?2017-2018學(xué)年湖北省鄂州市鄂城區(qū)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
　
一、選擇題（每題3分，共30分）
1．下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
2．△ABC中BC邊上的高作法正確的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知三角形兩邊長分別為3和8，則該三角形第三邊的長可能是（　?。?br /> A．5 B．10 C．11 D．12
4．下列判斷中錯(cuò)誤的是（　?。?br /> A．有兩角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
B．有一邊相等的兩個(gè)等邊三角形全等
C．有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
D．有兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
5．三角形中，若一個(gè)角等于其他兩個(gè)角的差，則這個(gè)三角形是（　?。?br /> A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰三角形
6．如圖，△ABC中，∠C=70°，若沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2=（　?。?br />
A．360° B．250° C．180° D．140°
7．如圖，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分線的交點(diǎn)，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若△ODE的周長為10厘米，那么BC的長為（　?。?br />
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
8．如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角的頂點(diǎn)重合于O，則∠AOC+∠DOB=（　?。?br />
A．90° B．120° C．160° D．180°
9．附加題：下圖是由九個(gè)等邊三角形組成的一個(gè)六邊形，當(dāng)最小的等邊三角形邊長為2cm時(shí)，這個(gè)六邊形的周長為（　?。ヽm．

A．30 B．40 C．50 D．60
10．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，AB＞AD，下列結(jié)論中正確的是（　?。?br />
A．AB﹣AD＞CB﹣CD
B．AB﹣AD=CB﹣CD
C．AB﹣AD＜CB﹣CD
D．AB﹣AD與CB﹣CD的大小關(guān)系不確定
　
二、填空題（每題3分，共18分）
11．若正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于150°，則n=　 　，其內(nèi)角和為　 ?。?br /> 12．如圖，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，則△ABD的面積是　 ?。?br />
13．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，則∠A的度數(shù)是　 ?。?br />
14．如圖，等腰三角形ABC底邊BC的長為4cm，面積是12cm2，腰AB的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)F，若D為BC邊上的中點(diǎn)，M為線段EF上一動點(diǎn)，則△BDM的周長最短為　 　cm．

15．如圖，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2；…∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A3，則∠A3=　 ?。?br />
16．△ABC為等邊三角形，在平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使△PAB，△PBC，△PAC均為等腰三角形，則這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為　 　．
　
三、解答題（8+8+9+8+8+9+10+12=72分）
17．如圖，點(diǎn)F、C在BE上，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E．
求證：∠A=∠D．

18．如圖，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥AC于D，求∠DBC的度數(shù)．

19．如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，3）、B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）將△ABC向右平移5個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位得△A1B1C1，圖中畫出△A1B1C1，平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)是　 　．
（2）將△ABC沿x軸翻折△A2BC，圖中畫出△A2BC，翻折后點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)A2坐標(biāo)是　 ?。?br /> （3）將△ABC向左平移2個(gè)單位，則△ABC掃過的面積為　 ?。?br />
20．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線交AB，CA的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)BE=CF時(shí)，求證：AE=AF．

21．如圖，∠AOB=30度，OC平分∠AOB，P為OC上一點(diǎn)，PD∥OA交OB于D，PE垂直O(jiān)A于E，若OD=4cm，求PE的長．

22．如圖，△ABC為等邊三角形，D、E分別是AC、BC上的點(diǎn)，且AD=CE，AE與BD相交于點(diǎn)P，
（1）求∠BPE的度數(shù)；
（2）若BF⊥AE于點(diǎn)F，試判斷BP與PF的數(shù)量關(guān)系．

23．△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D，E分別在AB，BC上，且AD=BE，BD=AC．
（1）如圖1，連DE，求∠BDE的度數(shù)；
（2）如圖2，過E作EF⊥AB于F，求證：∠FED=∠CED；
（3）在（2）的條件下，若BF=2，求CE的長．

24．如圖，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AB=16cm，AF=10cm，AC=14cm，動點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動，動點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t．
（1）求S△ABD：S△ACD；
（2）求證：在運(yùn)動過程中，無論t取何值，都有S△AED=2S△DGC；
（3）當(dāng)t取何值時(shí)，△DFE與△DMG全等；
（4）若BD=8，求CD．

　

2017-2018學(xué)年湖北省鄂州市鄂城區(qū)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（每題3分，共30分）
1．下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【考點(diǎn)】P3：軸對稱圖形．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A、是軸對稱圖形，A不合題意；
B、不是軸對稱圖形，B符合題意；
C、是軸對稱圖形，C不合題意；
D、是軸對稱圖形，D不合題意；
故選：B．
　
2．△ABC中BC邊上的高作法正確的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【考點(diǎn)】K2：三角形的角平分線、中線和高．
【分析】根據(jù)三角形高線的定義：過三角形的頂點(diǎn)向?qū)呉咕€，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線解答．
【解答】解：為△ABC中BC邊上的高的是D選項(xiàng)．
故選D．
　
3．已知三角形兩邊長分別為3和8，則該三角形第三邊的長可能是（　?。?br /> A．5 B．10 C．11 D．12
【考點(diǎn)】K6：三角形三邊關(guān)系．
【分析】根據(jù)三角形的第三邊大于兩邊之差，而小于兩邊之和求得第三邊的取值范圍，再進(jìn)一步選擇．
【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得
第三邊大于：8﹣3=5，而小于：3+8=11．
則此三角形的第三邊可能是：10．
故選：B．
　
4．下列判斷中錯(cuò)誤的是（　?。?br /> A．有兩角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
B．有一邊相等的兩個(gè)等邊三角形全等
C．有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
D．有兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
【考點(diǎn)】KB：全等三角形的判定．
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根據(jù)判定定理逐個(gè)判斷即可．
【解答】解：
A、符合全等三角形的判定定理AAS，即能推出兩三角形全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、∵△ABC和△A′B′C′是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，A′B′=B′C′=A′C′，
∵AB=A′B′，
∴AC=A′C′，BC=B′C′，即符合全等三角形的判定定理SSS，即能推出兩三角形全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、不符合全等三角形的判定定理，即不能推出兩三角形全等，故本選項(xiàng)正確；
D、
如上圖，∵AD、A′D′是三角形的中線，BC=B′C′，
∴BD=B′D′，
在△ABD和△A′B′D′中，
，
∴△ABD≌△A′B′D′（SSS），
∴∠B=∠B′，
在△ABC和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選C．
　
5．三角形中，若一個(gè)角等于其他兩個(gè)角的差，則這個(gè)三角形是（　　）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰三角形
【考點(diǎn)】K7：三角形內(nèi)角和定理．
【分析】三角形三個(gè)內(nèi)角之和是180°，三角形的一個(gè)角等于其它兩個(gè)角的差，列出兩個(gè)方程，即可求出答案．
【解答】解：設(shè)三角形的三個(gè)角分別為：a°、b°、c°，
則由題意得：，
解得：a=90，
故這個(gè)三角形是直角三角形．故選：B．
　
6．如圖，△ABC中，∠C=70°，若沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2=（　?。?br />
A．360° B．250° C．180° D．140°
【考點(diǎn)】K7：三角形內(nèi)角和定理；L3：多邊形內(nèi)角與外角．
【分析】先利用三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．
【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，
即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．
故選B．

　
7．如圖，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分線的交點(diǎn)，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若△ODE的周長為10厘米，那么BC的長為（　?。?br />
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
【考點(diǎn)】KJ：等腰三角形的判定與性質(zhì)．
【分析】根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)，可以證得：∠OBD=∠BOD，則依據(jù)等角對等邊可以證得OD=BD，同理，OE=EC，即可證得BC=C△ODE從而求解．
【解答】解：∵BO是∠ACB的平分線，
∴∠ABO=∠OBD，
∵OD∥AB，
∴∠ABO=∠BOD，
∴∠OBD=∠BOD，
∴OD=BD，
同理，OE=EC，
BC=BD+DE+EC=OD+DE+OE=C△ODE=10cm．
故選C．
　
8．如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角的頂點(diǎn)重合于O，則∠AOC+∠DOB=（　　）

A．90° B．120° C．160° D．180°
【考點(diǎn)】IK：角的計(jì)算．
【分析】因?yàn)楸绢}中∠AOC始終在變化，因此可以采用“設(shè)而不求”的解題技巧進(jìn)行求解．
【解答】解：設(shè)∠AOD=a，∠AOC=90°+a，∠BOD=90°﹣a，
所以∠AOC+∠BOD=90°+a+90°﹣a=180°．
故選D．
　
9．附加題：下圖是由九個(gè)等邊三角形組成的一個(gè)六邊形，當(dāng)最小的等邊三角形邊長為2cm時(shí)，這個(gè)六邊形的周長為（　　）cm．

A．30 B．40 C．50 D．60
【考點(diǎn)】KK：等邊三角形的性質(zhì)．
【分析】因?yàn)槊總€(gè)三角形都是等邊的，從其中一個(gè)三角形入手，比右下角的以AB為邊的三角形，設(shè)它的邊長為x，則等邊三角形的邊長依次為x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2．所以六邊形周長是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，而最大的三角形的邊長AF等于AB的2倍，所以可以求出x，則可求得周長．
【解答】解：設(shè)AB=x，
∴等邊三角形的邊長依次為x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2，
∴六邊形周長是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，
∵AF=2AB，即x+6=2x，
∴x=6cm，
∴周長為7 x+18=60cm．
故選D
　
10．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，AB＞AD，下列結(jié)論中正確的是（　?。?br />
A．AB﹣AD＞CB﹣CD
B．AB﹣AD=CB﹣CD
C．AB﹣AD＜CB﹣CD
D．AB﹣AD與CB﹣CD的大小關(guān)系不確定
【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；K6：三角形三邊關(guān)系．
【分析】在AB上截取AE=AD，則易得△AEC≌△ADC，則AE=AD，CE=CD，則AB﹣AD=BE，放在△BCE中，根據(jù)三邊之間的關(guān)系解答即可．
【解答】解：如圖，在AB上截取AE=AD，連接CE．
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
又AC是公共邊，
∴△AEC≌△ADC（SAS），
∴AE=AD，CE=CD，
∴AB﹣AD=AB﹣AE=BE，BC﹣CD=BC﹣CE，
∵在△BCE中，BE＞BC﹣CE，
∴AB﹣AD＞CB﹣CD．
故選A．

　
二、填空題（每題3分，共18分）
11．若正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于150°，則n=　12　，其內(nèi)角和為　1800°?。?br /> 【考點(diǎn)】L3：多邊形內(nèi)角與外角．
【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理求出n，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和求出多邊形的內(nèi)角和即可．
【解答】解：∵正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于150°，
∴=150°，
解得，n=12，
其內(nèi)角和為（12﹣2）×180°=1800°．
故答案為：12；1800°．
　
12．如圖，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，則△ABD的面積是　5?。?br />
【考點(diǎn)】KF：角平分線的性質(zhì)．
【分析】要求△ABD的面積，有AB=5，可為三角形的底，只求出底邊上的高即可，利用角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可知△ABD的高就是CD的長度，所以高是2，則可求得面積．
【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴點(diǎn)D到AB的距離=CD=2，
∴△ABD的面積是5×2÷2=5．
故答案為：5．
　
13．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，則∠A的度數(shù)是　50°　．

【考點(diǎn)】KG：線段垂直平分線的性質(zhì)；KH：等腰三角形的性質(zhì)．
【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得AD=BD，根據(jù)等邊對等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等可得∠C=∠ABC，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列出方程求解即可．
【解答】解：∵M(jìn)N是AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠DBC=15°，
∴∠ABC=∠A+15°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠A+15°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°．
故答案為：50°．
　
14．如圖，等腰三角形ABC底邊BC的長為4cm，面積是12cm2，腰AB的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)F，若D為BC邊上的中點(diǎn)，M為線段EF上一動點(diǎn)，則△BDM的周長最短為　8　cm．

【考點(diǎn)】PA：軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題；KG：線段垂直平分線的性質(zhì)；KH：等腰三角形的性質(zhì)．
【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AB的垂直平分線可知，點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長為BM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．
【解答】解：連接AD，
∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC?AD=×4×AD=12，解得AD=6cm，
∵EF是線段AB的垂直平分線，
∴點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，
∴AD的長為BM+MD的最小值，
∴△BDM的周長最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8cm．
故答案為：8．

　
15．如圖，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2；…∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A3，則∠A3=　8°?。?br />
【考點(diǎn)】K7：三角形內(nèi)角和定理．
【分析】利用角平分線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)，易證∠A1=∠A，進(jìn)而可求∠A1，由于∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，故∠A3=∠A2=∠A．
【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CA=∠ACD，
∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
即∠ACD=∠A1+∠ABC，
∴∠A1=（∠ACD﹣∠ABC），
∵∠A+∠ABC=∠ACD，
∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，
∴∠A1=∠A，
∴∠A1=×64°=32°，
∵∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，
∴∠A3=∠A2=∠A=×64°=8°．
故答案為：8°．
　
16．△ABC為等邊三角形，在平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使△PAB，△PBC，△PAC均為等腰三角形，則這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為　10　．
【考點(diǎn)】KK：等邊三角形的性質(zhì)；KI：等腰三角形的判定．
【分析】根據(jù)點(diǎn)P在等邊△ABC內(nèi)，而且△PBC、△PAB、△PAC均為等腰三角形，可知P點(diǎn)為等邊△ABC的垂心；由此可得分別以三角形各頂點(diǎn)為圓心，邊長為半徑，交垂直平分線的交點(diǎn)就是滿足要求的．
【解答】解：如圖：（1）點(diǎn)P在三角形內(nèi)部時(shí)，點(diǎn)P是邊AB、BC、CA的垂直平分線的交點(diǎn)，是三角形的外心；
（2）分別以三角形各頂點(diǎn)為圓心，邊長為半徑，交垂直平分線的交點(diǎn)就是滿足要求的．每條垂直平分線上得3個(gè)交點(diǎn)，再加三角形的垂心，一共10個(gè)．
故答案為：10．
　
三、解答題（8+8+9+8+8+9+10+12=72分）
17．如圖，點(diǎn)F、C在BE上，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E．
求證：∠A=∠D．

【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)．
【分析】易證BC=EF，即可證明△ABC≌△DEF，可得∠A=∠D．即可解題．
【解答】證明：∵BF=CE，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A=∠D．
　
18．如圖，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥AC于D，求∠DBC的度數(shù)．

【考點(diǎn)】K7：三角形內(nèi)角和定理．
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理與∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余求得∠DBC的度數(shù)．
【解答】解：∵∠C=∠ABC=2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，
∴∠A=36°．
∴∠C=∠ABC=2∠A=72°．
∵BD⊥AC，
∴∠DBC=90°﹣∠C=18°．
　
19．如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，3）、B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）將△ABC向右平移5個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位得△A1B1C1，圖中畫出△A1B1C1，平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)是?。?，﹣1）?。?br /> （2）將△ABC沿x軸翻折△A2BC，圖中畫出△A2BC，翻折后點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)A2坐標(biāo)是?。ī?，﹣3）?。?br /> （3）將△ABC向左平移2個(gè)單位，則△ABC掃過的面積為　13.5?。?br />
【考點(diǎn)】P7：作圖﹣軸對稱變換；Q4：作圖﹣平移變換．
【分析】（1）直接利用平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；
（2）利用關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)進(jìn)而得出對應(yīng)點(diǎn)位置；
（3）利用平移的性質(zhì)可得△ABC掃過的面積為△A′B′C′+平行四邊形A′C′CA的面積．
【解答】解：（1）如圖所示：△A1B1C1，即為所求，平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)是：（3，﹣1）；
故答案為：（3，﹣1）；

（2）如圖所示：△A2BC，即為所求，翻折后點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)A2坐標(biāo)是：（﹣2，﹣3）；
故答案為：（﹣2，﹣3）；

（3）將△ABC向左平移2個(gè)單位，則△ABC掃過的面積為：
S△A′B′C′+S平行四邊形A′C′CA
=×3×5+2×3
=13.5．
故答案為：13.5．

　
20．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線交AB，CA的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)BE=CF時(shí)，求證：AE=AF．

【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；JA：平行線的性質(zhì)；KJ：等腰三角形的判定與性質(zhì)．
【分析】過點(diǎn)B作BG∥FC，延長FD交BG于點(diǎn)G．由平行線的性質(zhì)可得∠G=∠F，然后判定△BDG和△CDF全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等量代換得到BE=BG，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠G=∠BEG，由對頂角相等及等量代換得出∠F=∠AEF，根據(jù)等腰三角形的判定得出AE=AF．
【解答】證明：過點(diǎn)B作BG∥FC，延長FD交BG于點(diǎn)G．

∴∠G=∠F．
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD．
在△BDG和△CDF中，

∴△BDG≌△CDF（AAS）．
∴BG=CF．
∵BE=CF，
∴BE=BG．
∴∠G=∠BEG．
∵∠BEG=∠AEF，
∴∠G=∠AEF．
∴∠F=∠AEF．
∴AE=AF．
　
21．如圖，∠AOB=30度，OC平分∠AOB，P為OC上一點(diǎn)，PD∥OA交OB于D，PE垂直O(jiān)A于E，若OD=4cm，求PE的長．

【考點(diǎn)】KO：含30度角的直角三角形；KF：角平分線的性質(zhì)；KJ：等腰三角形的判定與性質(zhì)．
【分析】過P作PF⊥OB于F，根據(jù)角平分線的定義可得∠AOC=∠BOC=15°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DPO=∠AOP=15°，從而可得PD=OD，再根據(jù)30度所對的邊是斜邊的一半可求得PF的長，最后根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得PE的長．
【解答】解：過P作PF⊥OB于F，
∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=15°，
∵PD∥OA，
∴∠DPO=∠AOP=15°，
∴∠BOC=∠DPO，
∴PD=OD=4cm，
∵∠AOB=30°，PD∥OA，
∴∠BDP=30°，
∴在Rt△PDF中，PF=PD=2cm，
∵OC為角平分線，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF，
∴PE=PF=2cm．

　
22．如圖，△ABC為等邊三角形，D、E分別是AC、BC上的點(diǎn)，且AD=CE，AE與BD相交于點(diǎn)P，
（1）求∠BPE的度數(shù)；
（2）若BF⊥AE于點(diǎn)F，試判斷BP與PF的數(shù)量關(guān)系．

【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KK：等邊三角形的性質(zhì)．
【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=CA，∠BAD=∠ACE=60°，由SAS即可證明△ABD≌△CAE，得到∠ABD=∠CAE，利用外角∠BPE=∠BAP+∠ABD，即可解答
（2）由△ABD≌△CAE得出對應(yīng)角相等∠ABD=∠CAE，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠BPF=60°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得出PF與BP的關(guān)系．
【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=CA，∠BAD=∠ACE=60°，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠CAE，
∵∠BPE=∠BAP+∠ABD，
∴∠BPE=∠BAP+∠CAE=∠BAC=60°．
（2）PF=BP．
∵△ABD≌△CAE，
∴∠ABD=∠CAE，
∵∠BPF=∠BAP+∠ABD，
∴∠BPF=∠BAP+∠CAE=∠BAD=60°，
∵BF⊥AE，
∴∠PFB=90°，
∴∠PBF=30°，
∴PF=BP．
　
23．△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D，E分別在AB，BC上，且AD=BE，BD=AC．
（1）如圖1，連DE，求∠BDE的度數(shù)；
（2）如圖2，過E作EF⊥AB于F，求證：∠FED=∠CED；
（3）在（2）的條件下，若BF=2，求CE的長．

【考點(diǎn)】KY：三角形綜合題．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和SAS可證△BDE≌△ACD，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到∠BDE的度數(shù)；
（2）先由EF⊥AB和∠BDE=22.5°，求出∠BED，再由（1）結(jié)論推導(dǎo)出∠BCD=∠DEC=67.5°即可．
（3）由（1）知CD=DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角的和差關(guān)系可得∠CDE=45°，過D作DM⊥CE于M，根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及等量關(guān)系即可得到CE的長
【解答】解：（2）∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵AC=BC，BD=AC，
∴BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC==67.5°，
∴∠ACD=∠ACB﹣∠BCD=90°﹣67.5°=22.5°，
在△ADC和△BED中，
，
∴△ADC≌△BED，
∴∠BDE=∠ACD=22.5°，
（2）由（1）有∠BDE=22.5°，
∵EF⊥AB，
∴∠BFE=∠DFE=90°，
∴∠DEF=90°﹣∠BDE=67.5°，
由（1）有，△ADC≌△BED，
∴DC=DE，
∴∠DEC=∠BCD=67.5°，
∴∠DEF=∠DEC，
即：∠FED=∠CED；
（3）如圖2，

由（1）知CD=DE，
∴∠DCE=∠DEC=67.5°，
∴∠CDE=45°，
過D作DM⊥CE于M，
∴CM=ME=CE，∠CDM=∠EDM=∠BDE=22.5°，
∵EM⊥DM，EF⊥DB，
∴EF=ME，
∵∠BFE=90°，∠B=45°，
∴∠BEF=∠B=45°，
∴EF=BF，
∴CE=2ME=2EF=2BF=4．
　
24．如圖，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AB=16cm，AF=10cm，AC=14cm，動點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動，動點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t．
（1）求S△ABD：S△ACD；
（2）求證：在運(yùn)動過程中，無論t取何值，都有S△AED=2S△DGC；
（3）當(dāng)t取何值時(shí)，△DFE與△DMG全等；
（4）若BD=8，求CD．

【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KF：角平分線的性質(zhì)．
【分析】（1）由于AD是角平分線，則DF=DM，S△ABD：S△ACD=AB：AC；
（2）由于DF=DM，所以S△AED與S△DGC之比就等于AE與CG之比，而AE與CG之比為2；
（3）只需讓EF=MG即可；
（4）由可直接求出；
【解答】解：（1）∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF=DM，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動，動點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動，
∴AE=2t，CG=t．
∴，
∴
∴在運(yùn)動過程中，不管t取何值，都有S△AED=2S△DGC；
（3）∵∠BAD=∠DAC，AD=AD，DF=DM，
∴△ADF≌△ADM．
∴AF=AM=10．
∵點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動，動點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為t，
∴EF=AF﹣AE=10﹣2t，CG=t．
∴0＜t＜5．
①當(dāng)M在線段CG上時(shí)，MG=CG﹣（AC﹣AM）=t﹣4．
當(dāng)EF=MG時(shí)△DFE與△DMG全等時(shí)．
∴10﹣2t=t﹣4．
解得 t=．
②當(dāng)M在線段CG延長線上時(shí)，MG=4﹣t．
∴10﹣2t=4﹣t．
解得t=6（舍去）．
③當(dāng)E在BF上時(shí)，2t﹣10=t﹣4，解得t=6，符合題意，
∴當(dāng) t=s或6s時(shí)，△DFE 與△DMG 全等．
（4）過點(diǎn)A作AN⊥BC交BC于N，如圖，

由（1）得∴；
又∵，
∴；
又∵BD=8，
∴CD=7．

　


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