小題專練16 一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(考點:集合,★)已知集合A={x∈Z|-1≤x≤1},則集合A的非空真子集的個數為(    ).A.4      B.5      C.6      D.72.(考點:復數,★)復數z=(其中i為虛數單位)在復平面內對應的點在(    ).A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.(考點:三角函數的性質,★)已知f(x)=sinωx+的最小正周期為π,則f(x)的單調遞增區(qū)間為(    ).A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z4.(考點:古典概型,★)已知5件產品中有2件次品,其余為合格品.現從這5件產品中任取2件,2件產品均為合格品的概率為(    ).A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.75.(考點:等差數列,★)在等差數列{an}中,a4,a8是方程x2-4x+1=0的兩個實根,則a6=(    ).A.-4   B.4   C.-2   D.26.(考點:函數的基本性質,★★)已知函數f(x)=x3,則不等式f(log2m)<27的解集為(    ).A.(0,8) B.(log23,8)C. D.(0,log23)7.(考點:與球有關的計算,★★)已知圓柱的體積為6π,側面積為4π,則該圓柱外接球的半徑為(    ).A.1 B.2 C.3 D.48.(考點:函數圖象的判斷,★★)已知函數f(x)=x,則函數f(x)的導函數f'(x)的圖象大致是(    ).二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得3分,有選錯的得0分.9.(考點:排列組合,★★)某市為了了解各學校的教學工作,決定從3名男調研員和2名女調研員中選派4人到甲、乙、丙三所學校進行視察,則下列說法正確的是(    ).A.若甲地需要選派2人且有1名為女調研員,乙地和丙地各需要選派1人,則不同的選派方法有36種B.若甲地需要選派2人且有1名為女調研員,乙地和丙地各需要選派1人,則不同的選派方法有18種C.若甲地需要選派2名女調研員,乙地和丙地各需要選派1人,則不同的選派方法有12種D.若甲地需要選派2名女調研員,乙地和丙地各需要選派1人,則不同的選派方法有6種10.(考點:橢圓,★★)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率為,長軸長為6,F,F'分別是橢圓的左、右焦點,A(1,1)是一個定點,P是橢圓E上的動點,則下列說法正確的是(    ).A.|PF|+|PF'|=6B.橢圓E的標準方程為+=1C.|AF'|=2D.|PA|+|PF|的最大值為6+11.(考點:立體幾何的綜合運用,★★)如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥BC,E是PC的中點,PA=AC,若△ABC是邊長為2的等邊三角形,PC=2,則下列說法正確的是(    ).A.PA⊥ACB.AE=C.PA⊥ABD.異面直線AE和PB所成的角的余弦值為12.(考點:函數與導數的綜合運用,★★★)已知函數f(x)=aln x+(a>0),則下列說法正確的是(    ).A.函數f(x)的單調遞增區(qū)間為B.函數f(x)的極小值為a-aln aC.函數f(x)無極大值D.函數f(x)在[1,e]上的最小值可能為0三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(考點:三角恒等變換,★)sin 73°cos 28°+cos 73°·cos 118°的值為        . 14.(考點:線性回歸,★★)下表是隨機調查的5個家庭年收入與支出情況:收入x(萬元)8.28.610.011.311.9支出y(萬元)6.27.58.08.59.8運用最小二乘法得線性回歸方程為=0.76x+a,則a=        . 15.(考點:直線和圓的綜合,★★★)在圓x2+y2-2x-6y=0內,過點E(0,1)的最長弦的長為        ,最短弦的長為        . 16.(考點:新定義題型,★★★)設函數f(x)的定義域為D,如果?x∈D,?y∈D,使得f(x)=-f(y)成立,那么稱函數f(x)為“Ω函數”.給出下列四個函數:①f(x)=cos x;②f(x)=;③f(x)=ex;④f(x)=log2x.其中是“Ω函數”的序號為        .          答案解析：1.(考點:集合,★)已知集合A={x∈Z|-1≤x≤1},則集合A的非空真子集的個數為(    ).A.4      B.5      C.6      D.7【解析】由題意知A={x∈Z|-1≤x≤1}={-1,0,1},則集合A的非空真子集的個數為23-2=6.故選C.【答案】C2.(考點:復數,★)復數z=(其中i為虛數單位)在復平面內對應的點在(    ).A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】z===2+2i,故z在復平面內對應的點在第一象限.【答案】A3.(考點:三角函數的性質,★)已知f(x)=sinωx+的最小正周期為π,則f(x)的單調遞增區(qū)間為(    ).A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z【解析】因為f(x)=sin的最小正周期為π,所以ω=2,令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以f(x)的單調遞增區(qū)間是,k∈Z.【答案】A4.(考點:古典概型,★)已知5件產品中有2件次品,其余為合格品.現從這5件產品中任取2件,2件產品均為合格品的概率為(    ).A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.7【解析】從5件產品中任取2件有=10種情況,其中兩件產品均為合格品的情況有=3種,所求概率P==0.3.故選B.【答案】B5.(考點:等差數列,★)在等差數列{an}中,a4,a8是方程x2-4x+1=0的兩個實根,則a6=(    ).A.-4 B.4 C.-2 D.2【解析】因為a4,a8是方程x2-4x+1=0的兩個實根,所以a4+a8=4.又a4+a8=2a6,所以a6=2.【答案】D6.(考點:函數的基本性質,★★)已知函數f(x)=x3,則不等式f(log2m)<27的解集為(    ). A.(0,8) B.(log23,8)C. D.(0,log23)【解析】因為f(x)=x3,所以f(log2m)<27等價于f(log2m)<f(3),因為f(x)在定義域內單調遞增,所以log2m<3,解得0<m<8.【答案】A7.(考點:與球有關的計算,★★)已知圓柱的體積為6π,側面積為4π,則該圓柱外接球的半徑為(    ).A.1 B.2 C.3 D.4【解析】設圓柱的底面半徑為r,高為h.因為圓柱的體積為6π,側面積為4π,所以πr2h=6π,2πrh=4π,解得h=2,r=.如圖,由題意知圓柱的中心O為這個球的球心,于是,球的半徑r=OB===2.【答案】B8.(考點:函數圖象的判斷,★★)已知函數f(x)=x,則函數f(x)的導函數f'(x)的圖象大致是(    ).【解析】因為f(x)=x,所以g(x)=f'(x)=ln x-x2,當x→+∞時,g(x)→-∞,排除A、C.g'(x)=-=(x>0),由g'(x)>0得0<x<,此時函數g(x)為增函數,由g'(x)<0得x>,此時函數g(x)為減函數,即當x=時,函數g(x)取得極大值,同時也是最大值,最大值為g()=ln 2-<0,排除B.故選D.【答案】D 二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得3分,有選錯的得0分.9.(考點:排列組合,★★)某市為了了解各學校的教學工作,決定從3名男調研員和2名女調研員中選派4人到甲、乙、丙三所學校進行視察,則下列說法正確的是(    ).A.若甲地需要選派2人且有1名為女調研員,乙地和丙地各需要選派1人,則不同的選派方法有36種B.若甲地需要選派2人且有1名為女調研員,乙地和丙地各需要選派1人,則不同的選派方法有18種C.若甲地需要選派2名女調研員,乙地和丙地各需要選派1人,則不同的選派方法有12種D.若甲地需要選派2名女調研員,乙地和丙地各需要選派1人,則不同的選派方法有6種【解析】若甲地選派2人且有1名為女調研員,先考慮甲地,有種方法,后考慮乙、丙兩地,有種方法,共有=36種方法;若甲地選派2名女調研員,則甲地有種方法,乙、丙兩地有種方法,共有=6種方法.綜上,AD正確.【答案】AD10.(考點:橢圓,★★)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率為,長軸長為6,F,F'分別是橢圓的左、右焦點,A(1,1)是一個定點,P是橢圓E上的動點,則下列說法正確的是(    ).A.|PF|+|PF'|=6B.橢圓E的標準方程為+=1C.|AF'|=2D.|PA|+|PF|的最大值為6+【解析】由題意知2a=6,e==,所以c=2,b=,F(-2,0).則|PF|+|PF'|=6,所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF'|+6.當P,A,F'三點共線且F'在P,A兩點之間時,|PA|-|PF'|取得最大值,最大值為|AF'|=,所以|PA|+|PF|的最大值為6+.綜上,ABD正確.【答案】ABD11.(考點:立體幾何的綜合運用,★★)如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥BC,E是PC的中點,PA=AC,若△ABC是邊長為2的等邊三角形,PC=2,則下列說法正確的是(    ).A.PA⊥ACB.AE=C.PA⊥ABD.異面直線AE和PB所成的角的余弦值為【解析】取BC的中點F,連接EF,AF,則EF∥PB,∠AEF(或其補角)就是異面直線AE和PB所成的角,因為△ABC是邊長為2的等邊三角形,PA=AC,PC=2,所以PA2+AC2=PC2,所以PA⊥AC,又PA⊥BC,AC∩BC=C,所以PA⊥平面ABC,又AB?平面ABC,所以PA⊥AB,又PA=AB=AC=2,所以AF=,AE=,EF=.cos∠AEF===,即異面直線AE和PB所成的角的余弦值為.綜上,AC正確.【答案】AC12.(考點:函數與導數的綜合運用,★★★)已知函數f(x)=aln x+(a>0),則下列說法正確的是(    ).A.函數f(x)的單調遞增區(qū)間為B.函數f(x)的極小值為a-aln aC.函數f(x)無極大值D.函數f(x)在[1,e]上的最小值可能為0【解析】由題意知函數f(x)的定義域為{x|x>0},f'(x)=-=(a>0).由f'(x)>0,解得x>,所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為;由f'(x)<0,解得0<x<,所以函數f(x)的單調遞減區(qū)間為.所以當x=時,函數f(x)取得極小值,極小值為f=aln +a=a-aln a,無極大值.①當0<≤1,即a≥1時,函數f(x)在[1,e]上為增函數,故函數f(x)的最小值為f(1)=aln 1+1=1,顯然1≠0,故不滿足條件.②當1<≤e,即≤a<1時,函數f(x)在上單調遞減,在上單調遞增,故函數f(x)的最小值為f=aln +a=a-aln a=0,即ln a=1,解得a=e,而≤a<1,故不滿足條件.③當>e,即0<a<時,函數f(x)在[1,e]上單調遞減,故函數f(x)的最小值為f(e)=aln e+=a+=0,即a=-,而0<a<,故不滿足條件.綜上所述,可知函數f(x)在[1,e]上的最小值不可能為0.【答案】BC三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(考點:三角恒等變換,★)sin 73°cos 28°+cos 73°·cos 118°的值為        . 【解析】sin 73°cos 28°+cos 73°cos 118°=sin 73°·cos 28°+cos 73°(-sin 28°)=sin 45°=.【答案】14.(考點:線性回歸,★★)下表是隨機調查的5個家庭年收入與支出情況:收入x(萬元)8.28.610.011.311.9支出y(萬元)6.27.58.08.59.8 運用最小二乘法得線性回歸方程為=0.76x+a,則a=        .      【解析】因為=10.0,=8.0,又回歸直線必經過樣本點的中心,所以8=0.76×10+a,解得a=0.4.【答案】0.415.(考點:直線和圓的綜合,★★★)在圓x2+y2-2x-6y=0內,過點E(0,1)的最長弦的長為        ,最短弦的長為        . 【解析】把圓的方程化為標準方程得(x-1)2+(y-3)2=10,則圓心M的坐標為(1,3),圓的半徑為,根據題意畫出圖象,如圖所示.由圖象可知,過點E的最長弦為直徑AC,最短弦為過點E與直徑AC垂直的弦BD,則AC=2,MB=,ME==,所以BD=2BE=2=2.【答案】2  216.(考點:新定義題型,★★★)設函數f(x)的定義域為D,如果?x∈D,?y∈D,使得f(x)=-f(y)成立,那么稱函數f(x)為“Ω函數”.給出下列四個函數:①f(x)=cos x;②f(x)=;③f(x)=ex;④f(x)=log2x.其中是“Ω函數”的序號為        . 【解析】①令y=π-x,則cos x+cos y=0,所以f(x)=cos x是“Ω函數”.②因為f(x)=是奇函數,所以f(x)=-f(-x),即當y=-x時,f(x)=-f(y)成立,故f(x)=是“Ω函數”.③因為f(x)=ex>0,所以f(x)+f(y)=0不成立,所以f(x)=ex不是“Ω函數”.④對于f(x)=log2x,若f(x)+f(y)=0成立,則log2x+log2y=0,解得y=,即當y=時,f(x)+f(y)=0成立,故f(x)=log2x是“Ω函數”.綜上可知,①②④是“Ω函數”.【答案】①②④ 

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