高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)必修 第二冊(cè)第11章 解三角形11.2 正弦定理優(yōu)質(zhì)課ppt課件

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1.正弦定理(1)正弦定理
(2)本質(zhì):三角形中,邊與其對(duì)角的正弦之間的關(guān)系.(3)應(yīng)用:求解三角形中的邊或角;進(jìn)行三角形中邊角之間的互化從而判斷三角形的形狀或求解三角形的綜合問(wèn)題.
【思考】利用正弦定理可以解決哪些類(lèi)型的問(wèn)題?提示:(1)已知兩角和任意一邊,求其他兩邊和第三個(gè)角;(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求另一邊的對(duì)角,從而求出其他的邊和角.
2.正弦定理的變形若R為△ABC外接圓的半徑,則(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;(2)sin A= ,sin B= ,sin C= ;(3)sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c;(4) ;(5)S△ABC= absin C= bcsin A= acsinB.
【思考】如何利用正弦定理把三角形的邊化為角,角化為邊?提示:利用正弦定理的變式a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C實(shí)現(xiàn)邊化角;利用公式sin A= ,sin B= ,sin C= 角化邊.
【基礎(chǔ)小測(cè)】 1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)正弦定理不適用于直角三角形.(　　)(2)在△ABC中,若sin A=sin B,則A=B.(　　)(3)在△ABC中,若A>B,則sin A>sin B.(　　)提示: (1)×.正弦定理是適用于任何三角形的.(2)√.在△ABC中,若sin A=sin B,由正弦定理得 = ,故a=b,則A=B.(3)√.在△ABC中,若A>B,則a>b,由正弦定理得2Rsin A>2Rsin B,所以sin A>sin B.
2.在△ABC中,a=3,b=5,sin A= ,則sin B= (　　)　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D.1【解析】選B.因?yàn)閍=3,b=5,sin A= ,所以由正弦定理得sin B=.
3.(教材二次開(kāi)發(fā):例題改編)在△ABC中,若A=60°,B=45°,BC=3 ,則AC=(　　)A.4 B.2 C. D. 【解析】選B.由正弦定理得: = ,所以 .
類(lèi)型一　已知兩角及一邊解三角形(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【題組訓(xùn)練】1.(2020·長(zhǎng)沙高一檢測(cè))已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,A=30°,B=45°,則 =(　　)A. B. C. D.
2.在△ABC中,a=10,B=60°,cs C= ,則c等于(　　)A.20( +2)B.20( -2)C. +2D.20 3.在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解這個(gè)三角形.
【解析】1.選B.由正弦定理知, ,即 = , = .
2.選B. 由cs C= 得sin C= ,sin A=sin(B+C)=sin Bcs C+cs Bsin C= .由正弦定理得c=a·
3.因?yàn)锳=45°,C=30°,所以B=180°-(A+C)=105°.由 得a= .因?yàn)閟in 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cs 45°+cs 30°sin 45°= ,所以b=所以a=10 ,b=5 +5 ,B=105°.
【解題策略】已知三角形的兩角和任一邊解三角形的思路(1)若所給邊是已知角的對(duì)邊時(shí),可由正弦定理求另一角所對(duì)的邊,再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角.(2)若所給邊不是已知角的對(duì)邊時(shí),先由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角,再由正弦定理求另外兩邊.
【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,則b=(　　)　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.4 B.4 C.4 D. 【解析】選C.A=180°-B-C=45°,由正弦定理 ,得b= .
2.在△ABC中,A=60°,sin B= ,a=3,求三角形中其他邊與角的大小.【解析】因?yàn)閟in B= ,所以B=30°或150°,當(dāng)B=30°時(shí),由A=60°得C=90°;當(dāng)B=150°時(shí),不合題意,舍去.所以由正弦定理 ,得
類(lèi)型二　已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】在△ABC中,已知c= ,A=45°,a=2,解這個(gè)三角形.
　 【解題策略】已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形的思路(1)首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值;(2)如果已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí),由三角形中大邊對(duì)大角,大角對(duì)大邊的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角,由正弦值可求銳角;(3)如果已知的角為小邊所對(duì)的角,不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角時(shí),這時(shí)由正弦值可求出兩個(gè)角,要分類(lèi)討論.
　【跟蹤訓(xùn)練】在△ABC中,cs A= ,a=4 ,b=4 ,則B等于(　　)　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.45°或135°B.135°C.45°D.60°【解析】選C.由cs A= ,得sin A= ,A=60°,由正弦定理得sin B= = .因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180°,且a>b,所以B=45°.
【拓展延伸】　1.已知兩邊及一邊對(duì)角解三角形的個(gè)數(shù)判斷
2.解題思路在已知三角形兩邊及其中一邊的對(duì)角,求該三角形的其他邊角的問(wèn)題時(shí),首先必須判斷是否有解,如果有解,是一解還是兩解,注意“大邊對(duì)大角”在判定中的應(yīng)用.運(yùn)用余弦定理時(shí),要注意整體思想的運(yùn)用.
【拓展訓(xùn)練】　(2020·進(jìn)賢高一檢測(cè))在△ABC中角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知A=60°,b=2 ,為使此三角形有兩個(gè),則a滿(mǎn)足的條件是(　　)A.0