2022-2023學(xué)年黑龍江省牡丹江市海林市朝鮮族中學(xué)高二上學(xué)期第二次月考月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．如果，那么（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用元素與集合的關(guān)系，集合與集合關(guān)系判斷選項(xiàng)即可．【詳解】解：，由元素與集合的關(guān)系，集合與集合關(guān)系可知：，故正確，錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查元素與集合的關(guān)系，集合基本知識的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．設(shè)集合，，則 （    ）A．U B． C． D．【答案】C【分析】由已知集合及對應(yīng)的全集，利用集合的補(bǔ)集運(yùn)算求補(bǔ)集.【詳解】由集合，，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的基本運(yùn)算，根據(jù)集合及其全集求補(bǔ)集，屬于簡單題.3．已知：，是方程的兩根，：，則是的．A．充分但不必要條件B．必要但不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先求得中的值，再根據(jù)相互推導(dǎo)的情況判斷出正確結(jié)論.【詳解】對于，由于，故或.所以，故是的充分但不必要條件.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查一元二次方程根的求法，屬于基礎(chǔ)題.4．滿足條件∪{1}={1，2，3}的集合的個(gè)數(shù)是A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【詳解】試題分析：由題意得，根據(jù)集合的運(yùn)算可知，當(dāng)集合中，只有兩個(gè)元素時(shí)，此時(shí)；當(dāng)集合中，只有三個(gè)元素時(shí)，此時(shí),所以集合的個(gè)數(shù)為兩個(gè)，故選B．【解析】集合的并集．5．已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】化簡集合A，求出交集即可得到結(jié)果.【詳解】,，,元素個(gè)數(shù)為4個(gè)，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式不等式，集合的交集，屬于容易題.6．如果二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為，3，且a<0，那么不等式ax2＋bx＋c>0的解集為（    ）A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}C．{x|－2<x<3} D．{x|－3<x<2}【答案】C【分析】本題先根據(jù)一元二次方程的兩根因式分解，再根據(jù)a<0求一元二次不等式的解集即可.【詳解】解析：由二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為－2，3，且a<0，知不等式ax2＋bx＋c>0可化為a(x＋2)(x－3)>0，即(x＋2)(x－3)<0，方程(x＋2)(x－3)＝0的兩根為x1＝－2，x2＝3，則不等式(x＋2)(x－3)<0的解集是{x|－2<x<3}，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)一元二次方程的根求對應(yīng)一元二次不等式的解集，是基礎(chǔ)題.7．函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)P，點(diǎn)P又在冪函數(shù)的圖象上，則的值為（    ）A．4 B．8 C．9 D．16【答案】C【解析】先求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后代入冪函數(shù)中，即可求出冪函數(shù)的解析式，進(jìn)而可以求出的值.【詳解】∵，令得，∴，∴的圖象恒過點(diǎn)，設(shè)，把代入得，∴，∴，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于指數(shù)型和對數(shù)型函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)問題，要熟練掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)恒過定點(diǎn)問題，指數(shù)函數(shù)恒過定點(diǎn)，對數(shù)函數(shù)恒過定點(diǎn)，然后對于指數(shù)型函數(shù)和對數(shù)型函數(shù)，類比進(jìn)行即可.8．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，即可得解.【詳解】由題意，，，，所以.故選：B.9．已知函數(shù)f(x)=()x-1+b的圖像不經(jīng)過第一象限,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（    ）.A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】∵函數(shù)f（x）為減函數(shù)，∴若函數(shù)f（x）=（）x-1+b的圖象不經(jīng)過第一象限，則滿足f（0）=2+b≤0，即b≤-2；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10．已知函數(shù)，若，實(shí)數(shù)（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】推導(dǎo)出，從而，進(jìn)而，由此能求出實(shí)數(shù)的值．【詳解】解：函數(shù)，，，，解得實(shí)數(shù)．故選：． 二、多選題11．（多選題）下列判斷錯(cuò)誤的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可比較大小.【詳解】解：對于A，和可看作函數(shù)當(dāng)x分別取和時(shí)所對應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值，因?yàn)榈讛?shù)，所以指數(shù)函數(shù)在R上是增函數(shù)，又因?yàn)?/span>，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B，，所以函數(shù)在R上是減函數(shù)，又，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C，在R上是增函數(shù)，，得，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D，在R上是減函數(shù)，，得，D選項(xiàng)正確；故選：ABC.12．下列函數(shù)中,是偶函數(shù),且在區(qū)間上為增函數(shù)的是（    ）A． B．y=1-x2 C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，綜合即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，y＝|x|，是偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，符合題意；對于B，y＝1﹣x2，是二次函數(shù)，在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，不符合題意；對于C，y，是反比例函數(shù)，是奇函數(shù)，不符合題意；對于D，y＝2x2+4，為二次函數(shù)，是偶函數(shù)且在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，符合題意；故選：AD．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷，關(guān)鍵是掌握常見函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題． 三、填空題13．已知函數(shù)，則函數(shù)的解析式為______________.【答案】【分析】令，可得，代入化簡可得的表達(dá)式，由此可得出函數(shù)的解析式.【詳解】令，可得，代入可得.所以，.故答案為；.【點(diǎn)睛】本題考查利用換元法求函數(shù)解析式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14．若一元二次不等式在R上恒成立，則m的取值范圍是___.【答案】m>【分析】根據(jù)給定條件，利用一元二次不等式解集規(guī)律列式求解作答.【詳解】因一元二次不等式在R上恒成立，則有，解得，所以m的取值范圍是.故答案為：15．已知，且滿足，則的最小值為__________．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，【詳解】設(shè)點(diǎn)，，直線，直線由題意可知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上所以由題意可知與平行，故A、B之間的最小距離即為兩平行線之間的距離故答案為：16．已知圓與圓外切，a，b均為正實(shí)數(shù)，則ab的最大值為___.【答案】##2.25【分析】兩圓外切，圓心距等于半徑之和，得a+b=3，再用基本不等式求ab的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，兩圓外切，圓心距等于半徑之和，即，得a+b=3，已知a,b均為正實(shí)數(shù)，由基本不等式得，，當(dāng)時(shí)等號成立，∴ab的最大值為.故答案為： 四、解答題17．已知兩條直線和，分別求滿足下列條件的，.(1)//；(2)，且在軸上的截距為.【答案】(1)，或，；(2)，8. 【分析】（1）根據(jù)直線平行，列出滿足的條件，求解即可；（2）根據(jù)直線垂直，結(jié)合在軸上的截距，即可求得.【詳解】（1）由題可得：，且，解得或.（2）根據(jù)題意，滿足，解得；又，故可得，解得；故.18．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，且.(1)求與之間的最大距離，并求此時(shí)兩直線的方程;(2)若與間的距離為5，求兩直線的方程.【答案】(1)；直線的方程為，直線的方程為(2)，或， 【分析】（1）當(dāng)經(jīng)過兩點(diǎn)的直線與兩點(diǎn)連線垂直時(shí)，距離最大，利用兩點(diǎn)間距離公式即可求出最大距離，再利用直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系即可求出直線，的斜率，再用點(diǎn)斜式求出方程.（2）分類討論：若，的斜率都不存在，通過驗(yàn)證即可得出直線方程，若，的斜率都存在，利用兩條平行線的斜率相等設(shè)出直線方程，將兩平行線之間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，求出斜率k，進(jìn)而得到直線方程.【詳解】（1）解：當(dāng)分別經(jīng)過P，Q兩點(diǎn)的直線，與兩點(diǎn)連線垂直時(shí)，與之間的距離最大，因?yàn)橹本€PQ的斜率為，所以此時(shí)直線與的斜率均為5，與之間的最大距離為，此時(shí)直線的方程為，即，直線的方程為，即.（2）解：①若，的斜率都存在，設(shè)直線的斜率為k，則的方程為，即，的方程為，即，在直線上取點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離，，所以直線的方程為，即，直線的方程為，即；②若，的斜率都不存在，則的方程為，的方程為，它們之間的距離為5，符合題意.綜上所述，兩直線的方程為，或，.19．已知圓過點(diǎn)，且圓心在直線，圓．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求圓與圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長．【答案】(1)(2)直線方程為，公共弦長為 【分析】（1）根據(jù)題意求出圓心和半徑，即可寫成圓的方程；（2）將兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程，再由圓心到直線的距離和半徑，利用勾股定理求出公共弦長．【詳解】（1）由題意可設(shè)圓心，則，解得，此時(shí)圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）將兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程，即，化簡得，所以圓的圓心到直線的距離為，則，解得，所以所求公共弦長為．所以圓與圓的公共弦所在的直線方程為，公共弦長為20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，記外接圓為圓．(1)求圓的方程；(2)在圓上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若不存在，說明理由．【答案】(1)；(2)存在；點(diǎn)有兩個(gè). 【分析】（1）設(shè)出圓的一般方程，根據(jù)三點(diǎn)均在圓上，列出方程組，即可求得圓方程；（2）根據(jù)題意，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)滿足的條件以及點(diǎn)在圓上，將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）設(shè)外接圓的方程為，將代入上述方程得：，解得則圓的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?/span>，所以，化簡得：.因?yàn)閳A的圓心到直線的距離為所以直線與圓相交，故滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)．21．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段A1B1的中點(diǎn)，F為線段AB的中點(diǎn).(1)求直線FC到平面 AEC1的距離；(2)求平面 AEC1與平面 EFCC1所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，求出，即可證明，得到平面，點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離，求出平面的法向量，然后利用空間向量法求解點(diǎn)到平面的距離，即可得到結(jié)果．（2）求出平面的法向量，利用空間向量法求解平面與平面所成銳二面角的余弦值即可．【詳解】（1）解：以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，則，，，，.∴，，，，.∵.∴，∴平面，∴點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離，設(shè)平面的法向量為，則，∴，∴，取，則，，∴，又，∴點(diǎn)到平面的距離為.（2）解：設(shè)平面的法向量為，則，∴，∴，取，則，∴，∴，∴平面與平面所成銳二面角的余弦值.22．如圖，在三棱錐中，已知，，為的中點(diǎn)，平面，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，滿足.(1)求點(diǎn)到平面的距離;(2)求直線與平面所成角的余弦值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量以及的方向向量，即可由點(diǎn)面距離的向量求解方法，求解即可；（2）求得直線的方向向量，以及平面的法向量，利用向量法即可求得結(jié)果.【詳解】（1）連接，因?yàn)?/span>，故；由面，面，故，故兩兩垂直，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下所示空間直角坐標(biāo)系：則，，設(shè)，，，因?yàn)?/span>，故可得，解得，故，設(shè)平面的法向量，因?yàn)?/span>故，令，則，故；故點(diǎn)到平面的距離=.（2）設(shè)平面的法向量，因?yàn)?/span>，故，令，則，故；設(shè)直線與平面所成角為，因?yàn)?/span>,故，故.故直線與平面所成角的余弦值為. 

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