利用導數(shù)證明不等式1．隱零點問題1．已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）當時，證明： (其中e為自然對數(shù)的底數(shù))．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析．【解析】（1）的定義域為，，當，即時，在遞增．當時，，在上遞增．當，即時，在上，遞增．綜上所述，當時，的遞增區(qū)間為；當時，的遞增區(qū)間為；當時，，的遞增區(qū)間為．（2）當時，由化簡得，構造函數(shù)，，在上遞增，，故存在，使得，即．當時，遞減；當時，遞增，所以時，取得極小值，也即是最小值．，所以，故．2．已知函數(shù)．（1）設是的極值點，求的單調區(qū)間；（2）當時，求證：．【答案】（1）單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；（2）證明見解析．【解析】（1）的定義域為，，是的極值點，，即，，在上單調遞增，在上單調遞增，在上單調遞增，且，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為．（2）由可得，所以，令，則，在上單調遞增，且．，使得，有，①且在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，，由①得，即有，，，又在區(qū)間上單調遞增，，，，，結論得證．3．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若函數(shù)有兩個不大于的極值點，證明：．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析．【解析】（1）定義域為R，由，得，當時，，此時在上單調遞增；在上單調遞減．當時，令，即，，因為，所以，令，則或，即在和上單調遞增．令，則，即在上單調遞減．當時，令，即．因為，所以，令，則或，即在和上單調遞增．令，則，即在上單調遞減．綜上所述：當時，在上單調遞增，在上單調遞減．當時，在和上單調遞增，在上單調遞減．當時，在和上單調遞增，在上單調遞減．（2）因為函數(shù)有兩個不大于的極值點，由（1）知，因為且，所以，所以要證明，只要證明，即要證明，令，則，令，則，令，則，所以在上單調遞增，因為，，所以在上有唯一零點，設為，且當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以．因為，即，即，所以，所以，所以原不等式成立． 2．極值點偏移問題1．（多選）已知函數(shù)有兩個極值點，，則（）A．a的取值范圍為 B．C．  D．【答案】BCD【解析】由題設，且定義域為，則，當時，則單調遞增，不可能存在兩個零點，即不可能存在兩個極值點，A錯誤；當時，即單調遞增，當時，即單調遞減，即，當時，，所以至多有一個零點；當時，，而，當趨向于0時趨于負無窮大，當趨向于正無窮時趨于負無窮大，綜上，，在內各有一個零點，且，B：由且趨向于0時趨于負無窮大，所以，故，令，，又，所以單調遞減，故當時，，又，所以，而，因此，故正確；C：，令，顯然有，令，顯然，因此有，設，則，當時，單調遞減，當時，單調遞增，因為，所以，令，即，因為，所以單調遞增，因為，所以，而，所以，因為，所以，當時，單調遞減，因此有，即，正確；D：由，則，故，正確，故選BCD．2．已知函數(shù)．（1）證明：在R上為增函數(shù)；（2）若，證明：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】（1）由題意，，令，則，令，則，故在區(qū)間上，，為減函數(shù)；在區(qū)間上，，為增函數(shù)，故，故在R上為增函數(shù)．（2）由（1）知為增函數(shù)，且，故由，，可得，則．欲證，只需證，即證，即證．令，則，令，則，故為增函數(shù)，，故為增函數(shù)，，故，則，原式得證．3．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若函數(shù)在上有兩個不相等的零點，求證：．【答案】（1）當時，單調遞增，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；（2）證明見解析．【解析】（1），．①當時，恒成立，單調遞增；②當時，由，得，單調遞增，由，得，單調遞減．綜上：當時，單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減．（2）∵在上有兩個不相等的零點，，不妨設，∴在上有兩個不相等的實根，令，，∴，由，得，單調遞減；由，得，單調遞增，，，，，∴，要證，即證，又∵，只要證，即證，∵，即證，即證，即證，即證，令，，∴，令，，則，當時，恒成立，所以在上單調遞增，又，∴，∴，∴，∴在上遞增，∴，∴，∴．4．已知．（1）若函數(shù)在上有極值，求實數(shù)a的取值范圍；（2）已知方程有兩個不等實根，證明：（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1），定義域為，．令，解得；令，解得，所以在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值．要使函數(shù)在上有極值，只需，解得，即實數(shù)a的取值范圍為．（2）記函數(shù)，則函數(shù)有兩個不等實根．因為，，兩式相減得，，兩式相加得，．因為，所以要證，只需證明，只需證明，只需證明，證．設，只需證明．記，則，所以在上單增，所以，所以，即，所以．即證． 3．雙變量問題1．若函數(shù)存在兩個極值點和，則取值范圍為__________．【答案】【解析】令，則，由且，解得．，令，，在區(qū)間上遞減，．所以取值范圍是，故答案為．2．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）設存在兩個極值點，且，若，求證：．【答案】（1）在和上單調遞增，在上單調遞減；（2）證明見解析．【解析】（1）解：當時，，，所以，令，解得或；令，解得，所以函數(shù)在和上單調遞增，在上單調遞減．（2）解：，，，因為存在兩個極值點，，所以存在兩個互異的正實數(shù)根，，所以，，則，所以，所以，令，則，，，在上單調遞減，，而，即，．3．已知函數(shù)，在處的切線與直線平行．（1）求實數(shù)的值，并判斷函數(shù)的單調性；（2）若函數(shù)有兩個零點，求證：．【答案】（1），函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增；（2）證明見解析．【解析】（1）解：函數(shù)的定義域，因為，所以解得，，，令，解得，故在上單調遞減，令，解得，故在上單調遞增．（2）解：由，為函數(shù)的兩個零點，得，兩式相減，得，即，，因此，，令，由，得，則，構造函數(shù)，則，所以在上單調遞增，故，，又，所以，所以，故，命題得證． 4．其它1．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；（2）當時，求證：．【答案】（1）單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，極小值為，沒有極大值；（2）證明見解析．【解析】（1）易知函數(shù)定義域為R，∵，∴，令，解得，在上單調遞增，，解得，在上單調遞減，即的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，∴函數(shù)的極小值為，沒有極大值．（2）解法一：要證，即證，設，要證原不等式成立即證成立，∵，∵，∴(當且僅當，時等號成立)，由（1）知(等號成立)，∴，∴在單調遞增，∴，∴當時，得證．解法二：要證，即證，設，要證原不等式成立即證成立，∵，設，則，令，則，∵，，又，∴，即在單調遞增，∴，即在單調遞增，∴，∴，即在單調遞增，∴，∴當時，得證．2．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調性；（2）證明：對任意正整數(shù)n，．【答案】（1）見解析；（2）證明見解析．【解析】（1）的定義域為，，令，得或，①當，即時，若，則，遞增；若，則，遞減；②當，即時，若，則，遞減；若，則，遞增；若，則，遞減，綜上所述，當時，在，單調遞減，在單調遞增；當時，在單調遞增，在單調遞減．（2）由（2）知當時，在上遞減，，即，，，，2，3，，，，． 

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