第三章 函數(shù)與方程單元測試卷（基礎(chǔ)版）一、選擇題 共12小題，每小題5分，共60分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．（2020全國高二課時練）以為圓心，4為半徑的圓的方程為　　A． B．C． D．【答案】C【解析】以為圓心，4為半徑的圓的方程為：，故選C．2．（2020福建莆田一中高二月考）過點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】本題作為選擇題，可采用排除法，根據(jù)圓心在直線上，排除B、D，點(diǎn)在圓上，排除A，故選C.3.（2020山東泰安一中高二期中）曲線x2+y2+2x-2y=0關(guān)于(　　)A.直線x=軸對稱        B.直線y=-x軸對稱C.點(diǎn)(-2,)中心對稱        D.點(diǎn)(-,0)中心對稱【答案】B【解析】原方程化為(x+)2+(y-)2=4,表示以(-)為圓心,半徑長為2的圓.又圓過原點(diǎn),故原點(diǎn)與圓心的連線方程為y=-x,圓關(guān)于此直線軸對稱,故應(yīng)選B.4．（2020銀川一中高二期中）過點(diǎn)的直線平分了圓：的周長，則直線的傾斜角為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，知其圓心為；直線平分了圓：的周長，則此直線過圓的圓心，于是其斜率為；所以其傾斜角為.故選：D．5.直線y=kx+3被圓x2+y2-6y=0所截得的弦長是 (　　)A.6 B.3 C.2 D.8【答案】A【解析】∵圓的方程為x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,∴圓心為(0,3),半徑為3,而直線y=kx+3過定點(diǎn)(0,3),過圓心,故直線y=kx+3被圓x2+y2-6y=0所截得的弦長即為直徑6.6．（2020福建莆田一中高二期中）已知圓截直線所得弦的長度為4，則實(shí)數(shù)（  ）A．-2 B．-4 C．-6 D．-8【答案】B【解析】圓心，，設(shè)圓心到直線的距離為，∴，，∴，∴．7.（貴州遵義四中2019屆質(zhì)檢）直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是(　　)A．相交  B．相切  C．相離  D．不確定【答案】A　【解析】由題意知圓心(0,1)到直線l的距離d＝<1<，故直線l與圓相交．8.已知點(diǎn)P(a，b)(ab≠0)是圓x2＋y2＝r2內(nèi)的一點(diǎn)，直線m是以P為中點(diǎn)的弦所在的直線，直線l的方程為ax＋by＝r2，那么(　　)A．m∥l，且l與圓相交  B．m⊥l，且l與圓相切C．m∥l，且l與圓相離  D．m⊥l，且l與圓相離【答案】C【解析】因點(diǎn)P在圓內(nèi)，故有a2＋b2＜r2，直線m是以P為中點(diǎn)的弦所在的直線，所以m⊥OP，所以直線m的斜率km＝－，因此m∥l.又直線l到圓心(0,0)的距離d＝＞＝r，故直線l與圓相離．故選C.9.（四川綿陽中學(xué)2019屆模擬）經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)作圓x2＋y2＝5的切線，則切線方程為(　　)A.x＋y－5＝0  B.x＋y＋5＝0  C．2x＋y－5＝0  D．2x＋y＋5＝0【答案】C　【解析】 點(diǎn)M(2,1)滿足圓x2＋y2＝5，所以點(diǎn)M(2,1)在圓上．經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)作圓x2＋y2＝5的切線，則M(2,1)為切點(diǎn)，切點(diǎn)和圓心連線的斜率為，則切線斜率為－2，切線方程為y－1＝－2(x－2)，整理得2x＋y－5＝0.故選C.10.(2016·山東卷)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是(　 　)A．內(nèi)切   B．相交C．外切   D．相離【答案】B【解析】法一：由得兩交點(diǎn)為(0,0)，(－a，a)．∵圓M截直線所得線段長度為2，∴＝2.又a＞0，∴a＝2.∴圓M的方程為x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圓心M(0,2)，半徑r1＝2.又圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心N(1,1)，半徑r2＝1，∴|MN|＝＝.∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1＜|MN|＜3，∴兩圓相交．法二：由題知圓M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圓心(0，a)到直線x＋y＝0的距離d＝，所以2＝2，解得a＝2，圓M，圓N的圓心距|MN|＝，兩圓半徑之差為1，故兩圓相交．11．（2020上海高二課時練習(xí)）若直線與圓有兩個不同的公共點(diǎn)，那么點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（    ）．A．點(diǎn)在圓外 B．點(diǎn)在圓內(nèi) C．點(diǎn)在圓上 D．不能確定【答案】A【解析】因?yàn)橹本€與圓有兩個公共點(diǎn)，所以有，即，因?yàn)辄c(diǎn)與的圓心的距離為，圓的半徑為2，所以點(diǎn)在圓外.故選:A．12．（2020湖南衡陽二中高二月考）已知過點(diǎn)P(2,2) 的直線與圓相切, 且與直線垂直, 則（ ）A． B．1 C．2 D．【答案】C【解析】設(shè)過點(diǎn)的直線的斜率為，則直線方程，即，由于和圓相切，故，得，由于直線與直線，因此，解得，故答案為C.二、填空題  共4小題，每小題5分，共20分。13.(2018·全國卷Ⅰ)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝__________.【答案】2【解析】 由x2＋y2＋2y－3＝0得x2＋(y＋1)2＝4.所以圓心C(0，－1)，半徑r＝2.圓心C(0，－1)到直線x－y＋1＝0的距離d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝2.14.已知圓的圓心坐標(biāo)是，半徑長是.若直線與圓C相切于點(diǎn)，則=___________，=___________．【答案】，【解析】由題意可知，把代入直線AC的方程得，此時.15.（湖北襄樊五中2019屆模擬）若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦長為2，則a＝__________.【答案】1【解析】 兩圓的方程相減，得公共弦所在的直線方程為y＝.又a>0，結(jié)合圖象，再利用半徑、弦長的一半及弦心距構(gòu)成直角三角形，可知＝＝1?a＝1.16.（2020山西師大附中高二期中）如下圖所示,一座圓拱橋,當(dāng)水面在某位置時,拱頂離水面2 m,水面寬12 m,當(dāng)水面下降1 m后,水面寬為　　　　　 m. 【答案】   2 【解析】以圓拱拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn),以水平與圓拱相切的直線為橫軸,以過拱頂?shù)呢Q線為縱軸,建立直角坐標(biāo)系,如下圖所示:由題意可知:設(shè)圓的方程為:x2+(y+r)2=r2(其中r為圓的半徑),因?yàn)楣绊旊x水面2 m,水面寬12 m,所以設(shè)A(6,-2),代入圓的方程中,得r=10,所以圓的方程為:x2+(y+10)2=100,當(dāng)水面下降1 m后,設(shè)A'(x0,-3)(x0>3)代入圓的方程中,得x0=,所以此時水面寬2 m.三、解答題  共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。17.（云南昆明第三中學(xué)2019屆模擬）已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動點(diǎn)．(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．【解析】(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知點(diǎn)P坐標(biāo)為(2x－2,2y)．因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2 ＝4.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.18.（湖北武漢二中2019屆模擬）根據(jù)下列條件，求圓的方程．(1)經(jīng)過點(diǎn)A(5,2)，B(3，－2)，且圓心在直線2x－y－3＝0上；(2)經(jīng)過P(－2,4)，Q(3，－1)兩點(diǎn)，并且在x軸上截得的弦長等于6.【解析】(1)由題意知kAB＝2，AB中點(diǎn)為(4,0)，設(shè)圓心C(a，b)．因?yàn)閳A過A(5,2)，B(3，－2)兩點(diǎn)，所以圓心一定在線段AB的垂直平分線上，則解得所以C(2,1)，所以r＝|CA|＝＝，所以所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝10.(2)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.將P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.　　③設(shè)x1，x2是方程③的兩根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，　　④由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.19. (2017·全國卷Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2＋mx－2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1)，當(dāng)m變化時，解答下列問題：(1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由；(2)證明過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值．【解析】 (1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況，理由如下：設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，則x1，x2滿足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.又C的坐標(biāo)為(0,1)，故AC的斜率與BC的斜率之積為·＝－，所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況．(2)證明：BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，可得BC的中垂線方程為y－＝x2.由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂線方程為x＝－.聯(lián)立又x＋mx2－2＝0，可得所以過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑r＝.故過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為2＝3，即過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值．20.（廣西河池高級中學(xué)2019屆模擬）已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值時兩圓外切？(2)m取何值時兩圓內(nèi)切？(3)求m＝45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．【解析】 兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圓心分別為M(1,3)，N(5,6)，半徑分別為和.(1)當(dāng)兩圓外切時，＝＋，解得m＝25＋10.(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時，因定圓的半徑小于兩圓圓心距5，故只有－＝5，解得m＝25－10.(3)當(dāng)m＝45時，4－＜|MN|＝5＜＋4，兩圓相交，其兩圓的公共弦所在直線方程為(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.所以公共弦長為2＝2.21．（2020·全國高二課時練）已知的頂點(diǎn)，直線的方程為，邊上的高所在直線的方程為（1）求頂點(diǎn)和的坐標(biāo)；（2）求外接圓的一般方程.【解析】（1）由可得頂點(diǎn),  又因?yàn)?/span>得， ，所以設(shè)的方程為， 將代入得，由可得頂點(diǎn)為 所以和的坐標(biāo)分別為和 （2）設(shè)的外接圓方程為， 將、和三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，得，解得，所以的外接圓的一般方程為.22．（2020·江西贛州三中高二期中）已知圓，直線．（1）判斷直線與圓C的位置關(guān)系；（2）設(shè)直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若直線的傾斜角為120°，求弦AB的長．【解析】 (1)直線l可變形為y－1＝m(x－1)，因此直線l過定點(diǎn)D(1，1)，又＝1<，所以點(diǎn)D在圓C內(nèi)，則直線l與圓C必相交．(2)由題意知m≠0，所以直線l的斜率k＝m，又k＝tan 120°＝－，即m＝－．此時，圓心C(0，1)到直線l： x＋y－－1＝0的距離d＝＝，又圓C的半徑r＝，所以|AB|＝2＝2＝． 

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