1．拋物線y＝2(x－3)2＋4的頂點坐標是 (　 　)A．(3，4) B．(－3，4)C．(3，－4) D．(2，4)2．二次函數(shù)y＝x2－2x＋4化為y＝a(x－m)2＋k的形式，下列正確的是 (　 　)A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋4
3．對于二次函數(shù)y＝－(x－1)2＋2的圖象與性質(zhì)，下列說法正確的是 (　 　)A．對稱軸是直線x＝1，最小值是2B．對稱軸是直線x＝1，最大值是2C．對稱軸是直線x＝－1，最小值是2D．對稱軸是直線x＝－1，最大值是2
4．拋物線y＝2x2向右平移3個單位，再向下平移5個單位，得到的拋物線的表達式為 (　 　)A．y＝2(x－3)2－5B．y＝2(x＋3)2＋5C．y＝2(x－3)2＋5D．y＝2(x＋3)2－55．當(dāng)x＝______時，二次函數(shù)y＝x2－2x＋6有最小值______．【解析】 ∵y＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5，∴當(dāng)x＝1時，二次函數(shù)y＝x2－2x＋6有最小值5.
一、必知5 知識點1．二次函數(shù)的概念定義：一般地，形如_________________(其中a，b，c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)．
【智慧錦囊】二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的結(jié)構(gòu)特征是：①等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次整式，x的最高次數(shù)是2；②二次項系數(shù)a≠0.
2．二次函數(shù)的圖象用描點法畫二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的步驟：(1)用配方法化成_______________________的形式；(2)確定圖象的開口方向，對稱軸及頂點坐標；(3)在對稱軸兩側(cè)利用對稱性描點畫圖．
y＝a(x－m)2＋k(a≠0)
【智慧錦囊】(1)|a|的大小決定拋物線的開口大小．|a|越大，拋物線的開口越小，|a|越小，拋物線的開口越大；(2)畫拋物線y＝ax2＋bx＋c的草圖，要確定五點：①開口方向；②對稱軸；③頂點；④與y軸交點；⑤與x軸交點．
4. 二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有著密切的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標對應(yīng)一元二次方程的實數(shù)根，拋物線與x軸的交點情況可由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式b2－4ac的符號判定．(1)有兩個交點?______________?____________________ ______．(2)有一個交點?______________?_____________________ ____．(3)沒有交點?______________?___________________．
5．二次函數(shù)圖象的平移將拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成______________ ________的形式，而任意拋物線______________________均可由y＝ax2平移得到，具體平移方法如下：
二、必會2 方法1．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式用待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的表達式，確定二次函數(shù)一般需要三個獨立條件，根據(jù)不同條件選擇不同的設(shè)法．(1)設(shè)一般式______________________：若已知條件是圖象上的三個點，則設(shè)所求二次函數(shù)為y＝ax2＋bx＋c，將已知條件代入，求出a，b，c的值；(2)設(shè)頂點式______________________：若已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸或最大值(最小值)，設(shè)所求二次函數(shù)為__________________，將已知條件代入，求出待定系數(shù)，最后將表達式化為一般形式；
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
y＝a(x－m)2＋k
(3)設(shè)兩根式________________________：若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的坐標為(x1，0)，(x2，0)，設(shè)所求二次函數(shù)為y＝a(x－x1)(x－x2)，將第三點(m，n)的坐標(其中m，n為已知數(shù))或其他已知條件代入，求出待定系數(shù)a，最后將表達式化為一般形式．2．?dāng)?shù)形結(jié)合思想二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是數(shù)形結(jié)合最好的體現(xiàn)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象特征與a，b，c及根的判別式b2－4ac的符號之間的關(guān)系如下表：
y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
特殊值：當(dāng)x＝1時，y＝a＋b＋c；當(dāng)x＝－1時，y＝a－b＋c.若a＋b＋c>0，即x＝1時，y>0.若a－b＋c>0，即x＝－1時，y>0.
二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)用配方法求拋物線的頂點坐標；(2)x取何值時，y隨x的增大而減小；(3)若拋物線與x軸的兩個交點分別為A，B，與y軸的交點為C，求S△ABC.
A．當(dāng)x>0時，y隨x的增大而增大B．當(dāng)x＝2時，y有最大值－3C．圖象的頂點坐標為(－2，－7)D．圖象與x軸有兩個交點2．已知拋物線y＝ax2(a＞0)過A(－2，y1)，B(1，y2)兩點，則下列關(guān)系式一定正確的是 (　 　)A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
3．已知二次函數(shù)y＝x2＋x的圖象，如圖17－1所示．(1)根據(jù)方程的根與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，將方程x2＋x＝1的根在圖上近似地表示出來(描點)，并觀察圖象，寫出方程x2＋x＝1的根(精確到0.1)；
變式跟進3答圖【點悟】　(1)從函數(shù)圖象上可獲知的二次函數(shù)特征有：①開口方向；②對稱軸；③頂點坐標；④與y軸交點的坐標；⑤與x軸交點的坐標．(2)求二次函數(shù)的頂點坐標有兩種方法：①配方法；②頂點公式法．
二次函數(shù)圖象的平移 　將函數(shù)y＝x2的圖象用下列方法平移后，所得的圖象不經(jīng)過點A(1，4)的是 (　 　)A．向左平移1個單位B．向右平移3個單位C．向上平移3個單位D．向下平移1個單位
1．將拋物線y＝2(x－4)2－1先向左平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度，平移后所得拋物線的表達式為 (　 　)A．y＝2x2＋1 B.y＝2x2－3C.y＝2(x－8)2＋1 D.y＝2(x－8)2－3【解析】 拋物線y＝2(x－4)2－1先向左平移4個單位長度，得到的拋物線表達式為y＝2(x－4＋4)2－1，即y＝2x2－1，再向上平移2個單位長度得到的拋物線表達式為y＝2x2－1＋2，即y＝2x2＋1.
2．把拋物線y＝x2＋bx＋c向右平移2個單位，再向下平移3個單位，所得函數(shù)圖象的表達式為y＝x2－2x－3，則b，c的值分別為 (　 　)A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝0C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－3，c＝2【解析】 把所得函數(shù)配方為y＝(x－1)2－4，逆向思考把y＝(x－1)2－4先向上平移3個單位，再向左平移2個單位得到拋物線表達式為y＝(x－1＋2)2－4＋3＝(x＋1)2－1，化為一般式是y＝x2＋2x，故選B.
【點悟】　(1)二次函數(shù)圖象的平移實際上就是頂點位置的移動，因此先將二次函數(shù)表達式轉(zhuǎn)化為頂點式確定其頂點坐標，然后求出平移后的頂點坐標，從而求出平移后二次函數(shù)的表達式；(2)圖象的平移規(guī)律：上加下減，左加右減．
二次函數(shù)的表達式的求法 　在平面直角坐標系中，設(shè)二次函數(shù)y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.(1)若函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(1，－2)，求函數(shù)y1的表達式；(2)若一次函數(shù)y2＝ax＋b的圖象與y1的圖象經(jīng)過x軸上同一點，探究實數(shù)a，b滿足的關(guān)系式；(3)已知點P(x0，m)和Q(1，n)在函數(shù)y1的圖象上，若m＜n，求x0的取值范圍．解： (1)函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(1，－2)，得(a＋1)(－a)＝－2，則a(a＋1)＝2，
故y1＝(x＋a)[x－(a＋1)]＝x2－x－a(a＋1)＝x2－x－2，即函數(shù)y1的表達式為y＝x2－x－2.(2)由題意知，函數(shù)y1的圖象與x軸交于點(－a，0)和(a＋1，0)，當(dāng)y2的圖象過點(－a，0)時，得a2－b＝0；當(dāng)y2的圖象過點(a＋1，0)時，得a2＋a＋b＝0.
2．[2016·寧波]如圖17－3，已知拋物線y＝－x2＋mx＋3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標為(3，0)．(1)求m的值及拋物線的頂點坐標；(2)P是拋物線對稱軸l上的一個動點，當(dāng)PA＋PC的值最小時，求點P的坐標．
解： (1)把點B的坐標(3，0)代入拋物線y＝－x2＋mx＋3，得0＝－32＋3m＋3，解得m＝2，∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴頂點坐標為(1，4)；(2)如答圖，連結(jié)BC交拋物線對稱軸l于點P，連結(jié)AP，則此時PA＋PC的值最小，設(shè)直線BC的表達式為y＝kx＋b(k≠0)，∵點B坐標為(3，0)，點C坐標為(0，3)，
【點悟】　(1)已知拋物線上三點求二次函數(shù)的表達式時，通常采用一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)已知拋物線頂點坐標(或?qū)ΨQ軸或最大、最小值)求表達式時，一般采用頂點式y(tǒng)＝a(x－m)2＋k(a≠0)；(3)已知拋物線與x軸的交點坐標求二次函數(shù)的表達式時，一般采用兩根式y(tǒng)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系已知拋物線y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常數(shù)．(1)求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；①求該拋物線的函數(shù)表達式；②把該拋物線沿y軸向上平移多少個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點．
解： (1)證明：y＝(x－m)2－(x－m)＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m，∵b2－4ac＝(2m＋1)2－4(m2＋m)＝1＞0，∴不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；
1．若二次函數(shù)y＝ax2－2ax＋c的圖象經(jīng)過點(－1，0)，則方程ax2－2ax＋c＝0的解為 (　 　)A．x1＝－3，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝3C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－3，x2＝1【解析】 ∵二次函數(shù)y＝ax2－2ax＋c的圖象經(jīng)過點(－1，0)，∴方程ax2－2ax＋c＝0一定有一個解為x＝－1，∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴二次函數(shù)y＝ax2－2ax＋c的圖象與x軸的另一個交點為(3，0)，∴方程ax2－2ax＋c＝0的解為x1＝－1，x2＝3.
2．若函數(shù)y＝x2－2x＋b的圖象與坐標軸有三個交點，則b的取值范圍是 (　 　)A．b＜1且b≠0 B．b＞1C．0＜b＜1 D．b＜1
3．若拋物線y＝x2－6x＋m與x軸沒有交點，則m的取值范圍是_________．【解析】 由拋物線y＝x2－6x＋m與x軸沒有交點，得Δ＝b2－4ac＜0，∴(－6)2－4m＜0，解得m＞9，∴m的取值范圍是m＞9.
4．如圖17－4，直線y＝mx＋n與拋物線y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)兩點，則關(guān)于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是________________．【解析】 觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)x＜－1或x＞4時，直線y＝mx＋n在拋物線y＝ax2＋bx＋c的上方，∴不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集為x＜－1或x＞4.
二次函數(shù)的圖象特征與a，b，c之間的關(guān)系 　二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖17－5所示，對稱軸是直線x＝1，下列結(jié)論：①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正確的是 (　 　)A．①④ B．②④C．①②③ D．①②③④
1．如圖17－6所示，拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點為B(－1，3)，與x軸的交點A在點(－3，0)和(－2，0)之間，以下結(jié)論：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c>0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正確的有 (　 　)A．1個 B．2個C．3個 D．4個
A．1 B．2C．3 D．4
【點悟】　二次函數(shù)的圖象特征主要從開口方向，與x軸有無交點，與y軸交點及對稱軸的位置入手，確定a，b，c及b2－4ac的符號，有時也可把x的值代入求值或根據(jù)圖象確定y的符號．
(1)求拋物線的對稱軸和點B的坐標；(2)在AB上任取一點P，連結(jié)OP，作點C關(guān)于直線OP的對稱點D.①連結(jié)BD，求BD的最小值；②當(dāng)點D落在拋物線的對稱軸上，且在x軸上方時，求直線PD的函數(shù)表達式．
例6答圖①　　　　　　　　例6答圖②
②如答圖②，設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點F，交BC于點H.∵OD＝5，OF＝4.∴DF＝3，∴D(4，3)，DH＝HF－DF＝2.設(shè)CP＝a，則PD＝CP＝a，PH＝4－a，在Rt△PHD中，(4－a)2＋22＝a2，
如圖17－8，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為直線x＝－1，且經(jīng)過A(1，0)，C(0，3)兩點，與x軸的另一個交點為B.(1)若直線y＝mx＋n經(jīng)過B，C兩點，求直線BC和拋物線的表達式；(2)在拋物線的對稱軸x＝－1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求點M的坐標；(3)設(shè)P為拋物線的對稱軸x＝－1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形時點P的坐標．
(2)如答圖，設(shè)直線BC與對稱軸x＝－1的交點為M，∵MA＝MB，∴MA＋MC＝MB＋MC，∴使MA＋MC最小的點M應(yīng)為直線BC與對稱軸x＝－1的交點．把x＝－1代入直線y＝x＋3，得y＝2.∴M點坐標為(－1，2)；
(3)設(shè)P(－1，t)，由B(－3，0)，C(0，3)，得BC2＝18，PB2＝[－1－(－3)]2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①若B為直角頂點，則BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；②若C為直角頂點，則BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若P為直角頂點，則PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18，
必明3 易錯點1．二次函數(shù)y＝a(x－m)2＋k的圖象平移一般按照“橫坐標加減左右移”、“縱坐標加減上下移”即“左加右減，上加下減”進行，注意避免出現(xiàn)移動方向弄反．2．求二次函數(shù)與x軸交點坐標的方法是令y＝0，解關(guān)于x的方程；求函數(shù)與y軸交點的方法是令x＝0，求y值，容易出現(xiàn)求與x軸交點坐標時令x＝0，求與y軸交點坐標時令y＝0的錯誤．
3．根據(jù)a，b，c確定函數(shù)的大致圖象易錯點：(1)c的大小決定拋物線與y軸的交點位置，c＝0時，拋物線過原點，c>0時，拋物線與y軸交于正半軸，c0時，對稱軸在y軸左側(cè)，當(dāng)ab

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