[體系構(gòu)建]





[核心速填]


1．開普勒行星運動定律


(1)開普勒第二定律表明，對于同一顆在橢圓軌道上運動的行星，離太陽越近，速度越大．


(2)開普勒第三定律的表達式為eq \f(a3,T2)＝k，表明太陽系八大行星中，離太陽越近的行星，周期越?。?br/>

2．萬有引力定律


(1)表達式：F＝Geq \f(m1m2,r2).


(2)適用條件


①質(zhì)點；②真空中．


3．萬有引力理論的成就


(1)計算天體表面的重力加速度：不考慮地球自轉(zhuǎn)，mg＝Geq \f(Mm,R2)，故地球表面的重力加速度g＝eq \f(GM,R2)，該結(jié)論可以推廣到其他星球．


(2)計算天體的質(zhì)量：由Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，即已知天體做圓周運動的周期和半徑，就可以求出中心天體的質(zhì)量M.


(3)發(fā)現(xiàn)未知天體：如海王星的發(fā)現(xiàn)．


4．宇宙航行


(1)第一宇宙速度：數(shù)值為7.9 km/s，是發(fā)射人造衛(wèi)星的最小速度，也是衛(wèi)星繞地球做圓周運動的最大速度．


(2)地球衛(wèi)星的v、ω、T、a與r的關系．


①由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得v＝eq \r(\f(GM,r))，r越大，v越?。?br/>

②由Geq \f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，r越大，ω越?。?br/>

③由Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，r越大，T越大．


④由Geq \f(Mm,r2)＝ma得a＝eq \f(GM,r2)，r越大，a越?。?br/>




1.兩個半徑——天體半徑和衛(wèi)星軌道半徑


(1)天體半徑：在中學物理中通常把天體看成一個球體，天體半徑就是球的半徑，反映了天體的大?。?br/>

(2)衛(wèi)星的軌道半徑：是天體的衛(wèi)星繞天體做圓周運動的圓的半徑．


(3)關系：一般情況下，天體衛(wèi)星的軌道半徑總大于該天體的半徑．當衛(wèi)星貼近天體表面運動時，可近似認為軌道半徑等于天體半徑．


2．三種速度——運行速度、發(fā)射速度和宇宙速度


三種速度的比較，見下表：


3.兩種周期——自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期


(1)自轉(zhuǎn)周期：是天體繞自身某軸線轉(zhuǎn)動一周所用的時間，取決于天體自身轉(zhuǎn)動的快慢．


(2)公轉(zhuǎn)周期：是天體繞中心天體做圓周運動一周的時間，由eq \f(GMm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，取決于中心天體的質(zhì)量和運行天體到中心天體的距離，與運行天體自身質(zhì)量無關．


(3)聯(lián)系：一般情況下天體的自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期是不等的，如地球自轉(zhuǎn)周期為24小時，公轉(zhuǎn)周期為365天．它們之間沒有直接聯(lián)系，在應用中要注意區(qū)別．


4．兩種軌道——圓形軌道和橢圓軌道


(1)圓形軌道：衛(wèi)星沿圓形軌道運行時，萬有引力全部用來產(chǎn)生向心加速度．衛(wèi)星的加速度、向心加速度相同，可由Geq \f(Mm,r2)＝ma得到．


(2)橢圓軌道：衛(wèi)星沿橢圓軌道運行時，萬有引力一方面改變衛(wèi)星運行速度的方向，另一方面改變衛(wèi)星運行的速度大小．由Geq \f(Mm,r2)＝ma得到的是衛(wèi)星運行的合加速度，而非衛(wèi)星的向心加速度．


5．兩類運行——穩(wěn)定運行和變軌運行


(1)穩(wěn)定運行


衛(wèi)星繞天體穩(wěn)定運行時萬有引力提供了衛(wèi)星做圓周運動的向心力．由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r)).由此可知，軌道半徑r越大，衛(wèi)星的速度越?。?br/>

(2)變軌運行


①制動變軌：衛(wèi)星的速率變小時，使得萬有引力大于所需向心力，即Geq \f(Mm,r2)＞meq \f(v2,r)，衛(wèi)星做向心運動，軌道半徑將變小，所以要使衛(wèi)星的軌道半徑變小，需開動反沖發(fā)動機使衛(wèi)星做減速運動．


②加速變軌：衛(wèi)星的速率增大時，使得萬有引力小于所需向心力，即Geq \f(Mm,r2)＜meq \f(v2,r)，衛(wèi)星做離心運動，軌道半徑將變大，所以要使衛(wèi)星的軌道半徑變大，需開動反沖發(fā)動機使衛(wèi)星做加速運動．


【例1】 為了探測引力波，“天琴計劃”預計發(fā)射地球衛(wèi)星P，其軌道半徑約為地球半徑的16倍；另一地球衛(wèi)星Q的軌道半徑約為地球半徑的4倍．P與Q的周期之比約為( )


A．2∶1 B．4∶1


C．8∶1 D．16∶1


C [設地球半徑為R，根據(jù)題述，地球衛(wèi)星P的軌道半徑為RP＝16R，地球衛(wèi)星Q的軌道半徑為RQ＝4R，根據(jù)開普勒定律，eq \f(T\\al(2,P),T\\al(2,Q))＝eq \f(R\\al(3,P),R\\al(3,Q))＝64，所以P與Q的周期之比為TP∶TQ＝8∶1，故選C正確．]





1．(多選)2020年，中國長征火箭家族將迎來一位新成員——長征八號運載火箭．長征八號的成功研究更加有利于開展空間科學技術試驗研究，包括研究日地空間、行星際空間、恒星空間環(huán)境的物理、化學特性及其演化過程；研究天體的結(jié)構(gòu)特性及其形成和演化過程．現(xiàn)假設探測到兩個未命名行星A、B，已知行星A、B的密度相等，下列說法正確的是( )


A．行星A的近地衛(wèi)星的周期與行星B的近地衛(wèi)星的周期相等


B．行星A的同步衛(wèi)星的線速度與行星B的同步衛(wèi)星的線速度相等


C．行星A、B表面的重力加速度與行星半徑的比值相等


D．行星A的第一宇宙速度與行星B的第一宇宙速度相等


AC [根據(jù)Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R，M＝eq \f(4,3)πR3ρ，解得T＝eq \r(\f(3π,Gρ))，則行星A的近地衛(wèi)星的周期與行星B的近地衛(wèi)星的周期相等，選項A正確；根據(jù)v＝eq \r(\f(GM,r))＝eq \r(\f(\f(4,3)πGR3ρ,r))因兩顆行星的半徑及同步衛(wèi)星的高度不同，則同步衛(wèi)星的線速度不同，選項B錯誤；根據(jù)Geq \f(Mm,R2)＝mg


解得eq \f(g,R)＝eq \f(GM,R3)＝eq \f(\f(4,3)πR3ρG,R3)＝eq \f(4,3)πρG，選項C正確；根據(jù)第一宇宙速度v＝eq \r(\f(GM,R))＝eq \r(\f(\f(4,3)πGR3ρ,R))＝Req \r(\f(4,3)πρG)，則兩行星的第一宇宙速度不同，選項D錯誤；故選A、C.]





1．雙星：兩個離得比較近的天體，在彼此間的引力作用下繞兩者連線上的一點做圓周運動，這樣的兩顆星組成的系統(tǒng)稱為雙星．





2．雙星問題的特點


(1)兩星的運動軌道為同心圓，圓心是它們之間連線上的某一點．


(2)兩星的向心力大小相等，由它們間的萬有引力提供．


(2)兩星的運動周期、角速度相同．


(4)兩星的軌道半徑之和等于兩星之間的距離，即r1＋r2＝L.


3．雙星問題的處理方法：雙星間的萬有引力提供了它們做圓周運動的向心力，即Geq \f(m1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2.


由此得出：


(1)軌道半徑之比與雙星質(zhì)量之比相反：eq \f(r1,r2)＝eq \f(m2,m1).


(2)線速度之比與雙星質(zhì)量之比相反：eq \f(v1,v2)＝eq \f(m2,m1).


(3)由于ω＝eq \f(2π,T)，r1＋r2＝L，所以兩恒星的質(zhì)量之和


m1＋m2＝eq \f(4π2L3,GT2).


【例2】 宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以二者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，而不至因為萬有引力的作用而吸引到一起．如圖所示，某雙星系統(tǒng)中A、B兩顆天體繞O點做勻速圓周運動，它們的軌道半徑之比rA∶rB＝1∶2，則兩顆天體的( )





A．質(zhì)量之比mA∶mB＝2∶1


B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶2


C．線速度大小之比vA∶vB＝2∶1


D．向心力大小之比FA∶FB＝2∶1


A [雙星繞連線上的一點做勻速圓周運動，其角速度相同，周期相同，兩者之間的萬有引力提供向心力，F(xiàn)＝mAω2rA＝mBω2rB，所以mA∶mB＝2∶1，選項A正確，B、D錯誤；由v＝ωr可知，線速度大小之比vA∶vB＝1∶2，選項C錯誤．]





2．冥王星與其附近的另一星體卡戎可視為雙星系統(tǒng)，質(zhì)量比約為7∶1，同時繞它們連線上某點O做勻速圓周運動，由此可知，冥王星繞O點運動的( )


A．軌道半徑約為卡戎的eq \f(1,7)


B．角速度大小約為卡戎的eq \f(1,7)


C．線速度大小約為卡戎的7倍


D．向心力大小約為卡戎的7倍


A [冥王星與卡戎間的引力提供它們運動的向心力，向心力相等，D項錯；雙星系統(tǒng)角速度相等，B項錯．


設冥王星的質(zhì)量為M，軌道半徑為r1，卡戎星的質(zhì)量為m，軌道半徑為r2，兩星間距離為r.


對于冥王星：eq \f(GMm,r2)＝Mω2r1①


對于卡戎星：eq \f(GMm,r2)＝mω2r2②


由①÷②可得：eq \f(r1,r2)＝eq \f(m,M)＝eq \f(1,7)，所以，A項對．


線速度v＝ωr，同樣可推知C項錯．]


天體運動中易混概念的比較
比較項
概念
大小
影響因素
運行速度
衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動的速度
v＝eq \r(\f(GM,r))
軌道半徑r越大，v越小
發(fā)射速度
在地面上發(fā)射衛(wèi)星的速度
大于或等于


7．9 km/s
衛(wèi)星的發(fā)射高度越高，發(fā)射速度越大
宇宙速度
實現(xiàn)某種效果所需的最小衛(wèi)星發(fā)射速度
7.9 km/s


11．2 km/s


16．7 km/s
不同衛(wèi)星發(fā)射要求決定
雙星模型

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