考點(diǎn)1　范圍問題
　圓錐曲線中范圍問題的五個(gè)解題策略
解決有關(guān)范圍問題時(shí)，先要恰當(dāng)?shù)匾胱兞?如點(diǎn)的坐標(biāo)標(biāo)、角、斜率等)，尋找不等關(guān)系，其方法有：
(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；
(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．
　(2019·大連模擬)設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1，離心率為，點(diǎn)F1為圓M：x2＋y2＋2x－15＝0的圓心．
(1)求橢圓的方程；
(2)已知過橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)F2且與直線l垂直的直線l1與圓M交于C，D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD面積的取值范圍．
[解]　(1)由題意知＝，則a＝2c.
圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋y2＝16，
從而橢圓的左焦點(diǎn)為F1(－1,0)，即c＝1.所以a＝2.
由b2＝a2－c2，得b＝.
所以橢圓的方程為＋＝1.
(2)由(1)可知橢圓右焦點(diǎn)F2(1,0)．
①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，此時(shí)斜率k不存在，直線l：x＝1，直線l1：y＝0，可得|AB|＝3，|CD|＝8，四邊形ACBD的面積為12.
②當(dāng)直線l與x軸平行時(shí)，此時(shí)斜率k＝0，直線l：y＝0，直線l1：x＝1，可得|AB|＝4，|CD|＝4，四邊形ACBD的面積為8.
③當(dāng)直線l與x軸不垂直也不平行時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
聯(lián)立得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
顯然Δ＞0，且x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|AB|＝|x1－x2|＝.
過點(diǎn)F2(1,0)且與直線l垂直的直線l1：y＝－(x－1)，則圓心到直線l1的距離為，
所以|CD|＝2＝4.
故四邊形ACBD的面積S＝|AB||CD|＝12.
可得當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，四邊形ACBD面積的取值范圍為(12,8)．
綜上，四邊形ACBD面積的取值范圍為[12,8]．
　過點(diǎn)F2的直線l與l1，有斜率不存在的情況，應(yīng)分類求解．
[教師備選例題]
(2019·石家莊模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)P(x0,2)到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝2x0.
(1)求拋物線C的方程；
(2)過點(diǎn)P引圓M：(x－3)2＋y2＝r2(0＜r≤)的兩條切線PA，PB，切線PA，PB與拋物線C的另一交點(diǎn)分別為A，B，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為t，求t的取值范圍．
[解]　(1)由拋物線定義，得|PF|＝x0＋，由題意得，

解得
所以拋物線C的方程為y2＝4x.
(2)由題意知，過P引圓(x－3)2＋y2＝r2(0＜r≤)的切線斜率存在且不為0，設(shè)切線PA的方程為y＝k1(x－1)＋2，則圓心M(3,0)到切線PA的距離d＝＝r，整理得，(r2－4)k－8k1＋r2－4＝0.
設(shè)切線PB的方程為y＝k2(x－1)＋2，同理可得(r2－4)k－8k2＋r2－4＝0.
所以k1，k2是方程(r2－4)k2－8k＋r2－4＝0的兩根，k1＋k2＝，k1k2＝1.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得，k1y2－4y－4k1＋8＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系知，2y1＝，所以y1＝＝－2＝4k2－2，同理可得y2＝4k1－2.(8分)
t＝＝＝＝2(k＋k)－2(k1＋k2)＋1＝2(k1＋k2)2－2(k1＋k2)－3，
設(shè)λ＝k1＋k2，則λ＝∈[－4，－2)，
所以t＝2λ2－2λ－3，其圖象的對(duì)稱軸為λ＝＞－2，所以9＜t≤37.
　(2019·鄭州模擬)已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)A(0，－1)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線y＝kx＋m(k≠0)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N.當(dāng)|AM|＝|AN|時(shí)，求m的取值范圍．
[解]　(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)，
聯(lián)立解得
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
(2)設(shè)P(x0，y0)為弦MN的中點(diǎn)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
聯(lián)立得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0.
則x1＋x2＝，x1x2＝.
Δ＝(8km)2－16(4k2＋1)(m2－1)＞0，
所以m2＜1＋4k2. ①
所以x0＝＝－，y0＝kx0＋m＝.
所以kAP＝＝－.
又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，
則－＝－，即3m＝4k2＋1. ②
把②代入①得m2＜3m，解得0＜m＜3.
由②得k2＝＞0，解得m＞.
綜上可知，m的取值范圍為.
考點(diǎn)2　最值問題
　求解圓錐曲線中最值問題的兩種方法
(1)利用幾何法：通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；
(2)利用代數(shù)法：把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，最值通常用基本不等式法、配方法、導(dǎo)數(shù)法求解．
　利用基本不等式求最值
　已知拋物線E：y2＝2px(0＜p＜10)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M(t,8)在拋物線E上，且|FM|＝10.
(1)求拋物線E的方程；
(2)過點(diǎn)F作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點(diǎn)A，B，C，D，P、Q分別為弦AB、CD的中點(diǎn)，求△FPQ面積的最小值．
[解]　(1)拋物線E的準(zhǔn)線方程為x＝－.
由拋物線的定義可得|FM|＝t＋＝10，故t＝10－.
由點(diǎn)M在拋物線上，可得82＝2p，整理得p2－20p＋64＝0，解得p＝4或p＝16，
又0＜p＜10，所以p＝4.
故拋物線E的方程為y2＝8x.
(2)由(1)知拋物線E的方程為y2＝8x，焦點(diǎn)為F(2,0)，
由已知可得AB⊥CD，所以兩直線AB，CD的斜率都存在且均不為0.
設(shè)直線AB的斜率為k，則直線CD的斜率為－，
故直線AB的方程為y＝k(x－2)．
聯(lián)立方程組，消去x，整理得ky2－8y－16k＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝，
因?yàn)镻(xP，yP)為弦AB的中點(diǎn)，所以yP＝(y1＋y2)＝，
由yP＝k(xP－2)得xP＝＋2＝＋2，故P.
同理可得Q(4k2＋2，－4k)．
故|QF|＝＝＝4，
|PF|＝＝.
因?yàn)镻F⊥QF，
所以△FPQ的面積S＝|PF|·|QF|＝××4
＝8×＝8≥8×2＝16，當(dāng)且僅當(dāng)|k|＝，即k＝±1時(shí)，等號(hào)成立．
所以△FPQ的面積的最小值為16.
　求點(diǎn)Q的坐標(biāo)時(shí)，可根據(jù)直線AB與CD的斜率關(guān)系，把點(diǎn)P坐標(biāo)中的k換成－，即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
[教師備選例題]
已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)．當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程．
[解]　(1)設(shè)F(c,0)，由條件知，＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程為＋y2＝1.
(2)當(dāng)l⊥x軸時(shí)不合題意，故設(shè)l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
將y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
當(dāng)Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>時(shí)，x1,2＝.
從而|PQ|＝|x1－x2|＝.
又點(diǎn)O到直線PQ的距離d＝，
所以△OPQ的面積S△OPQ＝d·|PQ|＝.
設(shè)＝t，則t>0，S△OPQ＝＝.
因?yàn)閠＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2，即k＝±時(shí)等號(hào)成立，且滿足Δ>0.
所以，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，
l的方程為y＝x－2或y＝－x－2.
　利用二次函數(shù)求最值
　(2019·合肥模擬)已知直線l：x－y＋1＝0與焦點(diǎn)為F的拋物線C：y2＝2px(p＞0)相切．
(1)求拋物線C的方程；
(2)過焦點(diǎn)F的直線m與拋物線C分別相交于A，B兩點(diǎn)，求A，B兩點(diǎn)到直線l的距離之和的最小值．
[解]　(1)∵直線l：x－y＋1＝0與拋物線C：y2＝2px(p＞0)相切，
聯(lián)立消去x得y2－2py＋2p＝0，從而Δ＝4p2－8p＝0，解得p＝2或p＝0(舍)．
∴拋物線C的方程為y2＝4x.
(2)由于直線m的斜率不為0，
可設(shè)直線m的方程為ty＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
聯(lián)立消去x得y2－4ty－4＝0，∵Δ＞0，
∴y1＋y2＝4t，即x1＋x2＝4t2＋2，
∴線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2t2＋1,2t)．
設(shè)點(diǎn)A到直線l的距離為dA，點(diǎn)B到直線l的距離為dB，點(diǎn)M到直線l的距離為d，
則dA＋dB＝2d＝2·＝2|t2－t＋1|＝2，
∴當(dāng)t＝時(shí)，A，B兩點(diǎn)到直線l的距離之和最小，最小值為.
　本例第(2)問的關(guān)鍵是根據(jù)梯形中位線定理得到dA＋dB＝2d.
[教師備選例題]
(2019·齊齊哈爾模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝8.
(1)求拋物線C的方程；
(2)過點(diǎn)Q(1,1)作直線交拋物線C不同于R(1,2)的D，E兩點(diǎn)，若直線DR，ER分別交直線l：y＝2x＋2于M，N兩點(diǎn)，求|MN|取最小值時(shí)直線DE的方程．
[解]　(1)由題意知，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，F(xiàn)，直線AB的方程為x＝y(tǒng)＋，
聯(lián)立得y2－2py－p2＝0，
解得y＝(1±)p.
則|AB|＝＝＝4p＝8，
∴p＝2，∴拋物線的方程為y2＝4x.
(2)設(shè)D(x1，y1)，E(x2，y2)，
由題意知，直線DE的斜率存在且不為0.
設(shè)直線DE的方程為x＝m(y－1)＋1(m≠0)，
聯(lián)立消去x得y2－4my＋4(m－1)＝0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝4(m－1)．
∴|y2－y1|＝＝4.
設(shè)直線DR的方程為y＝k1(x－1)＋2，
聯(lián)立解得xM＝.
又k1＝＝＝，
∴xM＝＝－.
同理得xN＝－.
∴|MN|＝|xM－xN|＝＝2＝2·.
令m－1＝t，t≠0，則m＝t＋1.
∴|MN|＝2＝2＝2≥.
∴當(dāng)t＝－2，m＝－1時(shí)，|MN|取得最小值．
此時(shí)直線DE的方程為x＝－(y－1)＋1，即x＋y－2＝0.
　(2019·黃山模擬)已知點(diǎn)M(1，n)在拋物線y2＝2px(p＞0)上，且點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離為2.直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為P(3,2)．
(1)求直線l的方程．
(2)點(diǎn)Q是直線y＝x上的動(dòng)點(diǎn)，求·的最小值．
[解]　(1)由題意知，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，所以1＋＝2，解得p＝2，
所以拋物線的方程為y2＝4x.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y＝4x1，y＝4x2，
則y－y＝4(x1－x2)，即＝＝＝1，
所以直線l的方程為y－2＝x－3，即x－y－1＝0.
(2)因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在直線l上，所以A(x1，x1－1)，B(x2，x2－1)，設(shè)Q(m，m)，
·＝(x1－m，x1－(m＋1))·(x2－m，x2－(m＋1))＝(x1－m)(x2－m)＋[x1－(m＋1)][x2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋x1x2－(m＋1)(x1＋x2)＋(m＋1)2＝2x1x2－(2m＋1)(x1＋x2)＋m2＋(m＋1)2，
聯(lián)立得x2－6x＋1＝0，則x1＋x2＝6，x1x2＝1，
所以·＝2－(2m＋1)×6＋m2＋m2＋2m＋1＝2m2－10m－3＝2－，
當(dāng)m＝時(shí)，·取得最小值，為－.
　利用導(dǎo)數(shù)求最值
(2017·浙江高考)如圖，已知拋物線x2＝y(tǒng)，點(diǎn)A，B，拋物線上的點(diǎn)P(x，y).過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q.

(1)求直線AP斜率的取值范圍；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值．
[解]　(1)設(shè)直線AP的斜率為k，k＝＝x－，
因?yàn)椋?

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