專題二  函數(shù)零點(diǎn)問題函數(shù)的零點(diǎn)作為函數(shù)、方程、圖象的交匯點(diǎn)，充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的聯(lián)系，蘊(yùn)含了豐富的數(shù)形結(jié)合思想．諸如方程的根的問題、存在性問題、交點(diǎn)問題等最終都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題進(jìn)行處理，因此函數(shù)的零點(diǎn)問題成為了近年來高考新的生長點(diǎn)和熱點(diǎn)，且形式逐漸多樣化，備受青睞．模塊1  整理方法  提升能力對于函數(shù)零點(diǎn)問題，其解題策略一般是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)．對于兩個函數(shù)的選擇，有3種情況：一平一曲，一斜一曲，兩曲（凸性一般要相反）．其中以一平一曲的情況最為常見．分離參數(shù)法是處理零點(diǎn)問題的常見方法，其本質(zhì)是選擇一平一曲兩個函數(shù)；部分題目直接考慮函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)情況，其本質(zhì)是選擇一平一曲兩個函數(shù)；部分題目利用零點(diǎn)存在性定理并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性處理零點(diǎn)，其本質(zhì)是選擇一平一曲兩個函數(shù)．函數(shù)的凸性1．下凸函數(shù)定義    設(shè)函數(shù)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對上任意兩點(diǎn)，，總有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則稱為上的下凸函數(shù)．2．上凸函數(shù)定義    設(shè)函數(shù)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對上任意兩點(diǎn)，，總有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則稱為上的上凸函數(shù)．     3．下凸函數(shù)相關(guān)定理定理：設(shè)函數(shù)為區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，則為上的下凸函數(shù)為上的遞增函數(shù)且不在的任一子區(qū)間上恒為零．4．上凸函數(shù)相關(guān)定理定理：設(shè)函數(shù)為區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，則為上的上凸函數(shù)為上的遞減函數(shù)且不在的任一子區(qū)間上恒為零．例1已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1），．①當(dāng)時，，所以，所以在上遞減．②當(dāng)時，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增．（2）法1：①當(dāng)時，由（1）可知，在上遞減，不可能有兩個零點(diǎn)．②當(dāng)時，，令，則，所以在上遞增，而，所以當(dāng)時，，從而沒有兩個零點(diǎn)．當(dāng)時，，，于是在上有個零點(diǎn)；因為，且，所以在上有個零點(diǎn)．綜上所述，的取值范圍為．法2：．令，則，令，則，所以在上遞增，而，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，于是當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞增，在上遞減．，當(dāng)時，，當(dāng)時，．若有兩個零點(diǎn)，則與有兩個交點(diǎn)，所以的取值范圍是．法3：設(shè)，則，于是，令，則，令，則，所以在上遞增，而，所以當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，所以在上遞增，在上遞減．，當(dāng)時，，當(dāng)時，．若有兩個零點(diǎn)，則與有兩個交點(diǎn)，所以的取值范圍是．法4：設(shè)，則，于是．令，，則有兩個零點(diǎn)等價于與有兩個交點(diǎn)．因為，由可得，由可得，所以在上遞增，在上遞減，，當(dāng)時，．是斜率為，過定點(diǎn)的直線．當(dāng)與相切的時候，設(shè)切點(diǎn)，則有，消去和，可得，即，即．令，顯然是增函數(shù)，且，于是，此時切點(diǎn)，斜率．所以當(dāng)與有兩個交點(diǎn)時，，所以的取值范圍是．法5：，令，，，則有兩個零點(diǎn)與的圖象有兩個不同交點(diǎn)．，所以兩個函數(shù)圖象有一個交點(diǎn)．令，則，由可得，由可得，于是在上遞減，在上遞增，而，所以，因此與相切于點(diǎn)，除切點(diǎn)外，的圖象總在圖象的上方．由（1）可知，．當(dāng)時，將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)固定不動，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，就得到了的圖象，此時與的圖象沒有交點(diǎn)．當(dāng)時，的圖象就是的圖象，此時與的圖象只有1個交點(diǎn)．當(dāng)時，將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)固定不動，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，就得到了的圖象，此時與的圖象有兩個不同交點(diǎn)．綜上所述，的取值范圍是．法6：，令，，則有兩個零點(diǎn)與的圖象有兩個不同交點(diǎn)．，由可得，由可得，所以在上遞增，在上遞減，當(dāng)時，．由（1）可知，，所以是下凸函數(shù)，而是上凸函數(shù)．當(dāng)與相切時，設(shè)切點(diǎn)為，則有，消去，可得，即，即．令，顯然是增函數(shù)，而，于是，此時切點(diǎn)，．所以當(dāng)與的圖象有兩個交點(diǎn)時，，所以的取值范圍是．【點(diǎn)評】函數(shù)零點(diǎn)問題，其解題策略是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)，三種方式中（一平一曲、一斜一曲、兩曲）最為常見的是一平一曲．法1是直接考慮函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)情況，法2是分離參數(shù)法，法3用了換元，3種方法的本質(zhì)都是一平一曲，其中法3將指數(shù)換成了對數(shù)，雖然沒有比法2簡單，但是也提示我們某些函數(shù)或許可以通過換元，降低函數(shù)的解決難度．法4是一斜一曲情況，直線與曲線相切時的值是一個重要的分界值．法5和法6都是兩曲的情況，但法6比法5要簡單，其原因在于法5的兩曲凸性相同而法6的兩曲凸性相反．函數(shù)零點(diǎn)問題對函數(shù)圖象說明的要求很高，如解法2當(dāng)中的是先增后減且極大值，但和的狀態(tài)會影響的取值范圍，所以必須要說清楚兩個趨勢的情況，才能得到最終的答案．例2設(shè)函數(shù)設(shè)，，．（1）求；（2）證明：在內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)（記為），且．【解析】（1）因為，所以…①．由…②，①②，得，所以．【證明】（2）因為，，由零點(diǎn)存在性定理可知在內(nèi)至少存在一個零點(diǎn)．又因為，所以在內(nèi)遞增，因此在內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)．由于，所以，由此可得，即．因為，所以，所以，所以．【點(diǎn)評】當(dāng)函數(shù)滿足兩個條件：連續(xù)不斷，，則可由零點(diǎn)存在性定理得到函數(shù)在上至少有1個零點(diǎn)．零點(diǎn)存在性定理是高中階段一個比較弱的定理，首先，該定理的兩個條件缺一不可，其次，就算滿足兩個條件，也只能得到有零點(diǎn)的結(jié)論，究竟有多少個零點(diǎn)，也不確定．零點(diǎn)存在性定理常與單調(diào)性綜合使用，這是處理函數(shù)零點(diǎn)問題的一種方法．例3已知函數(shù)．（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求，并討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：．【解析】（1），由是的極值點(diǎn)，可得，解得．于是，定義域為，，則，所以在上遞增，又因為，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上遞減，在上遞增．【證明】（2）法1：定義域為，，，于是在上遞增．又因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上有唯一的實(shí)根，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，取得最小值．由可得，即，于是．當(dāng)時，；當(dāng)時，等號成立的條件是，但顯然，所以等號不成立，即．綜上所述，當(dāng)時，．法2：當(dāng)，時，，于是，所以只要證明，，就能證明當(dāng)時，．，，于是在上遞增．又因為，，所以在上有唯一的實(shí)根，且．當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，取得最小值．由可得，即．于是，于是．綜上所述，當(dāng)時，．法3：當(dāng)，時，，于是，所以只要證明（），就能證明當(dāng)時，．由（）可得（），又因為（），且兩個不等號不能同時成立，所以，即（），所以當(dāng)時，．【點(diǎn)評】法1與法2中出現(xiàn)的的具體數(shù)值是無法求解的，只能求出其范圍，我們把這種零點(diǎn)稱為“隱性零點(diǎn)”．法2比法1簡單，這是因為利用了函數(shù)單調(diào)性將命題加強(qiáng)為，轉(zhuǎn)化為研究一個特例函數(shù)的問題，從而大大降低了題目的難度．法2中，因為的表達(dá)式涉及、，都是超越式，所以的值不好計算，由此，需要對“隱性零點(diǎn)”滿足的式子進(jìn)行變形，得到兩個式子和，然后進(jìn)行反代，從而將超越式轉(zhuǎn)化為初等式．“反代”是處理“隱性零點(diǎn)”問題的常用策略．法3使用了與、有關(guān)的常用不等式，證明過程相當(dāng)快捷簡單．由于，且、的凸性相反，因此我們可以尋找兩個函數(shù)的公切線實(shí)現(xiàn)隔離放縮，事實(shí)上，就是、兩個函數(shù)的公切線．（不等式證明問題詳見專題四）模塊2  練習(xí)鞏固  整合提升練習(xí)1：設(shè)函數(shù)．（1）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)；（2）證明：當(dāng)時，．【解析】（1）的定義域為，．的零點(diǎn)的個數(shù)的根的個數(shù)與在上的交點(diǎn)的個數(shù)．因為，所以在上遞增，又因為，時，，所以當(dāng)時，與沒有交點(diǎn)，當(dāng)時，與有一個交點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)時，的零點(diǎn)個數(shù)為，當(dāng)時，的零點(diǎn)個數(shù)為．【證明】（2）由（1）可知，在上有唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，且最小值為．因為，所以，，所以．練習(xí)2：設(shè)函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)的定義域為，．當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，．所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為．（2）函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點(diǎn)在內(nèi)有兩個不同的根．法1：問題在內(nèi)有兩個不同的根．設(shè)，則．當(dāng)時，，所以在上遞增，所以在內(nèi)不存在兩個不同的根．當(dāng)時，由可得，由可得，所以的最小值為．在內(nèi)有兩個不同的根，解得．綜上所述，的取值范圍為．法2：問題在內(nèi)有兩個不同的根與在內(nèi)有兩個不同的交點(diǎn)．，當(dāng)時，，當(dāng)時，．，，當(dāng)時，．畫出在內(nèi)的圖象，可知要使與在內(nèi)有兩個不同的交點(diǎn)，的取值范圍為．練習(xí)3：已知函數(shù)和，直線：過點(diǎn)且與曲線相切．（1）求切線的方程；（2）若不等式恒成立，求的最大值；（3）設(shè)，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求證：．【解析】（1）設(shè)直線與函數(shù)相切于點(diǎn)，則切線方程為，即，因為切線過點(diǎn)，所以，解得，所以切線的方程為．（2）設(shè)，．當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在時取極小值，也是最小值．因此，要原不等式成立，則，所以的最大值是．【證明】（3）由題設(shè)條件知，函數(shù)（），令，則，于是在上單調(diào)遞增．因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以有唯一的實(shí)根，設(shè)為，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，于是有唯一的極小值，也是最小值．當(dāng)時，，當(dāng)時，．因此函數(shù)有唯一零點(diǎn)的充要條件是其最小值為，即（），所以，又因為，所以．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，又因為，，由零點(diǎn)存在性定理可知．

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