湖北省鄂州市鄂城區(qū)2020-2021學(xué)年八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版） - 副本

這是一份湖北省鄂州市鄂城區(qū)2020-2021學(xué)年八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版） - 副本，共25頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。



一、選擇題：每空3分，共30分．


1．函數(shù)y=+中自變量x的取值范圍是（ ）


A．x≤2B．x≤2且x≠1C．x＜2且x≠1D．x≠1


2．下列長(zhǎng)度的三條線段，哪一組不能構(gòu)成三角形（ ）


A．3，3，3B．3，4，5C．5，6，10D．4，5，9


3．在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（ ）


A．B．C．D．


4．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個(gè)多邊形是（ ）


A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．八邊形


5．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC的三邊a、b、c的大小關(guān)系式正確的是（ ）





A．c＜a＜bB．a(chǎn)＜b＜cC．a(chǎn)＜c＜bD．c＜b＜a


6．如圖，在△ABC中，AB=AC，且D為BC上一點(diǎn)，CD=AD，AB=BD，則∠B的度數(shù)為（ ）





A．30°B．36°C．40°D．45°


7．如圖，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，則∠ACA′的度數(shù)為（ ）





A．20°B．30°C．35°D．40°


8．如圖，在△ABC中，∠B=42°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BD上一點(diǎn)，EF⊥AB于點(diǎn)F，若ED=EF，則∠AEC的度數(shù)為（ ）





A．60°B．62°C．64°D．66°


9．（2x）n﹣81分解因式后得（4x2+9）（2x+3）（2x﹣3），則n等于（ ）


A．2B．4C．6D．8


10．甲、乙兩地之間的高速公路全長(zhǎng)200千米，比原來國道的長(zhǎng)度減少了20千米．高速公路通車后，某長(zhǎng)途汽車的行駛速度提高了45千米/時(shí)，從甲地到乙地的行駛時(shí)間縮短了一半．設(shè)該長(zhǎng)途汽車在原來國道上行駛的速度為x千米/時(shí)，根據(jù)題意，下列方程正確的是（ ）


A．B．


C．D．





二、填空題：每空3分，共18分．


11．若點(diǎn)A（m+2，3）與點(diǎn)B（﹣4，n+5）關(guān)于y軸對(duì)稱，則m+n= ．


12．當(dāng)x= 時(shí)，2x﹣3與的值互為倒數(shù)．


13．如圖，已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)D在CA的延長(zhǎng)線上，且DC=BC，若∠BAC=80°，則∠BOD的度數(shù)為 ．





14．因式分解：（x2+4）2﹣16x2= ．


15．如圖，在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分別平分∠EDC、∠BCD，則


∠CPD的度數(shù)是 °．





16．如圖，∠BAC=110°，若MP和NQ分別垂直平分AB和AC，則∠PAQ的度數(shù)是 ．








三、解答題：第17-21題各8分，第22-23題各10分，第24題12分，共72分。


17．（1）÷（x+2﹣）；


（2）（﹣2a2）2?a4﹣（﹣5a4）2．


18．解分式方程：


（1）+1=；


（2）﹣=﹣．


19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l是第二、四象限的角平分線．


（1）由圖觀察易知A（2，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（0，﹣2），請(qǐng)?jiān)趫D中分別標(biāo)明B（5，3）、C（2，5），關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′、C′的位置，并寫出它們的坐標(biāo)；B′ 、C′ ；


（2）結(jié)合圖形觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于第二、四象限的角平分線l的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為 （不必證明）；


（3）已知兩點(diǎn)D（﹣1，﹣3）、E（1，﹣4），試在直線l上確定一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小，并求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．





20．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，AC上，且BD=CE，BE=CF，如果點(diǎn)G為DF的中點(diǎn)，那么EG與DF垂直嗎？





21．先閱讀下列材料：


我們已經(jīng)學(xué)過將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法、十字相乘法等等．


（1）分組分解法：將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法．


如：ax+by+bx+ay=（ax+bx）+（ay+by）


=x（a+b）+y（a+b）


=（a+b）（x+y）


2xy+y2﹣1+x2


=x2+2xy+y2﹣1


=（x+y）2﹣1


=（x+y+1）（x+y﹣1）


（2）拆項(xiàng)法：將一個(gè)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法．如：


x2+2x﹣3


=x2+2x+1﹣4


=（x+1）2﹣22


=（x+1+2）（x+1﹣2）


=（x+3）（x﹣1）


請(qǐng)你仿照以上方法，探索并解決下列問題：


（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；


（2）分解因式：x2﹣6x﹣7；


（3）分解因式：a2+4ab﹣5b2．


22．如圖所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)D，交AC于F．


（1）若∠AFD=155°，求∠EDF的度數(shù)；


（2）若點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，求證：∠CFD=∠B．





23．某文具店老板第一次用1000元購進(jìn)一批文具，很快銷售完畢；第二次購進(jìn)時(shí)發(fā)現(xiàn)每件文具進(jìn)價(jià)比第一次上漲了2.5元．老板用2500元購進(jìn)了第二批文具，所購進(jìn)文具的數(shù)量是第一次購進(jìn)數(shù)量的2倍，同樣很快銷售完畢，兩批文具的售價(jià)為每件15元．


（1）問第二次購進(jìn)了多少件文具？


（2）文具店老板第一次購進(jìn)的文具有30元的損耗，第二次購進(jìn)的文具有125元的損耗，問文具店老板在這兩筆生意中是盈利還是虧本？請(qǐng)說明理由．


24．已知，點(diǎn)D位直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，∠DAE=90°，AD=AE，連接CE．


（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：


①BD⊥CE；


②CE=BC﹣CD．


知識(shí)遷移，探究發(fā)現(xiàn)


（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出CE，BC，CD三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．











2020-2021學(xué)年湖北省鄂州市鄂城區(qū)八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷


參考答案與試題解析





一、選擇題：每空3分，共30分．


1．函數(shù)y=+中自變量x的取值范圍是（ ）


A．x≤2B．x≤2且x≠1C．x＜2且x≠1D．x≠1


【考點(diǎn)】函數(shù)自變量的取值范圍．


【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0，就可以求解．


【解答】解：根據(jù)二次根式有意義，分式有意義得：2﹣x≥0且x﹣1≠0，


解得：x≤2且x≠1．


故選：B．





2．下列長(zhǎng)度的三條線段，哪一組不能構(gòu)成三角形（ ）


A．3，3，3B．3，4，5C．5，6，10D．4，5，9


【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系．


【分析】先回顧一下三角形的三邊關(guān)系定理，根據(jù)判定定理逐個(gè)判斷即可．


【解答】解：A、3+3＞3，符合三角形的三邊關(guān)系定理，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；


B，3+4＞5，3+5＞4，5+4＞3，符合三角形的三邊關(guān)系定理，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；


C、5+6＞10，5+10＞6，6+10＞5，符合三角形的三邊關(guān)系定理，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；


D、4+5=9，不符合三角形的三邊關(guān)系定理，故本選項(xiàng)正確；


故選D．





3．在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（ ）


A．B．C．D．


【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形．


【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解．如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．


【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，故A符合題意；


B、不是軸對(duì)稱圖形，故B不符合題意；


C、不是軸對(duì)稱圖形，故C不符合題意；


D、不是軸對(duì)稱圖形，故D不符合題意．


故選：A．





4．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個(gè)多邊形是（ ）


A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．八邊形


【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角．


【分析】此題可以利用多邊形的外角和和內(nèi)角和定理求解．


【解答】解：設(shè)所求正n邊形邊數(shù)為n，由題意得


（n﹣2）?180°=360°×2


解得n=6．


則這個(gè)多邊形是六邊形．


故選：C．





5．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC的三邊a、b、c的大小關(guān)系式正確的是（ ）





A．c＜a＜bB．a(chǎn)＜b＜cC．a(chǎn)＜c＜bD．c＜b＜a


【考點(diǎn)】勾股定理．


【分析】通過小正方形網(wǎng)格，可以看出AB=4，AC、BC分別可以構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理可分別求出b、a，然后比較三邊的大小即可．


【解答】解：∵b=AC==5=，a=BC==，c=4=，


∴b＞a＞c，


即c＜a＜b．


故選A．





6．如圖，在△ABC中，AB=AC，且D為BC上一點(diǎn)，CD=AD，AB=BD，則∠B的度數(shù)為（ ）





A．30°B．36°C．40°D．45°


【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．


【分析】求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的關(guān)系，利用三角形的內(nèi)角和是180°，求∠B，


【解答】解：∵AB=AC，


∴∠B=∠C，


∵AB=BD，


∴∠BAD=∠BDA，


∵CD=AD，


∴∠C=∠CAD，


∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，


∴5∠B=180°，


∴∠B=36°


故選：B．





7．如圖，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，則∠ACA′的度數(shù)為（ ）





A．20°B．30°C．35°D．40°


【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)．


【分析】本題根據(jù)全等三角形的性質(zhì)并找清全等三角形的對(duì)應(yīng)角即可．


【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，


∴∠ACB=∠A′CB′，


即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，


∴∠ACA′=∠B′CB，


又∠B′CB=30°


∴∠ACA′=30°．


故選：B．





8．如圖，在△ABC中，∠B=42°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BD上一點(diǎn)，EF⊥AB于點(diǎn)F，若ED=EF，則∠AEC的度數(shù)為（ ）





A．60°B．62°C．64°D．66°


【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．


【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAD，根據(jù)角平分線的判定定理得到∠BAE=∠DAE，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可．


【解答】解：∵∠B=42°，AD⊥BC，


∴∠BAD=48°，


∵ED=EF，AD⊥BC，EF⊥AB，


∴∠BAE=∠DAE=24°，


∴∠AEC=∠B+∠BAE=66°，


故選：D．





9．（2x）n﹣81分解因式后得（4x2+9）（2x+3）（2x﹣3），則n等于（ ）


A．2B．4C．6D．8


【考點(diǎn)】因式分解﹣運(yùn)用公式法．


【分析】直接利用平方差公式計(jì)算得出答案．


【解答】解：∵（4x2+9）（2x+3）（2x﹣3）


=（4x2+9）（4x2﹣9）


=16x4﹣81


=（2x）4﹣81


=（2x）n﹣81，


∴n=4．


故選：B．





10．甲、乙兩地之間的高速公路全長(zhǎng)200千米，比原來國道的長(zhǎng)度減少了20千米．高速公路通車后，某長(zhǎng)途汽車的行駛速度提高了45千米/時(shí)，從甲地到乙地的行駛時(shí)間縮短了一半．設(shè)該長(zhǎng)途汽車在原來國道上行駛的速度為x千米/時(shí)，根據(jù)題意，下列方程正確的是（ ）


A．B．


C．D．


【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出分式方程．


【分析】設(shè)該長(zhǎng)途汽車在原來國道上行駛的速度為x千米/時(shí)，根據(jù)“甲、乙兩地之間的高速公路全長(zhǎng)200千米，比原來國道的長(zhǎng)度減少了20千米．高速公路通車后，某長(zhǎng)途汽車的行駛速度提高了45千米/時(shí)，從甲地到乙地的行駛時(shí)間縮短了一半”，可列出方程．


【解答】解：設(shè)該長(zhǎng)途汽車在原來國道上行駛的速度為x千米/時(shí)，根據(jù)題意得


=?．


故選：D．





二、填空題：每空3分，共18分．


11．若點(diǎn)A（m+2，3）與點(diǎn)B（﹣4，n+5）關(guān)于y軸對(duì)稱，則m+n= 0 ．


【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．


【分析】根據(jù)“關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”列出方程求解即可．


【解答】解：∵點(diǎn)A（m+2，3）與點(diǎn)B（﹣4，n+5）關(guān)于y軸對(duì)稱，


∴m+2=4，3=n+5，


解得：m=2，n=﹣2，


∴m+n=0，


故答案為：0．





12．當(dāng)x= 3 時(shí)，2x﹣3與的值互為倒數(shù)．


【考點(diǎn)】解一元一次方程．


【分析】首先根據(jù)倒數(shù)的定義列出方程2x﹣3=，然后解方程即可．


【解答】解：∵2x﹣3與的值互為倒數(shù)，


∴2x﹣3=，


去分母得：5（2x﹣3）=4x+3，


去括號(hào)得：10x﹣15=4x+3，


移項(xiàng)、合并得：6x=18，


系數(shù)化為1得：x=3．


所以當(dāng)x=3時(shí)，2x﹣3與的值互為倒數(shù)．





13．如圖，已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)D在CA的延長(zhǎng)線上，且DC=BC，若∠BAC=80°，則∠BOD的度數(shù)為 100° ．





【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．


【分析】如圖在CO的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)H．首先證明∠DOB=∠D+∠OBC+∠OCD+∠OCB=∠D+∠OBC+∠ACB，由△OCD≌△OCB，推出∠D=∠OBC=∠ABO，推出∠DOB=∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC，延長(zhǎng)即可解決問題．


【解答】解：如圖在CO的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)H．





∵∠DOH=∠D+∠DCO，∠BOH=∠OBC+∠OCB，


∴∠DOB=∠D+∠OBC+∠OCD+∠OCB=∠D+∠OBC+∠ACB，


∵O是內(nèi)心，


∴∠DCO=∠BCO，


在△OCD和△OCB中，


，


∴△OCD≌△OCB，


∴∠D=∠OBC=∠ABO，


∴∠DOB=∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC=100°，


故答案為100°．





14．因式分解：（x2+4）2﹣16x2= （x+2）2（x﹣2）2 ．


【考點(diǎn)】因式分解﹣運(yùn)用公式法．


【分析】先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式進(jìn)行二次因式分解．


【解答】解：（x2+4）2﹣16x2


=（x2+4﹣4x）（x2+4+4x）


=（x+2）2（x﹣2）2．


故答案為：（x+2）2（x﹣2）2．





15．如圖，在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分別平分∠EDC、∠BCD，則


∠CPD的度數(shù)是 60 °．





【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角．


【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可得∠PDC與∠PCD的角度和，進(jìn)一步求得∠CPD的度數(shù)．


【解答】解：∵五邊形的內(nèi)角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，


∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，


∵∠BCD、∠CDE的平分線在五邊形內(nèi)相交于點(diǎn)O，


∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，


∴∠CPD=180°﹣120°=60°．


故答案是：60；





16．如圖，∠BAC=110°，若MP和NQ分別垂直平分AB和AC，則∠PAQ的度數(shù)是 40° ．





【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)．


【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B+∠C的度數(shù)，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到PA=PB，QA=QC，得到∠PAB=∠B，∠QAC=∠C，結(jié)合圖形計(jì)算即可．


【解答】解：∵∠BAC=110°，


∴∠B+∠C=70°，


∵M(jìn)P和NQ分別垂直平分AB和AC，


∴PA=PB，QA=QC，


∴∠PAB=∠B，∠QAC=∠C，


∴∠PAB+∠QAC=∠B+∠C=70°，


∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=40°，


故答案為：40°．





三、解答題：第17-21題各8分，第22-23題各10分，第24題12分，共72分。


17．（1）÷（x+2﹣）；


（2）（﹣2a2）2?a4﹣（﹣5a4）2．


【考點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算；單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式．


【分析】結(jié)合分式混合運(yùn)算的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可．


【解答】解：（1）原式=÷


=÷


=×


=


=．


（2）原式=4a4×a4﹣25a8


=4a8﹣25a8


=﹣21a8．





18．解分式方程：


（1）+1=；


（2）﹣=﹣．


【考點(diǎn)】解分式方程．


【分析】?jī)煞质椒匠倘シ帜皋D(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到未知數(shù)的值，代入檢驗(yàn)即可．


【解答】解：（1）去分母得：2y2+y2﹣y=3y2﹣4y+1，


解得：y=，


經(jīng)檢驗(yàn)y=是分式方程的解；


（2）去分母得：x﹣x﹣2=﹣2x+4，


解得：x=3，


經(jīng)檢驗(yàn)x=3是分式方程的解．





19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l是第二、四象限的角平分線．


（1）由圖觀察易知A（2，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（0，﹣2），請(qǐng)?jiān)趫D中分別標(biāo)明B（5，3）、C（2，5），關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′、C′的位置，并寫出它們的坐標(biāo)；B′ （﹣3，﹣5） 、C′ （﹣5，﹣2） ；


（2）結(jié)合圖形觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于第二、四象限的角平分線l的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為 （﹣b，﹣a） （不必證明）；


（3）已知兩點(diǎn)D（﹣1，﹣3）、E（1，﹣4），試在直線l上確定一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小，并求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．





【考點(diǎn)】軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題；坐標(biāo)與圖形變化﹣對(duì)稱．


【分析】（1）分別作B（5，3）、C（2，5）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'，C'，B'（﹣3，﹣5）、C'（﹣5，﹣2）；


（2）觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，會(huì)發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于第二、四象限的角平分線l的對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（﹣b，﹣a）；


（3）先求出點(diǎn)D關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)D'的坐標(biāo)為（3，1），再運(yùn)用待定系數(shù)法求出點(diǎn)E、點(diǎn)D'的直線解析式為y=x﹣．點(diǎn)Q是直線y=x﹣與直線l：y=﹣x的交點(diǎn)，解方程組：，即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．


【解答】解：（1）如圖：B'（﹣3，﹣5）、C'（﹣5，﹣2）；





（2）∵A（2，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（0，﹣2），


B（5，3）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'（﹣3，﹣5），


C（2，5）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)C'（﹣5，﹣2），


∴發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于第二、四象限的角平分線l的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（﹣b，﹣a）；





（3）點(diǎn)D關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)D'的坐標(biāo)為（3，1）．


設(shè)過點(diǎn)E、點(diǎn)D'的直線解析式為：y=kx+b，


分別把點(diǎn)E、D'的坐標(biāo)代入得，


解得，


∴y=x﹣．


解方程組：，


得，


∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，﹣）．


故答案為（﹣3，﹣5），（﹣5，﹣2）；（﹣b，﹣a）．








20．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，AC上，且BD=CE，BE=CF，如果點(diǎn)G為DF的中點(diǎn)，那么EG與DF垂直嗎？





【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．


【分析】連接DE，EF，易證△BDE≌△CFE，可得DE=EF，可證△DGE≌△FGE，可求得∠DGE=∠FGE=90°．


【解答】解：連接DE，EF，





∵AB=AC，


∴∠B=∠C，


在△BDE和△CFE中，


，


∴△BDE≌△CFE（SAS），


∴DE=EF，


在在△DGE和△FGE中，


，


∴△DGE≌△FGE（SSS），


∴∠DGE=∠FGE，


∵∠DGE+∠FGE=180°，


∴∠DGE=∠FGE=90°，


∴EG⊥DF．





21．先閱讀下列材料：


我們已經(jīng)學(xué)過將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法、十字相乘法等等．


（1）分組分解法：將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法．


如：ax+by+bx+ay=（ax+bx）+（ay+by）


=x（a+b）+y（a+b）


=（a+b）（x+y）


2xy+y2﹣1+x2


=x2+2xy+y2﹣1


=（x+y）2﹣1


=（x+y+1）（x+y﹣1）


（2）拆項(xiàng)法：將一個(gè)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法．如：


x2+2x﹣3


=x2+2x+1﹣4


=（x+1）2﹣22


=（x+1+2）（x+1﹣2）


=（x+3）（x﹣1）


請(qǐng)你仿照以上方法，探索并解決下列問題：


（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；


（2）分解因式：x2﹣6x﹣7；


（3）分解因式：a2+4ab﹣5b2．


【考點(diǎn)】因式分解﹣十字相乘法等．


【分析】仿照題中的方法，得到十字相乘法的技巧，分別將各項(xiàng)分解即可．


【解答】解：（1）原式=（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）=（a﹣b）（a+b+1）；


（2）原式=（x﹣7）（x+1）；


（3）原式=（a﹣b）（a+5b）．





22．如圖所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)D，交AC于F．


（1）若∠AFD=155°，求∠EDF的度數(shù)；


（2）若點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，求證：∠CFD=∠B．





【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．


【分析】（1）求得∠A的度數(shù)后利用四邊形的內(nèi)角和定理求得結(jié)論即可；


（2）連接FB，根據(jù)AB=BC，且點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，得到BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=∠ABC，證得∠CFD=∠CBF后即可證得∠CFD=∠ABC．


【解答】解：（1）∵∠AFD=155°，


∴∠DFC=25°，


∵DF⊥BC，DE⊥AB，


∴∠FDC=∠AED=90°，


在Rt△EDC中，


∴∠C=90°﹣25°=65°，


∵AB=BC，


∴∠C=∠A=65°，


∴∠EDF=360°﹣65°﹣155°﹣90°=50°．


（2）連接BF


∵AB=BC，且點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，


∴BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=∠ABC，


∴∠CFD+∠BFD=90°，


∠CBF+∠BFD=90°，


∴∠CFD=∠CBF，


∴∠CFD=∠ABC．





23．某文具店老板第一次用1000元購進(jìn)一批文具，很快銷售完畢；第二次購進(jìn)時(shí)發(fā)現(xiàn)每件文具進(jìn)價(jià)比第一次上漲了2.5元．老板用2500元購進(jìn)了第二批文具，所購進(jìn)文具的數(shù)量是第一次購進(jìn)數(shù)量的2倍，同樣很快銷售完畢，兩批文具的售價(jià)為每件15元．


（1）問第二次購進(jìn)了多少件文具？


（2）文具店老板第一次購進(jìn)的文具有30元的損耗，第二次購進(jìn)的文具有125元的損耗，問文具店老板在這兩筆生意中是盈利還是虧本？請(qǐng)說明理由．


【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用．


【分析】（1）設(shè)第一次購進(jìn)x件文具，第二次就購進(jìn)2x件文具，根據(jù)第二次購進(jìn)時(shí)發(fā)現(xiàn)每件文具進(jìn)價(jià)比第一次上漲了2.5元，列分式方程求解；


（2）分別求出兩次銷售的利潤(rùn)，即可判斷盈虧．


【解答】解：（1）設(shè)第一次購進(jìn)x件文具，第二次就購進(jìn)2x件文具，


由題意得， =﹣2.5，


解得：x=100，


經(jīng)檢驗(yàn)，x=100是原方程的解，且符合題意，


則2x=2×100=200．


答：第二次購進(jìn)200件文具；





（2）第一次購進(jìn)100件文具，利潤(rùn)為：（15﹣10）×100﹣30=470（元）；


第二次購進(jìn)200件文具，利潤(rùn)為：（15﹣12.5）×200﹣125=375（元），


兩筆生意是盈利：利潤(rùn)為470+375=845元．





24．已知，點(diǎn)D位直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，∠DAE=90°，AD=AE，連接CE．


（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：


①BD⊥CE；


②CE=BC﹣CD．


知識(shí)遷移，探究發(fā)現(xiàn)


（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出CE，BC，CD三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．





【考點(diǎn)】三角形綜合題．


【分析】（1）如圖1中，只要證明△ABD≌△ACE，即可得到∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，由此可以證明．


（2）如圖2中，結(jié)論：CE=BC+CD，證明方法類似（1）．


【解答】（1）證明：如圖1中，∵∠BAC=∠DAE=90°，


∴∠BAD=∠CAE，


在△ABD和△ACE中，


，


∴△ABD≌△ACE（SAS），


∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，


∴∠ACB+∠ACE=90°


∴∠ECB=90°，


∴BD⊥CE，CE=BC﹣CD．





（2）如圖2中，結(jié)論：CE=BC+CD，理由如下：


∵∠BAC=∠DAE=90°，


∴∠BAD=∠CAE，


在△ABD和△ACE中，


，


∴△ABD≌△ACE（SAS），


∴BD=CE，


∴CE=BC+CD．