(五)　平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)問(wèn)題
[命題解讀]　1. 圓錐曲線是平面解析幾何的核心部分，也是高考必考知識(shí)，主要以一個(gè)小題一個(gè)大題的形式呈現(xiàn)，難度中等偏上．
2．高考中的選擇題或填空題主要考查圓錐曲線的基本性質(zhì)，高考中的解答題，在第(1)問(wèn)中常以求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，在第(2)問(wèn)以求作或證明位置關(guān)系、定點(diǎn)、定值、最值、范圍、探索性問(wèn)題為主. 這些試題的命制有一個(gè)共同特點(diǎn)，就是起點(diǎn)低，但在第(2)問(wèn)或第(3)問(wèn)中一般都伴有較為復(fù)雜的運(yùn)算，對(duì)考生解決問(wèn)題的能力要求較高.


圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)

圓錐曲線的方程與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，求離心率、準(zhǔn)線、雙曲線的漸近線是常見(jiàn)題型，多以選擇題或填空題的形式考查，各種難度均有可能．

【例1】　(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為(　　)
A．－＝1　　 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
B　[由y＝x可得＝.①
由橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為(3,0)，(－3,0)，
可得a2＋b2＝9.②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程為－＝1.
故選B.]
[規(guī)律方法]　解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握各曲線的定義、性質(zhì)及相關(guān)參數(shù)間的聯(lián)系. 掌握一些常用的結(jié)論及變形技巧，有助于提高運(yùn)算能力．
(1)(2017·全國(guó)卷Ⅱ)若雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長(zhǎng)為2，則C的離心率為(　　)
A．2　　 B． C．　　　　D．
(2)(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|＋|DE|的最小值為(　　)
A．16　　　B．14 C．12　　　D．10
(1)A　(2)A　[(1)設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，
圓的圓心為(2,0)，半徑為2，
由弦長(zhǎng)為2得出圓心到漸近線的距離為＝.
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得＝，解得b2＝3a2.
所以C的離心率e＝＝＝＝2.
故選A．
(2)因?yàn)镕為y2＝4x的焦點(diǎn)，所以F(1,0)．

由題意直線l1，l2的斜率均存在，且不為0，設(shè)l1的斜率為k，則l2的斜率為－，故直線l1，l2的方程分別為y＝k(x－1)，y＝－(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝1，
所以|AB|＝·|x1－x2|
＝·
＝·＝.
同理可得|DE|＝4(1＋k2)．
所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k2)
＝4
＝8＋4≥8＋4×2＝16，
當(dāng)且僅當(dāng)k2＝，即k＝±1時(shí)，取得等號(hào)．
故選A．]


圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題

定點(diǎn)、定值問(wèn)題一般涉及曲線過(guò)定點(diǎn)、與曲線上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的定值問(wèn)題以及與圓錐曲線有關(guān)的弦長(zhǎng)、面積、橫(縱)坐標(biāo)等定值問(wèn)題．
【例2】　(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)，四點(diǎn)P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三點(diǎn)在橢圓C上．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線P2A與直線P2B的斜率的和為－1，證明：l過(guò)定點(diǎn)．
[解]　(1)由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過(guò)P3，P4兩點(diǎn)．
又由＋＞＋知，橢圓C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1，
所以點(diǎn)P2在橢圓C上．

因此解得故橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)證明：設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.
如果l與x軸垂直，設(shè)l：x＝t，由題設(shè)知t≠0，且|t|＜2，可得A，B的坐標(biāo)分別為，，則k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合題設(shè)．
從而可設(shè)l：y＝kx＋m(m≠1)．
將y＝kx＋m代入＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由題設(shè)可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝.
而k1＋k2＝＋
＝＋
＝.
由題設(shè)k1＋k2＝－1，
故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.
即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0，解得k＝－.
當(dāng)且僅當(dāng)m＞－1時(shí)，Δ＞0，于是l：y＝－x＋m，
即y＋1＝－(x－2)，所以l過(guò)定點(diǎn)(2，－1)．
[規(guī)律方法]　1.證明直線過(guò)定點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)已知條件建立直線方程中斜率k或截距b的關(guān)系式，此類(lèi)問(wèn)題中的定點(diǎn)多在坐標(biāo)軸上．
2．解決定值問(wèn)題應(yīng)以坐標(biāo)運(yùn)算為主，需建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，然后代入相應(yīng)的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)果即可得到．
3．無(wú)論定點(diǎn)或定值問(wèn)題，都可先用特殊值法求出，然后再驗(yàn)證即可，這樣可確定方向和目標(biāo)．
已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(0,1)，且離心率為.
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)直線l：y＝x＋m與橢圓E交于A，C兩點(diǎn)，以AC為對(duì)角線作正方形ABCD，記直線l與x軸的交點(diǎn)為N，問(wèn)B，N兩點(diǎn)間的距離是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
[解]　(1)由題意可知，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，橢圓過(guò)點(diǎn)(0,1)，則b＝1.
由橢圓的離心率e＝＝＝，解得a＝2，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
(2)設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，線段AC的中點(diǎn)為M(x0，y0)．
由整理得x2＋2mx＋2m2－2＝0.
由Δ＝(2m)2－4(2m2－2)＝8－4m2>0，解得－b>0)過(guò)點(diǎn)(－，1)，離心率為，直線l：kx－y＋2＝0與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使得|＋|＝|－|(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))成立？若存在，求出實(shí)數(shù)k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

[解]　(1)依題意，得解得a2＝4，b2＝2，c2＝2，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)假設(shè)存在符合條件的實(shí)數(shù)k.依題意，聯(lián)立方程
消去y并整理，得(1＋2k2)x2＋8kx＋4＝0.
則Δ＝64k2－16(1＋2k2)>0，即k>或k0)．
(1)證明：k

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