2020版高考理科數(shù)學(xué)（人教版）一輪復(fù)習(xí)講義：第七章第四節(jié)合情推理與演繹推理-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第四節(jié)合情推理與演繹推理

1．合情推理
類型
定義
特征
歸納推理
由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理
由部分到整體、由個別到一般
類比推理
由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理
由特殊到特殊
合情推理
歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理

2．演繹推理
(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情況；
③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷．
合情推理與演繹推理的區(qū)別
(1)合情推理的結(jié)論是猜想，不一定正確；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時，得到的結(jié)論一定正確．
(2)合情推理是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的推理；演繹推理是證明結(jié)論的推理．
[小題查驗基礎(chǔ)]
一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)
(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確．(　　)
(2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理．(　　)
(3)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適．(　　)
(4)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
二、選填題
1．①已知a是三角形一邊的長，h是該邊上的高，則三角形的面積是ah，如果把扇形的弧長l，半徑r分別看成三角形的底邊長和高，可得到扇形的面積為lr；②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2，則①②兩個推理過程分別屬于(　　)
A．類比推理、歸納推理　　 B．類比推理、演繹推理
C．歸納推理、類比推理 D．歸納推理、演繹推理
解析：選A?、儆扇切蔚男再|(zhì)得到扇形的性質(zhì)有相似之處，此種推理為類比推理；②由特殊到一般，此種推理為歸納推理，故選A.
2．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，n≥2時，an＝an－1＋2n－1，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的表達式是(　　)
A．a(chǎn)n＝3n－1 B．a(chǎn)n＝4n－3
C．a(chǎn)n＝n2 D．a(chǎn)n＝3n－1
解析：選C　a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.
3．數(shù)列2,5,11,20，x,47，…中的x等于(　　)
A．28 B．32
C．33 D．27
解析：選B　5＝2＋3×1,11＝5＋3×2,20＝11＋3×3，x＝20＋3×4＝32.
4．推理“①矩形是平行四邊形，②三角形不是平行四邊形，③三角形不是矩形”中的小前提是________(填序號)．
解析：由演繹推理三段論可知，①是大前提，②是小前提，③是結(jié)論．
答案：②
5．在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為________．
解析：由平面圖形的面積類比立體圖形的體積得出：在空間內(nèi)，若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的底面積之比為1∶4，對應(yīng)高之比為1∶2，所以體積比為1∶8.
答案：1∶8

[考法全析]
考法(一)　與數(shù)字有關(guān)的推理
[例1]　從1開始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列，現(xiàn)有一個三角形框架在圖中上下或左右移動，使每次恰有九個數(shù)在此三角形內(nèi)，則這九個數(shù)的和可以為(　　)

A．2 018　　　　　　　 B．2 019
C．2 020 D．2 021
[解析]　　根據(jù)題干圖所示的規(guī)則排列，設(shè)最上層的一個數(shù)為a，則第二層的三個數(shù)為a＋7，a＋8，a＋9，第三層的五個數(shù)為a＋14，a＋15，a＋16，a＋17，a＋18，
這九個數(shù)之和為a＋3a＋24＋5a＋80＝9a＋104.
由9a＋104＝2 021，得a＝213，是自然數(shù)，故選D.
[答案]　D
考法(二)　與等式有關(guān)的推理
[例2]　觀察下列等式
1－＝，
1－＋－＝＋，
1－＋－＋－＝＋＋，
……
據(jù)此規(guī)律，第n個等式為________________________．
[解析]　規(guī)律為等式左邊共有2n項且等式左邊分母分別為1,2，…，2n，分子為1，奇數(shù)項為正、偶數(shù)項為負，即為1－＋－＋…＋－；等式右邊共有n項且分母分別為n＋1，n＋2，…，2n，分子為1，即為＋＋…＋.所以第n個等式為1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
[答案]　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋
考法(三)　與不等式有關(guān)的推理
[例3]　(1)設(shè)n為正整數(shù)，f(n)＝1＋＋＋…＋，計算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，觀察上述結(jié)果，可推測一般的結(jié)論為____________________________________．
(2)已知x∈(0，＋∞)，觀察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，歸納得x＋≥n＋1(n∈N*)，則a＝________.
[解析]　(1)∵f(21)＝，f(22)＞2＝，
f(23)＞，f(24)＞，
∴歸納得f(2n)≥(n∈N*)．
(2)第一個式子是n＝1的情況，此時a＝11＝1；第二個式子是n＝2的情況，此時a＝22＝4；第三個式子是n＝3的情況，此時a＝33＝27，歸納可知a＝nn.
[答案]　(1)f(2n)≥(n∈N*)　(2)nn
考法(四)　與數(shù)列有關(guān)的推理
[例4]　有一個奇數(shù)組成的數(shù)陣排列如下：
1　3　7　13　21　…
5　9　15　23　…　…
11　17　25　…　…　…
19　27　…　…　…　…
29　…　…　…　…　…
…　…　…　…　…　…
則第30行從左到右第3個數(shù)是________．
[解析]　觀察每一行的第一個數(shù)，由歸納推理可得第30行的第1個數(shù)是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝－1＝929.又第n行從左到右的第2個數(shù)比第1個數(shù)大2n，第3個數(shù)比第2個數(shù)大2n＋2，所以第30行從左到右的第2個數(shù)比第1個數(shù)大60，第3個數(shù)比第2個數(shù)大62，故第30行從左到右第3個數(shù)是929＋60＋62＝1 051.
[答案]　1 051
考法(五)　與圖形變化有關(guān)的推理
[例5]　分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德爾布羅在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路．按照如圖(1)所示的分形規(guī)律可得如圖(2)所示的一個樹形圖．若記圖(2)中第n行黑圈的個數(shù)為an，則a2 019＝________.

[解析]　根據(jù)題圖(1)所示的分形規(guī)律，可知1個白圈分形為2個白圈1個黑圈，1個黑圈分形為1個白圈2個黑圈，把題圖(2)中的樹形圖的第1行記為(1,0)，第2行記為(2,1)，第3行記為(5,4)，第4行的白圈數(shù)為2×5＋4＝14，黑圈數(shù)為5＋2×4＝13，所以第4行的“坐標”為(14,13)，同理可得第5行的“坐標”為(41,40)，第6行的“坐標”為(122,121)，….各行黑圈數(shù)乘2，分別是0,2,8,26,80，…，即1－1,3－1，9－1，27－1，81－1，…，所以可以歸納出第n行的黑圈數(shù)an＝(n∈N*)，所以a2 019＝.
[答案]　
[規(guī)律探求]
看個性
考法(一)與數(shù)字有關(guān)的推理．要注意行與行，列與列之間的數(shù)字變化規(guī)律，每個數(shù)據(jù)與正整數(shù)n之間的關(guān)系．
考法(二)與等式有關(guān)的推理．觀察數(shù)字特點，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號可解．
考法(三)與不等式有關(guān)的推理．觀察每個不等式的特點，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解．
考法(四)與數(shù)列有關(guān)的推理．通常是先求出幾個特殊現(xiàn)象，采用不完全歸納法，找出數(shù)列的項與項數(shù)的關(guān)系，列出即可．
考法(五)與圖形變化有關(guān)的推理．合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)?br /> 找共性
破解歸納推理的思維步驟
(1)發(fā)現(xiàn)共性：通過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性(特例的共性或一般規(guī)律)；
(2)歸納推理：把這種相似性推廣為一個明確表述的一般命題(猜想)；
(3)檢驗得結(jié)論：對所得的一般性命題進行檢驗．一般地，“求同存異”“逐步細化”“先粗后精”是求解由特殊結(jié)論推廣到一般結(jié)論型創(chuàng)新題的基本技巧
[過關(guān)訓(xùn)練]
1．將自然數(shù)0,1,2，…按照如下形式進行擺列：

根據(jù)以上規(guī)律判定，從2 016到2 018的箭頭方向是(　　)

解析：選A　從所給的圖形中觀察得到規(guī)律：每隔四個單位，箭頭的走向是一樣的，比如說，0→1，箭頭垂直指下，4→5箭頭也是垂直指下，8→9也是如此，而2 016＝4×504，所以2 016→2 017也是箭頭垂直指下，之后2 017→2 018的箭頭是水平向右，故選A.
2.如圖，有一個六邊形的點陣，它的中心是1個點(算第1層)，第2層每邊有2個點，第3層每邊有3個點，…，依此類推，如果一個六邊形點陣共有169個點，那么它的層數(shù)為(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：選C　由題意知，第1層的點數(shù)為1，第2層的點數(shù)為6，第3層的點數(shù)為2×6，第4層的點數(shù)為3×6，第5層的點數(shù)為4×6，…，第n(n≥2，n∈N*)層的點數(shù)為6(n－1)．設(shè)一個點陣有n(n≥2，n∈N*)層，則共有的點數(shù)為1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋6×＝3n2－3n＋1，由題意，得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8層．

[典例精析]
(1)(2019·大同模擬)已知P是圓x2＋y2＝R2上的一個動點，過點P作曲線C的兩條互相垂直的切線，切點分別為M，N，MN的中點為E.若曲線C：＋＝1(a＞b＞0)，且R2＝a2＋b2，則點E的軌跡方程為＋＝.若曲線C：－＝1(a＞b＞0)，且R2＝a2－b2，則點E的軌跡方程是(　　)
A.－＝　　　 B.－＝
C.＋＝ D.＋＝
(2)我國古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦．若a，b，c為直角三角形的三邊，其中c為斜邊，則a2＋b2＝c2，稱這個定理為勾股定理．現(xiàn)將這一定理推廣到立體幾何中：在四面體O - ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S為頂點O所對面的面積，S1，S2，S3分別為側(cè)面△OAB，△OAC，△OBC的面積，則下列選項中對于S，S1，S2，S3滿足的關(guān)系描述正確的為(　　)
A．S2＝S＋S＋S　　　　 B．S2＝＋＋
C．S＝S1＋S2＋S3 D．S＝＋＋
[解析]　(1)由于橢圓與雙曲線定義中的運算互為逆運算，所以猜想與雙曲線對應(yīng)的點E的軌跡方程為－＝.

(2)如圖，作OD⊥ BC于點D，連接AD，由立體幾何知識知，AD⊥BC，從而S2＝2＝BC2·AD2＝BC2·(OA2＋OD2)＝(OB2＋OC2)·OA2＋BC2·OD2＝2＋2＋2
＝S＋S＋S.
[答案]　(1)B　(2)A
[解題技法]
類比推理的應(yīng)用類型及解題方法
類比
定義
在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時，可以借助原定義來求解
類比
性質(zhì)
從一個特殊式子的性質(zhì)、一個特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問題，求解時要認真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵
類比
方法
有一些處理問題的方法具有類比性，我們可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中，注意知識的遷移

[提醒]　進行類比推理，應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進行類比，提出猜想．其中找到合適的類比對象是解題的關(guān)鍵．
[過關(guān)訓(xùn)練]
1．等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，則數(shù)列為等差數(shù)列，公差為.類似地，若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的公比為q，前n項的積為Tn，則等比數(shù)列{}的公比為(　　)
A. B．q2
C. D.
解析：選C　由題設(shè)，得Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1＝bq1＋2＋…＋(n－1)＝bq.
∴＝b1q，
∴等比數(shù)列{}的公比為，故選C.
2．(2019·黃岡模擬)已知正三角形內(nèi)切圓的半徑r與它的高h的關(guān)系是r＝h，把這個結(jié)論推廣到空間正四面體，則正四面體內(nèi)切球的半徑r與正四面體的高h的關(guān)系是________．
解析：球心到正四面體一個面的距離即內(nèi)切球的半徑r，連接球心與正四面體的四個頂點，把正四面體分成四個高為r的三棱錐，所以4×S×r＝×S×h，所以r＝h(其中S為正四面體一個面的面積)．
答案：r＝h

[典例精析]
(1)(2019·長春質(zhì)監(jiān))有甲、乙二人去看望高中數(shù)學(xué)老師張老師，期間他們做了一個游戲，張老師的生日是m月n日，張老師把m告訴了甲，把n告訴了乙，然后張老師列出來如下10個日期供選擇：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲說：“我不知道，但你一定也不知道．”乙聽了甲的話后，說：“本來我不知道，但現(xiàn)在我知道了．”甲接著說：“哦，現(xiàn)在我也知道了．”請問，張老師的生日是________．
[解析]　根據(jù)甲說的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日，5月8日，9月4日，9月6日，9月9日；根據(jù)乙聽了甲的話后說的“本來我不知道，但現(xiàn)在我知道了”，可排除2月7日、8月7日；根據(jù)甲接著說的“哦，現(xiàn)在我也知道了”，可以得知張老師的生日為8月4日．
[答案]　8月4日
(2)數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．證明：
①數(shù)列是等比數(shù)列；
②Sn＋1＝4an.
[證明]　①∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
故＝2·，(小前提)
故是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列．(結(jié)論)
(大前提是等比數(shù)列的定義)
②由①可知＝4·(n≥2)，
∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2)．(小前提)
又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴對于任意正整數(shù)n，都有Sn＋1＝4an.(結(jié)論)
[解題技法]
演繹推理問題的求解策略
(1)演繹推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式為三段論．
(2)演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊含關(guān)系，解題時要找準正確的大前提，一般地，當大前提不明確時，可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提．
[過關(guān)訓(xùn)練]
1．(2017·全國卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則(　　)
A．乙可以知道四人的成績
B．丁可以知道四人的成績
C．乙、丁可以知道對方的成績
D．乙、丁可以知道自己的成績
解析：選D　依題意，四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成績，但還是不知道自己的成績，則乙、丙必有1位優(yōu)秀，1位良好，甲、丁必有1位優(yōu)秀，1位良好，因此，乙知道丙的成績后，必然知道自己的成績；丁知道甲的成績后，必然知道自己的成績，因此選D.
2．已知函數(shù)y＝f(x)滿足：對任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)＞af(b)＋bf(a)，試證明：f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)．
證明：設(shè)x1，x2∈R，取x1＜x2，
由題意得x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，
∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]＞0，
[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0，
∵x1＜x2，∴f(x2)－f(x1)＞0，f(x2)＞f(x1)．
∴y＝f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)．