1.(2014課標(biāo)全國Ⅱ,理1)設(shè)集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},則M∩N=( ).
A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}
解析:∵M={0,1,2}, N={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},∴M∩N={0,1,2}∩{x|1≤x≤2}={1,2}.故選D. 答案:D
2.(2013課標(biāo)全國Ⅱ,理3)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=( ).
A.B.-C.D.-
解析:設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,若q=1,則由a5=9,得a1=9,此時S3=27,而a2+10a1=99,不滿足題意,因此q≠1.
∵q≠1時,S3==a1·q+10a1,∴=q+10,整理得q2=9.∵a5=a1·q4=9,即81a1=9,∴a1=. 答案C
3.(2012課標(biāo)全國,理3)下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z=的四個命題:
p1:|z|=2, p2:z2=2i, p3:z的共軛復(fù)數(shù)為1+i, p4:z的虛部為-1,其中的真命題為( ).
A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4
解析: Cz==-1-i,故|z|=,p1錯誤;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2正確;z的共軛復(fù)數(shù)為-1+i,
p3錯誤;p4正確.
4.設(shè)向量a,b滿足|a+b|=,|a-b|=,則a·b=( ).
A.1B.2C.3D.5
解析:∵|a+b|=,∴(a+b)2=10,即a2+b2+2a·b=10.①∵|a-b|=,∴(a-b)2=6,即a2+b2-2a·b=6.②
由①②可得a·b=1.故選A. 答案:A
5.鈍角三角形ABC的面積是,AB=1,BC=,則AC=( ).
A.5B.C.2D.1
解析:由題意知S△ABC=AB·BC·sin B,即×1×sin B,解得sin B=.∴B=45°或B=135°.
當(dāng)B=45°時,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cs B=12+()2-2×1×=1.
此時AC2+AB2=BC2,△ABC為直角三角形,不符合題意;
當(dāng)B=135°時,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cs B=12+()2-2×1×=5,得AC=.符合題意.故選B.
6.若等差數(shù)列{an}的前5項和S5=25,且a2=3,則a7=( )
A.12B.13C.14D.15
解析:由題意得S5==5a3=25,a3=5,公差d=a3-a2=2,a7=a2+5d=3+5×2=13.答案:B
7.若cs(eq \f(π,3)－2x)＝－eq \f(7,8)，則sin(x＋eq \f(π,3))的值為( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(7,8) C．±eq \f(1,4) D．±eq \f(7,8)
解析:C sin(x＋eq \f(π,3))＝cs(eq \f(π,6)－x)，由cs(eq \f(π,3)－2x)＝－eq \f(7,8)，得2cs2(eq \f(π,6)－x)－1＝－eq \f(7,8)，
所以cs2(eq \f(π,6)－x)＝eq \f(1,16)，所以cs(eq \f(π,6)－x)＝±eq \f(1,4).
8.設(shè)曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x,則a=( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:∵y=ax-ln(x+1),∴y'=a-. ∴y'|x=0=a-1=2,得a=3. 答案:D
9.設(shè)x,y滿足約束條件則z=2x-y的最大值為( ).
A.10B.8C.3D.2
解析:線性目標(biāo)函數(shù)z=2x-y滿足的可行域如圖所示.
將直線l0:y=2x平行移動,當(dāng)直線l0經(jīng)過點M(5,2)時,直線y=2x-z在y軸上的截距最小,也就是z取最大值,此時zmax=2×5-2=8. 答案:B
10.函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖像如圖3-19-5所示，其中A>0，ω>0，|φ|2f(2ln 3) B．3f(2ln 2)f(x)構(gòu)造函數(shù)，然后用函數(shù)的單調(diào)性來解題；
構(gòu)造函數(shù)g(x)＝eq \f(f（x）,e\f(1,2)x)，則g′(x)＝eq \f(f′（x）e\f(1,2)x－\f(1,2)f（x）e\f(1,2)x,（e\f(1,2)x）2)＝eq \f(2f′（x）－f（x）,2e\f(1,2)x)>0，
所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，所以g(2ln 2)0).
方法一:當(dāng)a>0,x>0時,由基本不等式可知g(x)≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=時取等號.
所以函數(shù)y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是2.所以2=2,解得a=1.
方法二:∵g'(x)=1-(x>0), ∴令g'(x)=0,得x=.
當(dāng)00.故x=是y=g(x)的極小值點,
即y=g(x)在x=處取得極小值,也是最小值,故=2,得a=1.
22．設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
（Ⅱ）若對于任意，都有，求的取值范圍．
【解析】（Ⅰ）．
若，則當(dāng)時，，；當(dāng)時，，．
若，則當(dāng)時，，；當(dāng)時，，．
所以，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，對任意的，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在處取得最小值．所以對于任意，的充要條件是：即①，設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，，故當(dāng)時，．當(dāng)時，，，即①式成立．當(dāng)時，由的單調(diào)性，，即；當(dāng)時，，即．綜上，的取值范圍是．

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