1.解三角形中的常見(jiàn)術(shù)語(yǔ)
2.本質(zhì):仰角、俯角、方位角等都是在生產(chǎn)、生活中為方便使用而人為定義的.方向角亦是在測(cè)量中人為設(shè)置的量.3.應(yīng)用:仰角、俯角、方向角、方位角等經(jīng)常用于求距離、高度和角度的題目中.選擇合適的角可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,提高測(cè)量的精確度.
【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)若P在Q的北偏東44°方向,則Q在P的東偏北44°方向.(　　)(2)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的,均是確定觀(guān)察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系,其范圍均是 .(　　)(3)方位角210°的方向與南偏西30°的方向一致.(　　)
提示:(1)×.因?yàn)槿鬚在Q的北偏東44°方向,則Q應(yīng)在P的南偏西44°方向.(2)×.因?yàn)榉较蚪堑姆秶鸀?°～90°,而方位角的范圍為0°～360°.(3)√.由方位角與方向角的定義知正確.
2.如圖,為了測(cè)量隧道AB的長(zhǎng)度,給定下列四組數(shù)據(jù),測(cè)量時(shí)應(yīng)選用數(shù)據(jù)(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.α,a,bB.α,β,aC.a,b,γD.α,β,b【解析】選C.選擇a,b,γ可直接利用余弦定理AB= 求解,而α,β無(wú)法測(cè)量得到,故排除A,B,D.選C.
3.(教材二次開(kāi)發(fā):例題改編)已知兩座建筑A,B與規(guī)劃測(cè)量點(diǎn)C的距離相等,A在C的北偏東40°,B在C的南偏東60°,則A在B的(　　)A.北偏東10°B.北偏西10°C.南偏東10°D.南偏西10°
【解析】選B.如圖,由題意可知△ABC為等腰三角形,∠ACB=80°, 所以∠CBA= (180°-80°)=50°,又60°-50°=10°.所以A在B的北偏西10°.
類(lèi)型一　測(cè)量距離、高度問(wèn)題(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【題組訓(xùn)練】1.如圖所示,設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測(cè)量者與A在河的同側(cè),在A(yíng)所在的河岸邊先確定一點(diǎn)C,測(cè)出A,C的距離為50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,可以計(jì)算出A,B兩點(diǎn)的距離為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.50 mB.50 mC.25 mD. m
2.已知船A在燈塔C北偏東85°且到C的距離為2 km,船B在燈塔C北偏西65°且到C的距離為 km,則A、B兩船的距離為(　　)A.2 kmB.3 kmC. kmD. km
3.如圖所示,D,C,B在地平面同一直線(xiàn)上,DC=10 m,從D,C兩地測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為30°和45°,則A點(diǎn)離地面的高AB等于(　　) A.10 mB.5 mC.5( -1)mD.5( +1)m
【解析】1.選A.∠ABC=180°-45°-105°=30°,在△ABC中由 得AB=100× =50 (m).2.選D.如圖可知∠ACB=85°+65°=150°, AC=2 km,BC= km,所以AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cs 150°=13,所以AB= km.
3.選D.方法一:設(shè)AB=x m,則BC=x m.所以BD=(10+x)m.所以tan ∠ADB= 解得x=5( +1).所以A點(diǎn)離地面的高AB等于5( +1)m.
方法二:因?yàn)椤螦CB=45°,所以∠ACD=135°,所以∠CAD=180°-135°-30°=15°.由正弦定理,得AC= ·sin ∠ADC= ·sin 30°= (m),所以AB=ACsin 45°=5( +1)m.
【解題策略】1.求距離問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)(1)選定或確定所求量所在的三角形,若其他量已知,則直接求解;若有未知量,則先把未知量放在另一確定三角形中求解.(2)確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用,就選擇更便于計(jì)算的定理.
2.解決測(cè)量高度問(wèn)題的一般步驟(1)畫(huà)圖:根據(jù)已知條件畫(huà)出示意圖.(2)分析三角形:分析與問(wèn)題有關(guān)的三角形,在高度問(wèn)題中,經(jīng)常用到直角三角形.(3)求解:運(yùn)用正、余弦定理,有序地解相關(guān)的三角形,逐步求解.在解題中,要綜合運(yùn)用平面幾何知識(shí),注意方程思想的運(yùn)用.
【補(bǔ)償訓(xùn)練】　　1.如圖所示,為了測(cè)定河的寬度,在一岸邊選定兩點(diǎn)A、B,望對(duì)岸標(biāo)記物C,測(cè)得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,則河的寬度為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.230 mB.240 mC.50 mD.60 m
【解析】選D.在△ABC中,∠CAB=30°,∠CBA=75°,所以∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC.所以AC=AB=120 m.如圖, 作CD⊥AB,垂足為D,則CD即為河的寬度.在Rt△ACD中,由正弦定理,得 所以 所以CD=60,所以河的寬度為60 m.
2.在一幢20 m高的樓頂測(cè)得對(duì)面一塔吊頂?shù)难鼋菫?0°,塔基的俯角為45°,那么這座塔吊的高是(　　)
【解析】選B. 如圖,由條件知四邊形ABCD為正方形,所以AB=CD=BC=AD=20 m.在△DCE中,∠EDC=60°,∠DCE=90°,CD=20 m,所以EC=CD·tan 60°=20 (m),所以BE=BC+CE=(20+20 )=20(1+ )m.
類(lèi)型二　測(cè)量角度問(wèn)題(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】(2020·贛榆高一檢測(cè))在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向,距離A為 -1海里的B處有一艘走私船,在A(yíng)處北偏西75°方向,距離A為2海里的C處有一艘緝私艇奉命以10 海里/時(shí)的速度追截走私船,此時(shí),走私船正以10海里/時(shí)的速度從B處向北偏東30°方向逃竄.(1)問(wèn)C與B相距多少海里?C在B的什么方向?(2)問(wèn)緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船?并求出所需時(shí)間.
【解題策略】解決測(cè)量角度的常用方法與注意點(diǎn)(1)測(cè)量角度問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清題意,畫(huà)出圖形,并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后將結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解.(2)求角的度數(shù)時(shí),多用余弦定理求角.因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在(0,π)上是單調(diào)遞減的,而正弦函數(shù)不單調(diào),一個(gè)正弦值可能對(duì)應(yīng)兩個(gè)角.若角在 上時(shí),用正、余弦定理皆可.
【跟蹤訓(xùn)練】甲船在A(yíng)處觀(guān)察到乙船在它的北偏東60°方向的B處,兩船相距a n mile,乙船向正北方向行駛.若甲船的速度是乙船速度的 倍,問(wèn)甲船應(yīng)沿什么方向前進(jìn)才能最快追上乙船?相遇時(shí)乙船行駛了多少n mile?
【解析】如圖所示,設(shè)兩船在C處相遇,并設(shè)∠CAB=θ,乙船行駛距離BC為x n mile,則AC= x,由正弦定理得sin θ= 而θ

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11.3 余弦定理、正弦定理的應(yīng)用

版本： 蘇教版 (2019)

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