?2020-2021學(xué)年浙江省寧波市鄞州區(qū)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題
1．（3分）下列計(jì)算正確的是（　?。?br /> A．4 B． C．2＝ D．3
2．（3分）下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
3．（3分）某校八（5）為籌備班級(jí)端午節(jié)紀(jì)念愛國詩人屈原聯(lián)誼會(huì)，班長(zhǎng)對(duì)全班學(xué)生愛吃哪幾種水果作了民意調(diào)查，最終買哪些水果，下面的調(diào)查數(shù)據(jù)中您認(rèn)為最值得關(guān)注的是（　　）
A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．眾數(shù) D．加權(quán)平均數(shù)
4．（3分）某多邊形的每個(gè)內(nèi)角均為120°，則此多邊形的邊數(shù)為（　?。?br /> A．5 B．6 C．7 D．8
5．（3分）用反證法證明命題：“四邊形中至少有一個(gè)角是鈍角或直角”時(shí)，首先應(yīng)該假設(shè)這個(gè)四邊形中（　?。?br /> A．有一個(gè)角是鈍角或直角 B．每一個(gè)角都是鈍角
C．每一個(gè)角都是直角 D．每一個(gè)角都是銳角
6．（3分）小聰在作線段AB的垂直平分線時(shí)，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于C，D，則直線CD即為所求，根據(jù)他的作圖方法可知四邊形ADBC一點(diǎn)是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
7．（3分）如圖，在長(zhǎng)為32m，寬為20m的矩形空地上修建同樣寬的道路（圖中陰影部分），剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為540m2．設(shè)道路的寬為xm，根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是（　?。?br />
A．32x+20x﹣2x2＝540
B．32x+20x＝32×20﹣540
C．（32﹣x）（20﹣x）＝540
D．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣540
8．（3分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)EF分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點(diǎn)G．若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，則△BCG的周長(zhǎng)為（　?。?br />
A．7 B．3+ C．8 D．3+
9．（3分）如圖，OA＝AB，∠OAB＝90°，雙曲線y＝經(jīng)過點(diǎn)A，雙曲線y＝﹣經(jīng)過點(diǎn)B，已知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為﹣2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（　?。?br />
A．（+3，﹣1） B．（4，1） C．（2+，﹣1） D．（2，﹣1）
10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A（3，3），C（﹣1，﹣1），對(duì)角線BD交AC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，若BN＝2ND，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（　　）

A．（﹣，） B．（﹣，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，4）
二、填空題
11．（4分）二次根式中字母x的取值范圍是　 　．
12．（4分）我市某一周每天的最低氣溫統(tǒng)計(jì)如下（單位：℃）：﹣1，4，6，0，﹣1，1，﹣1，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為　 ?。?br /> 13．（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一個(gè)根為0，則m＝　 ?。?br /> 14．（4分）一次函數(shù)y1＝k1x（k1≠0）與反比例函數(shù)y2＝（k2≠0）的圖象的一個(gè)交點(diǎn)是M（﹣3，2），若y2＜y1＜5，則x的取值范圍是　 ?。?br /> 15．（4分）已知：如圖，在?ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分線AE，DF分別與線段BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，AE與DF相交于點(diǎn)G．若AD＝10，AB＝6，AE＝4，則DF的長(zhǎng)為　 　．

16．（4分）如圖，曲線l是由函數(shù)y＝在第一象限內(nèi)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到的，過點(diǎn)A（﹣4，4），B（2，2）的直線與曲線l相交于點(diǎn)M、N，則△OMN的面積為　 ?。?br />
三、解答題
17．（6分）計(jì)算：
（1）；
（2）×．
18．（6分）解方程：
（1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；
（2）x2+2x﹣5＝0．
19．（8分）在抗擊“新冠肺炎疫情”的日子里，某校積極開展“停課不停學(xué)”的線上教學(xué)活動(dòng)．為了解全校1200名學(xué)生一周內(nèi)平均每天在家進(jìn)行體育鍛煉時(shí)間的情況，隨機(jī)調(diào)查了該校100名學(xué)生一周內(nèi)平均每天在家進(jìn)行體育鍛煉時(shí)間的情況，結(jié)果如表：
時(shí)間（分）
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
人數(shù)
16
24
14
10
8
6
8
4
6
4
完成下列問題：
（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表信息，寫出這100名學(xué)生一周內(nèi)平均每天在家體育鍛煉時(shí)間的中位數(shù)和眾數(shù)．
（2）請(qǐng)估計(jì)該校一周內(nèi)平均每天在家體育鍛煉時(shí)間不少于35分鐘的學(xué)生大約有多少人？
20．（8分）如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且AE＝DF．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形．
（2）若∠BAE：∠EAD＝2：3，求∠EAO的度數(shù)．

21．（8分）在水果銷售旺季，某水果店購進(jìn)一種優(yōu)質(zhì)水果，進(jìn)價(jià)為20元/千克，售價(jià)不低于20元/千克，且不超過32元/千克，根據(jù)銷售情況，發(fā)現(xiàn)該水果一天的銷售量（千克）與該天的售價(jià)x（元/千克）滿足的關(guān)系為一次函數(shù)y＝﹣2x+80．
（1）某天這種水果的售價(jià)為23.5元/千克，求當(dāng)天該水果的銷售量；
（2）如果某天銷售這種水果獲利150元，那么該天水果的售價(jià)為多少元？
22．（8分）已知一次函數(shù)y＝（m﹣1）x+m﹣2與反比例函數(shù)y＝（k≠0）．
（1）若一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A（m，﹣1），求m與k的值．
（2）已知點(diǎn)B（x1，y1），C（x2，y2）在該一次函數(shù)圖象上，設(shè)k＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），判斷反比例函數(shù)y＝的圖象所在的象限，說明理由．
23．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有大正方形AOBC與小正方形CDEF，其中點(diǎn)A落在y軸上，點(diǎn)B落在x軸上，若反比例函數(shù)y＝（x＞0，k＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，則稱滿足條件的k值為兩正方形的和諧值．已知反比例函數(shù)圖象與AF交于點(diǎn)G，請(qǐng)解答下列各題．
（1）概念理解 若圖中大正方形的邊長(zhǎng)為2，小正方形的邊長(zhǎng)為1，求這兩個(gè)正方形的和諧值．
（2）性質(zhì)探究 記圖中兩正方形面積分別為S1，S2，（S1＞S2），
求證：兩個(gè)正方形的和諧值k＝S1﹣S2．
（3）性質(zhì)應(yīng)用 若圖中大正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)G恰好是AC的三等分點(diǎn)，求小正方形的邊長(zhǎng)．

24．（12分）類比等腰三角形的定義，我們定義：有三條邊相等的凸四邊形叫做“準(zhǔn)等邊四邊形”．
（1）已知：如圖1，在“準(zhǔn)等邊四邊形”ABCD中，BC≠AB，BD⊥CD，AB＝3，BD＝4，求BC的長(zhǎng)；
（2）在探究性質(zhì)時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論：對(duì)角線互相垂直的“準(zhǔn)等邊四邊形”是菱形．請(qǐng)你判斷此結(jié)論是否正確，若正確，請(qǐng)說明理由；若不正確，請(qǐng)舉出反例；
（3）如圖2，在△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝90°．在AB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P，使得以A，B，C，P為頂點(diǎn)的四邊形為“準(zhǔn)等邊四邊形”．若存在，請(qǐng)求出該“準(zhǔn)等邊四邊形”的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．


2020-2021學(xué)年浙江省寧波市鄞州區(qū)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題
1．（3分）下列計(jì)算正確的是（　?。?br /> A．4 B． C．2＝ D．3
【分析】根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)及同類二次根式的合并，分別進(jìn)行各選項(xiàng)的判斷即可．
【解答】解：A、4﹣3＝，原式計(jì)算錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、與不是同類二次根式，不能直接合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、2＝，計(jì)算正確，故本選項(xiàng)正確；
D、3+2≠5，原式計(jì)算錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．
2．（3分）下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形；
B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形；
C、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形；
D、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形．
故選：A．
3．（3分）某校八（5）為籌備班級(jí)端午節(jié)紀(jì)念愛國詩人屈原聯(lián)誼會(huì)，班長(zhǎng)對(duì)全班學(xué)生愛吃哪幾種水果作了民意調(diào)查，最終買哪些水果，下面的調(diào)查數(shù)據(jù)中您認(rèn)為最值得關(guān)注的是（　　）
A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．眾數(shù) D．加權(quán)平均數(shù)
【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義進(jìn)行分析選擇．
【解答】解：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是描述一組數(shù)據(jù)集中程度的統(tǒng)計(jì)量；方差、標(biāo)準(zhǔn)差是描述一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量．
既然是為籌備班級(jí)端午節(jié)紀(jì)念愛國詩人屈原聯(lián)誼會(huì)做準(zhǔn)備，那么買的水果肯定是大多數(shù)人愛吃的才行，
故最值得關(guān)注的是眾數(shù)．
故選：C．
4．（3分）某多邊形的每個(gè)內(nèi)角均為120°，則此多邊形的邊數(shù)為（　?。?br /> A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】首先可求得每個(gè)外角為60°，然后根據(jù)外角和為360°即可求得多邊形的邊數(shù)．
【解答】解：180°﹣120°＝60°，
360°÷60°＝6．
故選：B．
5．（3分）用反證法證明命題：“四邊形中至少有一個(gè)角是鈍角或直角”時(shí)，首先應(yīng)該假設(shè)這個(gè)四邊形中（　　）
A．有一個(gè)角是鈍角或直角 B．每一個(gè)角都是鈍角
C．每一個(gè)角都是直角 D．每一個(gè)角都是銳角
【分析】反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，可據(jù)此進(jìn)行判斷．
【解答】解：反證法證明命題：“四邊形中至少有一個(gè)角是鈍角或直角”時(shí)，假設(shè)這個(gè)四邊形中每一個(gè)角都是銳角，
故選：D．
6．（3分）小聰在作線段AB的垂直平分線時(shí)，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于C，D，則直線CD即為所求，根據(jù)他的作圖方法可知四邊形ADBC一點(diǎn)是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【分析】根據(jù)垂直平分線的畫法得出四邊形ADBC四邊的關(guān)系進(jìn)而得出四邊形一定是菱形．
【解答】解：∵分別以A和B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，
∴AC＝AD＝BD＝BC，
∴四邊形ADBC一定是菱形，
故選：B．

7．（3分）如圖，在長(zhǎng)為32m，寬為20m的矩形空地上修建同樣寬的道路（圖中陰影部分），剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為540m2．設(shè)道路的寬為xm，根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是（　?。?br />
A．32x+20x﹣2x2＝540
B．32x+20x＝32×20﹣540
C．（32﹣x）（20﹣x）＝540
D．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣540
【分析】把道路進(jìn)行平移，可得草坪面積＝長(zhǎng)為（32﹣x）m，寬為（20﹣x）m的矩形面積，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解．
【解答】解：把道路進(jìn)行平移，可得草坪面積為一個(gè)矩形，長(zhǎng)為（32﹣x）m，寬為（20﹣x）m，
∴可列方程為：（32﹣x）（20﹣x）＝540．
故選：C．
8．（3分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)EF分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點(diǎn)G．若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，則△BCG的周長(zhǎng)為（　?。?br />
A．7 B．3+ C．8 D．3+
【分析】根據(jù)陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，得出陰影部分的面積為6，空白部分的面積為3，進(jìn)而依據(jù)△BCG的面積以及勾股定理，得出BG+CG的長(zhǎng)，進(jìn)而得出其周長(zhǎng)．
【解答】解：∵陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，
∴陰影部分的面積為×9＝6，
∴空白部分的面積為9﹣6＝3，
由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面積與四邊形DEGF的面積相等，均為×3＝，
∠CBE＝∠DCF，
∵∠DCF+∠BCG＝90°，
∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，
設(shè)BG＝a，CG＝b，則ab＝，
又∵a2+b2＝32，
∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，
即（a+b）2＝15，
∴a+b＝，即BG+CG＝，
∴△BCG的周長(zhǎng)＝+3，
故選：D．
9．（3分）如圖，OA＝AB，∠OAB＝90°，雙曲線y＝經(jīng)過點(diǎn)A，雙曲線y＝﹣經(jīng)過點(diǎn)B，已知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為﹣2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（　?。?br />
A．（+3，﹣1） B．（4，1） C．（2+，﹣1） D．（2，﹣1）
【分析】如圖2中，作AH⊥OF于H，BG⊥AH于G．首先證明△OHA≌△AGB，推出OH＝AG，AH＝BG＝2，設(shè)OH＝AG＝m，推出B（m+2，m﹣2），把點(diǎn)B（m+2，m﹣2）代入y＝﹣求出m即可解決問題．
【解答】解：如圖中，作AH⊥x軸于H，BG⊥AH于G．
∵∠OAB＝90°，
∴∠OAH+∠GAB＝90°，∠GAB+∠ABG＝90°，
∴∠OAH＝∠ABG，
同理得∠AOH＝∠BAG，
在△OHA和△AGB中，

∴△OHA≌△AGB，
∴OH＝AG，AH＝BG＝2，
設(shè)OH＝AG＝m，則B（m+2，m﹣2），
把點(diǎn)B坐標(biāo)（m+2，m﹣2）代入y＝﹣得（m﹣2）（m+2）＝﹣k①
把點(diǎn)A坐標(biāo)（m，﹣2）代入y＝得﹣2m＝k②
聯(lián)立①②
解得：，（舍去）
∴將m1＝1+代入得：
B（3+，）
故選：A．

10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A（3，3），C（﹣1，﹣1），對(duì)角線BD交AC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，若BN＝2ND，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（　　）

A．（﹣，） B．（﹣，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，4）
【分析】過點(diǎn)M作MF⊥ON于N，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，AM＝CM，BM＝DM，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求點(diǎn)M坐標(biāo)，由BN＝2ND，可求BN＝4，即可求解．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)M作MF⊥ON于N，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AM＝CM，BM＝DM，
∵點(diǎn)A（3，3），C（﹣1，﹣1），
∴M（1，1），
∴OF＝1，MF＝1，
∴∠MON＝45°＝∠OMF，
∴∠FMN＝45°＝∠FNM，
∴MF＝FN＝1，
∴MN＝，
∵BN＝2ND，
∴BD＝3DN，BM＝DN，
∴MN＝＝，
∴DN＝2，
∴BN＝4，
∵BE⊥x軸，
∴∠EBN＝∠BNE＝45°，
∴BE＝EN，BN＝BE，
∴BE＝EN＝4，
∴EO＝2，
∴點(diǎn)B（﹣2，4），
故選：D．
二、填空題
11．（4分）二次根式中字母x的取值范圍是　x≤0?。?br /> 【分析】根據(jù)二次根式有意義得出﹣5x≥0，求出不等式的解集即可．
【解答】解：要使二次根式有意義，必須﹣5x≥0，
解得：x≤0，
故答案為：x≤0．
12．（4分）我市某一周每天的最低氣溫統(tǒng)計(jì)如下（單位：℃）：﹣1，4，6，0，﹣1，1，﹣1，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為　　．
【分析】根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式直接計(jì)算即可．
【解答】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：（﹣1+4+6+0﹣1+1﹣1）÷7＝．
故答案為：．
13．（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一個(gè)根為0，則m＝　2　．
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義以及一元二次方程的解的定義列出關(guān)于m的方程，通過解關(guān)于m的方程求得m的值即可．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一個(gè)根為0，
∴m2﹣2m＝0且m≠0，
解得，m＝2．
故答案是：2．
14．（4分）一次函數(shù)y1＝k1x（k1≠0）與反比例函數(shù)y2＝（k2≠0）的圖象的一個(gè)交點(diǎn)是M（﹣3，2），若y2＜y1＜5，則x的取值范圍是　﹣＜x＜﹣3或0＜x＜3　．
【分析】如圖，一次函數(shù)y1＝k1x（k1≠0）與反比例函數(shù)y2＝（k2≠0）的圖象相交于點(diǎn)M、N，則N（3，﹣2），利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式為y1＝﹣x，則可計(jì)算出當(dāng)y＝5時(shí)，x＝﹣，然后結(jié)合函數(shù)圖象，寫出y2＜y1＜5對(duì)應(yīng)的x的取值范圍．
【解答】解：如圖，一次函數(shù)y1＝k1x（k1≠0）與反比例函數(shù)y2＝（k2≠0）的圖象相交于點(diǎn)M、N，
∴M、N點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴N（3，﹣2），
把M（﹣3，2）代入y1＝k1x得﹣3k1＝2，解得k1＝﹣，
∴一次函數(shù)解析式為y1＝﹣x，
當(dāng)y＝5時(shí)，﹣x＝5，解得x＝﹣，
∴若y2＜y1＜5，則x的取值范圍是﹣＜x＜﹣3或0＜x＜3．
故答案為﹣＜x＜﹣3或0＜x＜3．

15．（4分）已知：如圖，在?ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分線AE，DF分別與線段BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，AE與DF相交于點(diǎn)G．若AD＝10，AB＝6，AE＝4，則DF的長(zhǎng)為　8?。?br />
【分析】如圖，過點(diǎn)C作CK∥AE交AD于K．證明CF＝CD，CI⊥DF，推出DI＝IF，再證明IK＝IC＝2，利用勾股定理求出DI即可解決問題．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CK∥AE交AD于K．

在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°．AB＝CD＝6，
∵AE，DF分別是∠BAD，∠ADC的平分線，
∴∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC．
∴∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°．
∴∠AGD＝90°．
∵AK∥EC，AE∥CK，
∴四邊形AECK是平行四邊形，∠AGD＝∠KID＝90°，
∴AE＝CK＝4，
∵∠KDI+∠DKI＝90°，∠DIC+∠DCI＝90°，∠IDK＝∠IDC，
∴∠DKI＝∠DCI，
∴DK＝DC，
∴KI＝CI＝2，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
∵CI⊥DF，
∴FI＝DI，
∵DI＝＝＝4，
∴DF＝2DI＝8，
∴故答案為8．
16．（4分）如圖，曲線l是由函數(shù)y＝在第一象限內(nèi)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到的，過點(diǎn)A（﹣4，4），B（2，2）的直線與曲線l相交于點(diǎn)M、N，則△OMN的面積為　8　．

【分析】由題意A（﹣4，4），B（2，2），可知OA⊥OB，建立如圖新的坐標(biāo)系（OB為x′軸，OA為y′軸，利用方程組求出M、N的坐標(biāo)，根據(jù)S△OMN＝S△OBM﹣S△OBN計(jì)算即可．
【解答】解：∵A（﹣4，4），B（2，2），
∴OA⊥OB，
建立如圖新的坐標(biāo)系，OB為x′軸，OA為y′軸．

在新的坐標(biāo)系中，A（0，8），B（4，0），
∴直線AB解析式為y′＝﹣2x′+8，
由，解得或，
∴M（1，6），N（3，2），
∴S△OMN＝S△OBM﹣S△OBN＝?4?6﹣?4?2＝8，
故答案為8．
三、解答題
17．（6分）計(jì)算：
（1）；
（2）×．
【分析】（1）先化成最簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)二次根式加減法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)和二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，再算加法即可．
【解答】解：（1）﹣
＝3﹣2
＝；

（2）+2×
＝3+2
＝5．
18．（6分）解方程：
（1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；
（2）x2+2x﹣5＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用公式法求解可得．
【解答】解：（1）∵2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（2x﹣3）＝0，
則x﹣1＝0或2x﹣3＝0，
解得x＝1或x＝1.5；

（2）∵a＝，b＝2，c＝﹣5，
∴△＝（2）2﹣4××（﹣5）＝18＞0，
則x＝＝﹣2±3，
即x1＝，x2＝﹣5．
19．（8分）在抗擊“新冠肺炎疫情”的日子里，某校積極開展“停課不停學(xué)”的線上教學(xué)活動(dòng)．為了解全校1200名學(xué)生一周內(nèi)平均每天在家進(jìn)行體育鍛煉時(shí)間的情況，隨機(jī)調(diào)查了該校100名學(xué)生一周內(nèi)平均每天在家進(jìn)行體育鍛煉時(shí)間的情況，結(jié)果如表：
時(shí)間（分）
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
人數(shù)
16
24
14
10
8
6
8
4
6
4
完成下列問題：
（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表信息，寫出這100名學(xué)生一周內(nèi)平均每天在家體育鍛煉時(shí)間的中位數(shù)和眾數(shù)．
（2）請(qǐng)估計(jì)該校一周內(nèi)平均每天在家體育鍛煉時(shí)間不少于35分鐘的學(xué)生大約有多少人？
【分析】（1）找出表格中按大小次序排好后位于中間的數(shù)和出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)即可求解．
（2）借助表格查找時(shí)間不少于35分鐘的學(xué)生的人數(shù)，除以樣本容量，然后乘全校人數(shù)即可求解．
【解答】解：（1）由表格知，中位數(shù)是25，眾數(shù)是20．

（2）×1200＝432（人）．
故估計(jì)該校一周內(nèi)平均每天在家體育鍛煉時(shí)間不少于35分鐘的學(xué)生大約有432人．
20．（8分）如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且AE＝DF．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形．
（2）若∠BAE：∠EAD＝2：3，求∠EAO的度數(shù)．

【分析】（1）證△AEO≌△DFO（AAS），得出OA＝OD，則AC＝BD，即可得出四邊形ABCD是矩形．
（2）由矩形的性質(zhì)得出∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，則∠OAB＝∠OBA，求出∠BAE＝36°，則∠OBA＝∠OAB＝54°，即可得出答案．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AE⊥BD于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，
∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AEO和△DFO中，，
∴△AEO≌△DFO（AAS），
∴OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四邊形ABCD是矩形．
（2）解：由（1）得：四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠BAE：∠EAD＝2：3，
∴∠BAE＝36°，
∴∠OBA＝∠OAB＝90°﹣36°＝54°，
∴∠EAO＝∠OAB﹣∠BAE＝54°﹣36°＝18°．
21．（8分）在水果銷售旺季，某水果店購進(jìn)一種優(yōu)質(zhì)水果，進(jìn)價(jià)為20元/千克，售價(jià)不低于20元/千克，且不超過32元/千克，根據(jù)銷售情況，發(fā)現(xiàn)該水果一天的銷售量（千克）與該天的售價(jià)x（元/千克）滿足的關(guān)系為一次函數(shù)y＝﹣2x+80．
（1）某天這種水果的售價(jià)為23.5元/千克，求當(dāng)天該水果的銷售量；
（2）如果某天銷售這種水果獲利150元，那么該天水果的售價(jià)為多少元？
【分析】（1）把x＝23.5代入函數(shù)式即可求出結(jié)論；
（2）根據(jù)總利潤(rùn)＝每千克利潤(rùn)×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+80．
∴當(dāng)x＝23.5時(shí)，y＝﹣2x+80＝33．
答：當(dāng)天該水果的銷售量為33千克．

（2）根據(jù)題意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，
解得：x1＝35，x2＝25．
∵20≤x≤32，
∴x＝25．
答：如果某天銷售這種水果獲利150元，那么該天水果的售價(jià)為25元．
22．（8分）已知一次函數(shù)y＝（m﹣1）x+m﹣2與反比例函數(shù)y＝（k≠0）．
（1）若一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A（m，﹣1），求m與k的值．
（2）已知點(diǎn)B（x1，y1），C（x2，y2）在該一次函數(shù)圖象上，設(shè)k＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），判斷反比例函數(shù)y＝的圖象所在的象限，說明理由．
【分析】（1）把A（m，﹣1）代入y＝（m﹣1）x+m﹣2，即可求得m的值，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得k的值；
（2）根據(jù)題意可以判斷m﹣1的正負(fù)，從而可以解答本題．
【解答】解：（1）一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A（m，﹣1），
∴﹣1＝m（m﹣1）+m﹣2且m﹣1≠0，
∴m＝﹣1，
∴A（﹣1，﹣1），
∵反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，﹣1），
∴k＝1；
（2）∵點(diǎn)B（x1，y1），C（x2，y2）在該一次函數(shù)圖象上，
∴
①﹣②得y1﹣y2＝（m﹣1）（x1﹣x2），
∵k＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），
∴k＝（m﹣1）（x1﹣x2）2，
∴當(dāng)m＞1時(shí)，k＞0，反比例函數(shù)的圖象在一三象限；當(dāng)m＜1時(shí)，k＜0，反比例函數(shù)的圖象在二四象限．
23．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有大正方形AOBC與小正方形CDEF，其中點(diǎn)A落在y軸上，點(diǎn)B落在x軸上，若反比例函數(shù)y＝（x＞0，k＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，則稱滿足條件的k值為兩正方形的和諧值．已知反比例函數(shù)圖象與AF交于點(diǎn)G，請(qǐng)解答下列各題．
（1）概念理解 若圖中大正方形的邊長(zhǎng)為2，小正方形的邊長(zhǎng)為1，求這兩個(gè)正方形的和諧值．
（2）性質(zhì)探究 記圖中兩正方形面積分別為S1，S2，（S1＞S2），
求證：兩個(gè)正方形的和諧值k＝S1﹣S2．
（3）性質(zhì)應(yīng)用 若圖中大正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)G恰好是AC的三等分點(diǎn)，求小正方形的邊長(zhǎng)．

【分析】（1）如圖1，延長(zhǎng)FE交x軸于點(diǎn)H，則PH⊥x軸，則四邊形AOHF和四邊形DBHE是矩形，求得AF＝OH，EH＝DB，得到E（3，1），于是得到結(jié)論；
（2）設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為a，小正方形的邊長(zhǎng)為b，則同（1）可得，E（a+b，a﹣b），根據(jù)題意即可得到結(jié)論；
（3）①如圖2，當(dāng)AG＝AC時(shí)，此時(shí)，G（2，6），②如圖3，當(dāng)AG＝AC時(shí)，此時(shí)，G（4，6），k＝24，根據(jù)k＝S1﹣S2，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖1，延長(zhǎng)FE交x軸于點(diǎn)H，則PH⊥x軸，

則四邊形AOHF和四邊形DBHE是矩形，
∴AF＝OH，EH＝DB，
由題意得，AC＝BC＝2，CF＝CD＝1，
∴AF＝AC+CF＝3，BD＝BC﹣CD＝1，
即OH＝3，EH＝1，
∴E（3，1），
∴k＝3，
∴兩個(gè)正方形的和諧值為3；
（2）證明：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為a，小正方形的邊長(zhǎng)為b，
則同（1）可得，E（a+b，a﹣b），
∴k＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
∵S1＝a2，S2＝b2，S1﹣S2＝a2﹣b2，
∴k＝S1﹣S2；
（3）①如圖2，當(dāng)AG＝AC時(shí)，此時(shí)，G（2，6），

∴k＝12，
由（2）知k＝S1﹣S2，
∴小正方形的面積S2＝S1﹣12＝62﹣12＝24，
∴小正方形的邊長(zhǎng)為2，
②如圖3，當(dāng)AG＝AC時(shí)，此時(shí)，G（4，6），k＝24，

∵k＝S1﹣S2，
∴小正方形的面積S2＝S1﹣24＝62﹣24＝12，
∴小正方形的邊長(zhǎng)＝2，
綜上所述，小正方形的邊長(zhǎng)為2或2．
24．（12分）類比等腰三角形的定義，我們定義：有三條邊相等的凸四邊形叫做“準(zhǔn)等邊四邊形”．
（1）已知：如圖1，在“準(zhǔn)等邊四邊形”ABCD中，BC≠AB，BD⊥CD，AB＝3，BD＝4，求BC的長(zhǎng)；
（2）在探究性質(zhì)時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論：對(duì)角線互相垂直的“準(zhǔn)等邊四邊形”是菱形．請(qǐng)你判斷此結(jié)論是否正確，若正確，請(qǐng)說明理由；若不正確，請(qǐng)舉出反例；
（3）如圖2，在△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝90°．在AB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P，使得以A，B，C，P為頂點(diǎn)的四邊形為“準(zhǔn)等邊四邊形”．若存在，請(qǐng)求出該“準(zhǔn)等邊四邊形”的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【分析】（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算BC的長(zhǎng)；
（2）正確，根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形可得結(jié)論；
（3）有四種情況：作輔助線，將四邊形分成兩個(gè)三角形和一個(gè)四邊形或兩個(gè)三角形，相加可得結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖1，Rt△ACB中，∵BD＝4，CD＝AB＝3，
∴BC＝＝＝5．

（2）正確，理由是：
如圖3，AB＝AD＝BC，AC⊥BD，

∴AO＝OC，OB＝OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AB＝BC，
∴?ABCD是菱形；

（3）存在四種情況，
①如圖3﹣1，四邊形ABPC是“準(zhǔn)等邊四邊形”，過C作CF⊥PE于F，則∠CFE＝90°，

∵EP是AB的垂直平分線，
∴∠AEF＝∠A＝90°，
∴四邊形AEFC是矩形，
Rt△ABC中，AC＝BC＝，
∴BC＝＝＝2，
∴CF＝AE＝BE＝，
∵AB＝PC＝，
∴PF＝＝＝，
∴S四邊形ABPC＝S△BEP+S矩形AEFC+S△CFP，
＝××（+）+×+××
＝++1+
＝．
②如圖3﹣2，四邊形APBC是“準(zhǔn)等邊四邊形”，

∵AP＝BP＝AC＝＝AB，
∴△ABP是等邊三角形，
∴S四邊形ACBP＝S△APB+S△ABC＝×（）2+××＝+1；
③如圖3﹣3，四邊形ACBP是“準(zhǔn)等邊四邊形”，

∵AP＝BP＝BC＝2，
∵PE是AB的垂直平分線，
∴PD⊥AB，E是AB的中點(diǎn)，
∴BE＝AB＝，
∴PE＝＝＝，
∴S四邊形ACBP＝S△APB+S△ABC＝××+××＝+1；
④如圖3﹣4，四邊形ABPC是“準(zhǔn)等邊四邊形”，過P作PF⊥AC于F，連接AP，

∵AB＝AC＝PB＝，
∴PE＝，
S四邊形ABPC＝S△APB+S△APC＝××+××＝．
綜上所述，滿足條件的四邊形的面積為：或或 或 ．


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