專題05 利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式（二）-2020高考數(shù)學(xué)尖子生輔導(dǎo)專題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題五利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式（二）本專題總結(jié)了利用導(dǎo)數(shù)證明含有兩個(gè)未知數(shù)的函數(shù)不等式的常見(jiàn)方法，希望同學(xué)們看后有所收獲，提升利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式的能力．模塊1 整理方法提升能力對(duì)于兩個(gè)未知數(shù)的函數(shù)不等式問(wèn)題，其關(guān)鍵在于將兩個(gè)未知數(shù)化歸為一個(gè)未知數(shù)，常見(jiàn)的證明方法有以下4種：方法1：利用換元法，化歸為一個(gè)未知數(shù)方法2：利用未知數(shù)之間的關(guān)系消元，化歸為一個(gè)未知數(shù)方法3：分離未知數(shù)后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明方法4：利用主元法，構(gòu)造函數(shù)證明對(duì)數(shù)平均值不等式鏈我們將兩個(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均值定義為：，對(duì)數(shù)平均值不等式鏈為：．對(duì)數(shù)平均值不等式鏈的指數(shù)形式為：，其中．例1已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．【解析】（1）定義域?yàn)?/span>，．①若，則，在上遞減．②若，即時(shí)，，在上遞減．③若，即時(shí)，由，可得，由，可得或，所以在，上遞減，在上遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上遞減；當(dāng)時(shí)，在，上遞減，在上遞增．【證明】（2）法1：由（1）知，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則．因?yàn)?/span>，是的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，滿足，所以，，不妨設(shè)．，于是．構(gòu)造函數(shù)，，由（1）知，在上遞減，所以，不等式獲證．法2：由（1）知，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則．因?yàn)?/span>，是的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，滿足，不妨設(shè)，則，．，于是．設(shè)，則，構(gòu)造函數(shù)，，則，所以在上遞增，于是，命題獲證．法3：仿照法1，可得，因?yàn)?/span>，所以，令，構(gòu)造函數(shù)，由（1）知，在上遞減，所以，不等式獲證．【點(diǎn)評(píng)】、和之間的關(guān)系為，，我們可以利用其關(guān)系式對(duì)不等式進(jìn)行消元，化歸為只含有一個(gè)未知數(shù)的不等式．法1消去和留下，法2消去和留下，由于所證的不等式等價(jià)于，該不等式不含，因此法1比法2簡(jiǎn)單．由等價(jià)的不等式，容易聯(lián)想到對(duì)數(shù)平均值不等式，將不等式進(jìn)一步改造后，通過(guò)換元化歸為只含一個(gè)未知數(shù)的不等式．例2已知函數(shù)，．（1）設(shè)，討論曲線與曲線（）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）設(shè)，比較與的大小，并說(shuō)明理由．【解析】（1）與的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于與的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．令，則，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增，所以在上的最小值為．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，與沒(méi)有公共點(diǎn)，即與沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有一個(gè)公共點(diǎn)，即與有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)公共點(diǎn)，即與有兩個(gè)公共點(diǎn)．（2）結(jié)論：，證明如下．法1：．令，則，即證．構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上遞增，于是．命題獲證．法2：．令，則，即證，該不等式等價(jià)于．構(gòu)造函數(shù)，則，令，則，于是在上遞增，所以，即，所以在上遞增，于是．命題獲證．法3：．令，，則，且不等式，令，，則不等式，這是與有關(guān)的常用不等式，命題獲證．【點(diǎn)評(píng)】第（2）小問(wèn)的不等式含有兩個(gè)未知數(shù)、，其解題思路主要是利用換元法將兩個(gè)未知數(shù)、化歸為一個(gè)未知數(shù)，常見(jiàn)的換元手法有，，，．所證不等式為，這是對(duì)數(shù)平均值不等式的指數(shù)形式，法3通過(guò)換元將其轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)平均值不等式再進(jìn)行證明．例3已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，如果對(duì)任意，，求的取值范圍．【解析】（1）的定義域?yàn)?/span>．．當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減；當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，所以在上遞增，在上遞減．（2）不妨設(shè)，因?yàn)?/span>，所以由（1）可知在上遞減，于是，于是對(duì)任意，等價(jià)于對(duì)任意，．法1：（分離未知數(shù)后構(gòu)造函數(shù)）．構(gòu)造函數(shù)，則只需證明在上是減函數(shù)．，要使在上是減函數(shù)，則在上恒成立，所以．令，則，由可得，由可得．所以在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，于是的取值范圍是．法2：（主元法）由可得，以為主元構(gòu)造函數(shù)（），則．令，則是開(kāi)口方向向下，對(duì)稱軸為的拋物線，其．①若，則，此時(shí)，即，所以在上遞減，于是，即．②若，則，此時(shí)有兩個(gè)根，不妨設(shè)為、，且．由可得，由可得或．因?yàn)?/span>是任意的，不妨設(shè)，于是在上遞減，在上遞增，于是在上，有，即不成立．綜上所述，的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】得到二元不等式后，有三種方法解決，一是分離未知數(shù)后構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明，二是利用換元法，把二元化歸為一元，三是把其中一個(gè)元看成主元，進(jìn)而再求導(dǎo)，法1是分離未知數(shù)后構(gòu)造函數(shù)法，法2是主元法．例4已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．（1）求的取值范圍；（2）設(shè)、是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．【解析】（1）法1：，于是有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與有兩個(gè)交點(diǎn)．因?yàn)?/span>，由可得，由可得，于是在上遞增，在上遞減．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．于是當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以的取值范圍是．法2：．①當(dāng)時(shí)，，只有個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增．，，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以有兩個(gè)零點(diǎn)．③當(dāng)時(shí)，由可得或．（i）當(dāng)時(shí)，，由可得或，由可得，所以在、上遞增，在上遞減．因?yàn)?/span>，所以沒(méi)有兩個(gè)零點(diǎn)．（ii）當(dāng)時(shí)，，所以恒成立，即在上遞增，所以沒(méi)有兩個(gè)零點(diǎn)．（iii）當(dāng)時(shí)，，由可得或，由可得，所以在、上遞增，在上遞減．當(dāng)時(shí)，，所以沒(méi)有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，的取值范圍是．【證明】（2）法1：（極值點(diǎn)偏移）構(gòu)造函數(shù)（），令，則，因?yàn)?/span>，所以，，，所以，于是在上遞增，于是，于是，即．不妨設(shè)，由（1）可知，，于是，而，所以．因?yàn)?/span>，且在上遞減，所以，即．法2：（極值點(diǎn)偏移）構(gòu)造函數(shù)（），則，因?yàn)?/span>，所以，，，所以，于是在上遞增，于是，于是．不妨設(shè)，由（1）可知，，于是，而，所以．因?yàn)?/span>，且在上遞增，所以，即．【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，方程的解分別為、，即，且，很多極值函數(shù)由于極值點(diǎn)左右的“增減速度”不同，函數(shù)圖象不具有對(duì)稱性，常常有極值點(diǎn)的情況，出現(xiàn)了“極值點(diǎn)偏移”．對(duì)于極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，解題可沿循著如下處理策略：①構(gòu)造一元差函數(shù)；②對(duì)差函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)符號(hào)，確定的單調(diào)性；③結(jié)合，判斷的符號(hào)，從而確定、的大小關(guān)系；④由（或），結(jié)合的單調(diào)性得到（或），從而（或）．模塊2 練習(xí)鞏固整合提升練習(xí)1：已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，且對(duì)任意恒成立，求的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，證明：．【解析】（1）因?yàn)?/span>，所以，所以，即，所以．（2）由（1）知，，所以對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立．當(dāng)時(shí)，有，猜想的最大值為，下面進(jìn)行證明．，令，則，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增，所以，命題獲證，整數(shù)的最大值是．【證明】（3）．法1：（分離未知數(shù)后構(gòu)造函數(shù)）．構(gòu)造函數(shù)，，則，令，則，因?yàn)?/span>，所以在上恒成立，即在上遞增，而，于是在上恒成立，所以在上遞增．而，所以，不等式獲證．法2：（主元法）以為主元構(gòu)造函數(shù)，則．因?yàn)?/span>，所以，所以函數(shù)在上遞增．因?yàn)?/span>，所以，所以，即，不等式獲證．練習(xí)2：已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的最大值；（2）設(shè)，證明：．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．，由可得，由可得，于是在上遞增，在上遞減，于是當(dāng)時(shí)，有最大值，且最大值為．【證明】（2）以為主元構(gòu)造函數(shù)．設(shè)，其中，則．因?yàn)?/span>，所以，因此在上為增函數(shù)．而，所以，即．設(shè)，其中，則．當(dāng)時(shí)，，因此在上為減函數(shù)，而，所以，即．綜上所述，．練習(xí)3：設(shè)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，且．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：．【解析】（1），所以有兩個(gè)零點(diǎn)與有兩個(gè)交點(diǎn)．，由可得，由可得，所以在上遞增，在上遞減．又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．【證明】（2）法1：（化二元為一元）依題意，有，，于是，，所以．，令，則上式等價(jià)于，這是與有關(guān)的常用不等式，證明如下：構(gòu)造，，則，于是在上遞增，于是，命題獲證．法2：（化二元為一元）依題意，有，即，設(shè)，則，于是，因此，下同法1．法3：（極值點(diǎn)偏移），令，，則、是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，該問(wèn)題不是極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，因?yàn)?/span>的極值點(diǎn)不是，需要把改為，問(wèn)題才轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)偏移問(wèn)題．，由可得，由可得，所以在上遞增，在上遞減，于是．構(gòu)造函數(shù)（），則，于是在上遞增，于是，即，于是，而，所以．因?yàn)?/span>，，且在上遞減，所以，即，命題獲證．

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