專題八  圓錐曲線中的“定”問題近些年，關(guān)于圓錐曲線的命題，不管是高考真題還是高考模擬題，都不約而同地大量涌現(xiàn)出一類“定”問題，即定值、定點(diǎn)以及定直線問題，考生遇見這樣的問題都因不得要領(lǐng)，從而內(nèi)心感到懼怕，但因?yàn)檫@類題在解答之前并不知道其定值、定點(diǎn)之結(jié)果，更增添了它的難度，有著很好的區(qū)分度，于是這一類題就成為了命題者們青睞的考題，相信在今年或往后的高考中會(huì)成為一種趨勢．模塊1  整理方法  提升能力圓錐曲線中的“定”問題常有以下類題型：題型1：定值問題——解析幾何中的定值問題是指某些幾何量（線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等）的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值．定值問題的解法：選好參數(shù)，求出題目所需的代數(shù)表達(dá)式，然后對表達(dá)式進(jìn)行直接推理、計(jì)算，并在推理計(jì)算的過程中消去變量，從而得到定值．這種方法可簡記為：一選（選好參變量）、二求（對運(yùn)算能力要求頗高）、三定值（確定定值）．題型2：定點(diǎn)問題——解析幾何中直線過定點(diǎn)或曲線過定點(diǎn)問題是指不論直線和曲線（中的參數(shù)）如何變化，直線和曲線都經(jīng)過某一個(gè)定點(diǎn)．定點(diǎn)問題的兩種解法：一是從特殊入手，求出定點(diǎn)，再進(jìn)行一般性的證明．二是把直線或曲線方程中的變量、當(dāng)作常數(shù)看待，把相關(guān)的參數(shù)整理在一起，同時(shí)方程一端化為零．既然是過定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于、的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn)．題型3：定直線問題——對于求證某個(gè)點(diǎn)不管如何變化，始終在某條直線上的題目，其本質(zhì)就是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．例1橢圓有兩頂點(diǎn)、，過其焦點(diǎn)的斜率為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)異于、兩點(diǎn)時(shí)，求證：為定值．【解析】（1）由已知可得橢圓方程為，設(shè)的方程為，則由，消去可得．設(shè)，，則，解得，所以，所以直線方程為．【證明】（2）設(shè)的方程為（且），則點(diǎn)的坐標(biāo)為．直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立兩條直線方程，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由（1）可知，，代入上式，可得．于是．【點(diǎn)評】從直線的斜率和點(diǎn)這兩個(gè)角度，共引入了5個(gè)參數(shù)：、、、、，用這5個(gè)參數(shù)將點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來（因?yàn)辄c(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，所以可以不求點(diǎn)的縱坐標(biāo)），然后進(jìn)行消參，最后求出的定值．盡管題目是要求點(diǎn)異于、兩點(diǎn)，但是我們可以大膽假設(shè)點(diǎn)和點(diǎn)重合，此時(shí)點(diǎn)就是點(diǎn)，從而我們可以猜出的定值為1．猜出定值，能使定值問題有清晰明確的方向，也能在做不出題目的時(shí)候?qū)崿F(xiàn)搶分最大化．    例2等邊三角形的邊長為，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線：（）上．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線與拋物線相切于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．證明：以為直徑的圓恒過某定點(diǎn)．【解析】（1）依題意，，，不妨設(shè)，，則，，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，解得，所以拋物線的方程為．【證明】（2）法1：由（1）知，所以．設(shè)點(diǎn)，，則，且的方程為，即．令，可得．設(shè)是圓上一點(diǎn)，則，即，整理可得，因?yàn)?/span>，所以，該式子要對任意的滿足（）的恒成立，所以，由此解得，所以以為直徑的圓恒過定點(diǎn)．法2：由對稱性可知該定點(diǎn)必在軸上，設(shè)為．由（1）知，所以．設(shè)點(diǎn)，，則，且的方程為，即．令，可得．由，可得，整理可得，因?yàn)?/span>，所以，該式子要對任意的滿足（）的恒成立，所以，由此解得，所以以為直徑的圓恒過定點(diǎn)．法3：由對稱性可知該定點(diǎn)必在軸上．由（1）知，所以．設(shè)點(diǎn)，，則，且的方程為，即．令，可得．取，此時(shí)，，以為直徑的圓為，與軸交于點(diǎn)和；取，此時(shí)，，以為直徑的圓為，與軸交于點(diǎn)和．由此可知，該定點(diǎn)為，下證就是所求的點(diǎn)．因?yàn)?/span>，，所以，所以以為直徑的圓恒過定點(diǎn)．【點(diǎn)評】該題可有以下4種設(shè)問方式：①證明以為直徑的圓恒過定點(diǎn)；②證明以為直徑的圓恒過軸上某定點(diǎn)；③證明以為直徑的圓恒過某定點(diǎn)；④以為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)．其難度逐漸增加．法2根據(jù)對稱性，將題目轉(zhuǎn)化為設(shè)問②，法3根據(jù)對稱性以及特殊情況，將題目轉(zhuǎn)化為設(shè)問①．對于圓過定點(diǎn)問題，如果我們可以從對稱性或特殊情況入手，猜出結(jié)果，則能有效降低題目的計(jì)算和證明的難度．例3設(shè)橢圓：的焦點(diǎn)在軸上．（1）若橢圓的焦距為，求橢圓的方程；（2）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，并且，證明：當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)在某定直線上．【解析】（1）因?yàn)榻咕酁?/span>，所以，解得，所以橢圓的方程為．【證明】（2）設(shè)，，，，其中，由題設(shè)知．，，于是…①．、、三點(diǎn)共線，所以，即…②．將②代入①，可得，即，又因?yàn)?/span>…③，于是，，即點(diǎn)在直線上．【點(diǎn)評】要證明點(diǎn)在定直線上，其本質(zhì)就是證明點(diǎn)的軌跡在一條直線上．由軌跡方程的參數(shù)法理論，引進(jìn)了、、、四個(gè)參數(shù)，要求與的關(guān)系，就要找三個(gè)方程．模塊2  練習(xí)鞏固  整合提升練習(xí)1：橢圓（的中心為原點(diǎn)，離心率，左焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為．（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足：，其中、是橢圓上的點(diǎn)，直線與的斜率之積為，證明：存在兩個(gè)定點(diǎn)、，使得為定值．【解析】（1）由，，解得，，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【證明】（2）設(shè)，，，則由可得，即，．因?yàn)辄c(diǎn)、在橢圓上，所以，，于是．由題設(shè)條件知，因此，所以，所以點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，其左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為定值．【點(diǎn)評】要證明存在兩個(gè)定點(diǎn)、，使得為定值，即要證明點(diǎn)的軌跡在橢圓上．引進(jìn)了、、、、、六個(gè)參數(shù)，需要找五個(gè)方程：，，，，．在消參的過程中，根據(jù)方程的特點(diǎn)，猜測是定值，從而使消參的方向更明確．練習(xí)2：若橢圓的方程為（），、是它的左、右焦點(diǎn)，橢圓過點(diǎn)，且離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)為、，直線的方程為，是橢圓上任一點(diǎn)，直線、分別交直線于、兩點(diǎn)，求的值；（3）過點(diǎn)任意作直線（與軸不垂直）與橢圓交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且，，證明為定值．【解析】（1），，解得，所以橢圓的方程為．（2），，設(shè)，，．因?yàn)?/span>、、三點(diǎn)共線，所以，即，同理，．于是，，所以．【證明】（3）設(shè)，，，由可得，即（），代入橢圓方程，可得，同理，由可得．兩式相減，可得．練習(xí)3：在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為、，右焦點(diǎn)為．設(shè)過點(diǎn)的直線、與橢圓分別交于點(diǎn)、，其中，，．（1）設(shè)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)，求證：直線必過軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無關(guān)）．【解析】（1）將，代入橢圓方程，以及，，可得，．直線的方程為，即．直線的方程為，即．聯(lián)立兩條直線方程，可得，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．【證明】（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為．直線的方程為，即．直線的方程為，即．聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得，同理聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得．若，即，解得，此時(shí)直線的方程為，過軸上的定點(diǎn)．若，則，直線的斜率為，直線的斜率為，于是，所以直線過點(diǎn)．綜上所述，直線必過軸上的定點(diǎn)．

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