?2021新版中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘
專(zhuān)題11二次函數(shù)與角綜合問(wèn)題




二次函數(shù)與角綜合問(wèn)題，常見(jiàn)的主要有三種類(lèi)型：
1. 特殊角問(wèn)題：
（1） 利用特殊角的三角函數(shù)值找到線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系
（2） 遇到特殊角可以構(gòu)造特殊三角形，如遇到45°構(gòu)造等腰直角三角形，遇到30°、60°構(gòu)造等邊三角形，遇到90°構(gòu)造直角三角形
2.角的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題
（1）等角問(wèn)題：借助特殊圖形的性質(zhì)、全等和相似的性質(zhì)來(lái)解決；構(gòu)造圓，利用圓周角的性質(zhì)來(lái)解決
（2）二倍角問(wèn)題：利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、對(duì)稱(chēng)、輔助圓等知識(shí)來(lái)解答
（3）角的和差問(wèn)題
3.角的最值問(wèn)題：利用輔助圓等知識(shí)來(lái)解答


【例1】（2020?十堰）已知拋物線(xiàn)y＝ax2﹣2ax+c過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）和C（0，3），與x軸交于另一點(diǎn)B，頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式，并寫(xiě)出D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖1，E為線(xiàn)段BC上方的拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，EF⊥BC，垂足為F，EM⊥x軸，垂足為M，交BC于點(diǎn)G．當(dāng)BG＝CF時(shí)，求△EFG的面積；
（3）如圖2，AC與BD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)H，在x軸上方的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使∠OPB＝∠AHB？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【例2】（2020?包頭）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=13x2﹣2x經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)A，該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為M，直線(xiàn)y=?12x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，連接OM．
（1）求b的值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）將直線(xiàn)AB向下平移，得到過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)y＝mx+n，且與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，取點(diǎn)D（2，0），連接DM，求證：∠ADM﹣∠ACM＝45°；
（3）點(diǎn)E是線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線(xiàn)段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連接EF，線(xiàn)段EF的延長(zhǎng)線(xiàn)與線(xiàn)段OM交于點(diǎn)G．當(dāng)∠BEF＝2∠BAO時(shí)，是否存在點(diǎn)E，使得3GF＝4EF？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【例3】（2020?鄂爾多斯）如圖1，拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．
（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；
（2）點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，如果直線(xiàn)BD與直線(xiàn)BC的夾角為15°，求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)度；
（3）如圖2，連接AC，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，且滿(mǎn)足∠PAB＝2∠ACO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【例4】（2020?葫蘆島）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+94x+c（a≠0）與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C（0，3），作直線(xiàn)BC．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）在直線(xiàn)BC上方的拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)D，使∠DCB＝2∠ABC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，72），點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)N在直線(xiàn)BC上．當(dāng)以D，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)．
【例5】（2020?鞍山）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+2（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，﹣4）和點(diǎn)C（2，0），與y軸交于點(diǎn)D，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）如圖1，連接BD，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使得∠PBC＝2∠BDO？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖2，連接AC，交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)M是線(xiàn)段AD上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合），將△CME沿ME所在直線(xiàn)翻折，得到△FME，當(dāng)△FME與△AME重疊部分的面積是△AMC面積的14時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段AM的長(zhǎng)．


【題組一】
1．（2020?碑林區(qū)校級(jí)二模）如圖，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+5經(jīng)過(guò)A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，連接BD，CD．
（1）求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（2）判斷△BCD的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)P為該拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），該拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2．（2020?成都模擬）圖①，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），并且與直線(xiàn)y=12x﹣2相交于坐標(biāo)軸上的B、C兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)BC下方的二次函數(shù)的圖象上．
（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖①，連接PC，PB，設(shè)△PCB的面積為S，求S的最大值；
（3）如圖②，拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，則求出直線(xiàn)BQ的解析式及Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

3．（2020?武漢模擬）拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c，頂點(diǎn)為P（h，k）．
（1）如圖，若h＝1，k＝4，拋物線(xiàn)交x軸于A、B，交y軸正半軸于C，OC＝3．
①求拋物線(xiàn)的解析式；
②向下平移直線(xiàn)BC，交拋物線(xiàn)于MN，拋物線(xiàn)上是否存在一定點(diǎn)D，連DM，DN分別交x軸于E，F(xiàn)，使∠DEF＝∠DFE？若存在，求D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）若c＝0，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y＝x2﹣x上且﹣1＜h≤2時(shí)，求a的取值范圍．

4．（2020?宿遷二模）已知，如圖1，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)B、C，與y軸交于點(diǎn)A，且AO＝CO，BC＝4．
（1）求拋物線(xiàn)解析式；
（2）如圖2，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)第二象限上一點(diǎn)，連接PB交y軸于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線(xiàn)段OQ長(zhǎng)為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)Q作直線(xiàn)l⊥y軸，在l上取一點(diǎn)M（點(diǎn)M在第一象限），連接AM，使AM＝PQ，連接CP并延長(zhǎng)CP交y軸于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥l于點(diǎn)N，連接KN、CN、CM．若∠MCN+∠NKQ＝45°時(shí)，求t值．

【題組二】
5．（2020?西華縣一模）如圖，直線(xiàn)y=12x+c與x軸交于點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)y=12x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線(xiàn)BC下方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ACPB面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若M是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且∠MCB＝∠ABC，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
6．（2020?金牛區(qū)模擬）如圖，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸分別交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（0，2），且∠ACB＝90°
（1）求拋物線(xiàn)的解析式．
（2）點(diǎn)P是線(xiàn)段AB一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PD∥AC交BC于D，當(dāng)△PCD面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）點(diǎn)M是位于線(xiàn)段BC上方的拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，當(dāng)∠ABC恰好等于△BCM中的某個(gè)角時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

7．（2020?硚口區(qū)模擬）如圖1，該拋物線(xiàn)是由y＝x2平移后得到，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（?32，?254），并與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C三點(diǎn)．
（1）求A，B的坐標(biāo)．
（2）如圖2，連接BC，AC，在第三象限的拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)P，使∠PCA＝∠BCO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）如圖3，直線(xiàn)y＝ax+b（b＜0）與該拋物線(xiàn)分別交于P，G兩點(diǎn)，連接BP，BG分別交y軸于點(diǎn)D，E．若OD?OE＝3，請(qǐng)?zhí)剿鱝與b的數(shù)量關(guān)系．并說(shuō)明理由．

8．（2020?哈爾濱模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx與x軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）．
（1）求a，b的值；
（2）在y軸正半軸上取點(diǎn)C（0，4），在點(diǎn)A左側(cè)拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)P，連接PB交x軸于點(diǎn)D，連接CB交x軸于點(diǎn)F，當(dāng)CB平分∠DCO時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，連接PC，在PB上有一點(diǎn)E，連接EC，若∠ECB＝∠PDC，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【題組三】
9．（2020?深圳模擬）如圖，拋物線(xiàn)y=14x2+bx+c與直線(xiàn)y=?12x+3分別交于x軸，y軸上的B、C兩點(diǎn)，設(shè)該拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D，連接CD交x軸于點(diǎn)E．

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；
（2）點(diǎn)F，G是對(duì)稱(chēng)軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且FG＝2，點(diǎn)F在點(diǎn)G的上方，請(qǐng)求出四邊形ACFG的周長(zhǎng)的最小值；
（3）連接BD，若P在y軸上，且∠PBC＝∠DBA+∠DCB，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
10．（2020?常州二模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+6的圖象開(kāi)口向下，與x軸交于點(diǎn)A（﹣6，0）和點(diǎn)B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是該函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合）．
（1）求二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P是該函數(shù)圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在線(xiàn)段AC的上方，若△PCA的面積為12，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為D，在該函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

11．（2020?岱岳區(qū)二模）如圖，直線(xiàn)y=12x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，C，拋物線(xiàn)y=?12x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B．點(diǎn)D是AC上方拋物線(xiàn)上一點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）連接BC，CD，設(shè)直線(xiàn)BD交線(xiàn)段AC于點(diǎn)E，如圖1，△CDE，△BCE的面積分別為S1，S2，求S1S2的最大值；
（3）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F，連接CD，如圖2，是否存在點(diǎn)D，使得△CDF中的某個(gè)角等于∠BAC的兩倍？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

12．（2020秋?椒江區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；
（2）①若點(diǎn)P是直線(xiàn)BC下方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，則△PBC的面積最大值為　 ??；
②若點(diǎn)T為對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x＝2上一點(diǎn)，則TC﹣TB的最大值為　 ?。?br /> （3）拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使得∠ACQ＝45°？若存在，請(qǐng)求出Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【題組四】
13．（2020?曾都區(qū)模擬）如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形的邊AB在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)C，D在第三象限內(nèi)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣5，0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C的拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c交y軸于點(diǎn)N，其頂點(diǎn)為M．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若y軸左側(cè)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'恰好落在直線(xiàn)MC上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接AC，AM，AN，請(qǐng)你探究在y軸左側(cè)的拋物線(xiàn)上，是否存在點(diǎn)Q，使∠ANQ＝∠MAC？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

14．（2020?中原區(qū)校級(jí)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2?32x+c與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，直線(xiàn)y=12x+2經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若點(diǎn)D為線(xiàn)段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E，過(guò)E作EF⊥y軸，交直線(xiàn)AC于點(diǎn)F，以DE、EF為邊作矩形DEFG，矩形DEFG的周長(zhǎng)能為10嗎？如果能，請(qǐng)求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠PCA＝∠BCO時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

15．（2020?南崗區(qū)校級(jí)三模）如圖1，拋物線(xiàn)y=?14x2+bx+c與x軸負(fù)半軸交于A點(diǎn)，與x軸正半軸交于B點(diǎn)，與y軸正半軸交于C點(diǎn)，CO＝BO，AB＝14．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）如圖2，點(diǎn)M、N在第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上，M在N點(diǎn)下方，連CM、CN，∠OCN+∠OCM＝180°，設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，N點(diǎn)橫坐標(biāo)為n，求m與n的函數(shù)關(guān)系式（n是自變量）；
（3）如圖3，在（2）條件下，連AN交CO于E，過(guò)M作MF⊥AB于F，連BM、EF，若∠AFE＝2∠FMB＝2β，求N點(diǎn)坐標(biāo)．
【題組五】
16．（2020?武侯區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，254），與y軸交于點(diǎn)A．過(guò)點(diǎn)A作AB∥x軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)B，點(diǎn)C是第四象限的拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作y軸的平行線(xiàn)，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)D．
（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上，且AE＝AD，直線(xiàn)CE交拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+4于點(diǎn)F．
①求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
②過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CE于點(diǎn)G，連接OD、ED，當(dāng)∠ODE＝∠CDG時(shí)，求直線(xiàn)DG的函數(shù)表達(dá)式．
17．（2020?濱?？h二模）如圖1，拋物線(xiàn)y=?12x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（4，0），B（﹣2，0），與y軸交于點(diǎn)C，線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸l交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)F，與BC交于點(diǎn)E．對(duì)稱(chēng)軸l與x軸交于點(diǎn)H．
（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式及對(duì)稱(chēng)軸；
（2）求點(diǎn)D和點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠EFP＝45°時(shí)，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

18．（2020?河?xùn)|區(qū)一模）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸分別交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（I）求拋物線(xiàn)的解析式：
（II）設(shè)點(diǎn)D（2，m）在第一象限的拋物線(xiàn)上，連接BC，BD．試問(wèn)，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的拋物線(xiàn)是否存在一點(diǎn)P，滿(mǎn)足∠PBC＝∠DBC？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（III）存在正實(shí)數(shù)m，n（m＜n），當(dāng)m≤x≤n時(shí)，恰好滿(mǎn)足mm+3≤2y+2≤nn+3，求m，n的值．

19．（2020?沂源縣一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．
（1）求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸及線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；
（2）拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為P，若∠APB＝120°，求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)及a的值；
（3）若在拋物線(xiàn)上存在一點(diǎn)N，使得∠ANB＝90°，結(jié)合圖象，求a的取值范圍．
20．（2020?無(wú)錫一模）如圖①，一次函數(shù)y=12x﹣2的圖象交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，二次函數(shù)y=?12x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)C．
（1）求二次函數(shù)的關(guān)系式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖②，若點(diǎn)P是直線(xiàn)AB上方的拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD∥x軸交AB于點(diǎn)D，PE∥y軸交AB于點(diǎn)E，求PD+PE的最大值；
（3）如圖③，若點(diǎn)M在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，且∠AMB＝∠ACB，求出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

【題組六】
21．（2020?賽罕區(qū)二模）如圖，直線(xiàn)y=?12x?3與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C的拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣3與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B（2，0），點(diǎn)D是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，連接AD，DC．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在第三象限，設(shè)△DAC的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）連接BC，若∠EAD＝∠OBC，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．

22．（2020?濟(jì)陽(yáng)區(qū)模擬）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+2x+c（a＜0）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，OB＝OC＝3．

（1）求該拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；
（2）如圖1，連接BC，點(diǎn)D是直線(xiàn)BC上方拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，連接OD，CD，OD交BC于點(diǎn)F，當(dāng)S△COF：S△CDF＝3：2時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）如圖2，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，?32），在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
23．（2020?吳江區(qū)三模）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（3，6），并與y軸交于點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)A是對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）如圖①所示，P是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，連接BP，AP，求△ABP的面積的最大值；
（3）如圖②所示，在對(duì)稱(chēng)軸AC的右側(cè)作∠ACD＝30°交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；并探究：在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使∠CQD＝60°？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

24．（2019?玉林）已知二次函數(shù)：y＝ax2+（2a+1）x+2（a＜0）．
（1）求證：二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且a為負(fù)整數(shù)時(shí)，求a的值及二次函數(shù)的解析式并畫(huà)出二次函數(shù)的圖象（不用列表，只要求用其與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），與y軸的交點(diǎn)C及其頂點(diǎn)D這四點(diǎn)畫(huà)出二次函數(shù)的大致圖象，同時(shí)標(biāo)出A，B，C，D的位置）；
（3）在（2）的條件下，二次函數(shù)的圖象上是否存在一點(diǎn)P使∠PCA＝75°？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

25．（2020?黑龍江）如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B （3，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使∠PAB＝∠ABC，若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【題組七】
26．（2020?內(nèi)江）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點(diǎn)，點(diǎn)D（x，y）為拋物線(xiàn)上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)△BCD的面積為3時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)D，使得△CDE中的某個(gè)角等于∠ABC的2倍？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

27．（2020?張家界）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2﹣6x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線(xiàn)y＝﹣x+5經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l與直線(xiàn)BC相交于點(diǎn)P，連接AC，AP，判定△APC的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）在直線(xiàn)BC上是否存在點(diǎn)M，使AM與直線(xiàn)BC的夾角等于∠ACB的2倍？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

28．（2020?咸寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y=?12x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線(xiàn)y=?23x2+bx+c過(guò)點(diǎn)B且與直線(xiàn)相交于另一點(diǎn)C（52，34）．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠PAO＝∠BAO時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)N（n，0）（0＜n＜52）在x軸的正半軸上，點(diǎn)M（0，m）是y軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠MNC＝90°．
①求m與n之間的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)m在什么范圍時(shí)，符合條件的N點(diǎn)的個(gè)數(shù)有2個(gè)？

29．（2020?營(yíng)口）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣3過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）點(diǎn)P為直線(xiàn)CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BC；
①如圖1，是否存在點(diǎn)P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②如圖2，點(diǎn)P在x軸上方，連接PA交拋物線(xiàn)于點(diǎn)N，∠PAB＝∠BCO，點(diǎn)M在第三象限拋物線(xiàn)上，連接MN，當(dāng)∠ANM＝45°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

30．（2020?常州）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+3的圖象與y軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)B，拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C（1，0），且頂點(diǎn)為D，連接AC、BC、BD、CD．
（1）填空：b＝　 ??；
（2）點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大于1，直線(xiàn)PC交直線(xiàn)BD于點(diǎn)Q．若∠CQD＝∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)E在直線(xiàn)AC上，點(diǎn)E關(guān)于直線(xiàn)BD對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為F，點(diǎn)F關(guān)于直線(xiàn)BC對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為G，連接AG．當(dāng)點(diǎn)F在x軸上時(shí)，直接寫(xiě)出AG的長(zhǎng)．

【題組八】
31．（2020?淄博）如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是平行四邊形，經(jīng)過(guò)A（﹣2，0），B，C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+83（a＜0）與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，其頂點(diǎn)為M，對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E．
（1）求這條拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知R是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，使得△ADR的面積是?OABC的面積的34，求點(diǎn)R的坐標(biāo)；
（3）已知P是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)，滿(mǎn)足在直線(xiàn)MD上存在唯一的點(diǎn)Q，使得∠PQE＝45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

32．（2020?山西）綜合與探究
如圖，拋物線(xiàn)y=14x2﹣x﹣3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A，D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，﹣3）．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線(xiàn)l的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m≥0），過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M．PM與直線(xiàn)l交于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)N是線(xiàn)段PM的三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)Q是y軸上的點(diǎn)，且∠ADQ＝45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

33．（2020?淮安）如圖①，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+4的圖象與直線(xiàn)l交于A（﹣1，2）、B（3，n）兩點(diǎn)．點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)交直線(xiàn)l于點(diǎn)M，交該二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）b＝　 　，n＝　 ??；
（2）若點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方，且MN＝3，求m的值；
（3）將直線(xiàn)AB向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)C、D（如圖②）．
①記△NBC的面積為S1，△NAC的面積為S2，是否存在m，使得點(diǎn)N在直線(xiàn)AC的上方，且滿(mǎn)足S1﹣S2＝6？若存在，求出m及相應(yīng)的S1，S2的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②當(dāng)m＞﹣1時(shí)，將線(xiàn)段MA繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段MF，連接FB、FC、OA．若∠FBA+∠AOD﹣∠BFC＝45°，直接寫(xiě)出直線(xiàn)OF與該二次函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．


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