專題三  含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立問題不等式問題是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，而含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立問題又是重點(diǎn)中的難點(diǎn)．這類問題既含參數(shù)又含變量，與多個(gè)知識有效交匯，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，檢驗(yàn)學(xué)生思維的靈活性與創(chuàng)造性，這正符合高考強(qiáng)調(diào)能力立意，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想與方法的命題思想，因此恒成立問題成為近年來全國各地高考數(shù)學(xué)試題的一個(gè)熱點(diǎn)．模塊1  整理方法  提升能力處理含參數(shù)函數(shù)不等式（一個(gè)未知數(shù)）恒成立問題，從方法上，可考慮分離參數(shù)法或猜想最值法（必要條件法）．如果使用分離參數(shù)法，則猜想是沒有作用的，對于難一點(diǎn)的分離參數(shù)法，可能要使用多次求導(dǎo)或洛必達(dá)法則．如果使用猜想法，則后續(xù)有3種可能：一是猜想沒有任何作用；二是利用猜想減少分類討論；三是在猜想的基礎(chǔ)上強(qiáng)化，從而得到答案．從改造的形式上，解答題優(yōu)先選擇一平一曲，可利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為一平一曲兩個(gè)函數(shù)，也可以把函數(shù)化歸為一邊，考慮函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)情況（本質(zhì)上也是一平一曲）．洛必達(dá)法則如果當(dāng)（也可以是）時(shí)，兩個(gè)函數(shù)和都趨向于零或都趨向于無窮大，那么極限可能存在，也可能不存在．如果存在，其極限值也不盡相同．我們稱這類極限為型或型不定式極限．對于這類極限，一般要用洛必達(dá)法則來求．定理1：若函數(shù)和滿足條件：（1）．（2）和在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且．（3）存在或?yàn)闊o窮大．則有．定理2：若函數(shù)和滿足條件：（1）．（2）和在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且．（3）存在或?yàn)闊o窮大．則有．在定理1和定理2中，將分子、分母分別求導(dǎo)再求極限的方法稱為洛必達(dá)法則．使用洛必達(dá)法則時(shí)需要注意：（1）必須是型或型不定式極限．（2）若還是型或型不定式極限，且函數(shù)和仍滿足定理中和所滿足的條件，則可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則，即．（3）若無法判定的極限狀態(tài)，或能判定它的極限振蕩而不存在，則洛必達(dá)法則失效，此時(shí)，需要用其它方法計(jì)算．（4）可以把定理中的換為，，，，此時(shí)只要把定理中的條件作相應(yīng)的修改，定理仍然成立．例1已知函數(shù)（）．（1）求在上的最小值；（2）若對恒成立，求正數(shù)的最大值．【解析】（1）定義域?yàn)?/span>，．①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在為增函數(shù)，所以．②當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，所以在上遞增，在上遞減．于是在上的最小值為或．（i）當(dāng)，即時(shí)，．（ii）當(dāng)，即時(shí)，．綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（2）令，則對恒成立對恒成立．法1：（分離參數(shù)法）當(dāng)，不等式恒成立，于是對恒成立對恒成立．令，則，令，則，所以在上遞增，于是，即，所以在上遞增．由洛必達(dá)法則，可得，于是，所以正數(shù)的最大值為．法2：（不猜想直接用最值法）構(gòu)造函數(shù)，則．①當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，所以．②當(dāng)，即時(shí)，由可得，所以函數(shù)在上遞減，于是在上，，不合題意．綜上所述，正數(shù)的最大值為．法3：（先猜想并將猜想強(qiáng)化）由常用不等式（）可得，即．當(dāng)時(shí)，式子恒成立，當(dāng)，有恒成立，而，所以．下面證明可以取到，即證明不等式對恒成立．構(gòu)造函數(shù)（），則，所以函數(shù)在上遞增，所以，所以不等式對恒成立，所以正數(shù)的最大值為．法4：（先猜想并將猜想強(qiáng)化）對恒成立，因?yàn)?/span>所以，即．下同法3．法5：（先猜想并將猜想強(qiáng)化）當(dāng)，不等式恒成立，于是對恒成立對恒成立．由洛必達(dá)法則，可得，于是．下同法3．【點(diǎn)評】法1（分離參數(shù)法）把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，法2（最值法）把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求的最小值．由此可見最值法與分離參數(shù)法本質(zhì)上是相通的，其本質(zhì)都是把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，其區(qū)別在于所求的函數(shù)中是否含有參數(shù)．法3、法4和法5都是先求出必要條件，然后將必要條件進(jìn)行強(qiáng)化，需要解題的敏感度和判斷力．如果我們將這個(gè)必要條件與法2的最值法進(jìn)行結(jié)合，可減少法2的分類討論．  例2設(shè)函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求的最大值．【解析】（1）．①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上遞增．②當(dāng)時(shí)，由可得，由可得．所以在上遞減，在上遞增．（2）當(dāng)時(shí)，，所以，即在上恒成立．法1：（分離參數(shù)法）在上恒成立在上恒成立．令，則，令，有在上恒成立，所以在上遞增（也可由（1）可知，函數(shù)在上遞增）．而，，所以在上有唯一根，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是在上遞減，在上遞增，所以在上的最小值為，因?yàn)?/span>，所以，于是，所以，所以的最大值為．法2：（不猜想直接用最值法）令，則，令可得．①當(dāng)，即時(shí)，有在上恒成立，于是在上遞增，從而在上有，于是在上恒成立．②當(dāng)，即時(shí)（因?yàn)?/span>是整數(shù)，所以），可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是在上的最小值是．令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減．而，．所以當(dāng)時(shí)，有在上恒成立，當(dāng)時(shí)，在上不恒成立．綜上所述，的最大值為．法3：（先猜想并將猜想強(qiáng)化）因?yàn)?/span>在上恒成立，所以當(dāng)時(shí)，該式子也成立，于是，即．下證的最大值為．令，則，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增．所以，于是的最大值為．【點(diǎn)評】由于是整數(shù)，所以先猜想再將猜想強(qiáng)化是優(yōu)先采用的解題方法．如果將是整數(shù)這個(gè)條件去掉，則得到的必要條件既不能強(qiáng)化又不能減少分類討論，此時(shí)猜想將沒有任何作用，只能用法1的分離參數(shù)法和法2的最值法進(jìn)行求解．例3設(shè)函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，．由可得，由可得．所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是．（2）法1：（分離參數(shù)法）在上恒成立在上恒成立．當(dāng)時(shí)，式子顯然成立；當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)可得在上恒成立．令，則，令，可得，，所以在上遞增，于是，即，所以在上遞增，于是，所以，所以在上遞增．由洛必達(dá)法則，可得，所以在上有，所以．法2：（不猜想直接用最值法），．①當(dāng)，即時(shí)，有，所以在上遞增，所以，所以，所以在上遞增，所以．②當(dāng)，即時(shí)，由可得時(shí)，于是在上遞減，所以，所以，所以在上遞減，于是，于是不恒成立．綜上所述，的取值范圍是．法3：（先猜想并將猜想強(qiáng)化）當(dāng)時(shí)，在上恒成立．當(dāng)時(shí)，在上恒成立在上恒成立．由洛必達(dá)法則，可得，所以．，，所以在上遞增，所以，所以，所以在上遞增，所以．【點(diǎn)評】對于恒成立問題，最值法與分離參數(shù)法是兩種最常用的方法．如果分離后的函數(shù)容易求最值，則選用分離參數(shù)法，否則選用最值法．最值法主要考查學(xué)生分類討論的思想，一般遵循“構(gòu)造函數(shù)——分類討論”兩部曲來展開．一些稍難的恒成立問題，如果用分離參數(shù)法來處理，往往需要多次求導(dǎo)和使用洛必達(dá)法則．本題中，法2的最值法比法1的分離參數(shù)法要簡單，這是因?yàn)樘幚?/span>的最小值要比處理的最小值要容易．猜想最值法的模式是解決恒成立問題的重要模式，猜想的一般方法有：特殊值代入，不等式放縮，洛必達(dá)法則，端點(diǎn)效應(yīng)．模塊2  練習(xí)鞏固  整合提升練習(xí)1：已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求證：當(dāng)時(shí)，；（3）設(shè)實(shí)數(shù)使得對恒成立，求的最大值．【解析】（1），因?yàn)?/span>，所以，于是切線方程為．【證明】（2）構(gòu)造函數(shù)，．因?yàn)?/span>，所以在上遞增，所以．于是當(dāng)時(shí)，．【解析】（3）法1：（不猜想直接用最值法）構(gòu)造函數(shù)，，則．①當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，所以．②當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，所以．③當(dāng)時(shí)，由可得，于是在上遞減，所以，于是在上不恒成立．綜上所述，的最大值為．法2：（先猜想并將猜想強(qiáng)化）由（2）可知，猜想的最大值為．下面證明當(dāng)時(shí)，在上不恒成立．構(gòu)造函數(shù)，，則．當(dāng)時(shí)，由可得，于是在上遞減，所以，于是在上不恒成立．練習(xí)2：設(shè)函數(shù)．（1）證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）若對于任意、，都有，求的取值范圍．【證明】（1），令，則，所以在上遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．【解析】（2）由（1）可知，在上遞減，在上遞增，所以，于是對于任意、，都有，即．構(gòu)造函數(shù)，則，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增．又因?yàn)?/span>，，所以的取值范圍是．練習(xí)3：已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【解析】（1）的定義域?yàn)?/span>．當(dāng)時(shí)，，，所以，．于是曲線在處的切線方程為．（2）法1：（分離參數(shù)法）當(dāng)時(shí)，．令，則，令，則，于是在上遞增，所以，于是，從而在上遞增．由洛必達(dá)法則，可得，于是．于是的取值范圍是．法2：（不猜想直接用最值法）．①當(dāng)，即時(shí)，，所以在上遞增，所以．②當(dāng)時(shí)，令，則，所以（即）在上遞增，于是．（i）若，即時(shí)，，于是在上遞增，于是．（ii）若，即時(shí)，存在，使得當(dāng)時(shí)，，于是在上遞減，所以．綜上所述，的取值范圍是．法3：（變形后不猜想直接用最值法）當(dāng)時(shí)，．令，則，記，則是以為對稱軸，開口方向向上的拋物線．①當(dāng)，即時(shí)，，所以，于是在上遞增，因此．②當(dāng)，即時(shí)，的判別式為，于是有兩根，不妨設(shè)為、，且．由韋達(dá)定理可得，于是，所以，于是，當(dāng)時(shí)，，所以，于是在上遞減，即．綜上所述，的取值范圍是．法4：（通過猜想減少分類討論）當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?/span>，所以，即．，記，則是以為對稱軸，開口方向向上的拋物線．當(dāng)時(shí)，，所以，于是在上遞增，因此．所以的取值范圍是．法5：（通過猜想減少分類討論）當(dāng)時(shí)，．由洛必達(dá)法則，可得，于是．下同法4．練習(xí)4：已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求、的值；（2）如果當(dāng)，且時(shí)，，求的取值范圍．【解析】（1），因?yàn)?/span>，所以，于是．（2）法1：（分離參數(shù)法）由可得，令（且）．，令，則，令，則，令，則．當(dāng)時(shí)，在上遞增，于是，即，所以在上遞減，于是，即，所以在上遞增，所以，于是，所以在上遞減．當(dāng)時(shí)，在上遞增，于是，即，所以在上遞增，于是，即，所以在上遞增，所以，于是，所以在上遞增．由洛必達(dá)法則，可得，同理，，所以當(dāng)且時(shí)，有，于是．法2：（不猜想直接用最值法）由（1）知，所以，考慮函數(shù)，，則，此時(shí)有．，令，當(dāng)時(shí)，其判別式為．①當(dāng)時(shí)，，所以，于是，于是在上遞減，而，所以當(dāng)時(shí)，，于是；當(dāng)時(shí)，，于是．所以當(dāng)，且時(shí)，，即恒成立．②當(dāng)時(shí)，是開口方向向下，以為對稱軸，與軸有兩個(gè)交點(diǎn)的二次函數(shù)．因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，所以，于是在上遞增，所以．而時(shí)，，所以，于是不恒成立．③當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，而，所以，于是不恒成立．④當(dāng)時(shí)，是開口方向向上，以為對稱軸，與軸有兩個(gè)交點(diǎn)的二次函數(shù)．因?yàn)?/span>，所以在上恒成立，所以在上是增函數(shù)，以下同③，于是不恒成立．⑤當(dāng)時(shí)，是開口方向向上，以為對稱軸，與軸最多有一個(gè)交點(diǎn)的二次函數(shù)，所以在上恒成立，所以在上是增函數(shù)，以下同③，于是不恒成立．綜上所述，的取值范圍為．法3：（通過猜想減少分類討論）由（1）知，所以．因?yàn)?/span>，所以．考慮函數(shù)，，則，此時(shí)有．，令，這是開口方向向下的拋物線，其判別式為．①當(dāng)時(shí)，，所以，于是，于是在上遞減，而，所以當(dāng)時(shí)，，于是；當(dāng)時(shí)，，于是．所以當(dāng)，且時(shí)，，即恒成立．②當(dāng)時(shí)，是開口方向向下，以為對稱軸，與軸有兩個(gè)交點(diǎn)的二次函數(shù)．因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，所以，于是在上遞增，所以．而時(shí)，，所以，于是不恒成立．綜上所述，的取值范圍為．法4：（通過猜想減少分類討論）由可得，由洛必達(dá)法則，可得，于是，所以．下同法2，只需討論法2的①②③三種情況即可．法5：（通過猜想減少分類討論）由可得，由洛必達(dá)法則，可得，所以．下同法2，只需討論法2的①即可．【點(diǎn)評】法1的分離參數(shù)法，利用了高階導(dǎo)數(shù)以及洛必達(dá)法則，減少了解題的技巧性．法2的最值法構(gòu)造了函數(shù)，只需由在上恒成立，求出的取值范圍即可．但的表達(dá)式比較復(fù)雜，其復(fù)雜的根源在于前面帶有，直接求導(dǎo)只會(huì)讓式子變得更復(fù)雜，因此我們提取，讓變得“純粹”一點(diǎn)．的正負(fù)取決于與的正負(fù)，由此可找到的3個(gè)界：0、1、2，從而對的范圍作出不重不漏的劃分．法3、法4和法5都是猜想最值法，分別通過特殊值代入和洛必達(dá)法則得到相應(yīng)的必要條件，有效縮小了參數(shù)的取值范圍，此時(shí)只需討論法2分類當(dāng)中的若干情況即可，減少了分類討論，從而降低題目的難度． 

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