?2021新版中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘
專題14圓與相似三角函數(shù)綜合問(wèn)題


【例1】（2020?綿陽(yáng)）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在⊙O外，∠ADC＝90°，BD交⊙O于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，∠EAC＝∠DCE，∠CEB＝∠DCA，CD＝6，AD＝8．
（1）求證：AB∥CD；
（2）求證：CD是⊙O的切線；
（3）求tan∠ACB的值．
【例2】（2020?淄博）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD平分∠BAC交BC邊于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，設(shè)⊙O的半徑為R，AF＝h．
（1）過(guò)點(diǎn)D作直線MN∥BC，求證：MN是⊙O的切線；
（2）求證：AB?AC＝2R?h；
（3）設(shè)∠BAC＝2α，求AB+ACAD的值（用含α的代數(shù)式表示）．

【例3】（2020?恩施州）如圖1，AB是⊙O的直徑，直線AM與⊙O相切于點(diǎn)A，直線BN與⊙O相切于點(diǎn)B，點(diǎn)C（異于點(diǎn)A）在AM上，點(diǎn)D在⊙O上，且CD＝CA，延長(zhǎng)CD與BN相交于點(diǎn)E，連接AD并延長(zhǎng)交BN于點(diǎn)F．

（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）求證：BE＝EF；
（3）如圖2，連接EO并延長(zhǎng)與⊙O分別相交于點(diǎn)G、H，連接BH．若AB＝6，AC＝4，求tan∠BHE．
【例4】（2020?孝感）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠ABC的平分線與⊙O交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，連接CD并延長(zhǎng)與⊙O過(guò)點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)F，記∠BAC＝α．
（1）如圖1，若α＝60°，
①直接寫(xiě)出DFDC的值為　 ??；
②當(dāng)⊙O的半徑為2時(shí)，直接寫(xiě)出圖中陰影部分的面積為　 ?。?br /> （2）如圖2，若α＜60°，且DFDC=23，DE＝4，求BE的長(zhǎng)．

【例5】（2020?鄂州）如圖所示：⊙O與△ABC的邊BC相切于點(diǎn)C，與AC、AB分別交于點(diǎn)D、E，DE∥OB．DC是⊙O的直徑．連接OE，過(guò)C作CG∥OE交⊙O于G，連接DG、EC，DG與EC交于點(diǎn)F．
（1）求證：直線AB與⊙O相切；
（2）求證：AE?ED＝AC?EF；
（3）若EF＝3，tan∠ACE=12時(shí)，過(guò)A作AN∥CE交⊙O于M、N兩點(diǎn)（M在線段AN上），求AN的長(zhǎng)．

【例6】（2020?長(zhǎng)沙）如圖，半徑為4的⊙O中，弦AB的長(zhǎng)度為43，點(diǎn)C是劣弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是弦AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是弦BC的中點(diǎn)，連接DE、OD、OE．
（1）求∠AOB的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)C沿著劣弧AB從點(diǎn)A開(kāi)始，逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求△ODE的外心P所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)度；
（3）分別記△ODE，△CDE的面積為S1，S2，當(dāng)S12﹣S22＝21時(shí)，求弦AC的長(zhǎng)度．

【題組一】
1．（2020?西鄉(xiāng)塘區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)O是△ABC中AB邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑作⊙O，⊙O恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且與邊BC，AB分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．連接AE，過(guò)點(diǎn)E作⊙O的切線，交線段BF于點(diǎn)M，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，且EM＝BM，EB＝AO．
（1）求∠EAM的度數(shù)；
（2）求證：AC2＝2BM?OB；
（3）若OA=3，求△CNE的面積．

2．（2020?吳江區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，點(diǎn)E在圓外，OE⊥AC于D，BE交⊙O于點(diǎn)F，連接BD，BC，CF，∠BFC＝∠AED．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）求證：△BOD∽△EOB；
（3）設(shè)△BOD的面積為S1，△BCF的面積為S2，若tan∠ODB=53，求S1S2的值．

3．（2020?黃石模擬）如圖，AB是⊙O直徑，以AB為邊作等腰△ABC，且AB＝BC，⊙O與邊AC相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，并交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：DF是⊙O的切線．
（2）若DF＝22，∠F＝45°，求由線段BF、FD及BD所圍成的圖形（陰影部分）面積．
（3）若tanA=13，BD＝1，求FD的長(zhǎng)．

4．（2020?三水區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E為線段OB上一點(diǎn)（不與O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于點(diǎn)C，作直徑CD，過(guò)點(diǎn)C的切線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，作AF⊥PC于點(diǎn)F，連接CB．
（I）求證：AC平分∠FAB；
（2）求證：BC2＝CE?CP；
（3）當(dāng)AB＝43且CFCP=34時(shí)，求弦BC與其所對(duì)的劣弧BC所組成的弓形面積．

5．（2020?路北區(qū)二模）已知：在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作EF的垂線交DC于點(diǎn)H，以EF為直徑作半圓O．
（1）填空：點(diǎn)A　 ?。ㄌ睢霸凇被颉安辉凇保┌雸AO上；
當(dāng)AE=AF時(shí)，tan∠AEF的值是　 ??；
（2）如圖1，在△EFH中，當(dāng)FE＝FH時(shí)，求證：AD＝AE+DH；
（3）如圖2，當(dāng)△EFH的頂點(diǎn)F是邊AD的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出EH、AE、DH三條線段的數(shù)量關(guān)系．

【題組二】
6．（2020?博羅縣一模）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，直徑AB垂直于弦CG，垂足為點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)C作ED⊥CG，交⊙O于點(diǎn)E，且∠CBD＝∠A，連接BE，交CG于點(diǎn)F．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）求證：BC2＝BF?BE；
（3）若CG＝8，AB＝10，求sinE的值．

7．（2020?深圳模擬）如圖，點(diǎn)A（8，0），點(diǎn)B分別在x軸，y軸上，直線y＝kx+b與x軸，y軸分別相交于點(diǎn)D，B兩點(diǎn)，C在△AOB的外接圓上，且C （4，8）．
（1）①直接寫(xiě)出b＝　 　．
②求證：當(dāng)k=43時(shí)，BD是⊙O'的切線．
（2）如圖1，若點(diǎn)P是優(yōu)弧BAC上的一點(diǎn)（不與B，C重合），求sin∠BPC的值．
（3）如圖2，在（1）的條件下，當(dāng)P點(diǎn)在⊙O'上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)O作OQ⊥CP于Q，求線段DQ的最小值．

8．（2020?成華區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上不同于A、B的兩點(diǎn)，∠ABD＝2∠BAC，連接CD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DB，垂足為E，直徑AB與CE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）連接BC，求證：BC2＝2BE?BO；
（3）當(dāng)BD=185，sin∠F=35，求CD的長(zhǎng)．

9．（2020?姑蘇區(qū)校級(jí)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，D是弧AC的中點(diǎn)，E為OD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠CAE＝2∠C，AC與BD交于點(diǎn)H，與OE交于點(diǎn)F．
（1）求證：AE⊥AB；
（2）求證：DF2＝FH?FC；
（3）若DH＝9，tanC=34，求半徑OA的長(zhǎng)．

10．（2020?惠城區(qū)校級(jí)二模）如圖（1），在⊙O中，AC是直徑，AB，BD，CD是切線，點(diǎn)E為切點(diǎn)．
（1）求證：AB?CD=14AC2；
（2）如圖（2），連接AD，BC，交于點(diǎn)F，連接EF并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)G，求證：EF＝FG；
（3）如圖（3），延長(zhǎng)DB，CA，交于點(diǎn)P，連接CE，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥DO，交DO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．若CD＝6，PE＝4，求OQ的長(zhǎng)．

【題組三】
11．（2020?雨花區(qū)校級(jí)二模）如圖，直線l：y=?33x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，C為線段OA的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作⊙A，⊙A交AB于點(diǎn)D，連接OD并延長(zhǎng)交⊙A于點(diǎn)E，連接CD．
（1）當(dāng)AC＝2時(shí)，證明：△OBD是等邊三角形；
（2）當(dāng)△OCD∽△ODA時(shí)，求⊙A的半徑r；
（3）當(dāng)點(diǎn)C在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求OD?DE的最大值．

12．（2020?石家莊模擬）如圖1，在正方形ABCD中，AB＝10，點(diǎn)O，E在邊CD上，且CE＝2，DO＝3，以點(diǎn)O為圓心，OE為半徑在其左側(cè)作半圓O，分別交AD于點(diǎn)G，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）AG＝　 ??；
（2）如圖2，將半圓O繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O'，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F'，設(shè)M為半圓O'上一點(diǎn)．
①當(dāng)點(diǎn)F'落在AD邊上時(shí)，求點(diǎn)M與線段BC之間的最短距離；
②當(dāng)半圓O'交BC于P，R兩點(diǎn)時(shí)，若PR的長(zhǎng)為53π，求此時(shí)半圓O'與正方形ABCD重疊部分的面積；
③當(dāng)半圓O'與正方形ABCD的邊相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為N，直接寫(xiě)出tan∠END的值．

13．（2020?天臺(tái)縣一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，以AB，BC為鄰邊作?ABCE，點(diǎn)E在⊙O內(nèi)，延長(zhǎng)CE交AD于F，連接AC、BE交于點(diǎn)G，連接OG．
（1）直接寫(xiě)出OG與AC的位置關(guān)系及OG與DE的數(shù)量關(guān)系；
（2）猜想線段DE，AC和BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）求證：△CDF～△AEF；
（4）若BC＝4，CD＝3，求9AF2+16DF2的值．

14．（2020?越秀區(qū)校級(jí)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，弦CE平分∠ACB，交AB于點(diǎn)F，連接BE．
（1）利用尺規(guī)作圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CP于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
（2）求證：△PCF是等腰三角形；
（3）若tan∠ABC=43，BE＝72，求線段PC的長(zhǎng)．

15．（2020?蒼溪縣模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，連接BD，DF，BD與AC交于點(diǎn)P．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若AC＝25DE，求tan∠ABD的值；
（3）若∠DPC＝45°，PD2+PB2＝8，求AC的長(zhǎng)．

【題組四】
16．（2020?思明區(qū)校級(jí)二模）定義：如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足α+2β＝90°，那么稱這樣的三角形為“類直角三角形”．
（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分線．證明△ABD是“類直角三角形”；
（2）如圖2，△ABD內(nèi)接于⊙O，直徑AB＝10，弦AD＝6，點(diǎn)E是弧AD上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)A，D），延長(zhǎng)BE至點(diǎn)C，連結(jié)AC，且∠CAD＝∠AOD，當(dāng)△ABC是“類直角三角形”時(shí)，求AC的長(zhǎng)．

17．（2020?玄武區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD是矩形，連接AC，E是AC上一點(diǎn)，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D、E，分別與AD、BC相交于點(diǎn)F、G，連接ED、EF、EG，延長(zhǎng)GE交AD于點(diǎn)H．
（1）求證△HEF∽△DEC；
（2）若AB＝6，BC＝9，
①當(dāng)△HEF是等腰三角形時(shí)，求CE的長(zhǎng)；
②當(dāng)⊙O與AB相切時(shí)，則CE的長(zhǎng)為　 ?。?br />
18．（2020?昆山市二模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)A的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，E是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C，E分別位于直徑AB異側(cè)，連接AE，BE，CE，且∠ADB＝∠DBE．
（1）求證：CE＝CB；
（2）求證：∠BAE＝2∠ABC；
（3）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，若S△BCFS△ABE=98，求AFBF的值．

19．（2020?寧波模擬）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝23，以點(diǎn)A為圓心，3為半徑作圓，點(diǎn)D為⊙A上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DC，以C為直角頂點(diǎn)作Rt△CDE（點(diǎn)C，D，E按逆時(shí)針排列），并使∠CDE＝30°，連接AD、BE．
（1）求證：△BEC∽△ADC．
（2）當(dāng)點(diǎn)D在AB上時(shí)，如圖②，畫(huà)出△BEC，連接AE，求AE的長(zhǎng)．
（3）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AE是否有最大值或最小值？若有，請(qǐng)直接寫(xiě)出AE的最大值或最小值，并寫(xiě)出取得最大值或最小值時(shí)∠DAC的度數(shù)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由

20．（2020?孝南區(qū)二模）如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD相交于G，OA⊥CD于點(diǎn)E，過(guò)B的直線與CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，AC∥BF．
（1）若∠FGB＝∠FBC，求證：BF是⊙O的切線；
（2）若tan∠F=34，CD＝48，求⊙O的半徑．

【題組五】
21．（2020?南京一模）如圖①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，點(diǎn)E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE、DE，作△ECD的外接⊙O，交AD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)G，連接FG．
（1）求證△AFG∽△AED；
（2）當(dāng)BE的長(zhǎng)為　 　時(shí)，△AFG為等腰三角形；
（3）如圖②，若BE＝1，求證：AB與⊙O相切．

22．（2020?南京二模）在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，沿AE將△ABE翻折得△AGE，連接DG，作△AGD的外接⊙O，⊙O交AE于點(diǎn)F，連接FG、FD．
（1）求證∠AGD＝∠EFG；
（2）求證△ADF∽△EGF；
（3）若AB＝3，BE＝1，求⊙O的半徑．

23．（2020?梁子湖區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，連接AC，BC，OE⊥AC于點(diǎn)E，ED∥AB交BC于點(diǎn)F，且∠ECD＝∠CFD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求證：CD2＝FD?ED；
（3）若sinA=35，BC＝6，求CD的長(zhǎng)．

24．（2020?樂(lè)清市一模）如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ACB＝60°，D，E分別是∠ABC和∠BAC所對(duì)弧的中點(diǎn)，弦DE分別交AC，BC于點(diǎn)F，G，連接DC，CE．
（1）求證：△CFG是等邊三角形．
（2）若AB＝12，
①如圖2，當(dāng)AC為⊙O的直徑時(shí)，求DF的長(zhǎng)．
②當(dāng)AC將△CDG的面積分成了1：2的兩部分時(shí)，求AC的長(zhǎng)．
（3）連接BD交AC于點(diǎn)H，若CFFH=43，則BCAC的值為　 ?。ㄕ?qǐng)直接寫(xiě)出答案）

25．（2020?盤(pán)錦）如圖，BC是⊙O的直徑，AD是⊙O的弦，AD交BC于點(diǎn)E，連接AB，CD，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，∠AEF＝∠D．
（1）求證：AD⊥BC；
（2）點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上，連接AG，∠DAG＝2∠D．
①求證：AG與⊙O相切；
②當(dāng)AFBF=25，CE＝4時(shí)，直接寫(xiě)出CG的長(zhǎng)．

【題組六】
26．（2020?桂林）如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內(nèi)，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，連接CD交AB于點(diǎn)E．
（1）求證：A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上；
（2）求證：CD平分∠ACB；
（3）過(guò)點(diǎn)D作DF∥BC交AB于點(diǎn)F，求證：BO2+OF2＝EF?BF．

27．（2020?大慶）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，連接AD，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC，垂足為M，AB、MD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N．
（1）求證：MN是⊙O的切線；
（2）求證：DN2＝BN?（BN+AC）；
（3）若BC＝6，cosC=35，求DN的長(zhǎng)．

28．（2020?鄂爾多斯）我們知道，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）的拋物線的解析式為y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）．今后我們還會(huì)學(xué)到，圓心坐標(biāo)為（a，b），半徑為r的圓的方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，如：圓心為P（﹣2，1），半徑為3的圓的方程為（x+2）2+（y﹣1）2＝9．
（1）以M（﹣3，﹣1）為圓心，3為半徑的圓的方程為　 　．
（2）如圖，以B（﹣3，0）為圓心的圓與y軸相切于原點(diǎn)，C是⊙B上一點(diǎn)，連接OC，作BD⊥OC，垂足為D，延長(zhǎng)BD交y軸于點(diǎn)E，已知sin∠AOC=35．
①連接EC，證明：EC是⊙B的切線；
②在BE上是否存在一點(diǎn)Q，使QB＝QC＝QE＝QO？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并寫(xiě)出以Q為圓心，以QB為半徑的⊙Q的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

29．（2020?廣西）如圖，在△ACE中，以AC為直徑的⊙O交CE于點(diǎn)D，連接AD，且∠DAE＝∠ACE，連接OD并延長(zhǎng)交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，PB與⊙O相切于點(diǎn)B．
（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）連接AB交OP于點(diǎn)F，求證：△FAD∽△DAE；
（3）若tan∠OAF=12，求AEAP的值．

30．（2020?黃石）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，O為AB上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D的⊙O分別交AB、AC于點(diǎn)E、F．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若BE＝8，sinB=513，求⊙O的半徑；
（3）求證：AD2＝AB?AF．


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