（新高考）2020-2021學(xué)年下學(xué)期高三4月月考卷數(shù)學(xué)（A）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則集合的子集個(gè)數(shù)為（    ）A．7 B．9 C．8 D．322．“”是“直線與平行”的（    ）A．充分而不必要條件  B．必要而不充分條件C．充要條件  D．既不充分也不必要條件3．為虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（    ）A． B． C． D．4．已知，，，則（    ）A． B． C． D．5．若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A．  B．C．  D．6．已知函數(shù)滿足，且的最小值為，則的值為（    ）A． B． C． D．7．函數(shù)的圖象大致是（    ）A． B．C． D．8．已知是平面向量，滿足，，且，記與的夾角為，則的最小值是（    ）A． B． C． D． 二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9．以下關(guān)于正弦定理或其變形正確的有（    ）A．在中，B．在中，若，則C．在中，若，則；若，則都成立D．在中，10．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（    ）A．B．?dāng)?shù)列是公比為8的等比數(shù)列C．若，則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為4040D．若，則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為11．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，且．則下列結(jié)論正確的是（    ）A．三棱錐的體積為定值B．當(dāng)向運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角逐漸變小C．在平面內(nèi)的射影長為D．當(dāng)與重合時(shí)，異面直線與所成的角為12．已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，，若，兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影分別為，，線段的中點(diǎn)為，則（    ）A．  B．四邊形的面積等于C． D．直線與拋物線相切第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______．14．將、、、、、六個(gè)字母排成一排，其中、相鄰，且、在、的兩側(cè)，則不同的排法共有__________種．（用數(shù)字作答）15．已知定義在R上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且．若，則的取值范圍是_______；設(shè)函數(shù)，若方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．16．已知定義在上的函數(shù)滿足且，若恒成立，則的取值范圍為____________． 四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知數(shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．   18．（12分）在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的存在，求出其面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，，___________？       19．（12分）2022年第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，簡(jiǎn)稱“北京張家口冬奧會(huì)”，將在2022年02月04日～2022年02月20日在北京市和張家口市聯(lián)合舉行，這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，北京將承辦所有冰上項(xiàng)目，延慶和張家口將承辦所有的雪上項(xiàng)目．下表是截取了2月5日和2月6日兩天的賽程表：2022年北京冬奧會(huì)賽程表（第七版，發(fā)布自2020年11月）2022年2月北京賽區(qū)延慶賽區(qū)張家口賽區(qū) 開閉幕式冰壺冰球速度滑冰短道速滑花樣滑冰高山滑雪有舵雪橇鋼架雪車無舵雪橇跳臺(tái)滑雪北歐兩項(xiàng)越野滑雪單板滑雪冬季兩項(xiàng)自由式滑雪當(dāng)日決賽數(shù)5（六） **11    *1 1*1166（日） **1 *1  11 11 17說明：“*”代表當(dāng)日有不是決賽的比賽；數(shù)字代表當(dāng)日有相應(yīng)數(shù)量的決賽．（1）①若在這兩天每天隨機(jī)觀看一個(gè)比賽項(xiàng)目，求恰好看到冰壺和冰球的概率；②若在這兩天每天隨機(jī)觀看一場(chǎng)決賽，求兩場(chǎng)決賽恰好在同一賽區(qū)的概率；（2）若在2月6日（星期日）的所有決賽中觀看三場(chǎng)，記為賽區(qū)的個(gè)數(shù)，求的分布列及期望．      20．（12分）如圖甲是由正方形，等邊和等邊組成的一個(gè)平面圖形，其中，將其沿，，折起得三棱錐，如圖乙．（1）求證：平面平面；（2）過棱作平面交棱于點(diǎn)，且三棱錐和的體積比為，求直線與平面所成角的正弦值．          21．（12分）已知橢圓過點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，、是橢圓上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)（不在軸上），直線、的斜率分別為、，且，求證：直線過定點(diǎn)．       22．（12分）已知函數(shù)，，．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直，求的值；（2）討論的單調(diào)性；（3）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，證明：．           （新高考）2020-2021學(xué)年下學(xué)期高三4月月考卷數(shù)學(xué)（A）答案第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【答案】C【解析】含有3個(gè)不同元素，故它的子集個(gè)數(shù)為8，故選C．2．【答案】B【解析】因?yàn)橹本€與平行，所以且兩直線的斜率相等，即，解得．而當(dāng)時(shí)，直線為，同時(shí)為，兩直線重合不滿足題意；當(dāng)時(shí)，與平行，滿足題意，故，根據(jù)小范圍推大范圍可得是的必要不充分條件，故選B．3．【答案】D【解析】，根據(jù)的運(yùn)算周期性，所以，所以該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故選D．4．【答案】C【解析】因?yàn)?/span>，，，所以，，，因此，故選C．5．【答案】D【解析】方程，即為，因?yàn)榉匠?/span>有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)與的圖象有兩不同的交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的圖象如圖所示：由圖象知：當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選D．6．【答案】A【解析】，則，，且，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，，可得，，因此，，故選A．7．【答案】B【解析】，令，則，故為上的奇函數(shù)，故的圖象關(guān)于對(duì)稱，故排除C；又當(dāng)時(shí)，令，則，故，故當(dāng)時(shí)，，故排除D；而，故排除A，故選B．8．【答案】B【解析】由，得，所以，則，令函數(shù)，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?/span>，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，故選B． 二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9．【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由正弦定理，可得，故該選項(xiàng)正確；對(duì)于B，由，可得或，即或，∴或，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，在中，由正弦定理可得，因此是的充要條件，故該選項(xiàng)正確；對(duì)于D，由正弦定理，可得右邊左邊，故該選項(xiàng)正確，故選ACD．10．【答案】CD【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，故A錯(cuò)誤；設(shè)的公差為，則有，解得，，故，，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；若，則的前2020項(xiàng)，故C正確；若，則的前2020項(xiàng)和，故D正確，故選CD．11．【答案】AC【解析】選項(xiàng)A：連接，由正方體性質(zhì)知是矩形，，連接交于點(diǎn)，由正方體性質(zhì)知平面，所以，是點(diǎn)到平面的距離，即，，是定值；選項(xiàng)B：連接與交于點(diǎn)，連接，由正方體性質(zhì)知，是中點(diǎn)，，又，，的大小即為與所成的角，在直角三角形中，為定值．選項(xiàng)C：如圖，作，，，在直角三角形中，，，選項(xiàng)D：當(dāng)與重合時(shí)，與重合，連接與交于點(diǎn)，連接，，異面直線與所成的角，即為異面直線與所成的角，在三角形中，，，，由余弦定理得，故選AC．12．【答案】ACD【解析】設(shè)，，直線的方程為，將直線的方程代入拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得．如圖，由題意可得，準(zhǔn)線方程為．設(shè)，，直線的方程為，代人拋物線方程，得，所以，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，所以，，所以，所以，故A正確；因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以四邊形的面積等于，故B錯(cuò)誤；根據(jù)拋物線的定義知，，所以，，所以，所以C正確；不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，當(dāng)時(shí)，由，得，，所以拋物線以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為，令，得，所以點(diǎn)在以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線上，即直線與拋物線相切，故D正確，故選ACD． 第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．【答案】19【解析】的展開式的通項(xiàng)，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為19．14．【答案】【解析】將、捆綁，合二為一，共有種方法；從個(gè)位置選出個(gè)，共種選法，其中、放中間，、放兩邊，有種排法；剩下兩個(gè)位置放、，共種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的排法種數(shù)為，故答案為．15．【答案】，【解析】由是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，且，由，可得，所以，即．由，可得或．由函數(shù)解析式可知在和上均為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．①若，則有1解，有2解，不符合題意；②若，此時(shí)有2解，有1解，不符合題意；③若，則有1解，有1解，符合題意；④若，則有1解，有1解，符合題意；⑤若，則有2解，有1解，不符合題意；⑥若，則有2解，有1解，不符合題意；綜上，或，解得或．故答案為，．16．【答案】【解析】，∴為增函數(shù)，，∴存在唯一一個(gè)常數(shù)，使得，∴，即，令可得，∴，故而，∵恒成立，即恒成立，∴的函數(shù)圖象在直線上方，不妨設(shè)直線與的圖象相切，切點(diǎn)為，則，解得，．如圖，∴當(dāng)，即時(shí)，的函數(shù)圖象在直線上方，即恒成立，故答案為． 四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）依題，在兩邊同時(shí)除以，得，，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）得，可得，所以，則數(shù)列的前項(xiàng)和①，②，①-②，得，所以．18．【答案】答案見解析．【解析】選擇條件①：由正弦定理可得，由于，可得，化簡(jiǎn)可得，即，因?yàn)?/span>，所以，由余弦定理可得，解得，，解得，因此．選擇條件②：因?yàn)?/span>，即，由正弦二倍角公式可得，，則，所以，所以，所以，即，由余弦定理可得，由已知可得，由基本不等式可得，所以不存在滿足條件的．選擇條件③：由余弦二倍角公式可得，解得或（舍去），因?yàn)?/span>，所以，由余弦定理得，解得，，解得，因此．19．【答案】（1）①；②；（2）分布列見解析；期望為．【解析】（1）①記“在這兩天每天隨機(jī)觀看一個(gè)項(xiàng)目，恰好看到冰壺情況數(shù)，然后分析“決賽恰好在同一賽區(qū)”和冰球”為事件．由表可知，在這兩天每天隨機(jī)觀看一個(gè)項(xiàng)目，共有種不同情況，其中恰好看到冰壺和冰球，共有種不同情況，所以．②記“在這兩天每天隨機(jī)觀看一場(chǎng)決賽，兩場(chǎng)決賽恰好在同一賽區(qū)”為事件．由表可知，在這兩天每天隨機(jī)觀看一場(chǎng)決賽共有種不同情況，其中兩場(chǎng)決賽恰好在北京賽區(qū)共有種不同情況，在張家口賽區(qū)共有種不同情況，所以．（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為．根據(jù)題意，，，．隨機(jī)變量的分布列是：數(shù)學(xué)期望．20．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)為，連接，．∵，∴．∵，，∴，同理．又，∴，∴．∵，，平面，∴平面．又平面，∴平面平面．（2）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)邊長關(guān)系可知，，，，，∴，．∵三棱錐和的體積比為，∴，∴，∴．設(shè)平面的法向量為，則，令，得．設(shè)直線與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為．21．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）根據(jù)題意得，解得，所以橢圓的方程為．（2）因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓上頂點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線，由，得，解得，則，即點(diǎn)，，設(shè)直線，同理可得，又因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以直線過定點(diǎn)．22．【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增；（3）證明見解析．【解析】（1）因?yàn)?/span>，所以，依題意可得，得．（2），當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增．綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增．（3）因?yàn)殛P(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，所以，即在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，不妨設(shè)，所以，所以，所以，要證，即證，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以只需證，即要證，令，因?yàn)?/span>，所以，所以只需證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以． 
  

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