蘇教版 (2019)必修 第二冊(cè)11.3 余弦定理、正弦定理的應(yīng)用評(píng)課ppt課件

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11.3　余弦定理、正弦定理的應(yīng)用學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1．能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題．(難點(diǎn))2．能夠用正、余弦定理求解與距離、高度有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題．(重點(diǎn))　通過(guò)利用正、余弦定理求解實(shí)際問(wèn)題中的距離、高度，培養(yǎng)直觀想象及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．天文觀測(cè)，航海和地理測(cè)量是人類認(rèn)識(shí)自然的重要方面，解三角形的理論在其中發(fā)揮了重要作用．許多實(shí)際問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為求三角形的邊或角的問(wèn)題．那么，如何利用這些關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題？知識(shí)點(diǎn)　測(cè)量中的有關(guān)角的概念1．仰角和俯角：與視線在同一鉛垂面內(nèi)的水平線和視線的夾角．視線在水平線上方叫仰角，視線在水平線下方時(shí)叫俯角．如圖(1)．圖(1)2．方位角：從指北方向線順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角，如圖(2)，方向線PA，PB的位角分別為40°，240°．圖(2)　　　　　　　圖(3)3．方向角：指北或指南的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角，叫方向角，它是方位角的另一種表示形式．如圖(3)，方向線OA，OB的方向角分別為北偏東60°，南偏西30°． 類型1　正、余弦定理在物理學(xué)中的應(yīng)用【例1】　如圖，墻上有一個(gè)三角形燈架OAB，燈所受的重力為10 N，且OA，OB都是細(xì)桿，只受沿桿方向的力．試求桿OA，OB所受的力(結(jié)果精確到0.1)．[解]　如圖，作＝F，將F沿A到O，O到B兩個(gè)方向進(jìn)行分解，即作?OCED，則＝＝F1，＝F2．由題設(shè)條件可知，||＝10，∠OCE＝50°，∠OEC＝70°，所以∠COE＝180°－50°－70°＝60°．在△OCE中，由正弦定理，得＝，＝，因此，|F1|＝≈11.3 N，|F2|＝≈12.3 N．即燈桿OA所受的力為11.3 N，燈桿OB所受的力為12.3 N．在運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決力的合成與分解問(wèn)題時(shí)，通常涉及平行四邊形，根據(jù)題意，選擇一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過(guò)解這些三角形，得出實(shí)際問(wèn)題的解.[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力F1，F2，F3平衡．已知F1＝30 N，F2＝50 N，F1與F2之間的夾角是60°，求F3的大小與方向(精確到0.1°)．[解]　F3應(yīng)和F1，F2的合力F平衡，所以F3和F在同一直線上，并且大小相等，方向相反．如圖，在△OF1F中，由余弦定理，得F＝＝70(N)，再由正弦定理，得sin∠F1OF＝＝，所以∠F1OF≈38.2°，從而∠F1OF3≈141.8°．即F3為70 N，F3和F1間的夾角為141.8°． 類型2　正、余弦定理在幾何中的應(yīng)用【例2】　如圖，在△ABC中，B＝，AC＝2，cos C＝．(1)求sin∠BAC的值；(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為D，求中線AD的長(zhǎng)．[解]　(1)因?yàn)?/span>cos C＝，且C是三角形的內(nèi)角，所以sin C＝＝＝．所以sin∠BAC＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝．(2)在△ABC中，由正弦定理得，＝，則BC＝×sin∠BAC＝×＝6，所以CD＝BC＝3．又在△ADC中，AC＝2，cos C＝，所以由余弦定理得，AD＝＝＝．三角形中幾何計(jì)算問(wèn)題的解題思路(1)正確挖掘圖形中的幾何條件，簡(jiǎn)化運(yùn)算是解題要點(diǎn)，善于應(yīng)用正弦定理、余弦定理，只需通過(guò)解三角形，一般問(wèn)題便能很快解決．(2)此類問(wèn)題突破的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)圖形中較隱蔽的幾何條件．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．如圖所示，△ACD是等邊三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2．(1)求cos∠CBE的值；(2)求AE．[解]　(1)因?yàn)?/span>∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，所以∠CBE＝15°．所以cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝．(2)在△ABE中，AB＝2，由已知和(1)知∠ABE＝∠ABC－∠CBE＝45°－15°＝30°，∠AEB＝∠ACB＋∠EBC＝90°＋15°＝105°，由正弦定理，得＝，∴AE＝＝＝－． 類型3　正、余弦定理在測(cè)量學(xué)中的應(yīng)用　測(cè)量距離問(wèn)題【例3】　某基地進(jìn)行實(shí)兵對(duì)抗演習(xí)，紅方為了準(zhǔn)確分析戰(zhàn)場(chǎng)形勢(shì)，從相距a(km)的軍事基地C和D處測(cè)得藍(lán)方兩支精銳部隊(duì)分別在A處和B處，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如圖所示，求藍(lán)方這兩支精銳部隊(duì)間的距離．[解]　法一：∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°．∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AD＝CD＝a(km)．在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得＝，得BD＝CD·＝a·＝a(km)．在△ADB中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝a2＋－2×a×a×＝a2，∴AB＝a(km)．故藍(lán)方這兩支精銳部隊(duì)間的距離為a(km)．法二：在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得＝，則BC＝＝a(km)，在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，所以△ACD為等邊三角形．因?yàn)?/span>∠ADB＝∠BDC，所以BD為AC的垂直平分線，所以AB＝BC＝a(km)．故藍(lán)方這兩支精銳部隊(duì)間的距離為a(km)．　測(cè)量高度問(wèn)題【例4】　濟(jì)南泉城廣場(chǎng)上的泉標(biāo)是隸書“泉”字，其造型流暢別致，成了濟(jì)南的標(biāo)志和象征．小明同學(xué)想測(cè)量泉標(biāo)的高度，于是他在廣場(chǎng)的A點(diǎn)測(cè)得泉標(biāo)頂端的仰角為60°，他又沿著泉標(biāo)底部方向前進(jìn)15.2 m，到達(dá)B點(diǎn)，又測(cè)得泉標(biāo)頂端的仰角為80°．你能幫小明同學(xué)求出泉標(biāo)的高度嗎？ (精確至1 m)[解]　如圖所示，點(diǎn)C，D分別為泉標(biāo)的底部和頂端．依題意，得∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2 m，則∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°．在△ABD中，根據(jù)正弦定理，得＝，∴BD＝＝≈38.5 m．在Rt△BCD中，CD＝BDsin 80°≈38.5sin 80°≈38 m．即泉城廣場(chǎng)上泉標(biāo)的高約為38 m．1．解決測(cè)量高度問(wèn)題的一般步驟(1)畫圖：根據(jù)已知條件畫出示意圖；(2)分析三角形：分析與問(wèn)題有關(guān)的三角形；(3)求解：運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解．在解題中，要綜合運(yùn)用立體幾何知識(shí)與平面幾何知識(shí)，注意方程思想的運(yùn)用．2．測(cè)量距離問(wèn)題分為三種類型：兩點(diǎn)間不可通又不可視，兩點(diǎn)間可視但不可達(dá)，兩點(diǎn)都不可達(dá)．解決此問(wèn)題的方法是，選擇合適的輔助測(cè)量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而利用正、余弦定理求解．提醒：解題時(shí)要注意題目條件和實(shí)際意義中的隱含信息，避免出現(xiàn)增解或漏解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．如圖所示，A，B是水平面上的兩個(gè)點(diǎn)，相距800 m，在A點(diǎn)測(cè)得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，∠ABD＝45°，其中D是點(diǎn)C到水平面的垂足，求山高CD．[解]　因?yàn)?/span>CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD，因此只需在△ABD中求出AD即可．在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由正弦定理得＝，所以AD＝＝＝800(＋1)(m)．即山的高度CD為800(＋1) m．4．如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里每小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)至少需要幾小時(shí)？[解]　由題意知AB＝5(3＋)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°，所以∠ADB＝105°，所以sin 105°＝sin 45°cos 60°＋sin 60°cos 45°＝×＋×＝，在△ABD中，由正弦定理得＝，所以BD＝＝＝＝10，又∠DBC＝180°－60°－60°＝60°，BC＝20，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BCcos 60°＝300＋1 200－2×10×20×＝900，所以CD＝30(海里)，則至少需要的時(shí)間t＝＝1(小時(shí))．即該救援船到達(dá)D點(diǎn)至少需要1小時(shí)．1．若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東60°方向上，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東30°方向上，且AC＝BC，則點(diǎn)A在點(diǎn)B的(　　)A．北偏東15°方向上   B．北偏西15°方向上C．北偏東10°方向上   D．北偏西10°方向上A　[由題意，可得幾何位置關(guān)系如圖所示．則∠CBE＝30°，∠ABC＝45°，所以∠ABE＝15°，故點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏東15°方向上．故選A．]2．如圖，在限速為90 km/h的公路AB旁有一測(cè)速站P，已知點(diǎn)P距測(cè)速區(qū)起點(diǎn)A的距離為0.08 km，距測(cè)速區(qū)終點(diǎn)B的距離為0.05 km，且∠APB＝60°，現(xiàn)測(cè)得某輛汽車從A點(diǎn)行駛到B點(diǎn)所用的時(shí)間為3 s，則此車的速度介于(　　)A．60～70 km/h   B．70～80 km/hC．80～90 km/h   D．90～100 km/hC　[由余弦定理得AB＝＝0.07 km，則此車的速度為×3 600＝7×12＝84 km/h．故選C．]3．身高相同的甲、乙兩人在同一地平面上的不同方向觀測(cè)20 m高的旗桿，甲觀測(cè)的仰角為50°，乙觀測(cè)的仰角為40°，用d1，d2分別表示甲、乙兩人離旗桿的距離，那么有(　　)A．d1>d2   B．d1<d2C．d1>20 m   D．d2<20 mB　[如圖，設(shè)旗桿高為h，則d1＝，d2＝．因?yàn)?/span>tan 50°>tan 40°，所以d1<d2．又因?yàn)?/span>h＝20 m，tan 45°＝1，所以d1<20 m，d2>20 m，故選C．]4．一艘船以4 km/h的速度沿著與水流方向成120°的方向航行，已知河水流速為2 km/h，則經(jīng)過(guò) h，該船實(shí)際航程為________ km．6　[v實(shí)＝＝2(km/h)．所以實(shí)際航程為2×＝6(km)．]5．某市在“舊城改造”工程中，計(jì)劃在如圖所示的一塊三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境．已知這種草皮價(jià)格為a元/m2，則購(gòu)買這種草皮需要________元．150a　[∵S△＝×20×30×sin 150°＝×20×30×＝150(m2)，∴購(gòu)買這種草皮需要150a元．]回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問(wèn)題：1．如圖，A，B兩點(diǎn)在河的對(duì)岸，且不可到達(dá)，如何測(cè)量其兩點(diǎn)間的距離？[提示]　在河岸這邊選取點(diǎn)C，D，測(cè)得CD＝a，∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，則在△ACD和△BCD中應(yīng)用正弦定理可求AC，BC的長(zhǎng)，進(jìn)而在△ACB中應(yīng)用余弦定理求AB．2．如圖，如何測(cè)量山頂塔AB的高？(測(cè)量者的身高忽略不記)[提示]　測(cè)量者在山下先選擇一基點(diǎn)P，測(cè)出此時(shí)山頂?shù)难鼋?/span>α，前進(jìn)a米后，再測(cè)出此時(shí)山頂?shù)难鼋?/span>β，則借助直角三角形的邊角關(guān)系可求塔頂距地面的高h，進(jìn)而利用AB＝h－H求解．