1．（3分）方程x2+x﹣12＝0的兩個(gè)根為（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝6B．x1＝﹣6，x2＝2C．x1＝﹣3，x2＝4D．x1＝﹣4，x2＝3
2．（3分）大約在兩千四五百年前，如圖1墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個(gè)小孔成倒像的實(shí)驗(yàn)．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長(zhǎng)，說(shuō)在端”．如圖2所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是6cm，則蠟燭火焰的高度是（ ）
A．3cmB．4cmC．6cmD．9cm
3．（3分）要得到拋物線y＝（x﹣6）2﹣3，可以將拋物線y＝x2（ ）
A．向左平移6個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位
B．向左平移6個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位
C．向右平移6個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位
D．向右平移6個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位
4．（3分）如圖，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，BC經(jīng)過(guò)圓心．若∠B＝25°，則∠C的大小等于（ ）
A．20°B．25°C．40°D．50°
5．（3分）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為13，對(duì)角線AC＝24，點(diǎn)E、F分別是邊CD、BC的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，則EG＝（ ）
A．13B．10C．12D．5
6．（3分）圖2是圖1中長(zhǎng)方體的三視圖，若用S表示面積，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，則S俯＝（ ）
A．x2+3x+2B．x2+2C．x2+2x+1D．2x2+3x
7．（3分）如圖，點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，將∠ACB平移使其頂點(diǎn)與I重合，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為（ ）
A．4.5B．4C．3D．2
8．（3分）如圖①，正方形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E是OD的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿著E→O→B→A的路徑以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，在此過(guò)程中線段AP的長(zhǎng)度y隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，則AB的長(zhǎng)為（ ）
A．4B．4C．3D．2
9．（3分）如圖，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，……是分別以B1，B2，B3，…為直角頂點(diǎn)，斜邊在x軸正半軸上的等腰直角三角形，其直角頂點(diǎn)B1（x1，y1），B2（x2，y2），B3（x3，y3），…均在反比例函數(shù)的圖象上，則y1+y2+…+y10的值為（ ）
A．B．6C．D．
10．（3分）若二次函數(shù)y＝a2x2﹣bx﹣c的圖象，過(guò)不同的六點(diǎn)A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、D（，y1）、E（2，y2）、F（3，y3），則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y2＜y1＜y3
11．（3分）如圖，在矩形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，EF過(guò)O點(diǎn)且EF⊥AC分別交DC于F，交AB于E，點(diǎn)G是AE中點(diǎn)且∠AOG＝30°，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（ ）
（1）DC＝3OG；（2）OG＝BC；（3）△OGE是等邊三角形；（4）S△AOE＝S矩形ABCD．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
12．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是x＝1，下列結(jié)論：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，
正確的有（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）
13．（4分）△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣csB）2＝0，則∠C＝ 度．
14．（4分）如圖表示一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，如果水的最大深度CD為2m，水面寬AB為8m，則輸水管的半徑為 m．
15．（4分）如果關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，那么的值為 ．
16．（4分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），將△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ．
17．（4分）如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)A向x軸作垂線交x軸于點(diǎn)C，B為線段AC的中點(diǎn)，又D點(diǎn)在x軸上，且OD＝3OC，則△OBD的面積為 ．
18．（4分）如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，AD＝DB，BE⊥DC于E，連接AE并延長(zhǎng)交BC于F，以下說(shuō)法正確的有 ．
①BE2＝DE?EC，②EA＝EB，③AE：EF＝3：2，④FC2＝FE?FA
三、解答題（共7道大題，滿分60分）
19．（8分）如圖，放置在水平桌面上的臺(tái)燈的燈臂AB長(zhǎng)為30cm，燈罩BC長(zhǎng)為20cm，底座厚度為2cm，燈臂與底座構(gòu)成的∠BAD＝60°．使用發(fā)現(xiàn)，光線最佳時(shí)燈罩BC與水平線所成的角為30°，此時(shí)燈罩頂端C到桌面的高度CE是多少cm？（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）
20．（8分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．連接AO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD．過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，與BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．
（1）求證：AD∥EC；
（2）若AB＝12，求線段EC的長(zhǎng)．
21．（8分）閱讀材料：已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求的值．
解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0，可知p≠0，q≠0．
又∵pq≠1，∴p≠．
∵1﹣q﹣q2＝0可變形為（）2﹣（）﹣1＝0．
根據(jù)p2p﹣1＝0和（）2﹣（）﹣1＝0的特征．
∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則p+＝1，即＝1．
根據(jù)閱讀材料所提供的方法，完成下面的解答．
已知：2m2﹣5m﹣1＝0，+﹣2＝0且m≠n，求
（1）mn的值；
（2）+．
22．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝﹣x+b的圖象與函數(shù)y＝（x＜0）的圖象相交于點(diǎn)A（﹣1，6），并與x軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D是線段AC上一點(diǎn)，△ODC與△OAC的面積比為2：3．
（1）k＝ ，b＝ ；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）若將△ODC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△OD'C'，其中點(diǎn)D'落在x軸負(fù)半軸上，判斷點(diǎn)C'是否落在函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上，并說(shuō)明理由．
23．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC是對(duì)角線，∠CAB＝90°，以點(diǎn)A為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑作⊙A，交BC邊于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接DE．
（1）求證：DE與⊙A相切；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求陰影部分的面積．
24．（10分）在一次數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中，小兵將兩個(gè)全等的直角三角形紙片ABC和DEF拼在一起，使點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合（如圖1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并進(jìn)行如下研究活動(dòng)．
活動(dòng)一：將圖1中的紙片DEF沿AC方向平移，連接AE，BD（如圖2），當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)停止平移．
【思考】圖2中的四邊形ABDE是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【發(fā)現(xiàn)】當(dāng)紙片DEF平移到某一位置時(shí)，小兵發(fā)現(xiàn)四邊形ABDE為矩形（如圖3）．求AF的長(zhǎng)．
活動(dòng)二：在圖3中，取AD的中點(diǎn)O，再將紙片DEF繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α度（0≤α≤90），連接OB，OE（如圖4）．
【探究】當(dāng)EF平分∠AEO時(shí)，探究OF與BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
25．（10分）已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
題（滿分20分）
26．（4分）如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE＝DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是 ．
27．（4分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸和y軸，，∠AOB的角平分線與OA的垂直平分線交于點(diǎn)C，與AB交于點(diǎn)D，反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)C，當(dāng)以CD為邊的正方形的面積為時(shí)，k的值為 ．
28．（12分）已知拋物線y＝x2+bx+c的頂點(diǎn)為P，與y軸交于點(diǎn)A，與直線OP交于點(diǎn)B．
（1）如圖甲，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，6），
①試確定拋物線的解析式；
②若當(dāng)m≤x≤3時(shí)，y＝x2+bx+c的最小值為2，最大值為6，求m的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，若M點(diǎn)是直線AB下方拋物線上的一點(diǎn)，且S△ABM≥3，求M點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；
（3）如圖乙，若點(diǎn)P在第一象限，且PA＝PO，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，將拋物線y＝x2+bx+c平移，平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，試探究四邊形OABC的形狀，并說(shuō)明理由．
2021年山東省棗莊市薛城區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：每小題3分，共計(jì)36分。
1．（3分）方程x2+x﹣12＝0的兩個(gè)根為（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝6B．x1＝﹣6，x2＝2C．x1＝﹣3，x2＝4D．x1＝﹣4，x2＝3
【分析】將x2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4＝0或x﹣3＝0即可得出結(jié)論．
【解答】解：x2+x﹣12＝（x+4）（x﹣3）＝0，
則x+4＝0，或x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝3．
故選：D．
2．（3分）大約在兩千四五百年前，如圖1墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個(gè)小孔成倒像的實(shí)驗(yàn)．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長(zhǎng)，說(shuō)在端”．如圖2所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是6cm，則蠟燭火焰的高度是（ ）
A．3cmB．4cmC．6cmD．9cm
【分析】直接利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解答．
【解答】解：設(shè)蠟燭火焰的高度是xcm，
由相似三角形的性質(zhì)得到：＝．
解得x＝4．
即蠟燭火焰的高度是4cm．
故選：B．
3．（3分）要得到拋物線y＝（x﹣6）2﹣3，可以將拋物線y＝x2（ ）
A．向左平移6個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位
B．向左平移6個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位
C．向右平移6個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位
D．向右平移6個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位
【分析】找到兩個(gè)拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)即可判斷是如何平移得到．
【解答】解：∵y＝（x﹣6）2﹣3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（6，﹣3），y＝x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），
∴將拋物線y＝x2向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到拋物線y＝（x﹣6）2﹣3．
故選：D．
4．（3分）如圖，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，BC經(jīng)過(guò)圓心．若∠B＝25°，則∠C的大小等于（ ）
A．20°B．25°C．40°D．50°
【分析】連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)，即可求得∠C的度數(shù)．
【解答】解：如圖，連接OA，
∵AC是⊙O的切線，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB＝25°，
∴∠AOC＝50°，
∴∠C＝40°．
故選：C．
5．（3分）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為13，對(duì)角線AC＝24，點(diǎn)E、F分別是邊CD、BC的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，則EG＝（ ）
A．13B．10C．12D．5
【分析】連接對(duì)角線BD，交AC于點(diǎn)O，證四邊形BDEG是平行四邊形，得EG＝BD，利用勾股定理求出OD的長(zhǎng)，BD＝2OD，即可求出EG．
【解答】解：連接BD，交AC于點(diǎn)O，如圖：
∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為13，點(diǎn)E、F分別是邊CD、BC的中點(diǎn)，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的對(duì)角線，AC＝24，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∴四邊形BDEG是平行四邊形，
∴BD＝EG，
在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，
∴OB＝OD＝＝5，
∴BD＝2OD＝10，
∴EG＝BD＝10；
故選：B．
6．（3分）圖2是圖1中長(zhǎng)方體的三視圖，若用S表示面積，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，則S俯＝（ ）
A．x2+3x+2B．x2+2C．x2+2x+1D．2x2+3x
【分析】由主視圖和左視圖的寬為x，結(jié)合兩者的面積得出俯視圖的長(zhǎng)和寬，從而得出答案．
【解答】解：∵S主＝x2+2x＝x（x+2），S左＝x2+x＝x（x+1），
∴俯視圖的長(zhǎng)為x+2，寬為x+1，
則俯視圖的面積S俯＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2，
故選：A．
7．（3分）如圖，點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，將∠ACB平移使其頂點(diǎn)與I重合，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為（ ）
A．4.5B．4C．3D．2
【分析】連接AI、BI，因?yàn)槿切蔚膬?nèi)心是角平分線的交點(diǎn)，所以AI是∠CAB的平分線，由平行的性質(zhì)和等角對(duì)等邊可得：AD＝DI，同理BE＝EI，所以圖中陰影部分的周長(zhǎng)就是邊AB的長(zhǎng)．
【解答】解：連接AI、BI，
∵點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI＝∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI＝∠AID，
∴∠BAI＝∠AID，
∴AD＝DI，
同理可得：BE＝EI，
∴△DIE的周長(zhǎng)＝DE+DI+EI＝DE+AD+BE＝AB＝4，
即圖中陰影部分的周長(zhǎng)為4，
故選：B．
8．（3分）如圖①，正方形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E是OD的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿著E→O→B→A的路徑以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，在此過(guò)程中線段AP的長(zhǎng)度y隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，則AB的長(zhǎng)為（ ）
A．4B．4C．3D．2
【分析】連接AE，由題意DE＝OE，設(shè)DE＝OE＝x，則OA＝OD＝2x，AE＝2，在Rt△AEO中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．
【解答】解：如圖，連接AE．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝OD＝OB，
由題意DE＝OE，設(shè)DE＝OE＝x，則OA＝OD＝2x，
∵AE＝2，
∴x2+（2x）2＝（2）2，
解得x＝2或﹣2（不合題意舍棄），
∴OA＝OD＝4，
∴AB＝AD＝4，
故選：A．
9．（3分）如圖，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，……是分別以B1，B2，B3，…為直角頂點(diǎn)，斜邊在x軸正半軸上的等腰直角三角形，其直角頂點(diǎn)B1（x1，y1），B2（x2，y2），B3（x3，y3），…均在反比例函數(shù)的圖象上，則y1+y2+…+y10的值為（ ）
A．B．6C．D．
【分析】根據(jù)點(diǎn)B1的坐標(biāo)，確定y1，可求反比例函數(shù)關(guān)系式，由點(diǎn)B1是等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，可以得到OA1的長(zhǎng)，然后再設(shè)未知數(shù)，表示點(diǎn)C2的坐標(biāo)，確定y2，代入反比例函數(shù)的關(guān)系式，建立方程解出未知數(shù)，表示點(diǎn)C3的坐標(biāo)，確定y3，……然后再求和．
【解答】解：過(guò)B1、B2、B3…分別作x軸的垂線，垂足分別為D1、D2、D3…
則∠OD1B1＝∠OD2B2＝∠OD3B3＝90°，
∵三角形OA1B1是等腰直角三角形，
∴∠A1OB1＝45°，
∴∠OB1D1＝45°，
∴OD1＝B1D1，
直角頂點(diǎn)B1在反比例函數(shù)y＝，
∴B1（2，2），即y1＝2，
∴OD1＝D1A1＝2，
∴OA1＝2OD1＝4，
設(shè)A1D2＝a，則C2D2＝a 此時(shí)B2（4+a，a），代入y＝得：a（4+a）＝4，
解得：a＝2﹣2，即：y2＝2﹣2，
同理：y3＝2﹣2，
y4＝2﹣2，
……
∴y1+y2+…+y10＝2+2﹣2+2﹣2+……2﹣2＝2，
故選：A．
10．（3分）若二次函數(shù)y＝a2x2﹣bx﹣c的圖象，過(guò)不同的六點(diǎn)A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、D（，y1）、E（2，y2）、F（3，y3），則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y2＜y1＜y3
【分析】由已知確定對(duì)稱軸所在的范圍，再根據(jù)離對(duì)稱軸水平距離的大小即可得到答案．
【解答】解：圖象大致如圖：
∵二次函數(shù)y＝a2x2﹣bx﹣c的圖象過(guò)A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1），
∴二次函數(shù)y＝a2x2﹣bx﹣c中令y＝n，則x1＝﹣1，5＜x2＜6，
∴拋物線對(duì)稱軸為x＝，且2＜＜2.5，
設(shè)m＝，則2＜m＜2.5，
∵a2＞0，
∴拋物線開(kāi)口向上，
∴離對(duì)稱軸水平距離越小，對(duì)應(yīng)函數(shù)值越小，
而|﹣m|＞|3﹣m|＞|2﹣m|，
∴y2＜y3＜y1，
故選：C．
11．（3分）如圖，在矩形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，EF過(guò)O點(diǎn)且EF⊥AC分別交DC于F，交AB于E，點(diǎn)G是AE中點(diǎn)且∠AOG＝30°，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（ ）
（1）DC＝3OG；（2）OG＝BC；（3）△OGE是等邊三角形；（4）S△AOE＝S矩形ABCD．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OG＝AG＝GE＝AE，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠OAG＝30°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠GOE＝60°，從而判斷出△OGE是等邊三角形，判斷出（3）正確；設(shè)AE＝2a，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，從而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB＝3a，從而判斷出（1）正確，（2）錯(cuò)誤；再根據(jù)三角形的面積和矩形的面積列式求出判斷出（4）正確．
【解答】解：∵EF⊥AC，點(diǎn)G是AE中點(diǎn)，
∴OG＝AG＝GE＝AE，
∵∠AOG＝30°，
∴∠OAG＝∠AOG＝30°，
∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°，
∴△OGE是等邊三角形，故（3）正確；
設(shè)AE＝2a，則OE＝OG＝a，
由勾股定理得，AO＝＝＝a，
∵O為AC中點(diǎn)，
∴AC＝2AO＝2a，
∴BC＝AC＝×2a＝a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝3a，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3a，
∴DC＝3OG，故（1）正確；
∵OG＝a，BC＝a，
∴OG≠BC，故（2）錯(cuò)誤；
∵S△AOE＝a?a＝a2，
SABCD＝3a?a＝3a2，
∴S△AOE＝SABCD，故（4）正確；
綜上所述，結(jié)論正確是（1）（3）（4）共3個(gè)．
故選：C．
12．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是x＝1，下列結(jié)論：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，
正確的有（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【分析】根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)判定系數(shù)符號(hào)及運(yùn)用一些特殊點(diǎn)解答問(wèn)題．
【解答】解：由拋物線的開(kāi)口向下可得：a＜0，
根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸在y軸右邊可得：a，b異號(hào)，所以b＞0，
根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)在正半軸可得：c＞0，
∴abc＜0，故①錯(cuò)誤；
∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴b2﹣4ac＞0，故②正確；
∵直線x＝1是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸，所以﹣＝1，可得b＝﹣2a，
由圖象可知，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，
∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，
即8a+c＜0，故③正確；
由圖象可知，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＞0；當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＞0，
兩式相加得，5a+b+2c＞0，故④正確；
∴結(jié)論正確的是②③④3個(gè)，
故選：B．
二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）
13．（4分）△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣csB）2＝0，則∠C＝ 105 度．
【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求出sinA和csB的值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，求出∠A和∠B的值，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180度，求出∠C的值．
【解答】解：由題意知sinA﹣＝0，﹣csB＝0，
∴sinA＝，csB＝，
∴∠A＝45°，∠B＝30°．
∴∠C＝105°．
14．（4分）如圖表示一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，如果水的最大深度CD為2m，水面寬AB為8m，則輸水管的半徑為 5 m．
【分析】由垂徑定理可知AC＝4m，設(shè)OA＝rm，則OC＝（r﹣1）m，在Rt△AOC中，再利用勾股定理即可求出r的值．
【解答】解：由題意得：OD⊥AB，
∴AC＝AB＝×8＝4（m），
設(shè)OA＝rm，則OC＝OD﹣CD＝（r﹣2）m，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OA2＝OC2+AC2，
即r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
即輸水管的半徑為5m，
故答案為：5．
15．（4分）如果關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，那么的值為 ﹣ ．
【分析】由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得到根的判別式的值大于等于0，列出關(guān)于k的不等式，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到k的值，確定出方程，求出方程的解，代入所求式子中計(jì)算即可求出值．
【解答】解：∵方程x2+kx+k2﹣3k+＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴b2﹣4ac＝k2﹣4（k2﹣3k+）＝﹣2k2+12k﹣18＝﹣2（k﹣3）2≥0，
∴k＝3，
代入方程得：x2+3x+＝（x+）2＝0，
解得：x1＝x2＝﹣，
∴＝﹣，
故答案為：﹣．
16．（4分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），將△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為 （3，﹣10） ．
【分析】先求出AB＝6，再利用正方形的性質(zhì)確定D（﹣3，10），由于70＝4×17+2，所以第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，相當(dāng)于△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2次，每次旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)旋轉(zhuǎn)前后的點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，于是利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【解答】解：∵A（﹣3，4），B（3，4），
∴AB＝3+3＝6，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD＝AB＝6，
∴D（﹣3，10），
∵70＝4×17+2，
∴每4次一個(gè)循環(huán)，第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，相當(dāng)于△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2次，每次旋轉(zhuǎn)90°，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，﹣10）．
故答案為：（3，﹣10）．
17．（4分）如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)A向x軸作垂線交x軸于點(diǎn)C，B為線段AC的中點(diǎn)，又D點(diǎn)在x軸上，且OD＝3OC，則△OBD的面積為 3 ．
【分析】設(shè)A（x、y），根據(jù)函數(shù)解析式可知xy＝4，由已知得BC＝y(tǒng)，OD＝3OC＝3x，再根據(jù)三角形的面積公式求解．
【解答】解：設(shè)A（x、y），由反比例函數(shù)可知xy＝4，
BC＝AC＝y(tǒng)，OD＝3OC＝3x，
∴S△OBD＝BC×OD＝×y×3x＝xy＝×4＝3．
故答案為：3．
18．（4分）如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，AD＝DB，BE⊥DC于E，連接AE并延長(zhǎng)交BC于F，以下說(shuō)法正確的有 ①③④ ．
①BE2＝DE?EC，②EA＝EB，③AE：EF＝3：2，④FC2＝FE?FA
【分析】①證明△BED∽△CEB，列比例式，可得結(jié)論；
②③根據(jù)：△BED∽△CEB，得＝＝＝，設(shè)ED＝x，則BE＝2x，CE＝4x，表示各線段的長(zhǎng)，利用平行線分線段成比例定理列比例式，可得所求線段AE，EF，AF，CF的長(zhǎng)，進(jìn)行判斷即可；
④根據(jù)②中繼續(xù)計(jì)算可解答．
【解答】解：①∵BE⊥CD，
∴∠DEB＝∠CEB＝90°，
∵∠DBE+∠CBE＝∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠DBE＝∠BCE，
∴△BED∽△CEB，
∴，
∴BE2＝DE?EC，
故①正確；
②③∵AB＝BC，AD＝BD，
∴BD＝BC，
由①知：△BED∽△CEB，
∴＝＝＝，
設(shè)ED＝x，則BE＝2x，CE＝4x，
∴BD＝AD＝x，BC＝AB＝2x，
過(guò)D作DP∥BC，交AF于P，
∴＝＝，，
∴CF＝4PD，BF＝2PD，
∴CF＝2BF，，，
∴BF＝BC＝，CF＝＝，
由勾股定理得：AF＝＝＝，
∴AE＝＝＝2x≠2x，
∴AE≠BE，
故②不正確，③正確；
④由②得：FC＝，F(xiàn)E＝＝＝，AF＝，
∴FC2＝＝，
FE?FA＝＝，
∴FC2＝FE?FA，
故④正確；
本題正確的結(jié)論有：①③④，
故答案為：①③④．
三、解答題（共7道大題，滿分60分）
19．（8分）如圖，放置在水平桌面上的臺(tái)燈的燈臂AB長(zhǎng)為30cm，燈罩BC長(zhǎng)為20cm，底座厚度為2cm，燈臂與底座構(gòu)成的∠BAD＝60°．使用發(fā)現(xiàn)，光線最佳時(shí)燈罩BC與水平線所成的角為30°，此時(shí)燈罩頂端C到桌面的高度CE是多少cm？（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）
【分析】首先過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，作BG⊥AD于點(diǎn)G，進(jìn)而求出FC的長(zhǎng)，再求出BG的長(zhǎng)，即可得出答案．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，作BG⊥AD于點(diǎn)G，
∵CE⊥AD，BF⊥CD，BG⊥AD，
∴四邊形BFDG矩形，
∴BG＝FD
在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，
∴CF＝BC?sin30°＝20×＝10，
在Rt△ABG中，∠BAG＝60°，
∴BG＝AB?sin60°＝30×＝15．
∴CE＝CF+FD+DE＝10+15+2
＝12+15≈37.98≈38.0（cm）．
答：此時(shí)燈罩頂端C到桌面的高度CE約是38.0cm．
20．（8分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．連接AO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD．過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，與BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．
（1）求證：AD∥EC；
（2）若AB＝12，求線段EC的長(zhǎng)．
【分析】（1）連接OC，由切線的性質(zhì)可得∠OCE＝90°，由圓周角定理可得∠AOC＝90°，可得結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥EC交EC于F，由銳角三角函數(shù)可求AD＝8，可證四邊形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝4，由銳角三角函數(shù)可求EF＝12，即可求解．
【解答】證明：（1）連接OC，
∵CE與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴∠OCE＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵∠AOC+∠OCE＝180°，
∴AD∥EC．
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥EC交EC于F，
∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠D＝∠ACB＝60°，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ABD＝90°，
∴sin∠ADB＝，
∴AD＝＝8，
∴OA＝OC＝4，
∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，
∴四邊形OAFC是矩形，
又∵OA＝OC，
∴四邊形OAFC是正方形，
∴CF＝AF＝4，
∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，
∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵tan∠EAF＝，
∴EF＝AF＝12，
∴CE＝CF+EF＝12+4．
21．（8分）閱讀材料：已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求的值．
解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0，可知p≠0，q≠0．
又∵pq≠1，∴p≠．
∵1﹣q﹣q2＝0可變形為（）2﹣（）﹣1＝0．
根據(jù)p2p﹣1＝0和（）2﹣（）﹣1＝0的特征．
∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則p+＝1，即＝1．
根據(jù)閱讀材料所提供的方法，完成下面的解答．
已知：2m2﹣5m﹣1＝0，+﹣2＝0且m≠n，求
（1）mn的值；
（2）+．
【分析】由+﹣2＝0得到2n2﹣5n﹣1＝0，根據(jù)題目所給的方法得到m、n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n＝，mn＝﹣，利用完全平方公式變形得到原式＝（m+n）2﹣4mn，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
【解答】解：∵+﹣2＝0，
∴2n2﹣5n﹣1＝0，
根據(jù)2m2﹣5m﹣1＝0和2n2﹣5n﹣1＝0的特征，
∴m、n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴m+n＝，mn＝﹣，
（1）mn＝﹣；
（2）原式＝＝＝29．
22．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝﹣x+b的圖象與函數(shù)y＝（x＜0）的圖象相交于點(diǎn)A（﹣1，6），并與x軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D是線段AC上一點(diǎn)，△ODC與△OAC的面積比為2：3．
（1）k＝ ﹣6 ，b＝ 5 ；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）若將△ODC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△OD'C'，其中點(diǎn)D'落在x軸負(fù)半軸上，判斷點(diǎn)C'是否落在函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上，并說(shuō)明理由．
【分析】（1）將A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b可求出b的值；將A（﹣1，6）代入y＝可求出k的值；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸，垂足為M，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥x軸，垂足為N，由△ODC與△OAC的面積比為2：3，可推出，由點(diǎn)A的坐標(biāo)可知AN＝6，進(jìn)一步求出DM＝4，即為點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，把y＝4代入y＝﹣x+5中，可求出點(diǎn)D坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)C'作C'G⊥x軸，垂足為G，由題意可知，OD'＝OD＝＝，由旋轉(zhuǎn)可知S△ODC＝S△OD'C'，可求出C'G＝，在Rt△OC'G中，通過(guò)勾股定理求出OG的長(zhǎng)度，即可寫(xiě)出點(diǎn)C'的坐標(biāo)，將其坐標(biāo)代入y＝﹣可知沒(méi)有落在函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上．
【解答】解：（1）將A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b，
得，6＝1+b，
∴b＝5，
將A（﹣1，6）代入y＝，
得，6＝，
∴k＝﹣6，
故答案為：﹣6，5；
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸，垂足為M，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥x軸，垂足為N，
∵，
∴，
又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，6），
∴AN＝6，
∴DM＝4，即點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4，
把y＝4代入y＝﹣x+5中，
得，x＝1，
∴D（1，4）；
（3）由題意可知，OD'＝OD＝＝，
如圖2，過(guò)點(diǎn)C'作C'G⊥x軸，垂足為G，
∵S△ODC＝S△OD'C'，
∴OC?DM＝OD'?C'G，
即5×4＝C'G，
∴C'G＝，
在Rt△OC'G中，
∵OG＝＝＝，
∴C'的坐標(biāo)為（﹣，），
∵（﹣）×≠﹣6，
∴點(diǎn)C'不在函數(shù)y＝﹣的圖象上．
23．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC是對(duì)角線，∠CAB＝90°，以點(diǎn)A為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑作⊙A，交BC邊于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接DE．
（1）求證：DE與⊙A相切；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求陰影部分的面積．
【分析】（1）證明：連接AE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD＝BC，AD∥BC，求得∠DAE＝∠AEB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DEA＝∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件得到△ABE是等邊三角形，求得AE＝BE，∠EAB＝60°，得到∠CAE＝∠ACB，得到CE＝BE，根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：連接AE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABC，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴△AED≌△BAC（SAS），
∴∠DEA＝∠CAB，
∵∠CAB＝90°，
∴∠DEA＝90°，
∴DE⊥AE，
∵AE是⊙A的半徑，
∴DE與⊙A相切；
（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，
∴△ABE是等邊三角形，
∴AE＝BE，∠EAB＝60°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CAE＝∠ACB，
∴AE＝CE，
∴CE＝BE，
∴S△ABC＝AB?AC＝＝8，
∴S△ACE＝S△ABC＝＝4，
∵∠CAE＝30°，AE＝4，
∴S扇形AEF＝＝＝，
∴S陰影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝4﹣．
24．（10分）在一次數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中，小兵將兩個(gè)全等的直角三角形紙片ABC和DEF拼在一起，使點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合（如圖1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并進(jìn)行如下研究活動(dòng)．
活動(dòng)一：將圖1中的紙片DEF沿AC方向平移，連接AE，BD（如圖2），當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)停止平移．
【思考】圖2中的四邊形ABDE是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【發(fā)現(xiàn)】當(dāng)紙片DEF平移到某一位置時(shí)，小兵發(fā)現(xiàn)四邊形ABDE為矩形（如圖3）．求AF的長(zhǎng)．
活動(dòng)二：在圖3中，取AD的中點(diǎn)O，再將紙片DEF繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α度（0≤α≤90），連接OB，OE（如圖4）．
【探究】當(dāng)EF平分∠AEO時(shí)，探究OF與BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【分析】【思考】
由全等三角形的性質(zhì)得出AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，則AB∥DE，可得出結(jié)論；
【發(fā)現(xiàn)】
連接BE交AD于點(diǎn)O，設(shè)AF＝x（cm），則OA＝OE＝（x+4），得出OF＝OA﹣AF＝2﹣x，由勾股定理可得，解方程求出x，則AF可求出；
【探究】
如圖2，延長(zhǎng)OF交AE于點(diǎn)H，證明△EFO≌△EFH（ASA），得出EO＝EH，F(xiàn)O＝FH，則∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，可證得△EOH≌△OBD（AAS），得出BD＝OH，則結(jié)論得證．
【解答】解：【思考】四邊形ABDE是平行四邊形．
證明：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，
∴AB∥DE，
∴四邊形ABDE是平行四邊形；
【發(fā)現(xiàn)】如圖1，連接BE交AD于點(diǎn)O，
∵四邊形ABDE為矩形，
∴OA＝OD＝OB＝OE，
設(shè)AF＝x（cm），則OA＝OE＝（x+4），
∴OF＝OA﹣AF＝2﹣x，
在Rt△OFE中，∵OF2+EF2＝OE2，
∴，
解得：x＝，
∴AF＝cm．
【探究】BD＝2OF，
證明：如圖2，延長(zhǎng)OF交AE于點(diǎn)H，
由矩形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：OA＝OB＝OE＝OD，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，
∴∠OBD＝∠ODB，∠OAE＝∠OEA，
∴∠BDE+∠DEA＝∠ABD+∠EAB，
∵∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB＝360°，
∴∠ABD+∠BAE＝180°，
∴AE∥BD，
∴∠OHE＝∠ODB，
∵EF平分∠OEH，
∴∠OEF＝∠HEF，
∵∠EFO＝∠EFH＝90°，EF＝EF，
∴△EFO≌△EFH（ASA），
∴EO＝EH，F(xiàn)O＝FH，
∴∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，
∴△EOH≌△OBD（AAS），
∴BD＝OH＝2OF．
25．（10分）已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】方法一：
（1）直接將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可．
（2）由圖知：A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，那么根據(jù)拋物線的對(duì)稱性以及兩點(diǎn)之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn)．
（3）由于△MAC的腰和底沒(méi)有明確，因此要分三種情況來(lái)討論：①M(fèi)A＝AC、②MA＝MC、③AC＝MC；可先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用M點(diǎn)縱坐標(biāo)表示△MAC的三邊長(zhǎng)，再按上面的三種情況列式求解．
方法二：
（1）略．
（2）找出A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)B，根據(jù)C，P，B三點(diǎn)共線求出BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)P．
（3）用參數(shù)表示的點(diǎn)M坐標(biāo)，分類討論三種情況，利用兩點(diǎn)間距離公式就可求解．
（4）先求出AC的直線方程，利用斜率垂直公式求出OO’斜率及其直線方程，并求出H點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出O’坐標(biāo)，求出DO’直線方程后再與AC的直線方程聯(lián)立，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】方法一：
解：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y＝ax2+bx+c中，得：
，
解得：
∴拋物線的解析式：y＝﹣x2+2x+3．
（2）連接BC，直線BC與直線l的交點(diǎn)為P；
∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線l對(duì)稱，
∴PA＝PB，
∴BC＝PC+PB＝PC+PA
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b（k≠0），將B（3，0），C（0，3）代入上式，得：
，解得：
∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣x+3；
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2，即P的坐標(biāo)（1，2）．
（3）拋物線的對(duì)稱軸為：x＝﹣＝1，設(shè)M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），則：
MA2＝m2+4，MC2＝（3﹣m）2+1＝m2﹣6m+10，AC2＝10；
①若MA＝MC，則MA2＝MC2，得：
m2+4＝m2﹣6m+10，得：m＝1；
②若MA＝AC，則MA2＝AC2，得：
m2+4＝10，得：m＝±；
③若MC＝AC，則MC2＝AC2，得：
m2﹣6m+10＝10，得：m1＝0，m2＝6；
當(dāng)m＝6時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去；
綜上可知，符合條件的M點(diǎn)，且坐標(biāo)為 M（1，）（1，﹣）（1，1）（1，0）．
方法二：
（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3．
（2）連接BC，
∵l為對(duì)稱軸，
∴PB＝PA，
∴C，B，P三點(diǎn)共線時(shí)，△PAC周長(zhǎng)最小，把x＝1代入lBC：y＝﹣x+3，得P（1，2）．
（3）設(shè)M（1，t），A（﹣1，0），C（0，3），
∵△MAC為等腰三角形，
∴MA＝MC，MA＝AC，MC＝AC，
（1+1）2+（t﹣0）2＝（1﹣0）2+（t﹣3）2，∴t＝1，
（1+1）2+（t﹣0）2＝（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t＝±，
（1﹣0）2+（t﹣3）2＝（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t1＝6，t2＝0，
經(jīng)檢驗(yàn)，t＝6時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，故舍去，
綜上可知，符合條件的點(diǎn)有4個(gè)，M1（1，），M2（1，﹣），M3（1，1），M4（1，0）．
追加第（4）問(wèn)：若拋物線頂點(diǎn)為D，點(diǎn)Q為直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△DOQ的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（4）作點(diǎn)O關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)O交AC于H，
作HG⊥AO，垂足為G，
∴∠AHG+∠GHO＝90°，∠AHG+∠GAH＝90°，
∴∠GHO＝∠GAH，
∴△GHO∽△GAH，
∴HG2＝GO?GA，
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴l(xiāng)AC：y＝3x+3，H（﹣，），
∵H為OO′的中點(diǎn)，
∴O′（﹣，），
∵D（1，4），
∴l(xiāng)O′D：y＝x+，lAC：y＝3x+3，
∴x＝﹣，y＝，
∴Q（﹣，）．
題（滿分20分）
26．（4分）如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE＝DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是 ﹣1 ．
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”證明△ADG和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠2＝∠3，從而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH＝AB＝1，利用勾股定理列式求出OD，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最?。?br>【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，
則OH＝AO＝AB＝1，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH＞OD，
∴當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最小，
最小值＝OD﹣OH＝﹣1．
（解法二：可以理解為點(diǎn)H是在Rt△AHB，AB直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)當(dāng)O、H、D三點(diǎn)共線時(shí)，DH長(zhǎng)度最?。?br>故答案為：﹣1．
27．（4分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸和y軸，，∠AOB的角平分線與OA的垂直平分線交于點(diǎn)C，與AB交于點(diǎn)D，反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)C，當(dāng)以CD為邊的正方形的面積為時(shí)，k的值為 14 ．
【分析】設(shè)OA＝3a，則OB＝4a，利用待定系數(shù)法即可求得直線AB的解析式為，直線CD的解析式是y＝x，OA的中垂線的解析式，解方程組即可求得C和D的坐標(biāo)，根據(jù)以CD為邊的正方形的面積為，即CD2＝，據(jù)此即可列方程求得a2的值，則k即可求解．
【解答】解：由題意，設(shè)OA＝3a，則OB＝4a，
∴A（3a，0），B（0，4a），
設(shè)直線AB的解析式是y＝kx+b，
根據(jù)題意得：，
解得：，
則直線AB的解析式是，
∵直線CD是∠AOB的平分線，
則OD的解析式是y＝x，
根據(jù)題意得：，
解得：，
則D的坐標(biāo)是（，），
OA的中垂線的解析式是，
則C的坐標(biāo)是（，），則，
∵以CD為邊的正方形的面積為，且，
則，
解得：，
∴，
故答案為：14．
28．（12分）已知拋物線y＝x2+bx+c的頂點(diǎn)為P，與y軸交于點(diǎn)A，與直線OP交于點(diǎn)B．
（1）如圖甲，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，6），
①試確定拋物線的解析式；
②若當(dāng)m≤x≤3時(shí)，y＝x2+bx+c的最小值為2，最大值為6，求m的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，若M點(diǎn)是直線AB下方拋物線上的一點(diǎn)，且S△ABM≥3，求M點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；
（3）如圖乙，若點(diǎn)P在第一象限，且PA＝PO，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，將拋物線y＝x2+bx+c平移，平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，試探究四邊形OABC的形狀，并說(shuō)明理由．
【分析】（1）①首先求出b的值，然后把b＝﹣2及點(diǎn)B（3，6）的坐標(biāo)代入拋物線解析式y(tǒng)＝x2+bx+c求出c的值，拋物線的解析式即可求出；
②由拋物線的增減性解答；
（2）首先求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AB的解析式，設(shè)直線AB下方拋物線上的點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，x2﹣2x+3），過(guò)M點(diǎn)作y軸的平行線交直線AB于點(diǎn)N，則N（x，x+3），根據(jù)三角形面積為3，求出x的值，M點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出；
（3）由PA＝PO，OA＝c，可得PD＝，又知拋物線y＝x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P （﹣，），即可求出b和c的關(guān)系，進(jìn)而得到A（0，b2），P（﹣b，b2），D（﹣b，0）．根據(jù)B點(diǎn)是直線與拋物線的交點(diǎn)，求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，由平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，可設(shè)平移后的拋物線解析式為y＝x2+mx+b2．再求出b與m之間的關(guān)系，再求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，結(jié)合∠AOC＝90°即可證明四邊形OABC是矩形．
【解答】解：（1）①依題意，﹣＝1，
解得b＝﹣2．
將b＝﹣2及點(diǎn)B（3，6）的坐標(biāo)代入拋物線解析式y(tǒng)＝x2+bx+c得6＝32﹣2×3+c．
解得 c＝3．
所以拋物線的解析式為y＝x2﹣2x+3．
②由y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2知，P（1，2）．
∴點(diǎn)（3，6）關(guān)于對(duì)稱軸x＝1的對(duì)稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（﹣1，6），如答圖1，
．
∵當(dāng)m≤x≤3時(shí)，y＝x2+bx+c的最小值為2，最大值為6，
∴﹣1≤m≤1；
（2）設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為a，
∵拋物線y＝x2﹣2x+3與y軸交于點(diǎn)A，
∴A（0，3）．
∵B（3，6），
可得直線AB的解析式為y＝x+3．
設(shè)直線AB下方拋物線上的點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，x2﹣2x+3），過(guò)M點(diǎn)作y軸的平行線交直線AB于點(diǎn)N，則N（x，x+3），如答圖2，
∴S△ABM＝S△AMN+S△BMN＝MN?|xB﹣xA|＝3．
∴[x+3﹣（x2﹣2x+3）]×3＝3．
解得 x1＝1，x2＝2．
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）或 （2，3）．
∵S△ABM≥3，
∴M點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是：1≤a≤2；
（3）如答圖3，由 PA＝PO，OA＝c，可得PD＝．
∵拋物線y＝x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 P（﹣，），
∴＝．
∴b2＝2c．
∴拋物線y＝x2+bx+b2，A（0，b2），P（﹣b，b2），D（﹣b，0）．
可得直線OP的解析式為y＝﹣bx．
∵點(diǎn)B是拋物線y＝x2+bx+b2與直線y＝﹣bx的圖象的交點(diǎn)，
令﹣bx＝x2+bx+b2．
解得x1＝﹣b，x2＝﹣．
可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣b，b2）．
由平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，可設(shè)平移后的拋物線解析式為y＝x2+mx+b2．
將點(diǎn)D（﹣b，0）的坐標(biāo)代入y＝x2+mx+b2，得m＝b．
則平移后的拋物線解析式為y＝x2+bx+b2．
令y＝0，即x2+bx+b2＝0．
解得x1＝﹣b，x2＝﹣b．
依題意，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣b，0）．
則BC＝b2．
則BC＝OA．
又∵BC∥OA，
∴四邊形OABC是平行四邊形．
∵∠AOC＝90°，
∴四邊形OABC是矩形．

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