[最新考綱]　1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見(jiàn)的求和方法．


1．公式法
(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
Sn＝＝na1＋d；
(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：

2．分組轉(zhuǎn)化法
把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解．
3．裂項(xiàng)相消法
把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．
4．錯(cuò)位相減法
如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求解．
5．倒序相加法
如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．
6．并項(xiàng)求和法
一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.

1．一些常見(jiàn)的數(shù)列前n項(xiàng)和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝；
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2；
(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.
2．常用的裂項(xiàng)公式
(1)＝；
(2)＝＝；
(3)＝－；
(4)loga＝loga(n＋1)－logan.

一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項(xiàng)和Sn＝. (　　)
(2)當(dāng)n≥2時(shí)，＝. (　　)
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和時(shí)只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得． (　　)
(4)推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5. (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
二、教材改編
1．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an＝，則S5等于(　　)
A．1　　　　B.　　　　C.　　　　D.
B　[∵an＝＝－，
∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝＋＋…＋＝1－＝.故選B.]
2．若Sn＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n－1·n，則S50＝ .
－25　[S50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25.]
3．?dāng)?shù)列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n項(xiàng)和Sn等于 ．
n2＋1－　[Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋
＝n2＋＝n2＋1－.]
4．若x≠0，且x≠1，則1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝ .
－　[設(shè)Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，①
則xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，②
①－②得：(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn＝－nxn，所以Sn＝－.]

考點(diǎn)1　分組轉(zhuǎn)化求和
　分組轉(zhuǎn)化求和的兩個(gè)常見(jiàn)類型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和；
(2)通項(xiàng)公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和．
　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝，n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和．
[解]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
a1也滿足an＝n，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n.
(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.
記數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和為T2n，則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，則A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
[母題探究]
在本例(2)中，如何求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
[解]　由本例(1)知bn＝2n＋(－1)n·n.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]＝＋＝2n＋1＋－2；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n]
＝2n＋1－2＋－n
＝2n＋1－－.
所以Tn＝
　通項(xiàng)公式中出現(xiàn)(－1)n，在求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn時(shí)，要分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況討論．
　1.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為(　　)
A．2n＋n2－1　　　　　　B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2
C　[Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n＝＋2×－n＝2(2n－1)＋n2＋n－n＝2n＋1＋n2－2.故選C.]
2．已知數(shù)列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝則數(shù)列{an}的前20項(xiàng)和為(　　)
A．1 121 B．1 122
C．1 123 D．1 124
C　[由題意可知，數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列{a2n－1}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列{an}的前20項(xiàng)和為＋10×1＋×2＝1 123.選C.]
考點(diǎn)2　錯(cuò)位相減法求和
　錯(cuò)位相減法求和的四個(gè)步驟

　(2019·天津高考)設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，公比大于0，已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3.
(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn＝求a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n(n∈N*)．
[解]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.
依題意，得解得故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n－1＝3n.
所以，{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n，{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝3n.
(2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn)
＝＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n×3n)
＝3n2＋6(1×31＋2×32＋…＋n×3n)．
記Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n， ①
則3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n＋1， ②
②－①得，2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n×3n＋1
＝－＋n×3n＋1＝.
所以，a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n2＋6Tn＝3n2＋3×
＝(n∈N*)．
　錯(cuò)位相減法求和時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)
(1)兩式相減時(shí)最后一項(xiàng)因?yàn)闆](méi)有對(duì)應(yīng)項(xiàng)而忘記變號(hào)．
(2)對(duì)相減后的和式的結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)模糊，錯(cuò)把中間的n－1項(xiàng)和當(dāng)作n項(xiàng)和．
　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的公比為q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)當(dāng)d＞1時(shí)，記cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
[解]　(1)由題意得
即
解得或
故或
(2)由d＞1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，
于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋＋＋…＋.②
①－②可得
Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，
故Tn＝6－.
[教師備選例題]
(2017·山東高考)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2){bn}為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.
[解]　(1)設(shè){an}的公比為q，
由題意知：a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2，
又an>0，由以上兩式聯(lián)立方程組解得a1＝2，q＝2，
所以an＝2n.
(2)由題意知S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，
又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，
所以bn＝2n＋1.
令cn＝，則cn＝.
因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn
＝＋＋＋…＋＋，
又Tn＝＋＋＋…＋＋，
兩式相減得
Tn＝＋－，
所以Tn＝5－.
考點(diǎn)3　裂項(xiàng)相消法求和(多維探究)
　裂項(xiàng)相消法求和的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)通項(xiàng)公式能裂為兩項(xiàng)差的形式，求和時(shí)能產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項(xiàng)．
(2)消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩到第幾項(xiàng)，后邊就剩到倒數(shù)第幾項(xiàng)．
　形如an＝型
　已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足4Sn＝a＋2an－3對(duì)任意的正整數(shù)n都成立．
(1)證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
[解]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，4S1＝a＋2a1－3，
即a－2a1－3＝0，
解得a1＝3或a1＝－1(舍去)，
由4Sn＝a＋2an－3，得當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn－1＝a＋2an－1－3，兩式相減，
得4an＝a－a＋2an－2an－1，即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
又an＞0，∴an－an－1－2＝0，
即an－an－1＝2(n≥2)，
∴數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
(2)由an＝2n＋1，得Sn＝·n＝n(n＋2)，
∴bn＝＝＝，
∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝
＝＝－.
　本例在求前n項(xiàng)和Tn時(shí)，應(yīng)注意兩點(diǎn)：
(1)bn裂成兩項(xiàng)差時(shí)，不要漏掉系數(shù).
(2)求和消項(xiàng)后，前邊剩兩項(xiàng)，后邊也剩兩項(xiàng)，注意符號(hào)不同．
[教師備選例題]
在等差數(shù)列{an}中，a2＝4，a1＋a4＋a7＝30，其前n項(xiàng)和為Sn.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.
[解]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
法一：由已知可得
即解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝3n－2.
法二：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1＋a4＋a7＝3a4＝30，解得a4＝10，
所以d＝＝＝3，
所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×3＝3n－2.
(2)由(1)知Sn＝，
所以Sn＋2n＝＋2n＝＝，
所以＝＝.
所以Tn＝×＋×＋…＋＝＝.
　形如an＝型
　已知函數(shù)f(x)＝xα的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)，令an＝，n∈N*，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2 020＝(　　)
A.－1 B.－1
C.－1 D.＋1
C　[由f(4)＝2，得4α＝2，解得α＝，則f(x)＝x.
∴an＝＝＝－，
∴S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1，故選C.]
　本例中通項(xiàng)公式的裂項(xiàng)使用了分母有理化．
　1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝lg，若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3，則項(xiàng)數(shù)n＝(　　)
A．99　　　B．101　　　C．999　　　D．1001
C　[an＝lg＝lg＝lg(n＋1)－lg n，
∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(lg 2－lg 1)＋(lg 3－lg 2)＋(lg 4－lg 3)＋…＋[lg(n＋1)－lg n]＝lg(n＋1)，
令Sn＝lg(n＋1)＝3得n＋1＝103，解得n＝999，故選C.]
2．已知等差數(shù)列{an}滿足a3＝7，a5＋a7＝26.
(1)求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)cn＝，n∈N*，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
[解]　(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
則由題意可得解得
所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
(2)因?yàn)閏n＝＝，
所以cn＝，
所以Tn＝＝＝.
課外素養(yǎng)提升⑥　數(shù)學(xué)建模——數(shù)學(xué)文化與數(shù)列

縱觀近幾年高考，數(shù)列以數(shù)學(xué)文化為背景的問(wèn)題，層出不窮，讓人耳目一新，同時(shí)它也使考生們受困于背景陌生，閱讀受阻，使思路無(wú)法打開．下面通過(guò)對(duì)典型例題的剖析、數(shù)學(xué)文化的介紹、及精選模擬題的求解，讓學(xué)生提升審題能力，增加對(duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而加深對(duì)數(shù)學(xué)文化的理解，提升數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．


等比數(shù)列與數(shù)學(xué)文化

【例1】　(2018·北京高考)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為(　　)
A.f　　　　　　　 B.f
C.f D.f
D　[從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于，第一個(gè)單音的頻率為f，由等比數(shù)列的概念可知，這十三個(gè)單音的頻率構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為f，公比為的等比數(shù)列，記為{an}，則第八個(gè)單音頻率為a8＝f·()8－1＝f，故選D.]
[評(píng)析]　根據(jù)等比數(shù)列的定義可知，十三個(gè)單音的頻率構(gòu)成等比數(shù)列．
【例2】　(2019·邵陽(yáng)模擬)《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺，莞生一日，長(zhǎng)1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問(wèn)幾何日而長(zhǎng)等？意思是：今有蒲第一天長(zhǎng)高3尺，莞第一天長(zhǎng)高1尺，以后蒲每天長(zhǎng)高前一天的一半，莞每天長(zhǎng)高前一天的2倍．若蒲、莞長(zhǎng)度相等，則所需時(shí)間為(　　)
(結(jié)果精確到0.1.參考數(shù)據(jù)：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
A．2.2天 B．2.4天
C．2.6天 D．2.8天
C　[設(shè)蒲的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{an}，其a1＝3，公比為，其前n項(xiàng)和為An.
莞的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，其前n項(xiàng)和為Bn.
則An＝，Bn＝，由題意可得：＝，化為：2n＋＝7，解得2n＝6,2n＝1(舍去)．
∴n＝＝1＋≈2.6.
∴估計(jì)2.6天蒲、莞長(zhǎng)度相等，故選C.]
[評(píng)析]　問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)等比數(shù)列前n項(xiàng)和相等問(wèn)題．
【素養(yǎng)提升練習(xí)】
1．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第二天走了(　　)
A．192里　　　B．96里　　　C．48里　　　D．24里
B　[依題意，每天走的路程構(gòu)成等比數(shù)列{an}，且n＝6，公比q＝，S6＝378，設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，依題意有＝378，解得a1＝192.所以a2＝192×＝96.即第二天走了96里．]


等差數(shù)列與數(shù)學(xué)文化

【例3】　(2019·九江模擬)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：“今有金箠，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四尺．?dāng)啬┮怀撸囟铮畣?wèn)次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根5尺長(zhǎng)的金杖，一頭粗，一頭細(xì)．在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤．問(wèn)依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上面的已知條件，若金杖由粗到細(xì)是均勻變化的，問(wèn)中間3尺的重量為(　　)
A．6斤 B．9斤 C．9.5斤 D．12斤
B　[依題意，金杖由粗到細(xì)各尺的重量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，記為{an}，則a1＝4，a5＝2，由等差數(shù)列的性質(zhì)得a2＋a4＝a1＋a5＝2a3＝6，所以a3＝3，所以中間3尺的重量為a2＋a3＋a4＝3a3＝9(斤)．故選B.]
[評(píng)析]　金杖由粗到細(xì)，每一尺的重量成等差數(shù)列，可用等差數(shù)列的性質(zhì)求解．
【素養(yǎng)提升練習(xí)】
2．(2019·石家莊模擬)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家提出的“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，它在世界數(shù)學(xué)史上具有光輝的一頁(yè)，堪稱數(shù)學(xué)史上名垂百世的成就，而且一直啟發(fā)和指引著歷代數(shù)學(xué)家們．定理涉及的是數(shù)的整除問(wèn)題，其數(shù)學(xué)思想在近代數(shù)學(xué)、當(dāng)代密碼學(xué)研究及日常生活中都有著廣泛應(yīng)用，為世界數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將1到2 019這2 019個(gè)整數(shù)中能被5除余2且被7除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，那么此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為(　　)
A．58 B．59 C．60 D．61
A　[由數(shù)能被5除余2且被7除余2的數(shù)就是能被35整除余2的數(shù)，
故an＝2＋(n－1)35＝35n－33，
由an＝35n－33≤2 019，
得n≤58＋，n∈N*，故此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為58.]



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