2020屆江蘇省鹽城中學高三年級第二次階段性質(zhì)量檢測（12月） 數(shù)學試題   一、填空題1．設(shè)集合，，若，則______ .【答案】4【解析】由，所以，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，集合，，因為，所以，故.故答案為.【點睛】本題主要考查了利用集合的運算求解參數(shù)問題，其中解答中熟記集合交集的概念，得到是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于容易題.2．已知復數(shù)，則復數(shù)的虛部為________.【答案】【解析】先由復數(shù)的除法運算，化簡，再由共軛復數(shù)的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以其共軛復數(shù)為，因此其虛部為：故答案為：【點睛】本題主要考查求復數(shù)的共軛復數(shù)，熟記共軛復數(shù)的概念，以及復數(shù)的除法運算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.3．函數(shù)的定義域是________.【答案】【解析】根據(jù)函數(shù)解析式，列出不等式求解，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，可得：，即，解得：.即函數(shù)的定義域為故答案為：【點睛】本題主要考查求具體函數(shù)的定義域，只需求出使解析式有意義的自變量的范圍即可，屬于基礎(chǔ)題型.4．設(shè)，則“”是“直線與直線垂直”的______條件.【答案】充分不必要條件【解析】先由兩直線垂直求出，再根據(jù)充分條件與必要條件的概念，即可判斷出結(jié)果.【詳解】若直線與直線垂直，則，解得：；所以由“”能推出“直線與直線垂直”，由“直線與直線垂直”不能推出“”；即“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故答案為：充分不必要條件【點睛】本題主要考查充分不必要條件的判斷，熟記充分條件與必要條件的概念，以及兩直線垂直的判定條件即可，屬于?？碱}型.5．在平面直角坐標系中，拋物線上縱坐標為1的一點到焦點的距離為3，則焦點到準線的距離為__________．【答案】4【解析】試題分析：因為，拋物線上縱坐標為1的一點到焦點的距離為3，即1+=3，所以，=2，焦點到準線的距離為p=4.【考點】拋物線的定義，拋物線的幾何性質(zhì)。點評：簡單題，對于拋物線上的點（x，y），其到焦點的距離為x+.6．設(shè)曲線的圖象在點(1，)處的切線斜率為2，則實數(shù)a的值為_______．【答案】3【解析】首先對函數(shù)求導，根據(jù)函數(shù)圖象在某個點處的切線的斜率就是函數(shù)在該點處的導數(shù)，從而將相應的量代入，求得結(jié)果.【詳解】函數(shù)，可得，所以切線的斜率為，解得，故答案是3.【點睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)圖象在某個點處的切線的斜率問題，涉及到的知識點有導數(shù)的幾何意義，根據(jù)題意，得到參數(shù)所滿足的等量關(guān)系，求得結(jié)果，屬于簡單題目.7．已知實數(shù)x,y滿足條件，則的最大值為________.【答案】【解析】先由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為，則目標函數(shù)表示直線在軸截距，結(jié)合圖像，即可得出結(jié)果.【詳解】由約束條件作出可行域如下，目標函數(shù)可化為，因此目標函數(shù)表示直線在軸截距，由圖像可得：當直線過點時，在軸截距最大，即取得最大值.由得，即，因此.故答案為：【點睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題，只需由約束條件作出可行域，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義，結(jié)合圖像即可求解，屬于?？碱}型.8．在平面直角坐標系中，已知焦距為的雙曲線的右準線與它的兩條漸近線分別相交于點，其焦點為，則四邊形的面積的最大值為____________.【答案】【解析】先由焦距為，得，由雙曲線方程，得到漸近線方程為，右準線方程為，不妨設(shè)為右準線與漸近線的交點，根據(jù)方程求出點坐標，同理，得到點坐標，再由題意得到四邊形的面積為，根據(jù)三角形面積公式，以及基本不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為雙曲線焦距為，即，，又雙曲線的漸近線方程為，右準線方程為：，不妨設(shè)為右準線與漸近線的交點，由解得：，同理因此四邊形的面積為，當且僅當時，等號成立.故答案為：【點睛】本題主要考查求雙曲線中四邊形面積的最值問題，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.9．在直角三角形中，，，若，則           ．【答案】．【解析】試題分析：因為，所以應填．【考點】1、平面向量的數(shù)量積的應用；10．若點在直線上，則的值為________.【答案】【解析】先由題意，得到，即，再由，根據(jù)二倍角公式，以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系，通過弦化切，即可求出結(jié)果.【詳解】因為點在直線上，所以，因此，所以故答案為：【點睛】本題主要考查三角恒等變換求值的問題，熟記同角三角函數(shù)基本關(guān)系，以及二倍角公式，兩角和的余弦公式等即可，屬于常考題型.11．已知均為等比數(shù)列，其前n項和分別為，若對任意的，總有，則________.【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比分別為，根據(jù)題意，得到，求解，得，進而可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比分別為，則，，因為分別為的前n項和，且，所以，即，即，解得：，所以故答案為：【點睛】本題主考查等比數(shù)列的基本量的運算，熟記等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可，屬于?？碱}型.12．已知函數(shù)，若函數(shù)有5個零點，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】或.【解析】先用導數(shù)的方法，判斷出函數(shù)在的單調(diào)性，求出極值，在根據(jù)指數(shù)單調(diào)性判斷時，函數(shù)的單調(diào)性；作出函數(shù)大致圖像；將函數(shù)的零點個數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為與或的交點個數(shù)來處理，結(jié)合函數(shù)圖像，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，當時，，則，由得；由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；此時有極大值；當時，顯然單調(diào)遞減；作出函數(shù)的大致圖像如下：由得或，因為函數(shù)有5個零點，所以與或共有5個交點，由圖像可得：只需或，即或.故答案為：或.【點睛】本題主要考查由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)，熟記導數(shù)的方法判斷函數(shù)單調(diào)性，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，以及數(shù)形結(jié)合的方法判斷函數(shù)零點個數(shù)即可，屬于?？碱}型.13．在平面直角坐標系中，已知點，、為圓上的兩動點，且，若圓上存在點，使得，則的取值范圍為________.【答案】【解析】取中點為，連接，得到，由得到，再由、為圓上的兩動點，且，得到，設(shè)，求出點的軌跡，再由點與圓位置關(guān)系，求出的取值范圍，即可求出結(jié)果.【詳解】取中點為，連接，則，又圓上存在點，使得，所以，因此，即；因為、為圓上的兩動點，且，所以，設(shè) ，則，即即為動點的軌跡；所以表示圓上的點與定點之間的距離，因此，即.即.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量與圓的方程的綜合，熟記平面向量基本定理，點與圓位置關(guān)系，會求圓上的點到定點的距離即可，屬于?？碱}型.14．已知的面積為,且滿足，則邊的最小值為_______.【答案】【解析】將正切化成正余弦，化簡得出b，c和sinA之間的關(guān)系，結(jié)合面積公式即可得出b2關(guān)于A的函數(shù)式，再根據(jù)A的范圍計算b的最小值，即可得AC的最小值．【詳解】∵，∴，∴4cosAsinB+3cosBsinA＝sinAsinB，∴3cosAsinB+3cosBsinA＝sinAsinB﹣cosAsinB，即3sin（A+B）＝sinB（sinA﹣cosA），即3sinC＝sinB（sinA﹣cosA），∴3c＝b（sinA﹣cosA），即c，∵△ABC的面積S＝bcsinA＝＝（sin2A﹣cosAsinA）＝（1﹣sin2A﹣cos2A）＝，∴b2＝，∵3c＝b（sinA﹣cosA）＞0，且0＜A＜π，∴，∴當即A＝時，b2取得最小值＝12，∴b的最小值為，即AC最小值為．故答案為．【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系、正弦定理、面積公式、兩角和的正弦公式、以及正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題. 二、解答題15．（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問7分，（Ⅱ）小問6分）已知函數(shù)f（x）=sin2x- .（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值，（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖像上每一點的橫坐標伸長到原來的兩倍，縱坐標不變，得到函數(shù)g（x）的圖像.當x 時，求g（x）的值域.【答案】（Ⅰ）的最小正周期為，最小值為，（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）首先用降冪公式將函數(shù)的解析式化為的形式，從而就可求出的最小周期和最小值，（Ⅱ）由題目所給變換及（Ⅰ）的化簡結(jié)果求出函數(shù)的表達式，再由并結(jié)合正弦函數(shù)的圖象即可求出其值域．試題解析： （1）,因此的最小正周期為，最小值為.（2）由條件可知：.當時，有，從而的值域為，那么的值域為.故在區(qū)間上的值域是.【考點】1. 三角恒等變換，2.正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，3.三角函數(shù)圖象變換. 16．已知△中，，，. 求：（1）角的大小；（2）△ABC中最小邊的邊長.【答案】（1）（2）【解析】（1）由內(nèi)角和定理，以及誘導公式化簡tanC，將tanA與tanB代入值代入求出tanC的值，即可確定出C的度數(shù)；（2）由tanA與tanB的大小判斷出BC為最小邊，由tanA的值，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出sinA的值，利用正弦定理求出BC的長．【詳解】解：(1)= –= – ，所以，(2)因為，所以最小角為又因為，所以， ，又，所以 ．【點睛】此題考查了正弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．17．從金山區(qū)走出去的陳馳博士，在《自然—可持續(xù)性》雜志上發(fā)表的論文中指出：地球正在變綠，中國通過植樹造林和提高農(nóng)業(yè)效率，在其中起到了主導地位．已知某種樹木的高度(單位：米)與生長年限（單位：年，t?N）滿足如下的邏輯斯蒂函數(shù)：，其中e為自然對數(shù)的底數(shù). 設(shè)該樹栽下的時刻為0. （1）需要經(jīng)過多少年，該樹的高度才能超過5米？（精確到個位）（2）在第幾年內(nèi)，該樹長高最快？【答案】（1）8年（2）第四年內(nèi)或第五年內(nèi)【解析】（1）解不等式f（t）>5，即可（2）利用作差法求出f（t）﹣f（t﹣1）的表達式，判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值即可．【詳解】解：(1) 令5，解得，即需要經(jīng)過8年，該樹的高度才能超過5米； (2) 當N時，設(shè)，則，.令，則.上式當且僅當時，取得最大值此時，，即，解得.由于要求為正整數(shù)，故樹木長高最快的可能值為4或5， 又，，所以，該樹在第四年內(nèi)或第五年內(nèi)長高最快．【點睛】本題主要考查函數(shù)的應用問題，利用作差法判斷函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．考查學生的計算能力．18．已知橢圓：， 過點的直線：與橢圓交于M、N兩點（M點在N點的上方），與軸交于點E. （1）當且時，求點M、N的坐標；（2）當時，設(shè)，，求證：為定值，并求出該值；（3）當時，點D和點F關(guān)于坐標原點對稱，若△MNF的內(nèi)切圓面積等于，求直線的方程.【答案】（1）M(0，1)，N (，)；（2）為定值3（3）【解析】（1）代值聯(lián)立方程組．解得即可求出，（2）聯(lián)立方程，利用韋達定理，以及向量的知識可得從而，化簡整理即可證明，（3）假設(shè)存在直線l：y＝k（x+1）滿足題意，則△MNF的內(nèi)切圓的半徑為，根據(jù)韋達定理，弦長公式，三角形的面積公式，即可求出k的值【詳解】解：(1) 當m=k=1時，聯(lián)立，解之得：或， 即M(0，1)，N (，)；(2) 當m=2時聯(lián)立，消去y得：，設(shè)M(x1，y1)，N (x2，y2)，則， 由，，且點的橫坐標為0，得、. 從而 ==，為定值3；(3) 當m=3時，橢圓：，假設(shè)存在直線滿足題意，則△的內(nèi)切圓的半徑為，又、為橢圓的焦點，故△MNF的周長為8，從而，消去，得，設(shè)、，則.故，即.由(2)，得，化簡，得，解得， 故存在直線滿足題意．【點睛】本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、韋達定理、三角形面積計算公式、考查了推理能力與計算能力，屬于難題．19．設(shè)函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在正數(shù)，使得當時，，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）【解析】分析：函數(shù)求導得，討論，由導數(shù)的正負求單調(diào)區(qū)間即可；（2）若，分析函數(shù)可知，即，設(shè)，，討論和兩種情況，知成立，時不成立，時，存在，使得當時，，可化為，即，設(shè)，分析和求解即可.詳解：（1）．當時，，上單調(diào)遞增．當時，若，則，若，則；所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． （2）若，在內(nèi)單調(diào)遞增，當時，，所以，即.設(shè)，.若，時，，在單調(diào)遞增.所以當時，，故存在正數(shù)，使得當時，.若，當時，，在單調(diào)遞減，因為，所以.故不存在正數(shù)，使得當時，.若，在單調(diào)遞減，因為，所以存在，使得當時，，可化為，即.設(shè)，.若，則時，，在單調(diào)遞增，又，所以時，.故不存在正數(shù)，使得當時，.當時，當時，，在單調(diào)遞減，又，所以.故存在，使得當時，.綜上，實數(shù)的取值范圍為．點睛：點睛：導數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可轉(zhuǎn)化為（需在同一處取得最值） .20．數(shù)列滿足對任意的恒成立，為其前n項的和，且，.（1）求數(shù)列的通項；（2）數(shù)列滿足，其中.①證明：數(shù)列為等比數(shù)列；②求集合【答案】（1）；（2）①過程見詳解；②.【解析】（1）先由題意，得到數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，根據(jù)題中條件，求出首項與公差，進而可求出通項公式；（2）①根據(jù)（1）的結(jié)果，將化為，得到（），兩式作差整理，得到，進而可求出，判斷出結(jié)果；②先由得到，即，判斷出，得到，設(shè)，得到，分別研究對應的情況，再由導數(shù)的方法證明當，時， ，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因為數(shù)列滿足對任意的恒成立，所以數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，因為，，所以，解得：，因此；（2）①因為數(shù)列滿足，，所以（），兩式作差可得：（），又也滿足上式，所以，記數(shù)列的前項和為，則，當時，，兩式作差可得：，所以，即，所以，因此，即數(shù)列為等比數(shù)列；②由得，即，記，由①得，所以，因此（當且僅當時等號成立）.由得，所以.設(shè)，由得，即；當時，，不符合題意；當時，，此時符合題意；當時，，不符合題意；當時，，不符合題意，下面證明當，時， ，不妨設(shè)，則在上恒成立，所以在單調(diào)遞增；所以，所以，當，時， 恒成立，不符合題意；綜上，集合.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，熟記等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，以及求和公式，會判斷數(shù)列的增減性等即可，屬于?？碱}型. 

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