考點(diǎn)一　簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

1．定義：質(zhì)點(diǎn)在跟位移大小成正比并且總是指向平衡位置的回復(fù)力作用下的振動(dòng)。
2．平衡位置：物體在振動(dòng)過(guò)程中回復(fù)力為零的位置。
3．回復(fù)力
(1)定義：使物體返回到平衡位置的力。
(2)方向：總是指向平衡位置。
(3)來(lái)源：屬于效果力，可以是某一個(gè)力，也可以是幾個(gè)力的合力或某個(gè)力的分力。
4．描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量
(1)位移x：由平衡位置指向質(zhì)點(diǎn)所在位置的有向線(xiàn)段，是矢量。
(2)振幅A：振動(dòng)物體離開(kāi)平衡位置的最大距離，是標(biāo)量，表示振動(dòng)的強(qiáng)弱。
(3)周期T：物體完成一次全振動(dòng)所需的時(shí)間。
頻率f：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)。
它們是表示振動(dòng)快慢的物理量，二者的關(guān)系為T(mén)＝。
(4)相位ωt＋φ：描述周期性運(yùn)動(dòng)在各個(gè)時(shí)刻所處的不同狀態(tài)，其中φ為初相。
5．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移表達(dá)式：x＝Asin(ωt＋φ)。
6．彈簧振子(如圖，以水平彈簧振子為例)

(1)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件：
①?gòu)椈少|(zhì)量可忽略；
②無(wú)摩擦等阻力；
③在彈簧彈性限度內(nèi)。
(2)回復(fù)力：彈簧彈力。
(3)平衡位置：彈簧處于原長(zhǎng)處。
(4)周期：與振幅無(wú)關(guān)，與振子質(zhì)量和彈簧勁度系數(shù)有關(guān)。
(5)能量轉(zhuǎn)化：彈性勢(shì)能與動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒。
7．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征



1．(多選)下列關(guān)于振動(dòng)的回復(fù)力的說(shuō)法正確的是(　　)
A．回復(fù)力方向總是指向平衡位置
B．回復(fù)力是按效果命名的
C．回復(fù)力一定是物體受到的合力
D．回復(fù)力由彈簧的彈力提供
E．振動(dòng)物體在平衡位置所受的回復(fù)力是零
答案　ABE
解析　回復(fù)力是按效果命名的，是指向平衡位置使振動(dòng)物體回到平衡位置的力，可以由某個(gè)力或某幾個(gè)力的合力提供，也可以由某個(gè)力的分力提供，故A、B正確，C錯(cuò)誤；在水平彈簧振子中回復(fù)力由彈簧的彈力提供，但在其他振動(dòng)中，不一定由彈簧彈力提供，D錯(cuò)誤；振動(dòng)物體在平衡位置受到的回復(fù)力是零，E正確。
2．(多選)關(guān)于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期，以下說(shuō)法正確的是(　　)
A．間隔一個(gè)周期的整數(shù)倍的兩個(gè)時(shí)刻，物體的振動(dòng)情況相同
B．間隔半個(gè)周期的奇數(shù)倍的兩個(gè)時(shí)刻，物體的速度和加速度可能同時(shí)相同
C．半個(gè)周期內(nèi)物體的動(dòng)能變化一定為零
D．一個(gè)周期內(nèi)物體的勢(shì)能變化一定為零
E．經(jīng)過(guò)一個(gè)周期質(zhì)點(diǎn)通過(guò)的路程為零
答案　ACD
解析　根據(jù)周期T的定義可知，物體完成一次全振動(dòng)，
所有的物理量都恢復(fù)到初始狀態(tài)，故A正確；當(dāng)間隔半周期的奇數(shù)倍時(shí)，所有的矢量都變得大小相等，方向相反，且物體的速度和加速度不同時(shí)為零，故B錯(cuò)誤；物體的動(dòng)能和勢(shì)能變化的周期為，所以C、D正確；經(jīng)過(guò)一個(gè)周期，質(zhì)點(diǎn)通過(guò)的路程為4A，E錯(cuò)誤。
3.(多選)如圖，輕彈簧上端固定，下端連接一小物塊，物塊沿豎直方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。以豎直向上為正方向，物塊簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為y＝0.1sin(2.5πt) m。t＝0時(shí)刻，一小球從距物塊h高處自由落下；t＝0.6 s時(shí)，小球恰好與物塊處于同一高度。取重力加速度的大小g＝10 m/s2。以下判斷正確的是(　　)

A．h＝1.7 m
B．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期是0.8 s
C．0.6 s內(nèi)物塊運(yùn)動(dòng)的路程是0.2 m
D．t＝0.4 s時(shí)，物塊與小球運(yùn)動(dòng)方向相反
E．t＝0.6 s時(shí)，物塊的位移是－0.1 m
答案　ABE
解析　t＝0.6 s時(shí)，物塊的位移為y＝0.1sin(2.5π×0.6) m＝－0.1 m；則對(duì)小球h＋|y|＝gt2，解得h＝1.7 m，A、E正確；簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期是T＝＝ s＝0.8 s，B正確；0.6 s內(nèi)物塊運(yùn)動(dòng)的路程是3A＝0.3 m，C錯(cuò)誤；t＝0.4 s＝，此時(shí)物塊在平衡位置向下振動(dòng)，則此時(shí)物塊與小球運(yùn)動(dòng)方向相同，D錯(cuò)誤。
考點(diǎn)二　簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象

1．對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象的認(rèn)識(shí)
(1)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象是一條正弦或余弦曲線(xiàn)，如圖所示。

(2)圖象反映的是位移隨時(shí)間的變化規(guī)律，隨時(shí)間的增加而延伸，圖象不代表質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。
(3)任一時(shí)刻圖線(xiàn)上過(guò)該點(diǎn)切線(xiàn)的斜率數(shù)值表示該時(shí)刻振子的速度大小。正負(fù)表示速度的方向，為正時(shí)沿x正方向，為負(fù)時(shí)沿x負(fù)方向。
2．圖象信息
(1)由圖象可以得出質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅、周期。
(2)可以確定某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移。
(3)可以根據(jù)圖象確定某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)回復(fù)力、加速度和速度的方向。
①回復(fù)力和加速度的方向：因回復(fù)力總是指向平衡位置，故回復(fù)力和加速度在圖象上總是指向t軸。
②速度的方向：速度的方向可以通過(guò)下一時(shí)刻位移的變化來(lái)判斷，下一時(shí)刻位移如增加，振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度方向就是遠(yuǎn)離t軸；下一時(shí)刻位移如減小，振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度方向就是指向t軸。
(4)某段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移、回復(fù)力、加速度、速度、動(dòng)能和勢(shì)能的變化情況。

(2018·浙江舟山模擬)(多選)甲、乙兩彈簧振子，振動(dòng)圖象如圖所示，則可知(　　)

A．兩彈簧振子完全相同
B．兩彈簧振子所受回復(fù)力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1
C．振子甲速度為零時(shí)，振子乙速度最大
D．兩振子的振動(dòng)頻率之比f(wàn)甲∶f乙＝1∶2
解析　從圖象中可以看出，兩彈簧振子周期之比T甲∶T乙＝2∶1，得頻率之比f(wàn)甲∶f乙＝1∶2，D正確；彈簧振子周期與振子質(zhì)量、彈簧勁度系數(shù)k有關(guān)，周期不同，說(shuō)明兩彈簧振子不同，A錯(cuò)誤；由于彈簧的勁度系數(shù)k不一定相同，所以?xún)烧褡铀芑貜?fù)力(F＝－kx)的最大值之比F甲∶F乙不一定為2∶1，所以B錯(cuò)誤；由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知，在振子到達(dá)平衡位置時(shí)位移為零，速度最大；在振子到達(dá)最大位移處時(shí)，速度為零，從圖象中可以看出，在振子甲到達(dá)最大位移處時(shí)，振子乙恰好到達(dá)平衡位置，所以C正確。
答案　CD
方法感悟
簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象問(wèn)題的兩種分析方法
方法一：圖象—運(yùn)動(dòng)結(jié)合法
解此類(lèi)題時(shí)，首先要理解x-t圖象的意義，其次要把x-t圖象與質(zhì)點(diǎn)的實(shí)際振動(dòng)過(guò)程聯(lián)系起來(lái)，圖象上的一個(gè)點(diǎn)表示振動(dòng)中的一個(gè)狀態(tài)(位置、振動(dòng)方向等)，圖象上的一段曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)振動(dòng)的一個(gè)過(guò)程，關(guān)鍵是判斷好平衡位置、最大位移及振動(dòng)方向。
方法二：直觀結(jié)論法
簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象表示振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律，即位移—時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖象，不是物體的運(yùn)動(dòng)軌跡。直接由圖象得出相關(guān)物理量，再由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的有關(guān)結(jié)論、規(guī)律求解。





一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其位移和時(shí)間的關(guān)系如圖所示。

(1)求t＝0.25×10－2 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位移；
(2)在t＝1.5×10－2 s到t＝2×10－2 s的振動(dòng)過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)的位移、回復(fù)力、速度、動(dòng)能、勢(shì)能大小如何變化？
(3)在t＝0到t＝8.5×10－2 s時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的路程、位移各多大？
答案　(1)－ cm
(2)變大　變大　變小　變小　變大　(3)34 cm　2 cm
解析　(1)由題圖可知A＝2 cm，T＝2×10－2 s，
振動(dòng)方程為
x＝Asin＝－Acosωt＝－2cos cm＝－2cos(100πt) cm。
當(dāng)t＝0.25×10－2 s時(shí)，x＝－2cos cm＝－ cm。
(2)由題圖可知在t＝1.5×10－2 s到t＝2×10－2 s的振動(dòng)過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)的位移變大，回復(fù)力變大，速度變小，動(dòng)能變小，勢(shì)能變大。
(3)在t＝0到t＝8.5×10－2 s時(shí)間內(nèi)，Δt＝T＝T，可知質(zhì)點(diǎn)的路程為s＝17A＝34 cm，位移為2 cm。
考點(diǎn)三　單擺

1．單擺的特征(以圖示單擺為例)

(1)條件：θ≤5°，空氣阻力可忽略不計(jì)，擺線(xiàn)為不可伸長(zhǎng)的輕細(xì)線(xiàn)。
(2)回復(fù)力：擺球重力沿與擺線(xiàn)垂直方向的分力，F(xiàn)回＝－mgsinθ＝－x＝－kx，負(fù)號(hào)表示回復(fù)力F回與位移x的方向相反。
(3)平衡位置：最低點(diǎn)。
(4)周期：T＝2π ，其中l(wèi)為擺長(zhǎng)。
(5)能量轉(zhuǎn)化：重力勢(shì)能與動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒。
(6)向心力：細(xì)線(xiàn)的拉力和擺球重力沿細(xì)線(xiàn)方向分力的合力充當(dāng)向心力，F(xiàn)向＝FT－mgcosθ。
①當(dāng)擺球在最高點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)向＝＝0，F(xiàn)T＝mgcosθ。
②當(dāng)擺球在最低點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)向＝，F(xiàn)向最大，F(xiàn)T＝mg＋m。
2．周期公式T＝2π 的兩點(diǎn)說(shuō)明
(1)l為等效擺長(zhǎng)，表示從懸點(diǎn)到擺球重心的距離。如圖甲所示的雙線(xiàn)擺的擺長(zhǎng)l＝r＋Lcosα。乙圖中小球(可看做質(zhì)點(diǎn))在半徑為R的光滑圓槽中靠近A點(diǎn)的附近振動(dòng)，其等效擺長(zhǎng)為l＝R。

(2)g為當(dāng)?shù)刂亓铀俣?。若單擺處于特殊的物理環(huán)境，即在其他星球、處于超失重狀態(tài)等，g為等效加速度。

(2018·鄭州模擬)(多選)如圖所示為同一地點(diǎn)的兩單擺甲、乙的振動(dòng)圖象，下列說(shuō)法中正確的是(　　)

A．甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)相等
B．甲擺的振幅比乙擺的大
C．甲擺的機(jī)械能比乙擺的大
D．在t＝0.5 s時(shí)有正向最大加速度的是乙擺
E．由圖象可以求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?br /> 解析　由題圖可知，兩單擺的周期相同，同一地點(diǎn)重力加速度g相同，由單擺的周期公式T＝2π 得知，甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)相等，A正確；甲擺的振幅為10 cm，乙擺的振幅為7 cm，則甲擺的振幅比乙擺的大，B正確；盡管甲擺的振幅比乙擺大，兩擺的擺長(zhǎng)也相等，但由于兩擺的質(zhì)量未知，故無(wú)法比較機(jī)械能的大小，C錯(cuò)誤；在t＝0.5 s時(shí)，甲擺經(jīng)過(guò)平衡位置，振動(dòng)的加速度為零，而乙擺的位移為負(fù)向最大，則乙擺具有正向最大加速度，D正確；由單擺的周期公式T＝2π得g＝，由于不知道單擺的擺長(zhǎng)，所以不能求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?，E錯(cuò)誤。
答案　ABD
方法感悟
(1)公式成立的條件是單擺的偏角不超過(guò)5°。
(2)單擺的振動(dòng)周期在振幅較小的條件下，與單擺的振幅無(wú)關(guān)，與擺球的質(zhì)量也無(wú)關(guān)。
(3)擺長(zhǎng)l是指擺動(dòng)圓弧的圓心到擺球重心的距離，而不一定為擺線(xiàn)的長(zhǎng)。




如圖甲是一個(gè)單擺振動(dòng)的情形，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達(dá)的最遠(yuǎn)位置。設(shè)向右為正方向，圖乙是這個(gè)單擺的振動(dòng)圖象。根據(jù)圖象回答：

(1)單擺振動(dòng)的頻率是多大？
(2)開(kāi)始時(shí)擺球在何位置？
(3)若當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?0 m/s2，試求這個(gè)單擺的擺長(zhǎng)是多少？(計(jì)算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)
答案　(1)1.25 Hz　(2)B點(diǎn)　(3)0.16 m
解析　(1)由題圖乙知周期T＝0.8 s，
則頻率f＝＝1.25 Hz。
(2)由題圖乙知，t＝0時(shí)擺球在負(fù)向最大位移處，因向右為正方向，所以開(kāi)始時(shí)擺球在B點(diǎn)。
(3)由T＝2π ，得l＝≈0.16 m。
考點(diǎn)四　用單擺測(cè)定重力加速度

1．實(shí)驗(yàn)原理
當(dāng)偏角很小時(shí)，單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)＝2π ，它與偏角的大小及擺球的質(zhì)量無(wú)關(guān)，由此得到g＝。因此，只要測(cè)出擺長(zhǎng)l和振動(dòng)周期T，就可以求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭的值。
2．實(shí)驗(yàn)器材
帶中心孔的小鋼球、約1 m長(zhǎng)的細(xì)線(xiàn)(不可伸長(zhǎng))、帶有鐵夾的鐵架臺(tái)、游標(biāo)卡尺、毫米刻度尺、停表。
3．實(shí)驗(yàn)步驟與數(shù)據(jù)處理
(1)做單擺
取約1 m長(zhǎng)的細(xì)線(xiàn)穿過(guò)帶中心孔的小鋼球，并打一個(gè)比小孔大一些的結(jié)，然后把線(xiàn)的另一端用鐵夾固定在鐵架臺(tái)上，讓擺球自然下垂，在平衡位置做上標(biāo)記，如圖所示。

(2)測(cè)擺長(zhǎng)
用毫米刻度尺量出擺線(xiàn)長(zhǎng)L(精確到毫米)，用游標(biāo)卡尺測(cè)出小球直徑D，則單擺的擺長(zhǎng)l＝L＋。
(3)測(cè)周期
將單擺從平衡位置拉開(kāi)一個(gè)角度(不大于5°)，然后釋放小球，記下單擺擺動(dòng)30或50次全振動(dòng)的總時(shí)間，算出平均每擺動(dòng)一次的時(shí)間，即為單擺的振動(dòng)周期。
(4)改變擺長(zhǎng)，重做幾次實(shí)驗(yàn)。
(5)數(shù)據(jù)處理

①公式法：g＝。其中l(wèi)和T為多次測(cè)量的平均值。
②圖象法：畫(huà)l－T2圖象。
g＝4π2k，k＝＝。
4．注意事項(xiàng)
(1)構(gòu)成單擺的條件：細(xì)線(xiàn)的質(zhì)量要小、彈性要小，選用體積小、密度大的小球，擺角不超過(guò)5°。
(2)要使擺球在同一豎直面內(nèi)擺動(dòng)，不能形成圓錐擺，方法是將擺球拉到一定位置后由靜止釋放。
(3)懸線(xiàn)頂端不能晃動(dòng)，需用夾子夾住，保證懸點(diǎn)固定。
(4)選擇在擺球擺到平衡位置處時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，并數(shù)準(zhǔn)全振動(dòng)的次數(shù)。
5．實(shí)驗(yàn)誤差
(1)系統(tǒng)誤差的主要來(lái)源：懸點(diǎn)不固定，球、線(xiàn)不符合要求，振動(dòng)是圓錐擺而不是在同一豎直平面內(nèi)的振動(dòng)等。
(2)偶然誤差的主要來(lái)源：未從平衡位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，多計(jì)或漏計(jì)全振動(dòng)的次數(shù)，刻度尺測(cè)擺線(xiàn)長(zhǎng)讀數(shù)誤差等。

(2018·浙江模擬)某同學(xué)利用單擺測(cè)定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?br /> (1)實(shí)驗(yàn)室已經(jīng)提供的器材有：鐵架臺(tái)、夾子、秒表、游標(biāo)卡尺。除此之外，還需要的器材有________。
A．長(zhǎng)度約為1 m的細(xì)線(xiàn)
B．長(zhǎng)度約為30 cm的細(xì)線(xiàn)
C．直徑約為2 cm的鋼球
D．直徑約為2 cm的木球
E．最小刻度為1 cm的直尺
F．最小刻度為1 mm的直尺
(2)該同學(xué)在測(cè)量單擺的周期時(shí)，他用秒表記下了單擺做50次全振動(dòng)的時(shí)間，如圖甲所示，秒表的讀數(shù)為_(kāi)_______ s。

(3)該同學(xué)經(jīng)測(cè)量得到6組擺長(zhǎng)L和對(duì)應(yīng)的周期T，畫(huà)出L－T2圖線(xiàn)，然后在圖線(xiàn)上選取A、B兩個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)如圖乙所示。則當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊谋磉_(dá)式g＝________。處理完數(shù)據(jù)后，該同學(xué)發(fā)現(xiàn)在計(jì)算擺長(zhǎng)時(shí)用的是擺線(xiàn)長(zhǎng)度而未計(jì)入小球的半徑，這樣________(選填“影響”或“不影響”)重力加速度的計(jì)算。
解析　(1)由單擺周期公式T＝2π可得，g＝L，實(shí)驗(yàn)需要測(cè)量擺長(zhǎng)，擺長(zhǎng)等于擺線(xiàn)的長(zhǎng)度加上擺球的半徑，測(cè)量擺線(xiàn)長(zhǎng)需要毫米刻度尺，擺線(xiàn)的長(zhǎng)度大約1 m左右。為減小空氣阻力的影響，擺球需要密度較大的擺球，故選用的器材為ACF。
(2)秒表表示讀數(shù)：內(nèi)圈讀數(shù)：60 s，外圈讀數(shù)35.1 s，總讀數(shù)為t＝60 s＋35.1 s＝95.1 s。
(3)由T＝2π 可得，L＝T2，
則L－T2圖象的斜率等于，由數(shù)學(xué)知識(shí)得＝＝，解得g＝。
根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，在計(jì)算擺長(zhǎng)時(shí)用的是擺線(xiàn)長(zhǎng)度而未計(jì)入小球的半徑，這樣不影響重力加速度的計(jì)算。
答案　(1)ACF　(2)95.1　(3)　不影響
方法感悟
(1)根據(jù)單擺的周期公式得出重力加速度的表達(dá)式，通過(guò)表達(dá)式，結(jié)合單擺模型的要求確定所需的器材。
(2)秒表讀數(shù)：先讀內(nèi)圈，讀數(shù)時(shí)只讀整數(shù)(分鐘)，且根據(jù)是否過(guò)半分鐘格線(xiàn)由外圈讀出秒數(shù)，讀外圈時(shí)，指針是準(zhǔn)確的，不用估讀。
(3)根據(jù)實(shí)驗(yàn)注意事項(xiàng)與實(shí)驗(yàn)原理分析實(shí)驗(yàn)誤差。由單擺周期公式變形，得到T2與L的關(guān)系式，分析圖象斜率的意義，求解g。




1．某同學(xué)在“用單擺測(cè)定重力加速度”的實(shí)驗(yàn)中測(cè)量了一些數(shù)據(jù)，其中的一組數(shù)據(jù)如下所示。

(1)用游標(biāo)卡尺測(cè)量擺球直徑，卡尺游標(biāo)位置如圖甲所示，可知擺球直徑是________ cm。
(2)該同學(xué)用秒表記錄了單擺振動(dòng)30次全振動(dòng)所用的時(shí)間如圖乙所示，則單擺的周期是________ s。(保留三位有效數(shù)字)

(3)為了提高實(shí)驗(yàn)精度，在試驗(yàn)中可改變幾次擺長(zhǎng)l，測(cè)出相應(yīng)的周期T，從而得出幾組對(duì)應(yīng)的l與T的數(shù)值，再以l為橫坐標(biāo)，T2為縱坐標(biāo)，將所得數(shù)據(jù)連成直線(xiàn)如圖丙所示，利用圖線(xiàn)可求出圖線(xiàn)的斜率k＝________，再由k可求出g＝________。(保留三位有效數(shù)字)
(4)如果他測(cè)得的g值偏小，可能的原因是(　　)
A．將擺線(xiàn)長(zhǎng)作為擺長(zhǎng)
B．?dāng)[線(xiàn)上端未牢固地系于懸點(diǎn)，振動(dòng)中出現(xiàn)松動(dòng)，使擺線(xiàn)長(zhǎng)度增加了
C．開(kāi)始計(jì)時(shí)，秒表過(guò)遲按下
D．實(shí)驗(yàn)中誤將29次全振動(dòng)數(shù)記為30次
答案　(1)1.940　(2)1.90　(3)4　9.86 m/s2　(4)AB
解析　(1)由圖示游標(biāo)卡尺可知，其示數(shù)為：19 mm＋8×0.05 mm＝19.40 mm＝1.940 cm。
(2)由圖示秒表可知，其示數(shù)為：56.9 s，單擺的周期：T＝＝ s≈1.90 s。
(3)由單擺周期公式：T＝2π，可得T2＝l，由圖示圖象可知k＝＝＝4，又有k＝，重力加速度g＝＝≈9.86 m/s2。
(4)由單擺周期公式：T＝2π，可得g＝l，將擺線(xiàn)長(zhǎng)作為擺長(zhǎng)，則擺長(zhǎng)的測(cè)量值偏小，導(dǎo)致重力加速度的測(cè)量值偏小，故A正確；擺線(xiàn)上端未牢固地系于懸點(diǎn)，振動(dòng)中出現(xiàn)松動(dòng)，使擺線(xiàn)長(zhǎng)度增加了，則擺長(zhǎng)的測(cè)量值偏小，導(dǎo)致重力加速度的測(cè)量值偏小，故B正確；開(kāi)始計(jì)時(shí)，秒表過(guò)遲按下，則周期的測(cè)量值偏小，導(dǎo)致重力加速度的測(cè)量值偏大，故C錯(cuò)誤；實(shí)驗(yàn)中誤將29次全振動(dòng)數(shù)記為30次，則周期的測(cè)量值偏小，導(dǎo)致重力加速度的測(cè)量值偏大，故D錯(cuò)誤。所以選AB。
2．如圖甲所示是一個(gè)擺線(xiàn)長(zhǎng)度可調(diào)的單擺振動(dòng)的情景圖，O是它的平衡位置，P、Q是小球所能到達(dá)的最高位置。小球的質(zhì)量m＝0.4 kg，圖乙是擺線(xiàn)長(zhǎng)為l時(shí)小球的振動(dòng)圖象，g取10 m/s2。

(1)為測(cè)量單擺的擺動(dòng)周期，測(cè)量時(shí)間應(yīng)從擺球經(jīng)過(guò)________(填“O”“P”或“Q”)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)；測(cè)出懸點(diǎn)到小球球心的距離(擺長(zhǎng))L及單擺完成n次全振動(dòng)所用的時(shí)間t，則重力加速度g＝________(用L、n、t表示)。
(2)由圖乙寫(xiě)出單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式，并判斷小球在什么位置時(shí)切向加速度最大？最大切向加速度為多少？
答案　(1)O　　(2)x＝5sinπt(cm)　小球在最大位移處的切向加速度最大' 0.5 m/s2
解析　(1)因擺球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)的速度最大，容易觀察和計(jì)時(shí)，所以測(cè)量時(shí)間應(yīng)從擺球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)O開(kāi)始計(jì)時(shí)，單擺周期T＝，再根據(jù)單擺周期公式T＝2π ，可解得g＝。
(2)由圖乙可知單擺的振幅A＝5 cm，ω＝＝ rad/s＝π rad/s，初相φ＝0，所以單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為x＝5sinπt(cm)。小球在最大位移處的切向加速度最大，由圖乙可看出此擺的周期是2 s，根據(jù)T＝2π ，可求得擺長(zhǎng)為L(zhǎng)＝1 m，切向加速度最大值am＝＝＝＝ m/s2＝0.5 m/s2。
考點(diǎn)五　受迫振動(dòng)　共振

1．受迫振動(dòng)
系統(tǒng)在驅(qū)動(dòng)力作用下的振動(dòng)。做受迫振動(dòng)的物體，它做受迫振動(dòng)的周期(或頻率)等于驅(qū)動(dòng)力的周期(或頻率)，而與物體的固有周期(或頻率)無(wú)關(guān)。
2．受迫振動(dòng)中系統(tǒng)能量的轉(zhuǎn)化：受迫振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，系統(tǒng)與外界時(shí)刻進(jìn)行能量交換。
3．共振
做受迫振動(dòng)的物體，它的驅(qū)動(dòng)力的頻率與固有頻率越接近，其振幅就越大，當(dāng)二者相等時(shí)，振幅達(dá)到最大，這就是共振現(xiàn)象。共振曲線(xiàn)如圖所示。


1.(多選)如圖所示，曲軸上掛一個(gè)彈簧振子，轉(zhuǎn)動(dòng)搖把，曲軸可帶動(dòng)彈簧振子上下振動(dòng)。開(kāi)始時(shí)不轉(zhuǎn)動(dòng)搖把，讓振子自由振動(dòng)，測(cè)得其頻率為2 Hz。現(xiàn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)搖把，轉(zhuǎn)速為240 r/min。則(　　)

A．當(dāng)振子穩(wěn)定振動(dòng)時(shí)，它的振動(dòng)周期是0.5 s
B．當(dāng)振子穩(wěn)定振動(dòng)時(shí)，它的振動(dòng)頻率是4 Hz
C．當(dāng)轉(zhuǎn)速增大時(shí)，彈簧振子的振幅增大
D．當(dāng)搖把轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率減小到接近彈簧振子的頻率時(shí)，彈簧振子的振幅增大
E．彈簧振子的振幅與轉(zhuǎn)速有關(guān)
答案　BDE
解析　搖把勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率f＝ Hz＝4 Hz，周期T＝＝0.25 s，當(dāng)振子穩(wěn)定振動(dòng)時(shí)，它的振動(dòng)周期及頻率均與驅(qū)動(dòng)力的周期及頻率相等，A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)搖把轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率減小到接近振子的固有頻率時(shí)，彈簧振子的振幅將增大，C錯(cuò)誤，D、E正確。
2．[教材母題]　(人教版選修3－4 P21·T4)如圖是一個(gè)單擺的共振曲線(xiàn)。
(1)試估計(jì)此單擺的擺長(zhǎng)。
(2)若擺長(zhǎng)增大，共振曲線(xiàn)振幅最大值的橫坐標(biāo)將怎樣變化？

[變式子題]　(多選)一個(gè)單擺在地面上做受迫振動(dòng)，其共振曲線(xiàn)(振幅A與驅(qū)動(dòng)力頻率f的關(guān)系)如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是(g取10 m/s2)(　　)

A．此單擺的固有周期約為2 s
B．此單擺的擺長(zhǎng)約為1 m
C．若擺長(zhǎng)增大，單擺的固有頻率增大
D．若擺長(zhǎng)增大，共振曲線(xiàn)的峰將向左移動(dòng)
E．此單擺的振幅是8 cm
答案　ABD
解析　由共振曲線(xiàn)知此單擺的固有頻率為0.5 Hz，固有周期為2 s，再由T＝2π 得此單擺的擺長(zhǎng)約為1 m，若擺長(zhǎng)增大，則單擺的固有周期增大，固有頻率減小，共振曲線(xiàn)的峰將向左移動(dòng)，A、B、D正確，C錯(cuò)誤；此單擺做受迫振動(dòng)，只有共振時(shí)的振幅最大，為8 cm，E錯(cuò)誤。
3．(2018·焦作模擬)(多選)如圖所示，A球振動(dòng)后，通過(guò)水平細(xì)繩迫使B、C振動(dòng)，振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，下列說(shuō)法中正確的是(　　)

A．只有A、C振動(dòng)周期相等
B．C的振幅比B的振幅小
C．C的振幅比B的振幅大
D．A、B、C的振動(dòng)周期相等
E．B的振幅最小
答案　CDE
解析　A振動(dòng)后，水平細(xì)繩上驅(qū)動(dòng)力的周期TA＝2π ，迫使B、C做受迫振動(dòng)，受迫振動(dòng)的頻率等于施加的驅(qū)動(dòng)力的頻率，所以TA＝TB＝TC，A錯(cuò)誤，D正確；而TC固＝2π ＝TA，TB固＝2π >TA，故C共振，B不共振，C的振幅比B的振幅大，所以C、E正確，B錯(cuò)誤。
課后作業(yè)
[鞏固強(qiáng)化練]
1．(多選)彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，O為平衡位置，當(dāng)它經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)0.3 s第一次到達(dá)點(diǎn)M，再經(jīng)過(guò)0.2 s第二次到達(dá)點(diǎn)M，則彈簧振子的周期為(　　)
A．0.53 s B．1.4 s C．1.6 s D．3 s
答案　AC
解析　分情況討論：①如圖甲所示，O為平衡位置，OB(OC)代表振幅，振子從O→C所需時(shí)間為。因?yàn)楹?jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱(chēng)性，所以振子從M→C所用時(shí)間和從C→M所用時(shí)間相等，故＝0.3 s＋＝0.4 s，解得T＝1.6 s，C正確。

②如圖乙所示，若振子一開(kāi)始從平衡位置向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M′與點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，則振子從點(diǎn)M′經(jīng)過(guò)點(diǎn)B回到點(diǎn)M′所用的時(shí)間與振子從點(diǎn)M經(jīng)過(guò)點(diǎn)C回到點(diǎn)M所需時(shí)間相等，即0.2 s。振子從點(diǎn)O到點(diǎn)M′和從點(diǎn)M′到點(diǎn)O以及從點(diǎn)O到點(diǎn)M所需時(shí)間相等，為＝ s，故周期為T(mén)＝ s＝ s≈0.53 s，A正確。
2．?dāng)[長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，若從某時(shí)刻開(kāi)始計(jì)時(shí)(取t＝0)，當(dāng)振動(dòng)至t＝ 時(shí)，擺球具有負(fù)向最大速度，則單擺的振動(dòng)圖象是圖中的(　　)

答案　C
解析　單擺周期為T(mén)＝2π，當(dāng)t＝ ＝時(shí)擺球具有負(fù)向最大速度，知擺球經(jīng)過(guò)平衡位置向負(fù)方向振動(dòng)，C正確，A、B、D錯(cuò)誤。
3.如圖，在一直立的光滑管內(nèi)放置一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，管口上方O點(diǎn)與彈簧上端初位置A的距離為h，一質(zhì)量為m的小球從O點(diǎn)由靜止下落，壓縮彈簧至最低點(diǎn)D，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，不計(jì)空氣阻力。小球自O(shè)點(diǎn)下落到最低點(diǎn)D的過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的是(　　)

A．小球最大速度的位置隨h的變化而變化
B．小球的最大速度與h無(wú)關(guān)
C．小球的最大加速度大于重力加速度
D．彈簧的最大壓縮量與h成正比
答案　C
解析　小球速度最大的位置，加速度為零，即重力等于彈力，有mg＝kx，所以x不變，則最大速度位置不變，與h無(wú)關(guān)，故A錯(cuò)誤；小球從下落點(diǎn)到平衡位置，重力和彈力做功，下落的高度不同，小球的最大速度不同，故B錯(cuò)誤；若小球在A點(diǎn)釋放，根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性，在最低點(diǎn)加速度為g，方向向上，若小球在O點(diǎn)釋放，最低點(diǎn)位置會(huì)下降，則最大加速度大于g，故C正確；在最低點(diǎn)彈簧的壓縮量最大，根據(jù)能量守恒定律可得mg(h＋x)＝kx2，故彈簧的最大壓縮量與h有關(guān)，但不是成正比關(guān)系，故D錯(cuò)誤。
4．有一個(gè)在y方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體，其振動(dòng)圖象如圖所示，下列關(guān)于下圖中①～④的判斷正確的是(　　)



A．圖③可作為該物體的回復(fù)力—時(shí)間圖象
B．圖②可作為該物體的回復(fù)力—時(shí)間圖象
C．圖①可作為該物體的速度—時(shí)間圖象
D．圖④可作為該物體的加速度—時(shí)間圖象
答案　A
解析　根據(jù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)回復(fù)力F＝－kx知，回復(fù)力或加速度與位移大小成正比，方向相反，可得A正確，B、D錯(cuò)誤；速度在平衡位置最大，在最大位移處為零，圖②可作為速度—時(shí)間圖象，C錯(cuò)誤。
5．(多選)如圖甲所示為以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在A、B兩點(diǎn)間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的彈簧振子，圖乙為這個(gè)彈簧振子的振動(dòng)圖象，由圖可知下列說(shuō)法中正確的是(　　)

A．在t＝0.2 s時(shí)，彈簧振子的加速度為正向最大
B．在t＝0.1 s與t＝0.3 s兩個(gè)時(shí)刻，彈簧振子在同一位置
C．在t＝0到t＝0.2 s時(shí)間內(nèi)，彈簧振子做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)
D．在t＝0.6 s時(shí)，彈簧振子有最小的彈性勢(shì)能
答案　BC
解析　t＝0.2 s時(shí)，彈簧振子的位移為正向最大值，而彈簧振子的加速度與位移大小成正比，方向與位移方向相反，A錯(cuò)誤；在t＝0.1 s與t＝0.3 s兩個(gè)時(shí)刻，彈簧振子的位移相同，B正確；從t＝0到t＝0.2 s時(shí)間內(nèi)，彈簧振子從平衡位置向正的最大位移處運(yùn)動(dòng)，位移逐漸增大，加速度逐漸增大，加速度方向與速度方向相反，彈簧振子做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)，C正確；在t＝0.6 s時(shí)，彈簧振子的位移為負(fù)向最大值，即彈簧的形變最大，彈簧振子的彈性勢(shì)能最大，D錯(cuò)誤。
6．(多選)把一個(gè)篩子用四根彈簧支撐起來(lái)，篩子上裝一個(gè)電動(dòng)偏心輪，它每轉(zhuǎn)一周，給篩子一個(gè)驅(qū)動(dòng)力，這就做成了一個(gè)共振篩，如圖甲所示。該共振篩的共振曲線(xiàn)如圖乙所示。已知增大電壓，可使偏心輪轉(zhuǎn)速提高，增加篩子質(zhì)量，可增大篩子的固有周期。現(xiàn)在，在某電壓下電動(dòng)偏心輪轉(zhuǎn)速是54 r/min。為了使篩子的振幅增大，下列做法正確的是(　　)

A．提高輸入電壓B．降低輸入電壓
C．增加篩子質(zhì)量D．減小篩子質(zhì)量
答案　BD
解析　由題圖乙可知篩子的固有頻率為0.8 Hz，那么固有周期為1.25 s，而現(xiàn)在偏心輪轉(zhuǎn)速為54 r/min，即周期為 s

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