一、選擇題


1．（2020·山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)高二月考）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值是（ ）





A．B．C．D．


【答案】B


【解析】





建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則


，，，設(shè)平面的法向量為


則令可得，所以


設(shè)直線與平面所成角為，，選：B


2.（2020全國(guó)高二課時(shí)練）已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,體積為94,底面是邊長(zhǎng)為3的正三角形.若P為底面A1B1C1的中心,則PA與平面ABC所成角的大小為( )


A.5π12B.π3C.π4D.π6


【答案】B


【解析】如圖所示,由棱柱體積為94,底面正三角形的邊長(zhǎng)為3,可求得棱柱的高為3.設(shè)P在平面ABC上射影為O,則可求得AO長(zhǎng)為1,故AP長(zhǎng)為12+(3)2 =2.故∠PAO=π3,即PA與平面ABC所成的角為π3.





3．（2020山東泰安實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考）在所有棱長(zhǎng)都相等的直三棱柱中，、分別為棱、的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的余弦值為（ ）


A．B．C．D．


【答案】C


【解析】設(shè)正三棱柱的所有邊長(zhǎng)均為，取的中點(diǎn)，連接，


以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，


如下圖所示：





則點(diǎn)、、、、，，，，設(shè)平面的法向量為，


由，得，取，則，，，


設(shè)直線與平面所成角為，


則，則.


4.（2020福建莆田一中高二月考）如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面A1ABB1⊥BC,且A1C與底面成45°角,AB=BC=2,則該棱柱體積的最小值為( )





A.43B.33C.4D.3


【答案】C


【解析】由已知得BC⊥AB,平面A1ABB1⊥平面ABC且交線為AB,故點(diǎn)A1在平面ABC上的射影D在AB上.由A1C與底面成45°角得A1D=DC,當(dāng)CD最小即CD=BC時(shí)A1D最小,此時(shí)Vmin=12·AB·BC·A1D=12×2×2×2=4.


5.（多選題）（2020山東章丘四中高二月考）如圖，設(shè)，分別是正方體的棱上兩點(diǎn)，且，，其中正確的命題為（ ）





A．三棱錐的體積為定值


B．異面直線與所成的角為


C．平面


D．直線與平面所成的角為


【答案】AD


【解析】對(duì)于A，


故三棱錐的體積為定值，故A正確；對(duì)于B， ，和所成的角為，異面直線與所成的角為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C， 若平面，則直線，即異面直線與所成的角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，


，設(shè)平面的法向量為則


，即，令，則


，


所以直線與平面所成的角為，正確，故選：AD


6．（多選題）（2020山西師大附中高二月考）把正方形沿對(duì)角線折成直二面角，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的結(jié)論是（ ）





A．B．是等邊三角形


C．與平面成角D．與所成角為


【答案】AB


【解析】





A項(xiàng)： 取的中點(diǎn)，則，．面．，故A正確．


B項(xiàng)：，取的中點(diǎn)，連接，，．


是正方形，，，為二面角的平面角，．所以是正三角形，故B正確；C項(xiàng)：由，知，平面 ，為與面所成的角為，故C錯(cuò)誤．D項(xiàng)：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，??分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，


則，，，．


，．，所以，故D錯(cuò)誤．故選：AB．


二、填空題


7．（2020浙江省寧波市鄞州中學(xué)高二期中）正方體中，分別是的中點(diǎn)，則與直線所成角的大小為_(kāi)_____ ；與對(duì)角面所成角的正弦值是 __________．


【答案】 ；


【解析】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則，，，，故，.故，故與直線所成角的大小為.易知對(duì)角面的一個(gè)法向量為，設(shè)與對(duì)角面所成角為，


故.





8.（2020全國(guó)高二課時(shí)練）如圖,圓錐的高PO=2,底面☉O的直徑AB=2,C是圓上一點(diǎn),且∠CAB=30°,D為AC的中點(diǎn),則直線OC和平面PAC所成角的余弦值為 .





【答案】73


【解析】設(shè)點(diǎn)O到平面PAC的距離為d,設(shè)直線OC和平面PAC所成角為α,則由等體積法得,VO-PAC=VP-OAC,即13S△PAC·d=13|PO|·S△OAC,∴d=2·12·32·1234·(3)2=23,


∴sin α=d|CO|=23,則cs α=73.


9．（2020大埔縣虎山中學(xué)高二期中）如圖，在正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為2，直線與平面所成角的正弦值為，則正四棱柱的高為_(kāi)____．





【答案】4


【解析】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，故，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可取，故，又直線與平面所成角的正弦值為，，解得．





10．（2020·福建莆田一中高二月考）正四棱柱中，，.若是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則與平面所成角的正切值的最大值為_(kāi)__________.


【答案】2.


【解析】





如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則，


，又，得即；又平面，為與平面所成角，


令，





當(dāng)時(shí)，最大，即與平面所成角的正切值的最大值為2.


三、解答題


11.（2020浙江衢州高二期中）四棱錐中，，底面為等腰梯形，，，為線段的中點(diǎn)，.





（1）證明：平面；


（2）若，求直線與平面所成角正弦值.


【解析】（1）證明：因?yàn)?，為線段的中點(diǎn)，


所以，在等腰梯形中，作于，


則由得，所以，


所以，因?yàn)?，所?br/>

所以∽,所以，


所以，所以，


因?yàn)?，，所以平面?br/>

因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，所以，


因?yàn)?，在平面?nèi)，所以平面；


（2）解：因?yàn)?，，所以?


取的中點(diǎn)，連接，則，


因?yàn)槠矫?，所以，?br/>

所以平面，


所以如圖，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，


由（1）知平面，則平面的法向量，


設(shè)直線與平面所成角為，


則,


所以直線與平面所成角的正弦值為





12.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,在側(cè)棱CC1上求一點(diǎn)P,使得直線AP與平面BDD1B1所成的角的正切值為32.


【解析】如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.





設(shè)CP=m(m>0),則A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),


所以BD=(-1,-1,0),BB1=(0,0,1),AP=(-1,1,m),AC=(-1,1,0).


因?yàn)锳C·BD=0,AC·BB1=0,


所以AC為平面BDD1B1的一個(gè)法向量.


設(shè)AP與平面BDD1B1所成的角為θ,


則sin θ=csπ2-θ=|AP·AC||AP||AC| =22·2+m2,


所以cs θ=1-sin2θ=m2+m2.


因?yàn)閠an θ=sinθcsθ=2m=32,


所以m=13.


故當(dāng)CP=13CC1時(shí),直線AP與平面BDD1B1所成的角的正切值為32.


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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

1.2.3 直線與平面的夾角

版本： 人教B版 (2019)

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