2020版新一線高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案：第3章第3節(jié)　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

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第三節(jié)　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
[考綱傳真]　1.能畫出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性．


1．用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖
正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]圖象的五個關(guān)鍵點是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函數(shù)y＝cos x，x∈[0,2π]圖象的五個關(guān)鍵點是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)
函數(shù)
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
圖象



定義域
R
R

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
周期為2π
周期為2π
周期為π
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
單調(diào)性
遞增區(qū)間：
，
k∈Z，
遞減區(qū)間：
，
k∈Z
遞增區(qū)間：
[2kπ－π，2kπ]，
k∈Z，
遞減區(qū)間：
[2kπ，2kπ＋π]，
k∈Z
遞增區(qū)間
，
k∈Z
對稱性
對稱中心
(kπ，0)，k∈Z
對稱中心
，k∈Z
對稱中心
，k∈Z
對稱軸
x＝kπ＋(k∈Z)
對稱軸
x＝kπ(k∈Z)


1．對稱與周期
(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是個周期．
(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期．
2．奇偶性
(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則
①f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
②f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，則
①f(x)為奇函數(shù)的充要條件：φ＝kπ＋，k∈Z；
②f(x)為偶函數(shù)的充要條件：φ＝kπ，k∈Z.
[基礎(chǔ)自測]
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)正切函數(shù)y＝tan x在定義域內(nèi)是增函數(shù)． ( )
(2)y＝sin |x|是偶函數(shù)． ( )
(3)函數(shù)y＝sin x的圖象關(guān)于點(kπ，0)(k∈Z)中心對稱． ( )
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，則y的最大值為k＋1. ( )
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．函數(shù)f(x)＝cos的最小正周期為( )
A. B. C．2π D．2
D　[T＝＝2，故選D.]
3．函數(shù)y＝tan 2x的定義域是( )
A. B.
C. D.
D　[由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
∴y＝tan 2x的定義域為.]
4．函數(shù)y＝sin，x∈[－2π，2π]的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.
B.和
C.
D.
C　[令z＝x＋，函數(shù)y＝sin z的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋得4kπ－≤x≤4kπ＋，而x∈[－2π，2π]，故其單調(diào)遞增區(qū)間是，故選C.]
5．(教材改編)函數(shù)f(x)＝4－2cos x的最小值是________，取得最小值時，x的取值集合為________．
2　{x|x＝6kπ，k∈Z}　[f(x)min＝4－2＝2，此時，x＝2kπ(k∈Z)，x＝6kπ(k∈Z)，所以x的取值集合為{x|x＝6kπ，k∈Z}．]



三角函數(shù)的定義域、值域
【例1】　(1)函數(shù)y＝的定義域為( )
A.
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
(2)函數(shù)f(x)＝3sin在區(qū)間上的值域為( )
A. B.
C. D.
(3)(2019·長沙模擬)函數(shù)f(x)＝cos 2x＋6cos－x的最大值為( )
A．4 B．5 C．6 D．7
(1)B　(2)B　(3)B　[(1)由2sin x－≥0得sin x≥，
∴＋2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)，故選B.
(2)因為x∈，
所以2x－∈，
所以sin∈，
所以3sin∈，
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域是，故選B.
(3)∵f(x)＝cos 2x＋6cos＝cos 2x＋6sin x
＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，
又sin x∈[－1,1]，∴當(dāng)sin x＝1時，f(x)取得最大值5.
故選B.]
[規(guī)律方法]　(1)三角函數(shù)定義域的求法,求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解.
(2)三角函數(shù)值域的不同求法
①利用sin x和cos x的值域直接求.
②把所給的三角函數(shù)式變換成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域.
③把sin x或cos x看作一個整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.
④利用sin x±cos x和sin xcos x的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.
(1)函數(shù)y＝2sin(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為( )
A．2－ B．0
C．－1 D．－1－
(2)函數(shù)y＝的定義域為________．
(3)函數(shù)y＝sin x＋cos x＋sin xcos x的值域為________．
(1)A　(2)　(3)　[(1)因為0≤x≤9，所以－≤－≤，所以sin∈.
所以y∈[－，2]，所以ymax＋ymin＝2－.
(2)要使函數(shù)有意義，必須有
即故函數(shù)的定義域為
.
(3)設(shè)t＝sin x＋cos x，
則sin xcos x＝(－≤t≤)，
y＝t＋t2－＝(t＋1)2－1，
當(dāng)t＝時，y取最大值為＋，
當(dāng)t＝－1時，y取最小值為－1.
所以函數(shù)值域為.]

三角函數(shù)的單調(diào)性
【例2】　(1)函數(shù)f(x)＝sin的單調(diào)減區(qū)間為________．
(2)已知ω＞0，函數(shù)f(x)＝sin的一個單調(diào)遞減區(qū)間為，則ω＝________.
(3)(2018·全國卷Ⅱ改編)若函數(shù)f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是減函數(shù)，則a的最大值是________．
(1)，k∈Z　(2)2　(3)　[(1)f(x)＝sin＝－sin，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間就是函數(shù)y＝sin的增區(qū)間．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所給函數(shù)的減區(qū)間為，k∈Z.
(2)由≤x≤得ω＋≤ωx＋≤ω＋.
又函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)，
則k∈Z
即，解得ω＝2.
(3)f(x)＝cos x－sin x＝cos，
當(dāng)x∈[0，a]時，≤x＋≤a＋，
由題意知a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值為.]
[拓展探究]　本例(2)中，若函數(shù)f(x)＝sin在上是減函數(shù)，試求ω的取值范圍．
[解]　由＜x＜π，得ω＋＜ωx＋＜πω＋，
由題意，知?，k∈Z，
∴
∴4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z，
當(dāng)k＝0時，≤ω≤.
[規(guī)律方法]　三角函數(shù)單調(diào)性問題的解題策略
(1)已知三角函數(shù)的解析式求單調(diào)區(qū)間
①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡單化原則，將解析式先化簡，并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”；
②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解.但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯.
(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù),已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)性求參數(shù)，可先求t＝ωx＋φ的范圍(a，b)，再根據(jù)(a，b)是函數(shù)y＝Asin t的單調(diào)區(qū)間的子集關(guān)系列不等式組求解.
(1)函數(shù)f(x)＝tan的單調(diào)遞增區(qū)間是________．
(2)若函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則ω＝________.
(1)(k∈Z)　(2)　[(1)由－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)，得－＜x＜＋(k∈Z)．
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)過原點，
∴當(dāng)0≤ωx≤，即0≤x≤時，y＝sin ωx是增函數(shù)；
當(dāng)≤ωx≤，即≤x≤時，y＝sin ωx是減函數(shù)．
由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減知，＝，∴ω＝，此時，＝π＞，符合題意，故ω＝.]

三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性
?考法1　三角函數(shù)的周期性
【例3】　(2019·大連模擬)在函數(shù)：①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋，④y＝tan中，最小正周期為π的所有函數(shù)為( )
A．②④ B．①③④
C．①②③ D．①③
C　[①y＝cos|2x|＝cos 2x，T＝π.
②由圖象知，函數(shù)的周期T＝π.
③T＝π.
④T＝.
綜上可知，最小正周期為π的所有函數(shù)為①②③，故選C.]
?考法2　三角函數(shù)的奇偶性
【例4】　函數(shù)f(x)＝3sin，φ∈(0，π)滿足f(|x|)＝f(x)，則φ的值為________．
　[由題意知f(x)為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱，∴f(0)＝3sin＝±3，
∴φ－＝kπ＋，k∈Z，又0＜φ＜π，
∴φ＝.]
?考法3　三角函數(shù)的對稱性
【例5】　(1)下列函數(shù)的最小正周期為π且圖象關(guān)于直線x＝對稱的是( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
(2)如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點中心對稱，那么|φ|的最小值為( )
A. B.
C. D.
(1)B　(2)A　[(1)根據(jù)函數(shù)的最小正周期為π知，排除C，
又當(dāng)x＝時，2x＋＝π，2x－＝，2x－＝，故選B.
(2)由題意得3cos
＝3cos＝3cos＝0，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ－，k∈Z，
取k＝0，得|φ|的最小值為.]
[規(guī)律方法]　三角函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性問題的解題思路
(1)奇偶性的判斷方法：三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函數(shù)一般可化為y＝Acos ωx＋b的形式.
(2)周期的計算方法：利用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期為，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期為求解.
(3)對稱性的判斷：對于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點，因此在判斷直線x＝x0或點(x0，0)是否是函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心時，可通過檢驗f(x0)的值進行判斷.
(1)(2019·石家莊模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最小正周期為π，其圖象關(guān)于直線x＝對稱，則|φ|的最小值為( )
A. B.
C. D.
(2)若函數(shù)y＝cos(ω∈N*)圖象的一個對稱中心是，則ω的最小值為( )
A．1 B．2 C．4 D．8
(1)B　(2)B　[(1)由題意，得ω＝2，所以f(x)＝Asin(2x＋φ)．因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，當(dāng)k＝0時，|φ|取得最小值，故選B.
(2)由題意知＋＝kπ＋(k∈Z)?ω＝6k＋2(k∈Z)，
又ω∈N*，所以ωmin＝2，故選B.]


1．(2017·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sin的最小正周期為( )
A．4π 　B．2π 　C．π 　D.
C　[函數(shù)f(x)＝sin的最小正周期T＝＝π.
故選C.]
2．(2018·全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝的最小正周期為( )
A. B.
C．π D．2π
C　[f(x)＝＝＝＝sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.故選C.]
3．(2017·全國卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos，則下列結(jié)論錯誤的是( )
A．f(x)的一個周期為－2π
B．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱
C．f(x＋π)的一個零點為x＝
D．f(x)在單調(diào)遞減
D　[A項，因為f(x)＝cos的周期為2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一個周期為－2π，A項正確．
B項，因為f(x)＝cos圖象的對稱軸為直線x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，B項正確．
C項，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－π，當(dāng)k＝1時，x＝，所以f(x＋π)的一個零點為x＝，C項正確．
D項，因為f(x)＝cos的遞減區(qū)間為2kπ－，2kπ＋(k∈Z)，遞增區(qū)間為(k∈Z)，所以是減區(qū)間，是增區(qū)間，D項錯誤．
故選D.]
4．(2017·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
1　[f(x)＝1－cos2x＋cos x－＝－2＋1.
∵x∈，∴cos x∈[0,1]，
∴當(dāng)cos x＝時，f(x)取得最大值，最大值為1.]
自我感悟：______________________________________________________
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