?2021屆福建省莆田第一中學(xué)高三上學(xué)期期中考試
數(shù)學(xué)
命題人: 審核人:高三備課組
(滿分:150分,時(shí)間:120分鐘)
一、選擇題(8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題意)
1.設(shè)集合A={y| y=},B={x| y=},則 ( )
A．A=B B. A?B=? C. AíB D. BíA
2.復(fù)數(shù)z滿足i×z=1-2i, z是z的共軛復(fù)數(shù)則z×z= ( )
A. B. C. 3 D. 5
3.已知向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1)且(a-lb)^c,則l= ( )
A.3 B.2 C.-2 D.-3
4.已知f(x)=e-x+kex(k為常數(shù)),那么函數(shù)f(x)的圖象不可能是 ( )

A B C D
5. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角a與角b均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若sina=,
則cos(a-b)= ( )
A. B. C.- D.-
6. 把物體放在冷空氣中冷卻,如果物體原來的溫度為q1°C,空氣溫度為q0°C,那么t分鐘后物體的溫度q(單位°C)可由公式：q=q0+(q1-q0)e-kt求得,其中k是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù).現(xiàn)有100°C的物體,放在20°C的空氣中冷卻,4分鐘后物體的溫度是60°C，則再經(jīng)過m分鐘后物體的溫度變?yōu)?0°C(假設(shè)空氣溫度保持不變),則m= ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
7.已知P是橢圓C:+=1(a>b>0)上的點(diǎn),F1,F2分別是C的左,右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn),
若|+|=2||且DF1PF2=60°，則橢圓的離心率為 ( )
A. B. C. D.
8.集合論中著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的產(chǎn)物,具有典型的分形特征,其具體操作過程如下:將閉區(qū)間[0,1]均分為三段,去掉中間的區(qū)間段(,),記為第一次操作;再將剩余的兩個(gè)區(qū)間[0,],[,1]分別均分為三段,并各自去掉中間的區(qū)間段,記為第二次操作；×××；如此這樣,每次在上一次操作的基礎(chǔ)上將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段，操作的過程不斷進(jìn)行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”。若使去掉的各區(qū)間長度之和不小于,則需要操作的次數(shù)n的最小值為( )參考數(shù)據(jù):lg2?0.301,lg3?0.4771
A.4 B.5 C.6 D.7
二、選擇題(4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分)
9.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn, a2=18, a5=12, 則下列選項(xiàng)正確的是 ( )
A. d=-2 B. a1=22 C.a3+a4=30 D. 當(dāng)且僅當(dāng)n=11時(shí),Sn取得最大值
10.已知 A(-2,0),B(2,0),若圓(x-2a+1)2+(y-2a-2)2=1上存在點(diǎn)M滿足×=0,實(shí)數(shù)a可以是( )
A.-1 B.-0.5 C.0 D.1
11.若2x=3,3y=4,則下列選項(xiàng)正確的有 ( )
A. y< B. x>y C. +y>2 D. x+y>2
12.設(shè)函數(shù)f(x)=ax-xa(a>1)的定義域?yàn)?0,+￥),已知f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn),下列結(jié)論正確的有( )
A.a=e B. f(x)在區(qū)間(1,e)單調(diào)遞增
C. x=1是f(x)的極大值點(diǎn) D. f(e)是f(x)的最小值
三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)
13.函數(shù)f(x)=ex+sinx在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為 .
14.將函數(shù)y=f(x)圖象右移個(gè)單位,再把所得的圖象保持縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍得到y(tǒng)=sin(x-),則f()=_______
15.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=CC1=, BC=1,點(diǎn)M為正方形CDD1C1對(duì)角線的交點(diǎn),
則三棱錐M-A1CC1的外接球表面積為_________
16. 某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí),學(xué)生加工制作零件,零件的截面如圖所示,O1為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心,O2為圓弧CD所在圓的圓心,點(diǎn)A是圓弧AB與直線AC的切點(diǎn),點(diǎn)B是圓弧AB與直線BD的切點(diǎn),點(diǎn)C是圓弧CD與直線AC的切點(diǎn),點(diǎn)D是圓弧CD與直線BD的切點(diǎn)，O1O2=18cm, AO1=6cm, CO2=15cm, 圓孔O1的半徑為3cm, 則圖中陰影部分的的面積為________cm2
四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.在①sinA=2sinB，②a+b=6 ，③ab=12.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在求出DABC的面積；若問題中的三角形不存在，說明理由.
問題:是否存在DABC,它的內(nèi)角ABC的對(duì)邊分別為a，b，c且asin=csinA,c=3,______









18. 已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn+1=3Sn+1,a1=1
(1)證明: 數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式
(2)若bn=(-1)n-1×nan,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn











A
B
C
D
19. 在DABC中,A=,D為線段BC邊上一點(diǎn)，BD=3,DBAD=
(1)若AB=3,求AD
(2)若CD=4,求tanB












20. 在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4，O為BC的中點(diǎn),A1O^平面ABC
(1) 證明：四邊形BB1C1C是矩形
(2)求直線AA1與平面A1B1C所成角的正弦值









21. 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1,F2,焦距為2,點(diǎn)P在橢圓上且滿足
PF2^F1F2,3|PF1|=5|PF2|.
(1)求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)不垂直x軸且不過點(diǎn)F1的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，如果直線F1A、F1B的傾斜角互補(bǔ)，證明：直線l過定點(diǎn).









22.f(x)=xex-ae2x
(1)若a=,討論f(x)的單調(diào)性
(2) "x?R, f(x)3,求實(shí)數(shù)a的取值范圍










2020-2021學(xué)年莆田一中高三數(shù)學(xué)期中考試卷參考答案
一、選擇題 CDABCBAC
二、選擇題 9.AC 10.ABC 11.ABD 12.ACD
三、填空題 13.2x-y+1=0 14. 15.11p 16.189-72p
四、解答題
17.解.(1)依題意asin=csinA,由正弦定理得:sinA×sin=sinCsinA 1分
由sinA10,\sin=sinC 2分
寫法1.因?yàn)閟in=sin(-)=cos \cos=sinC=2sincos 3分
由cos10\ sin= 4分
而C?(0,p)\=\C= 5分
寫法2.因?yàn)?(0,p), C?(0,p)\=C或者+C=p(舍去) 4分
\A+B=2C \C= 5分
由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC,\a2+b2-ab=9 6分
選擇條件①的解析：由sinA=2sinB結(jié)合正弦定理可得a=2b, 7分
由解得 8分
\DABC的面積為S=absinC= 10分
選擇條件②的解析：由化簡得： 7分
解得(注:若沒有解出a,b,需補(bǔ)充說明DABC存在,否則扣1分) 8分
\DABC的面積為S=absinC= 10分
選擇條件③的解析：由9=a2+b2-ab32ab-ab\ab￡9 9分
這與ab=12矛盾\問題中的三角形不存在 10分

18.解.(1)由Sn+1=3Sn+1,當(dāng)n32時(shí), Sn=3Sn-1+1,
兩式相減得an+1=3an(n32), 2分
當(dāng)n=1時(shí),S2=3S1+1即a1+a2=3a1+1\a2=3\a2=3a1 3分
\n31時(shí)都有an+1=3an 4分
\數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列 5分
\an=3n-1 6分
(2) bn=(-1)n-1×nan=n×(-3)n-1 7分
\Tn=1+2×(-3)1+3×(-3)2+×××+(n-1)×(-3)n-2+n×(-3)n-1 8分
-3Tn= 1×(-3)1+2×(-3)2+××××××××××××××××××××××× +(n-1)×(-3)n-1+n×(-3)n 9分
\4Tn=1+ (-3)1+(-3)1+×××+(-3)n-1- n×(-3)n 10分
\4Tn=-n×(-3)n=-(+n)×(-3)n 11分
\Tn=-(+)×(-3)n 12分

19. 解.(1)考察DABD,記AD=x,由余弦定理得:BD2=AB2+AD2-2AB×ADcosDBAD 2分
即9=27+x2-2×3×x×cos化簡得: x2-9x+18=0\x=3或6 4分
由A=，BAD=\DDAC=\DBDA為鈍角\AB>AD\AD=3 5分
(2)記q=B,則DADC=q+, 6分
由RtDACD可得AD=CD×cosDADC=4cos(q+) 8分
考察DABD,由正弦定理可得： =即= 10分
\3sinq=2cos(q+)=2(cosq×-sinq×)
化簡得:4sinq=cosq \tanq=即tanB= 12分

20. 解：(1)連接AO,由AB=AC,O為BC得中點(diǎn),可得BC^AO
又因?yàn)锳1O^平面ABC,BCì平面ABC\ A1O^BC
又A1O?AO=O\BC^平面AA1O 3分
因AA1ì平面AA1O\BC^AA1
由BB1//AA1 \BC^BB1
又四邊形BB1C1C是平行四邊形\四邊形BB1C1C是矩形 5分
(2) 分別以,,分別為x軸,y軸,z軸正方向建立如圖所示得空間直角坐標(biāo)系, 由RtDABO可得OA==1,
由RtDABO可得OA1==2
則A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),A1(0,0,2) 6分
\=(-1,0,2), =(0,2,2), ==(1,-2,0) 7分
設(shè)平面A1B1C的法向量為n=(x,y,z) 由得可取n=(2,1,-1) 9分
設(shè)直線AA1與平面A1B1C所成角為q,則sinq=|cos|=== 11分
\直線AA1與平面A1B1C所成角的正弦值為 12分
21. 解.(1)依題意:|F1F2|=2c=2 \c=1 1分
由3 |PF1|=5|PF2|, |PF1|+|PF2|=2a \|PF1|=a, |PF2|=a, 2分
\|F1F2|===a=2\b2=a2-c2=3 4分
\求橢圓 C的方程為+=1 5分
(2) 法1.依題意可設(shè)直線AB: y=kx+m, A(x1,y1),B(x2,y2)
由消去y得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0 6分
\ 7分
由F1A、F1B的傾斜角互補(bǔ)可得:kF1A+ kF2A=0 8分
\+=0\y1(x2+1)+y2(x1+1)=0 9分
即(kx1+m)(x2+1)+(kx2+m)(x1+1)=2kx1x2+(m+k)(x1+x2)+2m=0
\ 2k(4m2-12)+ (k+m)(-8km)+2m(3+4k2)=0
化簡得:m=4k 11分
則直線AB：y=kx+4k=k(x+4)過(-4,0) 12分
法2. 依題意,設(shè)直線AB為x=my+t (m10),A(x1,y1),B(x2,y2)
由消去x得(3m2+4)y2+6mty+3t2-12=0 6分
\ 7分
由F1A、F1B的傾斜角互補(bǔ)可得:kF1A+ kF2A=0 8分
\+=0\y1(x2+1)+y2(x1+1)=0 9分
即y1(my2+t+1)+y2(my1+t+1)==2my1y2+(t+1)y1y2=0
\2m(3t2-12)-6mt(t+1)=0
由 m10化簡得:t=-4 11分
\直線AB為x=my-4恒過(-4,0) 12分
22. 解:(1)a= 時(shí)f(x)=xex-e2x, f ￠(x)=(x+1)ex-e2x=ex(x+1-ex) 1分
另F(x)=x+1-ex,則F￠ (x)=1-ex,當(dāng)x?(-￥,0), F￠ (x)>0；當(dāng)x?(0,￥),F￠ (x)-ln(-a); 令g￠(x)

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