2021中考數(shù)學(xué)壓軸題題型：專題16二次函數(shù)與幾何變換綜合問題（含原卷及解析卷）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

?2021新版中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘
專題16二次函數(shù)與幾何變換綜合問題

【例1】（2020?襄陽）如圖，直線y=?12x+2交y軸于點A，交x軸于點C，拋物線y=?14x2+bx+c經(jīng)過點A，點C，且交x軸于另一點B．
（1）直接寫出點A，點B，點C的坐標(biāo)及拋物線的解析式；
（2）在直線AC上方的拋物線上有一點M，求四邊形ABCM面積的最大值及此時點M的坐標(biāo)；
（3）將線段OA繞x軸上的動點P（m，0）順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段O′A′，若線段O′A′與拋物線只有一個公共點，請結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍．

【例2】（2020?綏化）如圖1，拋物線y=?12（x+2）2+6與拋物線y1＝﹣x2+12tx+t﹣2相交y軸于點C，拋物線y1與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側(cè)），直線y2＝kx+3交x軸負(fù)半軸于點N，交y軸于點M，且OC＝ON．
（1）求拋物線y1的解析式與k的值；
（2）拋物線y1的對稱軸交x軸于點D，連接AC，在x軸上方的對稱軸上找一點E，使以點A，D，E為頂點的三角形與△AOC相似，求出DE的長；
（3）如圖2，過拋物線y1上的動點G作GH⊥x軸于點H，交直線y2＝kx+3于點Q，若點Q'是點Q關(guān)于直線MG的對稱點，是否存在點G（不與點C重合），使點Q'落在y軸上？若存在，請直接寫出點G的橫坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

【例3】（2020?荊門）如圖，拋物線L：y=12x2?54x﹣3與x軸正半軸交于點A，與y軸交于點B．
（1）求直線AB的解析式及拋物線頂點坐標(biāo)；
（2）如圖1，點P為第四象限且在對稱軸右側(cè)拋物線上一動點，過點P作PC⊥x軸，垂足為C，PC交AB于點D，求PD+BD的最大值，并求出此時點P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，將拋物線L：y=12x2?54x﹣3向右平移得到拋物線L'，直線AB與拋物線L'交于M，N兩點，若點A是線段MN的中點，求拋物線L'的解析式．

【例4】（2020?深圳）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸的交點A（﹣3，0）和B（1，0），與y軸交于點C，頂點為D．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）連接AD，DC，CB，將△OBC沿x軸以每秒1個單位長度的速度向左平移，得到△O'B'C'，點O、B、C的對應(yīng)點分別為點O'、B'、C'，設(shè)平移時間為t秒，當(dāng)點O'與點A重合時停止移動．記△O'B'C'與四邊形AOCD重合部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖2，過該拋物線上任意一點M（m，n）向直線l：y=92作垂線，垂足為E，試問在該拋物線的對稱軸上是否存在一點F，使得ME﹣MF=14？若存在，請求出F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【例5】（2020?沈陽）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，拋物線y=12x2+bx+c經(jīng)過點B（6，0）和點C（0，﹣3）．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖2，線段OC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段OD．過點B作射線BD，點M是射線BD上一點（不與點B重合），點M關(guān)于x軸的對稱點為點N，連接NM，NB．
①直接寫出△MBN的形狀為　 ??；
②設(shè)△MBN的面積為S1，△ODB的面積為是S2．當(dāng)S1=23S2時，求點M的坐標(biāo)；
（3）如圖3，在（2）的結(jié)論下，過點B作BE⊥BN，交NM的延長線于點E，線段BE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜120°）得到線段BF，過點F作FK∥x軸，交射線BE于點K，∠KBF的角平分線和∠KFB的角平分線相交于點G，當(dāng)BG＝23時，請直接寫出點G的坐標(biāo)為　 ?。?br />

【題組一】
1．（2020?洛陽一模）如圖，直線y＝﹣x+c與x軸交于點B（3，0），與y軸交于點C，過點B，C的拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的另一個交點為A．

（1）求拋物線的解析式和點A的坐標(biāo)；
（2）P是直線BC上方拋物線上一動點，PA交BC于 D．設(shè)t=PDAD，請求出t的最大值和此時點P的坐標(biāo)；
（3）M是x軸上一動點，連接MC，將MC繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90°得線段ME，若點E恰好落在拋物線上，請直接寫出此時點M的坐標(biāo)．
2．（2020?成都模擬）已知，如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點為M（1，9），經(jīng)過拋物線上的兩點A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直線交拋物線的對稱軸于點C．

（1）求拋物線的解析式及點B的坐標(biāo)．
（2）在拋物線上A，M兩點之間的部分（不包含A，M兩點），是否存在點D，使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）上下平移直線AB，設(shè)平移后的直線與拋物線交于A′，B′兩點（A′在左邊，B'在右邊），且與y軸交于點P（0，n），若∠A′MB′＝90°，求n的值．
3．（2020?武漢模擬）已知拋物線交x軸于A，B兩點（A在B右邊），A（3，0），B（1，0）交y軸于C點，C（0，3），連接AC；

（1）求拋物線的解析式；
（2）P為拋物線上的一點，作PE⊥CA于E點，且CE＝3PE，求P點坐標(biāo)；
（3）將原拋物線向上平移1個單位拋物線的對稱軸交x軸于H點，過H作直線MH，NH，當(dāng)MH⊥NH時，求MN恒過的定點坐標(biāo)．
4．（2020春?武邑縣校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（4，0），B兩點，與y軸交于點C（0，2），對稱軸x＝1，與x軸交于點H．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）直線y＝kx+1（k≠0）與y軸交于點E，與拋物線交于點P，Q（點P在y軸左側(cè)，點Q在y軸右側(cè)），連接CP，CQ，若△CPQ的面積為5，求點P，Q的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，連接AC交PQ于G，在對稱軸上是否存在一點K，連接GK，將線段GK繞點G順時針旋轉(zhuǎn)90°，使點K恰好落在拋物線上？若存在，請直接寫出點K的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【題組二】
5．（2020?天山區(qū)校級三模）如圖，拋物線y＝x2+mx+n與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，若A（﹣1，0），且OC＝3OA．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M為拋物線上第四象限內(nèi)一動點，順次連接AC，CM，MB，是否存在點M，使四邊形MBAC的面積為9，若存在，求出點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
（3）將直線BC沿x軸翻折交y軸于N點，過B點的直線l交y軸、拋物線分別于D、E，且D在N的上方，將A點繞O順時針旋轉(zhuǎn)90°得M，若∠NBD＝∠MBO，試求E的的坐標(biāo)．

6．（2020春?岳麓區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（4，0），B兩點，與y軸交于點C（0，2），對稱軸x＝1，與x軸交于點H．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）直線y＝kx+1（k≠0）與y軸交于點E，與拋物線交于點P，Q（點P在y軸左側(cè)，點Q在y軸右側(cè)），連接CP，CQ，若△CPQ的面積為5，求點P，Q的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，連接AC交PQ于G，在對稱軸上是否存在一點K，連接GK，將線段GK繞點G順時針旋轉(zhuǎn)90°，使點K恰好落在拋物線上？若存在，請直接寫出點K的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
7．（2020?和平區(qū)模擬）已知點A（﹣4，8）和點B（2，n）在拋物線y＝ax2上．
（Ⅰ）求該拋物線的解析式和頂點坐標(biāo)，并求出n的值；
（Ⅱ）求點B關(guān)于x軸對稱點P的坐標(biāo)，并在x軸上找一點Q，使得AQ+QB最短，求此時點Q的坐標(biāo)；
（Ⅲ）平移拋物線y＝ax2，記平移后點A的對應(yīng)點為A'，點B的對應(yīng)點為B'，點C（﹣2，0）是x軸上的定點．
①當(dāng)拋物線向左平移到某個位置時，A'C+CB'最短，求此時拋物線的解析式；
②D（﹣4，0）是x軸上的定點，當(dāng)拋物線向左平移到某個位置時，四邊形A'B'CD的周長最短，求此時拋物線的解析式（直接寫出結(jié)果即可）．
8．（2020?金牛區(qū)模擬）已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+3x﹣a2+a+2（a＞1）的圖象交x軸于點A和點B（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為E．
（1）如圖1，求線段AB的長度（用含a的式子表示）及拋物線的對稱軸；
（2）如圖2，當(dāng)拋物線的圖象經(jīng)過原點時，在平面內(nèi)是否存在一點P，使得以A、B、E、P為頂點的四邊形能否成為平行四邊形？如果能，求出P點坐標(biāo)；如果不能，請說明理由；
（3）如圖3，當(dāng)a＝3時，若M點為x軸上一動點，連結(jié)MC，將線段MC繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN，連結(jié)AC、CN、AN，則△ACN周長的最小值為多少？

【題組三】
9．（2020?高臺縣一模）如圖①已知拋物線y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的圖象與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y的正半軸交于點C，連結(jié)BC，二次函數(shù)的對稱軸與x軸的交點E．
（1）拋物線的對稱軸與x軸的交點E坐標(biāo)為　　，點A的坐標(biāo)為　 ??；
（2）若以E為圓心的圓與y軸和直線BC都相切，試求出拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，如圖②Q（m，0）是x的正半軸上一點，過點Q作y軸的平行線，與直線BC交于點M，與拋物線交于點N，連結(jié)CN，將△CMN沿CN翻折，M的對應(yīng)點為M′．在圖②中探究：是否存在點Q，使得M′恰好落在y軸上？若存在，請求出Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

10．（2019?成都）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣2，5），與x軸相交于B（﹣1，0），C（3，0）兩點．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點D在拋物線的對稱軸上，且位于x軸的上方，將△BCD沿直線BD翻折得到△BC'D，若點C'恰好落在拋物線的對稱軸上，求點C'和點D的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一點，點Q在拋物線的對稱軸上，當(dāng)△CPQ為等邊三角形時，求直線BP的函數(shù)表達(dá)式．

11．（2019?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點E．
（1）連結(jié)BD，點M是線段BD上一動點（點M不與端點B，D重合），過點M作MN⊥BD，交拋物線于點N（點N在對稱軸的右側(cè)），過點N作NH⊥x軸，垂足為H，交BD于點F，點P是線段OC上一動點，當(dāng)MN取得最大值時，求HF+FP+13PC的最小值；
（2）在（1）中，當(dāng)MN取得最大值，HF+FP+13PC取得最小值時，把點P向上平移22個單位得到點Q，連結(jié)AQ，把△AOQ繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中邊A′Q′交坐標(biāo)軸于點G．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q′的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

12．（2019?天水）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y軸，交拋物線于點D，DE垂直于x軸，垂足為E，直線l是該拋物線的對稱軸，點F是拋物線的頂點．
（1）求出該二次函數(shù)的表達(dá)式及點D的坐標(biāo)；
（2）若Rt△AOC沿x軸向右平移，使其直角邊OC與對稱軸l重合，再沿對稱軸l向上平移到點C與點F重合，得到Rt△A1O1F，求此時Rt△A1O1F與矩形OCDE重疊部分圖形的面積；
（3）若Rt△AOC沿x軸向右平移t個單位長度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2與Rt△OED重疊部分圖形的面積記為S，求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量t的取值范圍．

【題組四】
13．（2019?廣元）如圖，直線y＝﹣x+4與x軸，y軸分別交于A，B兩點，過A，B兩點的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點C（﹣1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接BC，若點E是線段AC上的一個動點（不與A，C重合），過點E作EF∥BC，交AB于點F，當(dāng)△BEF的面積是52時，求點E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的結(jié)論下，將△BEF繞點F旋轉(zhuǎn)180°得△B′E′F，試判斷點E′是否在拋物線上，并說明理由．

14．（2019?湘西州）如圖，拋物線y＝ax2+bx（a＞0）過點E（8，0），矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點A在點B的左側(cè)），點C、D在拋物線上，∠BAD的平分線AM交BC于點M，點N是CD的中點，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）F、G分別為x軸，y軸上的動點，順次連接M、N、G、F構(gòu)成四邊形MNGF，求四邊形MNGF周長的最小值；
（3）在x軸下方且在拋物線上是否存在點P，使△ODP中OD邊上的高為6105？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（4）矩形ABCD不動，將拋物線向右平移，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點K、L，且直線KL平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離．

15．（2019?河南）如圖，拋物線y＝ax2+12x+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C．直線y=?12x﹣2經(jīng)過點A，C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線，交直線AC于點M，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．
①當(dāng)△PCM是直角三角形時，求點P的坐標(biāo)；
②作點B關(guān)于點C的對稱點B'，則平面內(nèi)存在直線l，使點M，B，B′到該直線的距離都相等．當(dāng)點P在y軸右側(cè)的拋物線上，且與點B不重合時，請直接寫出直線l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）

16．（2019?大連）把函數(shù)C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的圖象繞點P（m，0）旋轉(zhuǎn)180°，得到新函數(shù)C2的圖象，我們稱C2是C1關(guān)于點P的相關(guān)函數(shù)．C2的圖象的對稱軸與x軸交點坐標(biāo)為（t，0）．
（1）填空：t的值為　 ?。ㄓ煤琺的代數(shù)式表示）
（2）若a＝﹣1，當(dāng)12≤x≤t時，函數(shù)C1的最大值為y1，最小值為y2，且y1﹣y2＝1，求C2的解析式；
（3）當(dāng)m＝0時，C2的圖象與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的右側(cè)）．與y軸相交于點D．把線段AD原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到它的對應(yīng)線段A′D′，若線A′D′與C2的圖象有公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．
【題組五】
17．（2020?湘潭）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+5與x軸交于A，B兩點．

（1）若過點C的直線x＝2是拋物線的對稱軸．
①求拋物線的解析式；
②對稱軸上是否存在一點P，使點B關(guān)于直線OP的對稱點B'恰好落在對稱軸上．若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（2）當(dāng)b≥4，0≤x≤2時，函數(shù)值y的最大值滿足3≤y≤15，求b的取值范圍．
18．（2020?益陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點F的坐標(biāo)是（4，2），點P為一個動點，過點P作x軸的垂線PH，垂足為H，點P在運動過程中始終滿足PF＝PH．
【提示：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點M、N的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2），則MN2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2】
（1）判斷點P在運動過程中是否經(jīng)過點C（0，5）；
（2）設(shè)動點P的坐標(biāo)為（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；填寫下表，并在給定坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象；
x
…
0
2
4
6
8
…
y
…
　　
　　
　　
　　
　　
…
（3）點C關(guān)于x軸的對稱點為C'，點P在直線C'F的下方時，求線段PF長度的取值范圍．

19．（2020?丹東）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，A點坐標(biāo)為（﹣2，0），與y軸交于點C（0，4），直線y=?12x+m與拋物線交于B，D兩點．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
（2）求m的值和D點坐標(biāo)．
（3）點P是直線BD上方拋物線上的動點，過點P作x軸的垂線，垂足為H，交直線BD于點F，過點D作x軸的平行線，交PH于點N，當(dāng)N是線段PF的三等分點時，求P點坐標(biāo)．
（4）如圖2，Q是x軸上一點，其坐標(biāo)為（?45，0）．動點M從A出發(fā)，沿x軸正方向以每秒5個單位的速度運動，設(shè)M的運動時間為t（t＞0），連接AD，過M作MG⊥AD于點G，以MG所在直線為對稱軸，線段AQ經(jīng)軸對稱變換后的圖形為A′Q′，點M在運動過程中，線段A′Q′的位置也隨之變化，請直接寫出運動過程中線段A′Q′與拋物線有公共點時t的取值范圍．

20．（2019?內(nèi)江）兩條拋物線C1：y1＝3x2﹣6x﹣1與C2：y2＝x2﹣mx+n的頂點相同．
（1）求拋物線C2的解析式；
（2）點A是拋物線C2在第四象限內(nèi)圖象上的一動點，過點A作AP⊥x軸，P為垂足，求AP+OP的最大值；
（3）設(shè)拋物線C2的頂點為點C，點B的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），問在C2的對稱軸上是否存在點Q，使線段QB繞點Q順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段QB′，且點B′恰好落在拋物線C2上？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【題組五】
21．（2019?遵義）如圖，拋物線C1：y＝x2﹣2x與拋物線C2：y＝ax2+bx開口大小相同、方向相反，它們相交于O，C兩點，且分別與x軸的正半軸交于點B，點A，OA＝2OB．
（1）求拋物線C2的解析式；
（2）在拋物線C2的對稱軸上是否存在點P，使PA+PC的值最??？若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；
（3）M是直線OC上方拋物線C2上的一個動點，連接MO，MC，M運動到什么位置時，△MOC面積最大？并求出最大面積．

22．（2019?鐵嶺）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+6與x軸交于點A（﹣2，0），B（6，0），與y軸交于點C，頂點為D，直線AD交y軸于點E．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖2，將△AOE沿直線AD平移得到△NMP．
①當(dāng)點M落在拋物線上時，求點M的坐標(biāo)．
②在△NMP移動過程中，存在點M使△MBD為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標(biāo)．

23．（2020?信陽一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y=34x+m與x軸、y軸分別交于點A和點B（0，﹣1），拋物線y=12x2+bx+c經(jīng)過點B，且與直線l的另一個交點為C（4，n）．

（1）求n的值和拋物線的解析式；
（2）點D在拋物線上，且點D的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4）．DE∥y軸交直線l于點E，點F在直線l上，且四邊形DFEG為矩形（如圖2）．若矩形DFEG的周長為p，求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值；
（3）M是平面內(nèi)一點，將△AOB繞點M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，得到△A1O1B1，點A、O、B的對應(yīng)點分別是點A1、O1、B1．若△A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上，請直接寫出點A1的橫坐標(biāo)．
24．（2020?新疆）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點是A（1，3），將OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到OB，點B恰好在拋物線上，OB與拋物線的對稱軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）P是線段AC上一動點，且不與點A，C重合，過點P作平行于x軸的直線，與△OAB的邊分別交于M，N兩點，將△AMN以直線MN為對稱軸翻折，得到△A′MN，設(shè)點P的縱坐標(biāo)為m．
①當(dāng)△A′MN在△OAB內(nèi)部時，求m的取值范圍；
②是否存在點P，使S△A′MN=56S△OA′B，若存在，求出滿足條件m的值；若不存在，請說明理由．

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