：如圖2，過(guò)G作GH⊥CF于點(diǎn)H，證明△FGH∽△BDC，令GH＝a，則FH＝2a，F(xiàn)C＝4a，F(xiàn)G＝，DE＝，根據(jù)三角形面積公式和勾股定理可得結(jié)論；
法二：如圖3，連接AC交BD于點(diǎn)O，證明△FGC∽△BOC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，結(jié)合勾股定理可得結(jié)論；
法三：如圖4，過(guò)點(diǎn)F作FK⊥BC于點(diǎn)K，同理得△BFK∽△FEK∽△BDC，則＝＝2，根據(jù)面積差和三角形面積公式可得結(jié)論；
②如圖5，分別取BD，CD中點(diǎn)O，P，作點(diǎn)N關(guān)于OP的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接MN'交OP于點(diǎn)G，此時(shí)GM+GN的最小值為MN'，可知DN＝NP＝N'P＝1，DN'＝3，根據(jù)三角形中位線定理可得EC＝2PG＝3，得x＝5，代入S與x的函數(shù)關(guān)系式中可得結(jié)論．
【解答】（1）證明：如圖1，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，G為DE中點(diǎn)，

∴CG＝DE．
∵EF⊥BD，
∴∠EFD＝90°，
∴FG＝DE，
∴FG＝CG，
法一：∵FG＝DG＝CG，
∴∠GFD＝∠GDF，∠GCD＝∠GDC，
∴∠FGE＝2∠GDF，∠CGE＝2∠GDC，
∴∠FGC＝∠FGE+∠CGE＝2∠BDC；
法二：∵FG＝GE＝GC＝GD，
∴E，F(xiàn)，D，C四點(diǎn)共圓，
∴∠FGC＝2∠BDC；
（2）①法一：如圖2，過(guò)G作GH⊥CF于點(diǎn)H，

∵FG＝CG，
∴∠FGC＝2∠FGH，
∵∠FGC＝2∠BDC，
∴∠BDC＝∠FGH，
∵∠GHF＝∠DCB＝90°，
∴△FGH∽△BDC，
∴，
令GH＝a，則FH＝2a，F(xiàn)C＝4a，F(xiàn)G＝，DE＝，
∴S＝＝＝2a2，
∵CE＝8﹣x，CD＝4，
∴DE2＝CE2+CD2＝（8﹣x）2+42＝，
∴，
∴．
法二：如圖3，連接AC交BD于點(diǎn)O，則OB＝OC＝OD，

∴∠BOC＝2∠BDC＝∠FGC．
∵，
∴△FGC∽△BOC，
∴，
∵BC＝8，CD＝4，
∴BD＝＝，BO＝，，
∵，
∴．
法三：如圖4，過(guò)點(diǎn)F作FK⊥BC于點(diǎn)K，

∵EF⊥BD，CD⊥BC，
同理得△BFK∽△FEK∽△BDC，
∴＝＝2，
∴KE＝BE＝x，
∴FK＝x，
∴，
∵點(diǎn)G為DE中點(diǎn)，
∴S△DEF＝2S△DFG，S△DCE＝2S△DCG，
∴，
∵S△FEC＝＝（8﹣x）x＝﹣+x，
∴；
②如圖5，分別取BD，CD中點(diǎn)O，P，

∵點(diǎn)E在線段CB上運(yùn)動(dòng)，G為DE中點(diǎn)，
∴點(diǎn)G在線段OP上運(yùn)動(dòng)，
∴作點(diǎn)N關(guān)于OP的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接MN'交OP于點(diǎn)G，
此時(shí)GM+GN的最小值為MN'．
∵DN＝NP＝N'P＝1，
∴DN'＝3，
∵，
∴，
∵PG∥BC，DP＝CP，
∴EC＝2PG＝3，
∴BE＝BC﹣EC＝5，即x＝5，
∵，
∴S＝×25﹣+8＝．
25．（14分）已知函數(shù)y1＝mx2+（1﹣m）x和y2＝nx2+（1﹣n）x（m＞0，n＜0）的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A，且函數(shù)y1，y2的圖象分別與x軸正半軸交于點(diǎn)B，C．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若∠BAC＝90°，
①求證：mn＝﹣1；
②函數(shù)y1，y2圖象的頂點(diǎn)分別為M，N，設(shè)△ABC的外心為點(diǎn)P，△OMN的內(nèi)心為點(diǎn)Q．問(wèn)是否存在m，n的值，使得O，P，Q三點(diǎn)共線？若存在，求m，n的值；若不存在，說(shuō)明理由．
【分析】（1）綜合兩個(gè)二次函數(shù)的解析式列方程組，解出可得點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)y1＝0可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），同理得C（，0），作輔助線，構(gòu)建相似三角形，證明
△ABD∽△CAD，列比例式代入可得結(jié)論；
②先利用配方法得函數(shù)y1，y2圖象的頂點(diǎn)分別為M，N，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，利用三角函數(shù)列等式可得m+n＝2，聯(lián)立方程組解出可得結(jié)論．
【解答】（1）解：聯(lián)立，
得（m﹣n）x2+（n﹣m）x＝0，
∴（m﹣n）（x2﹣x）＝0，
∵m＞0，n＜0，
∴m≠n，
∴x2﹣x＝0，
解得 x1＝0，x2＝1，
當(dāng)x＝1時(shí)，y1＝y(tǒng)2＝1，
∴A（1，1）；
（2）①證明：令y1＝0，得 mx2+（1﹣m）x＝0，

解得 x1＝0，x2＝，
∴B（，0），
同理得C（，0），
過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠ABD＝∠DAC，
∴△ABD∽△CAD，
∴，
∴AD2＝BD?CD，
∵，，
∴＝1，
∴mn＝﹣1；
②解：∵y1＝mx2+（1﹣m）x＝m（x﹣）2﹣，
y2＝nx2+（1﹣n）x＝n（x﹣）2﹣，
∴函數(shù)y1，y2圖象的頂點(diǎn)分別為M，N，
如圖2，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)N作NF⊥x軸于點(diǎn)F，

則，，
∵∠BAC＝90°，
∴Rt△ABC外心P在x軸上，
∴當(dāng)O，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)，Q也在x軸上，
此時(shí)，∠NOF＝∠MOE，
∴，
∴m+n＝2，
聯(lián)立，
解得：，（舍去），
∴存在m＝，n＝，使O，P，Q三點(diǎn)共線．


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