福建省永安市第一中學2021屆高三上學期期中考試 數(shù)學（含答案）

永安一中2020—2021學年高三上學期期中考試數(shù)學試題（考試時間：120分鐘  總分150分）第Ⅰ卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.每題僅有一個選項是正確的.1．已知集合，則   A．    　  B．  　   C．  　   D．2．已知雙曲線的漸近線方程為，一個焦點，則該雙曲線的虛軸長為A．            B．          C．          D．3．若，則“復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第三象限”是“”的A．充分不必要條件             B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知實數(shù)x，y滿足，則的最大值為A．0        B．2            C．4          D．65．如圖所示的流程圖中，輸出的含義是A.點到直線的距離B.點到直線的距離的平方C.點到直線的距離的倒數(shù)D.兩條平行線間的距離 6．設正項等比數(shù)列的前項和為，若，則公比A．         B．4         C．         D．27．函數(shù)的圖象大致為8.直線截圓所得劣弧所對圓心角為 A．             B．             C． D．9．已知等腰梯形中，，，分別為，的中點，為的中點，若記，，則A． B． C． D．10．已知是奇函數(shù)，且當時，則不等式的解集為A．              B． C．              D． 11．已知函數(shù)在上恰有一個最大值和一個最小值，則的取值范圍是A． B． C． D．12．若曲線與曲線存在公共切線，則實數(shù)的取值范圍為A．     B．        C．        D．第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分，把答案填在答題卷的相應位置.13．已知，，則______．14. 已知是橢圓的兩個焦點，是上的一點．若且，則C的離心率為        ．15． 已知數(shù)列的前項和為，其首項，且滿足，則_______．16．已知四棱錐的底面為矩形，平面平面于點，，則四棱錐外接球的半徑為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分。17．（12分）設三角形的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）若，求三角形面積的最大值. 18．（12分）已知為公差不為的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和. 19.（12分）如圖，在三棱柱中，，頂點在底面上的射影恰為的中點，，．  （1）證明：； （2）若點為的中點，求三棱錐的體積．  20.（12分）已知拋物線的焦點為，經(jīng)過點作直線與拋物線相交于兩點,設．(1)求的值；(2)是否存在常數(shù),當點M在拋物線上運動時,直線都與以為直徑的圓相切？若存在,求出所有的值；若不存在,請說明理由． 21．（12分）已知函數(shù).   （1）若，求的極值和單調(diào)區(qū)間；   （2）若在區(qū)間上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.       （二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分．22.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程] 已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點處，極軸與軸非負半軸重合，直線的參數(shù)方程為：為參數(shù)，)，曲線的極坐標方程為：.（1）寫出曲線的直角坐標方程;（2）設直線與曲線相交于兩點, 若，求直線的斜率.       23.[選修4-5：不等式選講] 已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若不等式有解，求實數(shù)的取值范圍.          參考答案一選擇題：題號123456789101112答案DCCBADADBBCC二、填空題：13．;   14. ;   15．;  16．2三、解答題：17．解：（1）由正弦定理：可化為 ………1分    即                         ………………………………2分即       ………………………………3分所以                            ………………………………4分又, 所以                            ………………………………5分因為，所以                           ………………………………6分（2）由余弦定理得                即所以，所以                        ………………………………10分所以三角形面積               ………………12分 18．解：（1）成等比數(shù)列，所以       ………………………………1分即，即.               ………………………………3分因為，所以，                          ………………………………4分所以.                        ………………6分（2）由題意得：，，    ………………8分所以.  ………………12分19. 解：（1）證明：因為頂點在底面上的射影恰為AC的中點M，所以，    ………………………………2分又，所以， …………………3分又因為，而，且，…4分所以平面，又因為，所以．            ………………6分（2）解：如圖，因為是的中點，所以…………………………10分………………………12分20.解：(1)法一：依題意過點的直線可設為，……………………1分 由，得，                   ……………………3分設，則，                     …………………4分 ∴y1y2＝－16.                                  …………………………………5分法二:∵A(x1，y1)，B(x2，y2)，H(4,0)，∴(x2－4，y2)．          …………1分∵A(x1，y1)，B(x2，y2)，H(4,0)在一條直線上，∴(x1－4)y2－(x2－4)y1＝0.                          …………2分∵A(x1，y1)，B(x2，y2)都在拋物線y2＝4x上，∴x1＝，x2＝，                              …………3分∴y2－y1＝0，即(y1－y2)＝－4(y1－y2)．                      …………4分根據(jù)已知得y1≠y2，∴y1y2＝－16.                       …………5分(2)存在．                                                …………6分∵F是拋物線P的焦點，∴F(1,0)．設M(x，y)，則MF的中點為N，|MF|＝1＋x.          …………7分    ∵直線x＝a與以MF為直徑的圓相切的充要條件是N到直線x＝a的距離等于，即＝，∴ax＝a2－a.                            …………9分∵對于拋物線P上的任意一點M，直線x＝a都與以MF為直徑的圓相切，∴關(guān)于x的方程ax＝a2－a對任意的x≥0都要成立．∴解得a＝0.                                   …………11分∴存在常數(shù)a，并且僅有a＝0滿足“當點M在拋物線P上運動時，直線x＝a都與以MF為直徑的圓相切”．                                          …………12分21．解：（1），     ………1分      令，得           當x變化時，的變化情況如下表：x1-0+減極小值增                                                                     ……4分當時，函數(shù)有極小值1；函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；                                                   ………………5分（2）若在區(qū)間上至少存在一點，使成立，即在區(qū)間上的最小值小于0                                                ………………6分令，得   …………7分                              ①當時， 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減函數(shù)在區(qū)間上的最小值為由得，即                       ………8分②當時，（i）當即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減函數(shù)在區(qū)間上的最小值為顯然，這與在區(qū)間上的最小值小于0不符                    ……9分   （ii）當即時 當x變化時，的變化情況如下表：x－0+減極小值增函數(shù)在區(qū)間上的最小值為            ………10分 由，得，即            ……………11分綜上述，實數(shù)a的取值范圍是．           ………………12分22.解：（1），      ………1分由,得.                     ……… 3分所以曲線的直角坐標方程為.                      ………4分（2）把 代入，整理得  ………5分設其兩根分別為 ，則                    ………6分           ………7分得，，                                   ………9分所以直線的斜率為.                                          ………10分23.解：（1）由已知得當時， 當時， 當時，舍綜上得的解集為                          …………5分（2）有解，或的取值范圍是.                      …………10分