2021版新高考數(shù)學（文科）一輪復習教師用書：第9章第6節(jié)　雙曲線-學案下載-教習網(wǎng)

[最新考綱]　1.了解雙曲線的實際背景，了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解雙曲線的簡單應用．

1．雙曲線定義
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.
(1)當2a|F1F2|時，P點不存在．
2．雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)
標準方程
－＝1
(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
圖形

范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
對稱性
對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點坐標
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝±x
y＝±x
性質(zhì)
離心率
e＝＝∈(1，＋∞)
實、虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；
線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；
a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
3.等軸雙曲線
實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝±x，離心率為e＝.

1．過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為，也叫通徑．
2．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.
3．若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
4．與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)有共同漸近線的方程可表示為－＝t(t≠0)．
5．當已知雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0，求雙曲線方程時，可設(shè)雙曲線方程為b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．

一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)平面內(nèi)到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線． (　　)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線． (　　)
(3)雙曲線－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即±＝0. (　　)
(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于. (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、教材改編
1．雙曲線－＝1的焦距為(　　)
A．5　　　　B.　　　　C．2　　　　D．1
C　[由雙曲線－＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝，所以雙曲線－＝1的焦距為2.]
2．以橢圓＋＝1的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線方程為(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
A　[設(shè)要求的雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)，
由橢圓＋＝1，得橢圓焦點為(±1,0)，在x軸上的頂點為(±2,0)．
所以雙曲線的頂點為(±1,0)，焦點為(±2,0)．
所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，
所以雙曲線的標準方程為x2－＝1.]
3．已知雙曲線－＝1(a>0)的離心率為2，則a＝(　　)
A．2 B. C. D．1
D　[依題意，e＝＝＝2，∴＝2a，則a2＝1，a＝1.]
4．經(jīng)過點A(5，－3)，且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線方程為．
－＝1　[設(shè)雙曲線的方程為x2－y2＝λ，把點A(5，－3)代入，得λ＝16，
故所求方程為－＝1.]

考點1　雙曲線的定義及應用
　雙曲線定義的兩個應用
(1)判定平面內(nèi)動點與兩定點的軌跡是否為雙曲線，進而根據(jù)要求可求出雙曲線方程．
(2)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的關(guān)系．
　(1)設(shè)P是雙曲線－＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|＝9，則|PF2|等于(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．17
C．1或17 D．以上均不對
(2)已知動圓M與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切，則動圓圓心M的軌跡方程為(　　)
A.－＝1(x≥) B.－＝1(x≤－)
C.＋＝1(x≥) D.＋＝1(x≤－)
(3)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|等于(　　)
A．2　　　　B．4 C．6　　　　D．8
(1)B　(2)A　(3)B　[(1)根據(jù)雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝8?|PF2|＝1或17.
又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17，故選B.
(2)設(shè)動圓的半徑為r，由題意可得|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，所以|MC1|－|MC2|＝2，故由雙曲線的定義可知動點M在以C1(－4,0)，C2(4,0)為焦點，實軸長為2a＝2的雙曲線的右支上，即a＝，c＝4?b2＝16－2＝14，故動圓圓心M的軌跡方程為－＝1(x≥)，故選A.
(3)由雙曲線的方程得a＝1，c＝，
由雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，
解得|PF1|·|PF2|＝4，故選B.]
[母題探究]
1．本例(3)中，若將條件“∠F1PF2＝60°”改為|PF1|＝2|PF2|，試求cos∠F1PF2的值．
[解]　根據(jù)雙曲線的定義知，|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2，則|PF1|＝2|PF2|＝4，又|F1F2|＝2
∴cos∠F1PF2＝＝＝.
2．本例(3)中，若將條件“∠F1PF2＝60°”，改為·＝0，則△F1PF2的面積是多少？
[解]　不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上．
則|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
由·＝0，得⊥.
在△F1PF2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|＝8，
∴|PF1||PF2|＝2.
∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|＝1.
　(1)求雙曲線上的點到焦點的距離時，要注意取舍，如本例T(1)；(2)利用定義求雙曲線方程時，要注意所求是雙曲線一支，還是整個雙曲線，如本例T(2)．
　1.已知點F1(－3,0)和F2(3,0)，動點P到F1，F(xiàn)2的距離之差為4，則點P的軌跡方程為(　　)
A.－＝1(y＞0)　　　 B.－＝1(x＞0)
C.－＝1(y＞0) D.－＝1(x＞0)
B　[由題設(shè)知點P的軌跡方程是焦點在x軸上的雙曲線的右支，設(shè)其方程為－＝1(x＞0，a＞0，b＞0)，由題設(shè)知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以點P的軌跡方程為－＝1(x＞0)．]
2．已知雙曲線x2－＝1的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上一點．若|PF1|＝|PF2|，則△F1PF2的面積為(　　)
A．48　　　B．24　　　C．12　　　D．6
B　[由雙曲線的定義可得
|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，
又|F1F2|＝10，
由勾股定理可知三角形PF1F2為直角三角形，因此S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝24.]
3．若雙曲線－＝1的左焦點為F，點P是雙曲線右支上的動點，A(1,4)，則|PF|＋|PA|的最小值是(　　)
A．8 B．9 C．10 D．12
B　[由題意知，雙曲線－＝1的左焦點F的坐標為(－4,0)，設(shè)雙曲線的右焦點為B，則B(4,0)，由雙曲線的定義知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，當且僅當A，P，B三點共線且P在A，B之間時取等號．]
考點2　雙曲線的標準方程
　求雙曲線方程的思路
(1)如果已知雙曲線的中心在原點，且確定了焦點在x軸上或y軸上，則設(shè)出相應形式的標準方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而寫出雙曲線的標準方程(求得的方程可能是一個，也有可能是兩個，注意合理取舍，但不要漏解)．
(2)當焦點位置不確定時，有兩種方法來解決：一種是分類討論，注意考慮要全面；另一種是設(shè)雙曲線的一般方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．
　(1)(2019·荊門模擬)方程＋＝1表示雙曲線的一個充分不必要條件是(　　)
A．－3＜m＜0 B．－1＜m＜3
C．－3＜m＜4 D．－2＜m＜3
(2)[一題多解]已知雙曲線過點(2,3)，漸近線方程為y＝±x，則該雙曲線的標準方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
(3)(2018·天津高考)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(1)B　(2)C　(3)C　[(1)方程＋＝1表示雙曲線，則(m＋2)(m－3)＜0，解得－2＜m＜3.∵要求充分不必要條件，∴選項范圍是－2＜m＜3的真子集，只有選項B符合題意．故選B.
(2)法一：當其中的一條漸近線方程y＝x中的x＝2時，y＝2＞3，又點(2,3)在第一象限，所以雙曲線的焦點在x軸上，設(shè)雙曲線的標準方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由題意得解得所以該雙曲線的標準方程為x2－＝1，故選C.
法二：因為雙曲線的漸近線方程為y＝±x，即＝±x，所以可設(shè)雙曲線的方程是x2－＝λ(λ≠0)，將點(2,3)代入，得λ＝1，所以該雙曲線的標準方程為x2－＝1，故選C.
(3)如圖，不妨設(shè)A在B的上方，則A，B.
其中的一條漸近線為bx－ay＝0，則d1＋d2＝＝＝2b＝6，∴b＝3. 又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝.
∴雙曲線的方程為－＝1. 故選C.]

　已知雙曲線的漸近線方程，用漸近線方程設(shè)出雙曲線方程，運算過程較為簡單．
[教師備選例題]
設(shè)雙曲線與橢圓＋＝1有共同的焦點，且與橢圓相交，其中一個交點的坐標為(，4)，則此雙曲線的標準方程是．
－＝1 　[法一：橢圓＋＝1的焦點坐標是(0，±3)，設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，根據(jù)雙曲線的定義知2a＝|－|
＝4，故a＝2.
又b2＝32－22＝5，故所求雙曲線的標準方程為－＝1.
法二：橢圓＋＝1的焦點坐標是(0，±3)．設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，則a2＋b2＝9，①
又點(，4)在雙曲線上，所以－＝1，②
聯(lián)立①②解得a2＝4，b2＝5.故所求雙曲線的標準方程為－＝1.
　1.(2019·湘潭模擬)以雙曲線－＝1的焦點為頂點，且漸近線互相垂直的雙曲線的標準方程為(　　)
A．x2－y2＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D.－＝1
D　[由題可知，所求雙曲線的頂點坐標為(±3,0)．又因為雙曲線的漸近線互相垂直，所以a＝b＝3，則該雙曲線的方程為－＝1.故選D.]
2．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，若|PF1|－|PF2|＝4b，且雙曲線的焦距為2，則該雙曲線的標準方程為(　　)
A.－y2＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
A　[由題意可得
解得則該雙曲線的標準方程為－y2＝1.]
3．經(jīng)過點P(3,2)，Q(－6，7)的雙曲線的標準方程為．
－＝1　[設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
因為所求雙曲線經(jīng)過點P(3,2)，Q(－6，7)，
所以解得
故所求雙曲線方程為－＝1.]
考點3　雙曲線的幾何性質(zhì)
　求雙曲線的離心率(或其范圍)
　求雙曲線的離心率或其范圍的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解．
　(1)(2019·全國卷Ⅱ)設(shè)F為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點，O為坐標原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為(　　)
A. B. C．2 D.
(2)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍是(　　)
A. B.
C．(1,2] D.
(1)A　(2)B　[(1)令雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點F的坐標為(c,0)，則c＝.

如圖所示，由圓的對稱性及條件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑，且PQ⊥OF.設(shè)垂足為M，連接OP，則|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，
得＋＝a2，∴＝，即離心率e＝.
故選A.
(2)由雙曲線的定義可知|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF2|＝，由雙曲線上的點到焦點的最短距離為c－a，可得≥c－a，解得≤，即e≤，又雙曲線的離心率e＞1，故該雙曲線離心率的取值范圍為，故選B.]
　本例T(2)利用雙曲線右支上的點到右焦點的距離不小于c－a建立不等式求解，同時應注意雙曲線的離心率e＞1.
[教師備選例題]
(2019·沈陽模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P是雙曲線C上一點，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且△PF1F2的最小內(nèi)角的正弦值為，則雙曲線C的離心率為(　　)
A．2　　　　B．3　　　　C.　　　　D.
C　[不妨設(shè)P是雙曲線右支上的一點，由雙曲線的定義可知|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a.△PF1F2的最小內(nèi)角的正弦值為，其余弦值為，因為|PF1|＞|PF2|，|F1F2|＞|PF2|，所以∠PF1F2為△PF1F2的最小內(nèi)角．由余弦定理可得|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即a2＝4c2＋9a2－2×2c×3a×，所以離心率e＝＝.故選C.]
　與漸近線有關(guān)的問題
　與漸近線有關(guān)的結(jié)論
(1)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x，雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x.
(2)e2＝1＋?＝e2－1?＝.
　(1)(2019·武漢模擬)已知雙曲線C：－＝1(m＞0，n＞0)的離心率與橢圓＋＝1的離心率互為倒數(shù)，則雙曲線C的漸近線方程為(　　)
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0或3x±4y＝0
D．4x±5y＝0或5x±4y＝0
(2)(2019·張掖模擬)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的頂點到其一條漸近線的距離為1，焦點到其一條漸近線的距離為，則其一條漸近線的傾斜角為(　　)
A．30° B．45° C．60° D．120°
(1)A　(2)B　[(1)由題意知，橢圓中a＝5，b＝4，∴橢圓的離心率e＝＝，∴雙曲線的離心率為＝，∴＝，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.故選A.
(2)設(shè)雙曲線－＝1的右頂點A(a,0)，右焦點F2(c,0)到漸近線y＝x的距離分別為1和，則有即＝.
則＝＝－1＝2－1＝1，即＝1.
設(shè)漸近線y＝x的傾斜角為θ，則tan θ＝＝1.
所以θ＝45°，故選B.]
　雙曲線中，焦點到一條漸近線的距離等于b是常用的結(jié)論．
[教師備選例題]
(2019·衡水模擬)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1作圓x2＋y2＝a2的切線，交雙曲線右支于點M.若∠F1MF2＝45°，則雙曲線的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
A　[如圖，作OA⊥F1M于點A，F(xiàn)2B⊥F1M于點B.因為F1M與圓x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，所以|OA|＝a，|F2B|＝|BM|＝2a，|F2M|＝2a，|F1B|＝2b.又點M在雙曲線上，所以|F1M|－|F2M|＝2a＋2b－2a＝2a，整理得b＝a.所以＝.所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x.故選A.]

　1.已知雙曲線－＝1(m＞0)的一個焦點在直線x＋y＝5上，則雙曲線的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
B　[由雙曲線－＝1(m＞0)的焦點在y軸上，且在直線x＋y＝5上，直線x＋y＝5與y軸的交點為(0,5)，
有c＝5，則m＋9＝25，得m＝16，
所以雙曲線的方程為－＝1，
故雙曲線的漸近線方程為y＝±x.故選B.]
2．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A(2，)在雙曲線C上，若AF2⊥F1F2，則雙曲線C的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
A　[因為AF2⊥F1F2，A(2，)，所以F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，由雙曲線的定義可知2a＝|AF1|－|AF2|＝－＝2，即a＝，所以b＝＝，故雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，故選A.]